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北师大版数学九年级
精品教学课件
九年级数学(下)第三章 圆
2. 圆对称性(1)垂径定理
圆的轴对称性
圆是轴对称图形.
驶向胜利的彼岸
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,
它有无数条对称轴.
驶向胜利的彼岸
●O
A
B
C
D
M└
1.整个图形是轴对称图形吗？
2.对称轴是什么？
3.图中有哪些等量关系？
想一想：
如图,办法是:
连接OA,OB,
驶向胜利的彼岸
●O
A
B
C
D
M└
则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于直线CD对称.
∵⊙O关于直线CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
探究：
垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
想一想 P90
6
驶向胜利的彼岸
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径, AB是弦
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
●O
●O
●O
●O
A
C
D
M
M└
M└
M└
C
C
C
D
D
D
A
A
A
B
B
B
B
图一
图二
图三
图四
.
o
A
B
C
D
M
└
解：∵AB是直径
AB⊥CD
∴CM=
CD=
×8=4
在Rt△OMC中：
OC2=OM2+CM2
∴OC=5
OC2=32+42
已知：AB是直径，且AB⊥CD，
垂足为M，弦CD=8,OM=3，
求OC的长？
在半径为10㎜的⊙O中，弦AB=16㎜，则O到AB的距离是
——————
O
A
B
P
6mm
垂径定理的应用
例1 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
●
O
C
D
E
F
┗
垂径定理的应用
例1 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接——.
●
O
C
D
E
F
┗
设弯路半径为Rm,则OF= —— m
∵ OE⊥CD
∴CF=
— =—（m）(____ 定理)
根据勾股定理：OC2=——+——
R2= ___ +____
解得R=545m
所以：弯路半径为545m
(R-90)
CD
300
垂径
OF2 CF2
3002
(R-90)2
OC
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
E
.
A
C
D
B
O
探究:
注意：解决有关弦的问题，
过圆心作弦的垂线，或作
垂直于弦的直径，也是一
种常用辅助线的添法．
圆的相关概念
圆上任意两点间的部分叫做____
驶向胜利的彼岸
连接圆上任意两点间的线段叫做____
●O
AB
⌒
小于半圆的弧叫做____,如记作
⌒
AmB
大于半圆的弧叫做____,如记作
A
B
C
m
D
弧
弦
劣弧
圆是轴对称图形
优弧
定理 直于弦的直 平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂
径
又叫___定理
垂径
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ __________
⌒
⌒
AC =BC,
_______
∴_______
CD是直径
AM=BM,
AM=BM,
P94:习题3.2 2题
驶向胜利的彼岸
