3.计数原理与二项式定理 教案 2022届高三数学一轮复习备考（Word无答案）
文档属性
| 名称 | 3.计数原理与二项式定理 教案 2022届高三数学一轮复习备考（Word无答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 122.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-25 20:02:29 | ||
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文档简介
3.1
分类加法与分步乘法计数原理
【知识点】
1.分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的办法，用第1类办法完成这件事有m1种不同的方法，用第2类办法完成这件事有m2种不同的方法，……，用第n类办法完成这件事有mn种不同的方法，则完成这件事情共有不同的方法数为N＝ .
2.分步乘法计数原理
完成一件事有n个不同的步骤，完成第1步有m1种不同的方法，完成第2步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有不同的方法数为N＝ .
3.两个原理的区别
分类加法计数原理中的任何一种方法都可独立完成这件事，各类办法之间的交集为空集，并集为全集，即分类要不重不漏；
分步乘法计数原理中的任何一步的任何一种方法都不可独立完成这件事，只够完成这一步；只有所有步骤都完成才能完成这件事.各步之间相互独立相互依存.
【应用点】
1.用0，1，2，3，4，5六个数字构成三位数
⑴各位上的数字允许相同的三位数有多少个？
⑵各位上的数字互不相同的三位数有多少个？
⑶各位上的数字互不相同且大于421的三位数有多少个？
⑷各位上的数字互不相同且可被3整除的三位数有多少个？
2.有5个不同的小球，现将这5个小球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中
⑴若不要求每个盒子必须有小球，有多少种不同放法？
⑵若要求每个盒子必须有小球，有多少种不同放法？
⑶恰有1个空盒的放法有多少种？
⑷若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则有多少种不同放法？
3.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用.
⑴有多少种不同涂色方法？
⑵若4种颜色全被用上，有多少种不同涂色方法？
1
2
3
3
1
2
2
3
1
4.将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字,右面是一种填法，则不同的填写方法共有多少种？
【核心点】
1．如何计数？两个计数原理是基础；
2．分类——分类讨论，分步——步步为营；
3.从考虑如何完成所给事情入手进行计数.
3.2
排列
【知识点】
排列：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照
排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的
；
注：两个排列相同 相同且 相同.
2.排列数及其计算
⑴从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数叫做从n个不同的元素中取出m个元素的 ，记为 .
⑵＝ ；
＝ ＝ ,称为n的 .
用阶乘的形式表示，规定.
注：排列是一个具体的一排，排列数是一个 数.
【应用点】
1.⑴1!+2!+3!+……+n!(n≥5，且nN
)的个位数字是 ；
⑵化简＝ .
2.⑴公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？
⑵公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？
3.要对元旦晚会10个节目排一个节目单，下列要求中的不同节目单个数分别是多少？
⑴A、B两个节目不能排第一也不能排最后；
⑵A、B两个节目不能相邻；
⑶A、B两个节目顺序一定；
⑷A、B两个节目不能相邻，但B节目必须与C节目相邻；
⑸A节目不能排第一且B节目不能排最后.
4.10个人围圆桌而坐
⑴有多少种不同的坐法？
⑵其中甲、乙两人不相邻的不同的坐法有多少种？
5.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有多少种不同的方法？
【核心点】
1.与顺序有关的计数可直接用排列计数，也可用计数原理计数；
2.从考虑如何完成所给事情入手进行计数；
3.退：退到最简单的计数，找到解决方案，再将此方案用到量大的问题；
4.转化化归思想：化圆排为直排，化大量为小量。
3.3
组合
【知识点】
1.组合：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 叫做从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的 .
注：两个组合相同 相同.
2.组合数及其计算
⑴从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素不同组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的
，记为 .
⑵；
.
组合数的性质：①；②
注：组合是一个具体的一组，组合数是一个 数.
【应用点】
1.已知＝x·，求x；并化简+3+5+…+4041.
2.判断·与·的大小.
3.m、nN
，求证＝n(3m2+3mn+n2－1).
4.壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？
5.⑴10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
⑵马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
⑶方程x+y+z+w＝100的正整数解有多少个？
6.⑴图中有多少个长方形？
⑵四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有多少种？
⑶在正方体的八个顶点的任意两个顶点确定的直线中，异面直线有多少对？
7.含有团支书和班长的5名男生和4名女生的9名同学，其中团支书是女生，班长是男生，从中选出4人参加某个座谈会，下列各种情况下不同的选法共有多少种？
⑴恰有1个女生入选；
⑵至少有1个女生入选；
⑶最多有2个男生入选；
⑷有女生入选且团支书和班长至少有1个入选；
⑸4人中既有男生又有女生.
