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北师大版数学九年级
精品教学课件
九年级数学(下)第三章 圆
3.2 圆的对称性(1)
-----垂径定理
巧手剪一剪
将圆沿着圆心O对折，然后沿着圆的一半轮廓线剪下。
这说明了什么？
●O
展开后是一个完整的圆吗？
圆是轴对称图形
它的对称轴是什么
你能找到多少条对称轴？
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
●O
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦
(如弦AB).
●O
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
AB
⌒
以A,B两点为端点的弧.记作 ,读作“弧AB”.
AB
⌒
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母).
⌒
ADB
大于半圆的弧叫做优弧,如记作 (用三个字母).
A
B
C
认识圆
1.将刚才折出的直径记为CD。
2.你能折一条与直径CD垂直的弦吗？
3.将弦记为AB，将垂足记为M，
则有AB⊥CD于M。
4.你能发现图中有哪些等量关系？请你说说它们相等的理由。
●O
C
D
A
B
M└
AM=BM，AC=BC，AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
巧手折一折
连接OA,OB,
●O
A
B
C
D
M└
则OA=OB.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
∵CD⊥AB于M
证明：
已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于M，
求证：AM=BM， AC =BC, AD =BD
⌒
⌒
⌒
⌒
垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
老师提示:
垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
条件
①一条直径
②垂直于弦
③直径平分弦
④平分弦所对的弧
结论
例1
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ，点O是 的圆心)，其中CD=600m,
C
D
E
F
O
CD
CD
CD
E为 上一点，且OE⊥CD ，垂足为F，EF=90m,求这段弯路的半径。
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（ ）
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，则CD= .
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 .
●O
C
D
A
B
M└
C
A、AC=AD B、BC=BD
C、AM=OM D、CM=DM
⌒
⌒
⌒
⌒
8
13
注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。
6.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD
.
A
C
D
B
O
E
5.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，则O到AB的距离是= ，∠OAB的余弦值= 。
O
A
B
P
0.6
24mm
注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．
在⊙O内任取一点M,请你折出一条弦AB，使AB经过点M，并且AM=BM.
●O
●M
你能说说这样找的理由？
巧手再来做一做
挑战自我
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相等吗
●O
A
B
C
D
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
E
F
└
└
M
N
课堂小结
1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或经过圆心的每一条直线。
2、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦弦所对的两条弧。
CD平分弧ADB
CD平分弦AB
CD平分弧ACB
CD过圆心
CD⊥AB
C
D
B
A
O
3、在⊙ O中，若⊙ O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，
任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：
注意:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
.
C
D
A
B
O
M
N
E
.
A
C
D
B
O
.
A
B
O
如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
·
A
B
C
D
0
E
F
G
H
思考题
.
A
O
B
E
C
D
F
思考题
已知：AB是⊙O直径，CD是弦，
AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF登陆21世纪教育 助您教考全无忧
初三（下）第三章第二节 圆的对称性
第一课时 前置作业
一、自学课本P96—P100 的内容；（多学两遍，有点难噢！）
二、完成课本P100—P102 的题目；
三、完成《北大绿卡》P50—P51 的第1—8题（第5、7题除外）
四、归纳总结本节知识点在下面的表格中：
本节重点 相关图形 符号语言或文字表达 有补充或提醒大家的写在这里吧
圆的对称性
与圆有关的几个概念
由轴对称性得到的几条性质（自己想清楚为什么，可以不写理由）
想推荐好题，写在这里吧！
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