1.1 探索勾股定理同步练习题2021-2022学年北师大版八年级数学上册（Word版含答案）

1.1
探索勾股定理
一、选择题
1．在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（　　）
A．AC2+BC2＝AB2
B．AB2+BC2＝AC2
C．AC2﹣BC2＝AB2
D．AC2+AB2＝BC2
2．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB，则CD等于（　　）
A．4.8
B．14
C．10
D．2.4
3．如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是（　　）
A．3.8米
B．3.9米
C．4米
D．4.4米
4．已知一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三边长的平方为（　　）
A．16
B．4或34
C．16或34
D．4或24
5．如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（　　）
A．10米
B．16米
C．15米
D．14米
6．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）
A．1米
B．米
C．2米
D．4米
7．下图是英国牧师佩里加尔证明勾股定理的“水车翼轮法”，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，互相垂直的线段MN，PQ将正方形BFHC分为面积相等的四部分，这四个部分和以AC为边的正方形恰好拼成一个以AB为边的正方形．若正方形ACDE的面积为5，△CQM的面积为1，则正方形CBFH的面积为（　　）
A．11
B．12
C．13
D．14
8．如图：长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（　　）
A．4.8cm
B．5cm
C．5.8cm
D．6cm
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（　　）
A．1
B．
C．
D．2
二、填空题
10．如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为　
　．
11．如图，某班级美术课代表在办黑板报时设计了一幅图案如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的面积为24cm2，在AB同侧分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为　
　cm2．
12．勾股定理是人类的伟大发现之一，我国古算术书《周髀算经》中早有记载．如图，若Rt△ABC的斜边AB＝10，两个正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2＝　
　．
三、解答题
13．在野外平地上，小李和小王同时出发，小李以每秒4米的速度从点C向正东方向移动到点B，小王以每秒3米的速度从点C向正南方向移动到点A，10秒后，两人相隔多远？
14．如图，货车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面支架AB落在地面A处，经过测量知A1C＝2m，求点B与地面的距离．
15．为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
16．有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．
17．阅读材料并解答问题：
我们已经知道，如图①完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．
（1）如图②是由以边长为a和b的正方形和几个全等的长方形所拼成的大长方形，请根据图中意思写出所表示的代数恒等式：　
　；
（2）如图③已知四个全等的直角三角形直角边分别为a、b，斜边为c，现将四个直角三角形拼凑成如图的正方形ABCD，且四边形EFGH也为正方形，请利用面积法推恒等式方法，推出直角三角形三边a、b、c的关系．
（3）应用（2）中结论：已知直角三角形ABC中，a2﹣b2＝28，a﹣b＝2，其中直角边为a、b，斜边为c，求三角形斜边c．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（　　）
A．AC2+BC2＝AB2
B．AB2+BC2＝AC2
C．AC2﹣BC2＝AB2
D．AC2+AB2＝BC2
【分析】根据在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，可以得到∠C的度数，然后根据勾股定理，即可判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，故选项A正确，选项B、C、D错误，
故选：A．
2．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB，则CD等于（　　）
A．4.8
B．14
C．10
D．2.4
【分析】根据勾股定理求出AB，利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AC?BC＝AB?CD，即6×8＝10×CD，
解得，CD＝4.8，
故选：A．
3．如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是（　　）
A．3.8米
B．3.9米
C．4米
D．4.4米
【分析】由于大门的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，故可利用勾股定理解答．
【解答】解：设这条木板的长度为x米，
由勾股定理得：x2＝1.52+3.62，解得x＝3.9米．
故选：B．
4．已知一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三边长的平方为（　　）
A．16
B．4或34
C．16或34
D．4或24
【分析】分5是斜边长、5的直角边长两种情况，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：当5是斜边长时，由勾股定理得：另一条直角边长的平方＝52﹣32＝16，
当5的直角边长时，斜边长的平方＝52+32＝34，
综上所述：第三边长的平方为16或34，
故选：C．
5．如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（　　）
A．10米
B．16米
C．15米
D．14米
【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【解答】解：由题意得BC＝6，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝＝10米．
所以大树的高度是10+6＝16米．
故选：B．
6．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）
A．1米
B．米
C．2米
D．4米
【分析】作CF⊥AB，根据勾股定理求得AF的长，可得BF的长度．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，
根据题意得：AB＝AC＝5，CF＝DE＝3，
由勾股定理可得AF2+CF2＝AC2，
∴AF＝，
∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
7．下图是英国牧师佩里加尔证明勾股定理的“水车翼轮法”，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，互相垂直的线段MN，PQ将正方形BFHC分为面积相等的四部分，这四个部分和以AC为边的正方形恰好拼成一个以AB为边的正方形．若正方形ACDE的面积为5，△CQM的面积为1，则正方形CBFH的面积为（　　）
A．11
B．12
C．13
D．14
【分析】观察图形可知，正方形PMQN的面积＝5+1×4＝9，再加上4个1可求正方形CBFH的面积．
【解答】解：连接PM，PN，NQ，在最大正方形中作出小正方形，
观察图形可知，正方形PMQN的面积＝作出小正方形的面积＝5+1×4＝9，
则正方形CBFH的面积9+1×4＝13．
故选：C．
8．如图：长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（　　）
A．4.8cm
B．5cm
C．5.8cm
D．6cm
【分析】在折叠的过程中，BE＝DE，从而设BE＝DE＝x，即可表示AE，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．
