1.1.2 验证勾股定理及简单应用同步练习题 2021-2022学年北师大版八年级数学上册（Word版 含答案）

1.1.2
验证勾股定理及简单应用
一、选择题（共8小题，4
8＝32）
1．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（　　）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB
D．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
2．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（　　）
A．0.7米
B．0.8米
C．0.9米
D．1.0米
4．如图，要建一个一面靠墙的西红柿大棚，棚宽a＝4m，墙高b＝3m，棚长d＝12m，则覆盖在顶上的塑料薄膜需要的面积至少应为（　　）
A．36m2
B．48m2
C．60m2
D．84m2
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（　　）
A．3
B．3.5
C．2.5
D．2.8
6．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2﹣6＝（10﹣x）2
B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2
D．x2+62＝（10﹣x）2
7．一个圆柱形笔筒底面半径为5cm，高24cm，则笔筒内所能容下最长的笔为（　　）
A．20cm
B．24cm
C．26cm
D．30cm
8．如图所示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A，B，C，D表示的是公路上的四辆车，若OC＝6m，AC＝10m，AB＝12m，BD＝25m，则C，D两辆车之间的距离为（　　）
A．9m
B．10m
C．12m
D．15m
二．填空题（共6小题，4
6＝24）
9．如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了　
　步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
10．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是　
　米．
11．如图，某人从点A出发，想垂直横渡到河对岸的B点，由于水流的影响，他实际上岸的地点C偏离了想要到达的B点140米（即BC＝140米），其结果是他在水中实际游了500米（即AC＝500米），则该河流AB处的宽度是
　
　米．
12．如图，一扇卷闸门用一块宽18cm，长80cm的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起　
　cm高．
13．直角三角形的一条直角边是另一条直角边的，斜边长为10，它的面积为
　
　．
14．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为　
　m．
三．解答题（共5小题，44分）
15．（6分）用四个图1所示的直角三角形可以拼成一个如图2所示的正方形，请你用这个图形验证勾股定理．
16．（8分）甲、乙两位探险者到沙漠进行探险．某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h的速度向东行走．1h后乙出发，他以5km/h的速度向北行进．上午10：00时，甲、乙两人相距有多远？
17．（8分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），求AB的长．
18．（10分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，顶端距离地面的高度AC为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面的高度A′D为2米，求小巷的宽度．
19．（12分）在四边形ABCD中，已知AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形的周长为32，
（1）连接BD，试判断△ABD的形状；
（2）求BC的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，4
8＝32）
1．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（　　）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB
D．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．
【解答】解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
可知ab+c2+ab＝（a+b）2，
∴c2+2ab＝a2+2ab+b2，整理得a2+b2＝c2，
∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
故选：D．
2．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．
【解答】解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：
故选：B．
3．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（　　）
A．0.7米
B．0.8米
C．0.9米
D．1.0米
【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．
【解答】解：梯脚与墙角距离：＝0.7（米）．
故选：A．
4．如图，要建一个一面靠墙的西红柿大棚，棚宽a＝4m，墙高b＝3m，棚长d＝12m，则覆盖在顶上的塑料薄膜需要的面积至少应为（　　）
A．36m2
B．48m2
C．60m2
D．84m2
【分析】因为b为高，所以△ABC是直角三角形，先根据勾股定理求出AB的长，再根据矩形的面积公式即可求出矩形ABDE的面积，即盖在顶上的塑料薄膜的面积．
【解答】解：∵b⊥a，
∴△ABC是直角三角形，则AB＝＝5（m），
∴S矩形ABDE＝AB?d＝5×12＝60（m2），
故选：C．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（　　）
A．3
B．3.5
C．2.5
D．2.8
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE＝CE，设CE＝x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，
在Rt△CDE中，CE2＝CD2+ED2，
即x2＝22+（4﹣x）2，
解得x＝2.5，
即CE的长为2.5．
故选：C．
6．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2﹣6＝（10﹣x）2
B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2
D．x2+62＝（10﹣x）2
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10﹣x，BC＝6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2．
故选：D．
7．一个圆柱形笔筒底面半径为5cm，高24cm，则笔筒内所能容下最长的笔为（　　）
A．20cm
B．24cm
C．26cm
D．30cm