8.有6本不同的书，其中数学方面的书有4本，文学方面的书有2本，下列各种情况下的不同分法有多少？
⑴平均分为3份；
⑵平均分给A、B、C三人；
⑶分给A、B、C三人，每人至少1本；
变：若6本书是完全相同的，分给A、B、C三人，每人至少1本.
【核心点】
1.与顺序无关的计数可直接用组合计数，也可用计数原理计数；
2.从考虑如何完成所给事情入手进行计数.
3.退：退到最简单的计数，找到解决方案，再将此方案用到量大的问题；
4.转化化归思想：化大量为小量。
3.4
计数综合问题
【知识点】
1.处理计数应用题思考步骤为：完成的是一件什么事（审题）→→怎样完成→→分步还是分类.
2.处理计数应用题的规律
⑴两种思路：直接法，间接法.
⑵两种途径：元素分析法，位置分析法.
常用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化化归思想；③对称思想.
复杂的问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径.
注：由于结果的正确性难以直接验证，因而常常需要用不同的方法求解来获得对结果的检验.
【应用点】
1.⑴将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有多少种？
⑵某校高二年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数有多少？
2.某人射击5枪，击中3枪，问击中和未击中的不同顺序情况有多少种？
3.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
4.从1、3、5、7、9中任取3个数字，从0、2、4、6中任取2个数字构成无重复数字的五位数， ⑴其中偶数有多少个？
⑵其中能被5整除的数有多少个？
5.⑴一楼梯共10级，规定每次只能上一级或两级，要上完这级楼梯，共有多少种不同的走法？
⑵如图，把一个圆分成n(n≥2)个扇形，每个扇形用红、白、
蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方
法？
6.已知甲校8人，乙校4人，丙校4人，共16人排队，同校不相邻的排法有多少种？
【核心点】
1.有序还是无序，分步还是分类；
2.从考虑如何完成所给事情入手进行计数.
3.5
二项式定理及其应用
【知识点】
1.二项式定理
(a＋b)n＝
.
⑴相关概念
等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式；
二项式系数：二项展开式中的 ，r{
}；
展开式的通项为第 项：Tr+1＝ ，r{
}.
⑵展开式的特点
展开式的项数共有 项；
每项的次数是 .
2.由二项式定理可得(1+x)n＝ ；
(1－x)n＝ .
3.二项式系数组成的杨辉三角：
从中可以发现规律：
4.二项式系数的性质
（1）对称性：与首未两端
的两个二项式系数相等；
（2）f(x)＝，x{0，1，2，3，…，n}，
当n为偶数时，x＝
时，f(x)max＝
当n为奇数时，x＝
或 时，f(x)max＝
.
（3）各二项式系数和：
，，
.
【应用点】
1.⑴求(2x－)5的展开式.
⑵若(1+)5＝a+b(a、bQ)，求a和b的值.
⑶nN
，求7n+7n－１+7n－2+…+7除以9的余数.
⑷求2+22+23+…+22022除以11的余数.
⑸20192020在十进制下的末两位数字是(
)
A．01
B．21
C．81
D．前三个选项都不对
⑹已知0＜a＜1，方程a|x|＝|logax|的实根个数为n，且(x＋1)n＋(x＋1)11＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a10(x＋2)10＋a11(x＋2)11，则a1＝( )
A．－10
B．9
C．11
D．－12
2.⑴在(＋)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项.
⑵已知(－)n的展开式中第6项为常数项，求含x2项的系数.
⑶求(1+x)2(1－x)5展开式中x3项的系数.
⑷求(1+x+x2)8展开式中x5项的系数.
⑸若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.
⑹在的展开式中，记项的系数为，则f(3，0)+f(2，1)+f(1，2)+f(0，3)＝（
）
A.45
B.60
C.120
D.
210
3.已知(1-4x)2021=a0+a1x+a2x2+…+a2021x2021，求：
(1)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2021|的值；(2)+++…+的值；(3)a1+2a2+3a3+…+2021a2021的值.
变：已知(1-4x)2021=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a2021(1+x)2021，求：
(1)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2021|的值；(2)+++…+的值；(3)a1+2a2+3a3+…+2021a2021的值.