【解答】解：设DE＝xcm，则BE＝DE＝x，AE＝AB﹣BE＝10﹣x，
在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2，
即x2＝（10﹣x）2+16．
解得：x＝5.8．
故选：C．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（　　）
A．1
B．
C．
D．2
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，由EG⊥AB，CD⊥AB，可得EG∥CD，由平行线的性质可得∠GEB＝∠EFC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB的值；由HL判定Rt△EBC≌Rt△EBG，由全等三角形的性质可得∠CEB＝∠EFC及AG的值，进而可判定CF＝CE．设CF＝EG＝EC＝x，则AE＝3﹣x，在Rt△AEG中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即为CF的长．
【解答】解：过点E作EG⊥AB于点G，如图：
∵CD⊥AB于D，
∴EG∥CD，
∴∠GEB＝∠EFC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴EC⊥CB，
又∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，
∴EG＝EC．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5．
在Rt△EBC和Rt△EBG中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBG（HL），
∠CEB＝∠GEB，BG＝BC＝4，
∴∠CEB＝∠EFC，AG＝AB﹣BG＝5﹣4＝1，
∴CF＝CE．
设CF＝EG＝EC＝x，则AE＝3﹣x，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：
（3﹣x）2＝x2+12，
解得x＝
∴CF的长是．
故选：B．
二、填空题
10．如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为　3　．
【分析】根据题意求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：由图形可知，BC＝5，BC边上的高为3，
∴△ABC的面积＝×5×3＝，
由勾股定理得，AC＝＝5，
则×5×BD＝，
解得，BD＝3，
故答案为：3．
11．如图，某班级美术课代表在办黑板报时设计了一幅图案如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的面积为24cm2，在AB同侧分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为　24　cm2．
【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+AC2，根据圆的面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+AC2，
则阴影部分的面积＝π×（）2+π×（）2+S△ABC﹣π×（）2＝π×（BC2+AC2﹣AB2）+24＝24（cm2）
故答案为：24．
12．勾股定理是人类的伟大发现之一，我国古算术书《周髀算经》中早有记载．如图，若Rt△ABC的斜边AB＝10，两个正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2＝　100　．
【分析】由正方形的面积公式可知S1＝AC2，S2＝BC2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，由此求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，斜边AB＝10，
∴AC2+BC2＝AB2＝102＝100，
又由正方形面积公式得S1＝AC2，S2＝BC2，
∴S1+S2＝AC2+BC2＝100．
故答案为：100．
三、解答题
13．在野外平地上，小李和小王同时出发，小李以每秒4米的速度从点C向正东方向移动到点B，小王以每秒3米的速度从点C向正南方向移动到点A，10秒后，两人相隔多远？
【分析】根据题意得出BC，AC，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：根据题意，可得BC＝4×10＝40（米），AC＝3×10＝30（米），
由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝302+402＝502，
所以两人相隔50米．
14．如图，货车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面支架AB落在地面A处，经过测量知A1C＝2m，求点B与地面的距离．
【分析】设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，在Rt△A1BC中利用勾股定理列出方程22+x2＝（4﹣x）2即可求解．
【解答】解：由题意得，AB＝A1B，∠BCA＝90°，
设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，
在Rt△A1BC中，A1C2+BC2＝A1B2，
即：22+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝1.5，
答：弯折点B与地面的距离为1.5米．
15．为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，于是得到结论；
（2）根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．
【解答】解：（1）村庄能听到宣传；
理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，
∴村庄能听到宣传；
（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，
∴BP＝BQ＝米，
∴PQ＝1600米，
∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟，
∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
16．有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．
【分析】过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出OE的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案．
【解答】解：如图，M，N为卡车的宽度，
过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
CD＝MN＝1.6米，AB＝2米，
由作法得，CE＝DE＝0.8米，
又∵OC＝OA＝1米，
在Rt△OCE中，OE＝≈0.6（米），
∴CM＝2.3+0.6＝2.9＞2.5．
∴这辆卡车能通过．
17．阅读材料并解答问题：
我们已经知道，如图①完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．
（1）如图②是由以边长为a和b的正方形和几个全等的长方形所拼成的大长方形，请根据图中意思写出所表示的代数恒等式：　（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2　；
（2）如图③已知四个全等的直角三角形直角边分别为a、b，斜边为c，现将四个直角三角形拼凑成如图的正方形ABCD，且四边形EFGH也为正方形，请利用面积法推恒等式方法，推出直角三角形三边a、b、c的关系．
（3）应用（2）中结论：已知直角三角形ABC中，a2﹣b2＝28，a﹣b＝2，其中直角边为a、b，斜边为c，求三角形斜边c．
【分析】（1）利用长方形的面积的两种求法，列出等式即可解决问题；
（2）利用正方形的面积的两种求法，列出等式即可解决问题；
（3）求出a、b的值即可解决问题；
【解答】解：（1）因为长方形面积＝（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为＝2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；
（2）因为正方形的面积＝c2＝4×ab+（b﹣a）2＝a2+b2，
所以直角三角形的三边关系为：a2+b2＝c2．
（3）∵a2﹣b2＝28，a﹣b＝2，
∴a+b＝14，
∴a＝8，b＝6，
∴c2＝82+62＝100，
∵c＞0，
∴c＝10．