2021-2022学年北师大版八年级数学上册1.1探索勾股定理同步练习卷（Word版，附答案解析）

1.1
探索勾股定理
一．选择题
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则AB的长为（　　）
A．5
B．10
C．
D．28
2．直角三角形的两直角边的长分别为3，5，第三边长为（　　）
A．4
B．
C．4或
D．4和
3．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　）
A．统计思想
B．分类思想
C．数形结合思想
D．函数思想
4．如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的长度是（　　）
A．
B．
C．3
D．或
二．填空题
6．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝　
　．
7．图中A代表的是所在的正方形的面积，则A的值是
　
　．
8．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，直线CD交AB于D且将△ABC平分为面积相同的两部分，线段CD长为　
　．
9．如图在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，则该四边形的面积是　
　．
10．如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为　
　．
三．解答题
11．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．
12．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝8，BC＝5，DB＝3．
（1）求DC的长；
（2）求AB的长．
13．如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD﹣DC＝1．求DC的长．
14．已知直角三角形的两直角边长分别为（2+）和（2﹣）．
求这个直角三角形的斜边长．
15．规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.；（S1是△OA1A2的面积）；
；（S2是△OA2A3的面积）；
；（S3是△OA3A4的面积）；
…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn＝　
　；
（2）推算出OA10＝　
　；
（3）求出的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则AB的长为（　　）
A．5
B．10
C．
D．28
【分析】已知直角三角形的两条直角边，由勾股定理直接求斜边即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴根据勾股定理知，AB＝＝＝10．
故选：B．
2．直角三角形的两直角边的长分别为3，5，第三边长为（　　）
A．4
B．
C．4或
D．4和
【分析】根据勾股定理，已知直角三角形的两条直角边就可以求出斜边．
【解答】解：∵直角三角形的两直角边的长分别为3，5，
∴由勾股定理得：
第三边的长＝．
故选：B．
3．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　）
A．统计思想
B．分类思想
C．数形结合思想
D．函数思想
【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C．
4．如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据勾股定理可以得到AB的长，然后由图可知AC＝AB﹣BC，然后代入数据计算即可．
【解答】解：设点A，B都在边长为1的正方形的格点上，
由图可得，AB＝＝2，
∵BC＝，
∴AC＝AB﹣BC＝2﹣＝，
故选：B．
5．△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的长度是（　　）
A．
B．
C．3
D．或
【分析】先分析得出AC为斜边，AB为直角边，所以BC用勾股定理可求．
【解答】解：∵∠B是直角，故AC为△ABC的斜边，AB为直角边，
∴BC＝＝＝．
故选：A．
二．填空题
6．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝　13　．
【分析】与勾股定理求出斜边即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，
∴，
故答案为：13．
7．图中A代表的是所在的正方形的面积，则A的值是
　225　．
【分析】根据勾股定理可直接求解．
【解答】解：A所在正方形的面积为172﹣82＝225，
故答案为225．
8．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，直线CD交AB于D且将△ABC平分为面积相同的两部分，线段CD长为　5　．
【分析】根据勾股定理求出斜边AB，在根据S△ACD＝S△BCD得出D是直角三角形斜边的中点，得出CD＝．
【解答】解：∵AB为Rt△ABC的斜边，△ACD和△BCD的高均为△ABC的高，并设为h，
∵S△ACD＝S△BCD，
∴AD×h＝BD×h，
∴AD＝BD，
∴D为AB的中点，CD为直角三角形斜边上的中线，
∴CD＝AB，
∵AB＝＝＝10，
∴CD＝5，
故答案为：5．
9．如图在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，则该四边形的面积是　　．
【分析】延长DA和CB交于O，求出∠O＝30°，根据含30度角的直角三角形性质求出OB和OD，根据勾股定理求出OA和OC，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：延长DA和CB交于O，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠DAB＝∠C＝∠OAB＝90°，
∵∠D＝60°，
∴∠O＝30°，
∵AB＝4，DC＝5，
∴OB＝2AB＝8，OD＝2DC＝10，
由勾股定理得：OA＝＝4，OC＝＝5，
∴四边形ABCD的面积是S△OCD﹣S△OAB＝×OC×CD﹣×OA×AB＝×5×5﹣×4×4＝．
故答案为．
10．如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为　　．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D由勾股定理可知：AB＝5，根据三角形等面积法S△ABC＝AB?CD＝AC×3＝3，即可求出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
由勾股定理可知：AB＝5，
∴S△ABC＝AB?CD＝AC×3＝3，
∴CD＝，
故答案为．
三．解答题
11．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．
【分析】根据勾股定理求出BC即可；根据勾股定理求出AD，求出AB即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△CDB中，
由勾股定理得：BC＝＝＝15，
在Rt△ADC中，
由勾股定理得：AD＝＝＝16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．
答：AB的长为25，BC的长为15．
12．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝8，BC＝5，DB＝3．
（1）求DC的长；
（2）求AB的长．
【分析】（1）在Rt△BCD中，根据勾股定理求出CD的长；
（2）在Rt△ACD中根据勾股定理求出AD的长，故可得出AB的长．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB于D，BC＝5，DB＝3，
∴在Rt△BCD中，CD2＝CB2﹣DB2＝52﹣32＝16，
∴CD＝4．
（2）在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝82﹣42＝48，
∴AD＝4，
∴AB＝AD+DB＝4+3．
13．如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD﹣DC＝1．求DC的长．
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，则∠AEB＝90°，DE＝CE，结合∠ABC＝45°可得出∠BAE＝45°，进而可得出AE＝BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理可求出BE的长，即BD+DC＝4，结合BD﹣DC＝1可求出DC的长．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示．
∵AD＝AC，AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，DE＝CE．
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝45°，
∴AE＝BE．
在Rt△ABE中，AB＝4，
∴AE2+BE2＝AB2，即BE2+BE2＝（4）2，
∴BE＝4，
∴BD+DC＝4．
又∵BD﹣DC＝1，
∴DC+1+DC＝4，
∴DC＝2．
14．已知直角三角形的两直角边长分别为（2+）和（2﹣）．
求这个直角三角形的斜边长．
【分析】根据勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别为（2+）和（2﹣），
∴斜边长＝＝．
15．规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.；（S1是△OA1A2的面积）；
；（S2是△OA2A3的面积）；
；（S3是△OA3A4的面积）；
…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn＝　　；
（2）推算出OA10＝　　；
（3）求出的值．
【分析】（1）利用S1，S2，S3的值和变化规律直接得出答案即可；
（2）结合（1）中规律即可求出OA102的值即可求出；
（3）根据（1）得出的规律直接代入数据，然后利用分母有理化计算即可得解．
【解答】解：（1）结合已知数据，可得：Sn＝；
故答案为：；
（2）∵；
；
；
……
∴OA102＝＝10；
∴OA10＝．
故答案为：．
（3）
＝+++
＝+++
＝2×（﹣+﹣+﹣）
＝2×
＝2﹣2．