【分析】桶内容下的木棒最长时，木棒、圆桶的直径、桶高三者正好构成一个直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，CB是桶高，
∴AC＝2×5＝10（cm），CB＝24cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
AB＝＝＝26（cm）．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为26cm．
故选：C．
8．如图所示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A，B，C，D表示的是公路上的四辆车，若OC＝6m，AC＝10m，AB＝12m，BD＝25m，则C，D两辆车之间的距离为（　　）
A．9m
B．10m
C．12m
D．15m
【分析】在Rt△AOC中根据勾股定理求出OA的长，进而可得OB，在Rt△BOD中根据勾股定理可得OD的长，可得答案．
【解答】解：在Rt△AOC中，∵OA2+OC2＝AC2，
∴OA＝（m），
∴OB＝OA+AB＝20m，
在Rt△BOD中，∵BD2＝OB2+OD2，
∴OD＝（m），
∴CD＝OD﹣OC＝9m，
故选：A．
二．填空题（共6小题，4
6＝24）
9．如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了　4　步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
【分析】本题关键是求出路长，即三角形的斜边长．求两直角边的和与斜边的差．
【解答】解：根据勾股定理可得斜边长是＝5m．
则少走的距离是3+4﹣5＝2m，
∵2步为1米，
∴少走了4步，
故答案为：4．
10．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是　18　米．
【分析】运用勾股定理可将三角形的直角边求出，将两个直角边进行相加即为两个固定点之间的距离．
【解答】解：∵电线杆高为12m，铁丝长15m，
∴固定点与电线杆的距离＝＝9m，
∵两个直角三角形全等，
∴两个固定点之间的距离＝9×2＝18m．
11．如图，某人从点A出发，想垂直横渡到河对岸的B点，由于水流的影响，他实际上岸的地点C偏离了想要到达的B点140米（即BC＝140米），其结果是他在水中实际游了500米（即AC＝500米），则该河流AB处的宽度是
　480　米．
【分析】把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，AC＝500米，BC＝140米，
所以AB＝＝＝480（米）．
答：该河流AB处的宽度为480米．
故答案为：480．
12．如图，一扇卷闸门用一块宽18cm，长80cm的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起　82　cm高．
【分析】将长方形木板的对角线可将卷闸门撑起的最高，可用勾股定理将长方形的对角线的距离求出．
【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，对角线的长度为c，
∵a＝80cm，b＝18cm，
∴c＝＝＝82cm．
故最多可将这扇卷闸门撑起82cm．
13．直角三角形的一条直角边是另一条直角边的，斜边长为10，它的面积为
　15　．
【分析】设一条直角边的长为x，则另一直角边为3x，根据勾股定理即可求出x．由三角形的面积公式可得出答案．
【解答】解：设一条直角边的长为x，则另一直角边为3x，
∵斜边长为10，
∴x2+（3x）2＝102，
∴x＝，
∴两直角边为，3，
∴直角三角形的面积为×＝15．
故答案为15．
14．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为　12　m．
【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
【解答】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m．
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴x2+52＝（x+1）2，
解得x＝12，
∴AB＝12．
∴旗杆的高12m．
故答案是：12．
三．解答题（共5小题，44分）
15．（6分）用四个图1所示的直角三角形可以拼成一个如图2所示的正方形，请你用这个图形验证勾股定理．
【分析】勾股定理的证明可以通过图形的面积之间的关系来完成．
【解答】证明：∵大正方形的面积表示为（a+b）2，大正方形的面积也可表示为c2+4×ab
∴（a+b）2＝c2+4×ab，a2+b2+2ab＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
16．（8分）甲、乙两位探险者到沙漠进行探险．某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h的速度向东行走．1h后乙出发，他以5km/h的速度向北行进．上午10：00时，甲、乙两人相距有多远？
【分析】甲、乙行走的路线夹角为90°，根据速度和时间可以求得甲、乙行走的路程，在直角三角形中已知两直角边，根据勾股定理可以计算斜边的长．
【解答】解：甲、乙行走的路线夹角为90°，
则△ABC为直角三角形，∵早晨8：00甲先出发，
上午10：00时，甲行走的时间为：10﹣8＝2小时，
∴AB＝6×（10﹣8）km＝12km，
∵1h后乙出发，乙行走的时间为：10﹣9＝1小时，
∴AC＝5×（10﹣9）km＝5km，
在Rt△ABC中，BC为斜边，
则BC＝＝13km，
答：上午10点，甲、乙两人相距13km．
17．（8分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），求AB的长．
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图所示，
由题意得OA＝OB＝AD＝BC，DE＝1尺＝10寸，OE＝CD＝1寸，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r寸，AE＝（r﹣1）寸．
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
即（r﹣1）2+102＝r2，
解得r＝50.5．
所以2r＝101，
所以AB＝101寸．
18．（10分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，顶端距离地面的高度AC为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面的高度A′D为2米，求小巷的宽度．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B′2，
∴BD2+22＝6.25，
∴BD2＝2.25．
∵BD＞0，
∴BD＝1.5米．
∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2米．
答：小巷的宽度CD为2.2米．
19．（12分）在四边形ABCD中，已知AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形的周长为32，
（1）连接BD，试判断△ABD的形状；
（2）求BC的长．
【分析】（1）直接利用等边三角形的判定方法分析得出答案；
（2）利用勾股定理求出BC的长．
【解答】解：（1）如图，∵AB＝AD＝8，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形；
（2）∵∠BDC＝150°﹣60°＝90°，
∴设BC＝x，
由勾股定理可知：x2＝（16﹣x）2+82，
解得：x＝10，
∴BC＝10．