【核心点】
1.二项式定理展开式的结构特点及其定理本身的作用；
2.二项式定理展开式的通项及其作用；
3.一般到特殊的特殊化思想；
4.等价转化思想.2021-2022编者－龙诗春
分类加法与分步乘法计数原理
【知识点】
1.分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的办法，用第1类办法完成这件事有m1种不同的方法，用第2类办法完成这件事有m2种不同的方法，……，用第n类办法完成这件事有mn种不同的方法，则完成这件事情共有不同的方法数为N＝ .
2.分步乘法计数原理
完成一件事有n个不同的步骤，完成第1步有m1种不同的方法，完成第2步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有不同的方法数为N＝ .
3.两个原理的区别
分类加法计数原理中的任何一种方法都可独立完成这件事，各类办法之间的交集为空集，并集为全集，即分类要不重不漏；
分步乘法计数原理中的任何一步的任何一种方法都不可独立完成这件事，只够完成这一步；只有所有步骤都完成才能完成这件事.各步之间相互独立相互依存.
【应用点】
1.用0，1，2，3，4，5六个数字构成三位数
⑴各位上的数字允许相同的三位数有多少个？
⑵各位上的数字互不相同的三位数有多少个？
⑶各位上的数字互不相同且大于421的三位数有多少个？
⑷各位上的数字互不相同且可被3整除的三位数有多少个？
2.有5个不同的小球，现将这5个小球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中
⑴若不要求每个盒子必须有小球，有多少种不同放法？
⑵若要求每个盒子必须有小球，有多少种不同放法？
⑶恰有1个空盒的放法有多少种？
⑷若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则有多少种不同放法？
3.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用.
⑴有多少种不同涂色方法？
⑵若4种颜色全被用上，有多少种不同涂色方法？
1
2
3
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4.将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字,右面是一种填法，则不同的填写方法共有多少种？
【核心点】
1．如何计数？两个计数原理是基础；
2．分类——分类讨论，分步——步步为营；
3.从考虑如何完成所给事情入手进行计数.
3.2
排列
【知识点】
排列：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照
排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的
；
注：两个排列相同 相同且 相同.
2.排列数及其计算
⑴从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数叫做从n个不同的元素中取出m个元素的 ，记为 .
⑵＝ ；
＝ ＝ ,称为n的 .
用阶乘的形式表示，规定.
注：排列是一个具体的一排，排列数是一个 数.
【应用点】
1.⑴1!+2!+3!+……+n!(n≥5，且nN
)的个位数字是 ；
⑵化简＝ .
2.⑴公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？
⑵公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？
3.要对元旦晚会10个节目排一个节目单，下列要求中的不同节目单个数分别是多少？
⑴A、B两个节目不能排第一也不能排最后；
⑵A、B两个节目不能相邻；
⑶A、B两个节目顺序一定；
⑷A、B两个节目不能相邻，但B节目必须与C节目相邻；
⑸A节目不能排第一且B节目不能排最后.
4.10个人围圆桌而坐
⑴有多少种不同的坐法？
⑵其中甲、乙两人不相邻的不同的坐法有多少种？
5.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有多少种不同的方法？
【核心点】
1.与顺序有关的计数可直接用排列计数，也可用计数原理计数；
2.从考虑如何完成所给事情入手进行计数；
3.退：退到最简单的计数，找到解决方案，再将此方案用到量大的问题；
4.转化化归思想：化圆排为直排，化大量为小量。
3.3
组合
【知识点】
1.组合：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 叫做从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的 .
注：两个组合相同 相同.
2.组合数及其计算
⑴从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素不同组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的
，记为 .
⑵；
.
组合数的性质：①；②
注：组合是一个具体的一组，组合数是一个 数.
【应用点】
1.已知＝x·，求x；并化简+3+5+…+4041.
2.判断·与·的大小.
3.m、nN
，求证＝n(3m2+3mn+n2－1).
4.壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？
5.⑴10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
⑵马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
⑶方程x+y+z+w＝100的正整数解有多少个？
6.⑴图中有多少个长方形？
⑵四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有多少种？
⑶在正方体的八个顶点的任意两个顶点确定的直线中，异面直线有多少对？
7.含有团支书和班长的5名男生和4名女生的9名同学，其中团支书是女生，班长是男生，从中选出4人参加某个座谈会，下列各种情况下不同的选法共有多少种？
⑴恰有1个女生入选；
⑵至少有1个女生入选；
⑶最多有2个男生入选；
⑷有女生入选且团支书和班长至少有1个入选；
⑸4人中既有男生又有女生.
