第四章 对数运算和对数函数 能力提升——2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册单元测试卷（含答案）

第四章
对数运算和对数函数
能力提升__2021-2022学年高一数学北师大版（2019）必修第一册单元测试卷
【满分：100分】
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.物价上涨是当前的热门话题，特别是菜价，我国某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断最可能的函数模型是(
)
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
3.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程关于时间的函数关系是，，，，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(
)
A.
B.
C.
D.
4.设,则a,b,c大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
5.若,则x的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
6.天文学中为了衡量天体的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(
Hipparchus,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,天体就越亮;星等的数值越大,天体就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森(M.R.
Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述,两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍,则r的近似值为(当较小时,)(
)
A.
B.
C.
D.
7.已知实数分别满足,那么（
）
A.
B.
C.
D.
8.已知，则(
)
A.
B.
C.
D.
9.若，则(
)
A.
B.
C.
D.
10.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是(
)(参考数据:)
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11.计算：________________.
12.求值：_________.
13.函数与函数在区间上增长较快的一个是
.
14.若实数满足，且，则的最小值为______．
15._____.
三、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.
（10分）己知,当点在函数的图象上时,点在函数的图象上.
1.写出的解析式;
2.求方程的根.
17.
（15分）对于函数.
(1)若函数在上有意义,求a的取值范围;
(2)若函数在上是增函数,求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由运输效率（单位时间的运输量）逐步提高知，函数增长的速度越来越快,故函数的图象应一直是下凸的，故选B.
2.答案：A
解析：自变量x每增加1，函数值y增加2，函数值的增量是均匀的,故为线性函数，即最可能的函数模型是一次函数模型.
3.答案：D
解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D.
4.答案：A
解析：若函数，则,当时，，则在上单调递增.
，即，即.故选A.
5.答案：A
解析：因为，所以.
6.答案：B
解析：本题考查对数式与指数式的互化以及对数运算.设“心宿二”和天津四”的亮度分别为.由题意得，，所以，所以，所以与r最接近的是，故选B.
7.答案：A
解析：因为，所以
就是，在同一个坐标系内画函数的图象，可知，选A.
8.答案：D
解析：本题考查指数式、对数式比较大小.因为，所以，故选D.
9.答案：A
解析：易知，所以，又，所以.故选A.
10.答案：D
解析：设,取对数,,所以,即与最接近的是,故选D.
11.答案：2
解析：
故答案为：2.
12.答案：1
解析：由对数运算,化简可得
故答案为:1
13.答案：
解析：当x变大时，x比增长要快，所以要比增长的要快.
答案：.
14.答案：4
解析：因为，所以当且仅当时，即取等号，因此的最小值为4.
15.答案：
解析：.
16.答案：1.依题意,得,
则
故.
2.由,
得,
∴
解得或.
所以方程的根为.
解析：
17.答案：(1)函数在上有意义,
则对于恒成立,
因此保证在上的图像位于x轴上方,
所以或,即或,
解得或.
即.故a的取值范围是.
(2)令,则.
由复合函数的单调性可知,
函数在上是增函数在上是减函数,
且,对恒成立,
得,解得.故a的取值范围是.