第二章平面向量及其应用综合测试2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册（Word含答案解析）

第二章综合测试
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.化简后等于（
）
A.
B.0
C.0
D.
2.已知向量，，，若，则实数m的值为（
）
A.
B.
C.
D.
3.三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则内角C等于（
）
A.
B.
C.
D.
4.在中，，，，则的面积为（
）
A.
B.1
C.
D.
5.已知向量，，，且，，则（
）
A.3
B.
C.
D.
6.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得，，米，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB=（
）
A.米
B.米
C.米
D.米
7.已知点P是的内心（三个内角平分线交点），外心（三条边的中垂线交点），重心（三条中线交点），垂心（三个高的交点）之一，且满足，则点P一定是的（
）
A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心
8.如图，在等腰直角中，D，E分别为斜边BC的三等分点（D靠近点B），过E作AD的垂线，垂足为F，则（
）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9.设，，是任意的非零向量，则下列结论正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
10.点P是所在平面内一点，满足，则的形状不可能是（
）
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
11.已知向量，，，若中A为钝角，则实数的值可以是（
）
A.1
B.
C.
D.
12.在中，内角A，B，C的对边分别为，，，则下列命题正确的是（
）
A.在中，若，则
B.在锐角中，不等式恒成立
C.在中，若，则必是等腰直角三角形
D.在中，若，，则必是等边三角形
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设向量，，则在上的投影为________.
14.已知向量a，b满足，，，则与夹角的大小是________.
15.如图，在直角梯形ABCD中，，，，E为AD的中点，若，则________，________.（本题第一空2分，第二空3分）
16.在中，角A，B，C的对边分别为，，，已知，，角A的平分线交边BC于点D，其中，则________.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知两个非零向量与不共线，，，.
（1）若，求的值；
（2）若A，B，C三点共线，求的值.
18.已知向量，，，.
（1）求的最小值及相应的值；
（2）若与c共线，求实数.
19.如图所示，在中，已知，D是BC边上的一点，，，.
（1）求的大小；
（2）求AB的长.
20.在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
已知的内角A，B，C的对边分别为，，________，，，求的面积.（已知）
21.已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P，连接AP，用向量法证明：
（1）；
（2）.
22.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为，，，向量，，且.
（1）求角A；
（2）若，且的面积为，求AC边上的中线BM的大小.
第二章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】D
【解析】.
2.【答案】C
【解析】因为，又，所以，.
3.【答案】B
【解析】由得，即，，又，.
4.【答案】C
【解析】，
，
，
，
，
.
5.【答案】B
【解析】，，
，
即，
，
.
6.【答案】D
【解析】因为，，所以，在中，根据正弦定理可知，即，解得（米），
因为在中，，所以（米）.
7.【答案】B
【解析】设BC的中点为M，，
，
，
，
，即，
即，点P与BC的中点连线与BC垂直，即点P一定是的外心.
8.【答案】D
【解析】设，则，，
，
，
所以，所以，
因为
所以.
二、
9.【答案】CD
【解析】，A中结论错误；向量的数量积不满足结合律，B中结论错误；当，与的夹角为，即，C中结论正确；D中结论正确.
10.【答案】ACD
【解析】P是所在平面内一点，且，
，
即，即，
两边平方化简得，
，
则一定是直角三角形.
11.【答案】CD
【解析】由已知，
所以，
因为A为钝角，
所以，
所以，
所以，解得，
即实数应满足的条件.
12.【答案】ABD
【解析】对于A，在中，由正弦定理可得，所以，故A正确；对于B，在锐角中，A，，且，则，
所以，故B正确；对于C，在中，由，利用正弦定理可得，得到或，故或，即是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在中，若，，由余弦定理可得，，所以，即，解得，又，所以必是等边三角形，故D正确，故选ABD.
三、
13.【答案】2
【解析】，
向量在方向的投影为.
14.【答案】
【解析】，
，
，
，
，
又，
故与的夹角为.
15.【答案】或
【解析】以D为原点，DC边所在直线为轴，DA边所在直线为轴建立平面直角坐标系，不妨设则D（0,0），C（2,0），A（0,2），B（1,2），E（0,1），，
，，
，解得.
16.【答案】
【解析】由余弦定理可得：，
，
又，
，，
，解得：，
.
四、
17.【答案】（1），，
（2）由题意知，，
A，B，C三点共线，设，即，
，解得.
18.【答案】（1），
，
，
当且仅当时取等号，即的最小值为.
（2），
又与共线，，
，解得.
19.【答案】（1）在中，，，，
由余弦定理得，
又，.
（2）由（1）知，
在中，，，，
由正弦定理，得，
.
20.【答案】若选择①，
由余弦定理，
因为，所以，
由正弦定理，
得，
因为，所以，
所以，
若选择②，
则，
因为，所以，
因为，所以，
由正弦定理，
得，
因为，
所以，
所以，
若选择③，
则，所以，
因为，所以，
所以，所以，
由正弦定理，
得，
因为，
所以，
.
21.【答案】如图，建立平面直角坐标系，其中A为原点，不妨设，
则A（0，0），B（2，0），C（2，2），E（1，2），F（0，1），
（1）
，即，
（2）设，则，，
由（1）知，，
，，即，
同理，由，得，
，解得，即，
，
，即.
22.【答案】（1）因为，，，所以，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
因为，
所以.
（2）因为的面积为，
所以，
因为，所以，
在中，由余弦定理得，
所以.