8.有6本不同的书，其中数学方面的书有4本，文学方面的书有2本，下列各种情况下的不同分法有多少？
⑴平均分为3份；
⑵平均分给A、B、C三人；
⑶分给A、B、C三人，每人至少1本；
变：若6本书是完全相同的，分给A、B、C三人，每人至少1本.
【核心点】
1.与顺序无关的计数可直接用组合计数，也可用计数原理计数；
2.从考虑如何完成所给事情入手进行计数.
3.退：退到最简单的计数，找到解决方案，再将此方案用到量大的问题；
4.转化化归思想：化大量为小量。
3.4
计数综合问题
【知识点】
1.处理计数应用题思考步骤为：完成的是一件什么事（审题）→→怎样完成→→分步还是分类.
2.处理计数应用题的规律
⑴两种思路：直接法，间接法.
⑵两种途径：元素分析法，位置分析法.
常用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化化归思想；③对称思想.
复杂的问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径.
注：由于结果的正确性难以直接验证，因而常常需要用不同的方法求解来获得对结果的检验.
【应用点】
1.⑴将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有多少种？
⑵某校高二年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数有多少？
2.某人射击5枪，击中3枪，问击中和未击中的不同顺序情况有多少种？
3.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
4.从1、3、5、7、9中任取3个数字，从0、2、4、6中任取2个数字构成无重复数字的五位数， ⑴其中偶数有多少个？
⑵其中能被5整除的数有多少个？
5.⑴一楼梯共10级，规定每次只能上一级或两级，要上完这级楼梯，共有多少种不同的走法？
⑵如图，把一个圆分成n(n≥2)个扇形，每个扇形用红、白、
蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方
法？
6.已知甲校8人，乙校4人，丙校4人，共16人排队，同校不相邻的排法有多少种？
【核心点】
1.有序还是无序，分步还是分类；
2.从考虑如何完成所给事情入手进行计数.
3.5
二项式定理及其应用
【知识点】
1.二项式定理
(a＋b)n＝
.
⑴相关概念
等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式；
二项式系数：二项展开式中的 ，r{
}；
展开式的通项为第 项：Tr+1＝ ，r{
}.
⑵展开式的特点
展开式的项数共有 项；
每项的次数是 .
2.由二项式定理可得(1+x)n＝ ；
(1－x)n＝ .
3.二项式系数组成的杨辉三角：
从中可以发现规律：
4.二项式系数的性质
（1）对称性：与首未两端
的两个二项式系数相等；
（2）f(x)＝，x{0，1，2，3，…，n}，
当n为偶数时，x＝
时，f(x)max＝
当n为奇数时，x＝
或 时，f(x)max＝
.
（3）各二项式系数和：
，，
.
【应用点】
1.⑴求(2x－)5的展开式.
⑵若(1+)5＝a+b(a、bQ)，求a和b的值.
⑶nN
，求7n+7n－１+7n－2+…+7除以9的余数.
⑷求2+22+23+…+22022除以11的余数.
⑸20192020在十进制下的末两位数字是(
)
A．01
B．21
C．81
D．前三个选项都不对
⑹已知0＜a＜1，方程a|x|＝|logax|的实根个数为n，且(x＋1)n＋(x＋1)11＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a10(x＋2)10＋a11(x＋2)11，则a1＝( )
A．－10
B．9
C．11
D．－12
2.⑴在(＋)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项.
⑵已知(－)n的展开式中第6项为常数项，求含x2项的系数.
⑶求(1+x)2(1－x)5展开式中x3项的系数.
⑷求(1+x+x2)8展开式中x5项的系数.
⑸若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.
⑹在的展开式中，记项的系数为，则f(3，0)+f(2，1)+f(1，2)+f(0，3)＝（
）
A.45
B.60
C.120
D.
210
3.已知(1-4x)2021=a0+a1x+a2x2+…+a2021x2021，求：
(1)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2021|的值；(2)+++…+的值；(3)a1+2a2+3a3+…+2021a2021的值.
变：已知(1-4x)2021=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a2021(1+x)2021，求：
(1)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2021|的值；(2)+++…+的值；(3)a1+2a2+3a3+…+2021a2021的值.
【核心点】
1.二项式定理展开式的结构特点及其定理本身的作用；
2.二项式定理展开式的通项及其作用；
3.一般到特殊的特殊化思想；
4.等价转化思想.2021-2022编者－龙诗春
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