广东省龙川一中2011-2012学年高一5月月考数学试题

一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）
1.若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
2.已知函数，下面结论错误的是（ ）
A. 函数的最小正周期为2 B. 函数在区间［0，］上是增函数
C.函数的图象关于直线＝0对称 D. 函数是奇函数
3.函数的部分图象
如图1所示，则（ ）
A. B.
C. D.
4．如图2，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，
则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.一空间几何体的三视图如图3所示, 该几何体的体积为，则正视图中x的值为
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
6.已知向量若与平行，则实数的值是（ ）
A．0 B．2 C．1 D．-2
7.四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
8. 将函数y=sinx的图象向左平移0 ＜2的单位后，得到函数y=sin的图象，则等于（ ）
A． B． C. D.
9．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　 　)
A．λ>1 B．λ<1 C．λ<－1 D．λ<－1或－1<λ<1
10. 已知函数为偶函数，它在上减函数，若，则x的取值范围是（ ）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11.的夹角为， ．
12. 已知方向上的投影为 。
13. 已知直线与圆相切，且与直线平行，则直线的方程是 .
14.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函y=f(x)的图像恰好经过k 个格点，则称函数y=f(x)为k阶格点函数．已知函数：①y=2sinx；②y=cos (x+)；③；④ ．其中为一阶格点函数的序号为　　　　（注：把你认为正确论断的序号都填上）
三、解答题（本题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分12分）已知函数(其中)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为.
(1)求的解析式;
(2)当,求的值域.
16. （本小题满分12分） 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图4.（）
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.
17．（本小题满分14分）
如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别
为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将
△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、
C两点重合于点P得一个三棱锥如图②示.
（1）求证：;
（2）求三棱锥的体积；
（3）求DE与平面PDF所成角的正弦值.
18. （本题满分14分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.
(Ⅰ)当时，求函数的表达式；
(Ⅱ)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）
19．（本题满分14分）已知圆，圆，动点到圆,上点的距离的最小值相等.
（1）求点的轨迹方程；
（2）点的轨迹上是否存在点，使得点到点的距离减去点到点的距离的差为，如果存在求出点坐标，如果不存在说明理由.
20.（本题满分14分） 设为实数，函数.(1)若，求的取值范围；(2)求的最小值；(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
龙川一中2011-2012学年第二学期高一年级5月月考
数学参考答案
一、DDACC BBADB
11. 7 12. 13. 或 14. ①③
15.解(1)由最低点为得A=2.
又,∴,于是;
16.解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班;
(2)
甲班的样本方差为
＝57
17．（1）证明：依题意知图①折前,∴,
∵ ∴平面又∵平面
∴
(2)解法1：依题意知图①中AE=CF= ∴PE= PF=，在△BEF中,
在中，
∴
∴．
【(2)解法2：依题意知图①中AE=CF= ∴PE= PF=，
在△BEF中,
取EF的中点M，连结PM
则,∴
∴
∴．
18.解：（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设
再由已知得，解得
故函数的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当时，为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当时，
所以，当时，在区间[20,200]上取得最大值.
综上，当时，在区间[0,200]上取得最大值.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.
（2）假设这样的点存在，设点
因为点到点的距离减去点到点的距离的差为4，
所以，
，
20.解： （1）若，则
（2）当时，
当时，
综上
（3）时，得，
当时，；
当时，△>0,得：
讨论得：当时，解集为;
当时，解集为;
当时，解集为.