第四章对数运算与对数函数单元检测A卷（基础篇）--2021-2022学年高一上学期北师大版（2019）数学必修（第一册）（Word含答案解析）

第四章对数运算与对数函数单元检测A卷（基础篇）
一、单选题
1．函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
2．函数的图象过定点（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．设，，则（
）
A．且
B．且
C．且
D．且
5．下列运算中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．若a＞0且a≠1，则“MN＞0”是“"的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知，，，则三者的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
8．下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数，则的增区间为（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数是上的偶函数，若对于，都有.且当时，，则的值为（
）
A．
B．
C．1
D．2
11．函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知关于的方程的两个实数根分别是、，若，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．若，，则的值为__________.
14．计算：______
15．设函数是定义在R上的函数，且，则的值为______．
16．已知函数是偶函数，它在上是减函数，若满足，则的取值范围是___________.
三、解答题
17．（1）已知，，试用，表示.
（2）求值.
18．20世纪30年代，里克特()制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，这里是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).
（1）若一次地震中，一个距离震中的测震仪记录的地震最大振幅是，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级(精确到0.1)；
（2）计算里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的多少倍？(附：)
19．（1）求使不等式成立的的集合．
（2）已知，求的值．
20．已知函数；
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数的单调性；
（3）若，求实数的取值范围.
21．已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1．
（1）求的值；
（2）解不等式．
22．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数，若关于的方程在有解，求的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】
由题知：，解得且.
所以函数定义域为.
故选：B
2．C
【分析】
利用真数为可求得定点的坐标.
【详解】
对于函数，令，可得，则，
因此，函数的图象过定点.
故选：C.
3．D
【分析】
将对数式化成指数式即可求解.
【详解】
由可得，
故选：D.
4．B
【分析】
根据对数的运算公式得出a的取值范围，根据对数函数的性质可得b的取值范围，进而得出结果.
【详解】
∵，，∴且.
故选：B
5．B
【分析】
分别利用根式与指数幂的互化以及指数幂的运算律可判断选项A、B，利用对数的运算及性质进行判断B、D.
【详解】
对于A，所以，故A错；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错；
对于D，，故D错.
故选：B.
6．B
【分析】
根据对数中真数必须是正数，而只需同号即可，结合充分性和必要性的定义即可判断。
【详解】
因为，故当时，没有意义，故充分性不满足；
当成立时，显然，此时一定有，必要性满足。
综上所述，“MN＞0”是“"的必要不充分条件。
故选：B.
7．D
【分析】
利用“分段法”判断出三者的大小关系.
【详解】
，
，
，
所以.
故选：D
8．C
【分析】
求出函数的定义域和值域，从定义域角度对各选项分析并排除，再验证剩余选项的值域即得.
【详解】
函数中，，即或，即定义域为，
此时，，于是得值域为，
对于A，B，D，函数，，的定义域均为，则选项A，B，D都不满足；
对于C，函数中，，于是得其定义域为，相符，而值域为，也相符，
所以定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是，即C选项满足.
故选：C
9．D
【分析】
先求出函数的定义域，再换元，令，则，然后求出的单调区间，再由“同增异减”的判断方法可求出的增区间
【详解】
由，得，得，
所以函数的定义域为，
令（），则，
因为在上递增，在递减，在上递增，
所以的增区间为，
故选：D
10．C
【分析】
由可得函数的周期为2，再结合函数为偶函数可得，然后由已知的解析式可求得答案
【详解】
∵函数是上的偶函数，
∴，
又∵对于都有，
∴，∵当时，，
∴
，
故选：C.
11．A
【分析】
根据奇偶函数的定义和依次排除选项即可.
【详解】
由题知，函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以函数是偶函数，其函数图象关于轴对称，故排除选项C，D；又，故排除选项B.
故选：A.
12．D
【分析】
利用韦达定理结合对数的运算性质可求得的值，再由可求得实数的取值范围.
【详解】
由题意，知，因为，所以.
又有两个实根、，所以，解得.
故选：D.
13．18
【分析】
根据指数式与对数式的互化，以及指数幂的运算性质即可求出．
【详解】
因为，，所以，即．
故答案为：18．
14．
【分析】
利用对数的运算性质即可求解.
【详解】
原式.
故答案为：
15．2
【分析】
根据自变量的值选择对应的解析式即可求出．
【详解】
．
故答案为：2．
16．
【分析】
由偶函数的性质可得，再由函数在上是减函数，可得，从而可求出的取值范围
【详解】
因为函数是偶函数，所以可化为，
因为函数在上是减函数，
所以，所以或，
解得或，
所以的取值范围是，
故答案为：
17．（1）；（2）-1.
【分析】
（1）利用指数和对数的互化,利用换底公式、对数性质、运算法则直接求解.
（2）利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解.
【详解】
（1），，
，
.
（2）
18．（1）4.6级；（2）100倍.
【分析】
（1）根据，,计算即可得出结果；
（2）由，化简计算求得即可得出结果.
【详解】
（1）由题设可知：
因此，该次地震的震级约为里氏4.6级.
（2）设里氏8级和里氏6级地震的最大振幅分别为，.
由题设可得：
∴
因此，里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的100倍.
19．（1）；（2）5.
【分析】
（1）根据对数函数的单调性进行求解即可；
（2）根据对数式的意义进行求解即可.
【详解】
（1）解：将不等式变形为．
∵函数在定义域上是增函数，∴，故使得不等式成立的的集合为．
（2）由已知等式，得．解得，．
为使对数和均有意义，需要且，
∴不合题意，舍去，即．
20．（1）奇函数；（2）单调增区间为，；（3）或
【分析】
（1）求出，比较与的关系即可得出奇偶性；
（2），则，利用复合函数的单调性判断；
（3）利用函数单调性解不等式即可．
【详解】
解：（1）由得，或，
又，
故函数是奇函数；
（2）令，其在上单调递增，
又在上单调递增，
根据复合函数的单调性可知在上单调递增，
又根据（1）其为奇函数可得在上单调递增，
所以函数的单调增区间为，；
（3），且函数在上单调递增得，
解得或．
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据对数的运算性质，结合对数函数的单调性进行求解即可；
（2）根据对数函数的单调性，结合对数的定义进行求解即可.
【详解】
（1），
所以在上为增函数，因为函数在区间上的最大值与最小值之差为1．
所以；
（2）因为函数是正实数集上的减函数，
所以有：，解得．
∴所求不等式的解集为．
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）由可得，从而可求出不等式的解集，
（2）由，得，再由可得的范围，从而可求出的取值范围
【详解】
（1）原不等式可化为，即，
所以原不等式的解集为
（2）由，
∴，
当时，，，
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