浙江省宁波市八校2011-2012学年高一下学期期末联考数学

宁波市 八校联考高一期末数学试卷
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．过点且平行于直线的直线方程为(　　).
A． B．
C． D．
2．若正实数满足，则(　　).
A.有最大值 B．有最小值
C.有最大值 D．有最小值
3. 直线的倾斜角是（ ）.
A. B. C. D .
4. 设是等差数列的前n项和，,则的值为 （ ）.
A． B． C． D．
5. 如图，为△的外心，为钝角，
是边的中点，则的值 ( ).
A. 4 B. 5
C. 7 D. 6
6. 连掷两次骰子得到的点数分别为和， 记向量，的夹角为，则的概率（ ）.
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意，
连接原点与点，用表示线段上除端点外的整点个数，
则=(　　).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知点在直线上，点在直线上，中点为，且，则的取值范围为（ ）.
A. B. C. D.
9. 在中，若角成公差大于零的等差数列，则的最大值
为(　　).
A. B. C.2 D.不存在
10. 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，,则动点的轨迹一定通过的（ ）.
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题卷的相应位置）
11. 已知，则的值为 ▲ ．21世纪教育网
12. 在中，内角的对边分别为，若，，
则 ▲
13. 过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是 ▲ .
14. 已知数列是非零等差数列，又组成一个等比数列的前三项，则的值是 ▲ .
15. 设，若，，则的最大值为 ▲ ．
16. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为、、，如果
是围成的区域(含边界)上的点，那么当取到最大值时，点的坐标
是 ▲ .
17. 把已知正整数表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，4，1）为12的相同等差分拆．问正整数30的不同等差分拆有 ▲ 个.
三、解答题（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.（14分）的三个内角所对的边分别为，向量，，且．
（1）求的大小；
（2）现在给出下列三个条件：①；②；③，
试从中选择两个条件以确定，求出所确定的的面积．
19. （14分）已知数列是首项的等比数列，其前项和中，，成等差数列，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若，求证：．
20. （14分）在中，角所对的边分别为，向量 ，．已知 ．
（1）若，求角A的大小；
（2）若，求的取值范围．
21. （15分）已知函数(）是奇函数，有最大值
且.
（1）求函数的解析式；
（2）是否存在直线与的图象交于P、Q两点，并且使得、两点关于点 对称，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.
22. （15分）已知数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；21世纪教育网
(2)证明：对于一切正整数，有.
宁波市 八校联考高一期末数学试卷答案
一．选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D A B C C C D B
二．填空题：
11、 12、 13、 或 14、 1或 15、. 4 16、
17、 19
三．解答题：
18.解：(1)因为，所以……………2分
即：，所以…………4分
因为，所以
所以……………………21世纪教育网…………7分
(2)方案一:选择①②，可确定，
因为
由余弦定理，得：
整理得：……………10分
所以……………………14分
方案二:选择①③，可确定，
因为
又
由正弦定理……………10分
所以……………14分
（注意;选择②③不能确定三角形）
19. 解：（1）若，则显然，，不构成等差数列．--2分
　　　∴，　　当时，由，，成等差数列得
∴ ，
∵　　　　∴ ---------------------------------------------5分
∴ ---------------------21世纪教育网-----------------6分
（2）∵
∴------------------------------------8分
∴＝
＝-----------------11分
，是递增数列．
． ---------------------------------14分
20. 解：（1）由，得
即 ，
即 或（舍去），
所以 ------------------------------------------------------------- 7分
（2）由，得 ，
即 ，
即 或 （舍去），-----------------------9分
又
。------------21世纪教育网----------------11分
综上，需要满足，得 。--------------------------14分
21. 解（1）∵f(x)是奇函数，
∴f(–x)=－f(x)，即，∴－bx+c=－bx–c，∴c=0，------------2分
∴f(x)=.由a＞0，， 当x≤0时，f(x)≤0，
当x＞0时，f(x)＞0，∴f(x)的最大值在x＞0时取得.
∴x＞0时，当且仅当
即时，f(x)有最大值∴=1,∴a=b2 ①
又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2 ②
把①代入②得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,a=1,------------4分
∴f(x)= -------------------------------------------------------7分
（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，
P(x0,y0)则Q（2–x0,–y0)，∴,消去y0，得x02–2x0–1=0----------9分
解之，得x0=1±,∴P点坐标为()或()，
进而相应Q点坐标为Q（）或Q()，-------------11分
过P、Q的直线l的方程：x－4y－1=0即为所求。---------------------------15分
22. 解：（1）， 令
- ------------------------------------------------------2分
（ⅰ）当时， -------------------------- 4分
（ⅱ）当时，,
数列为等比数列，所以，
---------------------------- 8分
（2）证明: （ⅰ）当时，--------------10分
（ⅱ）当时，
即;
所以：对于一切正整数，有.-----21世纪教育网------------------15分
2011学年
第二学期
第5题图
2011学年
第二学期