(共6张PPT)
习题
2.11
北师版·九年级下册
1．利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根：
（1）2x2+x－15
=
0；
（2）3x2－x－1
=
0.
2.
如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是
(x>0)、柱子OA的高度为多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
3.利用二次函数y
=
2x2与一次函数
y
=
x＋2的图象，求一元二次方程
2x2
=
x＋2的近似根.
○○
2x2+x-15
yy=3x2-x-1
解:(1)原方程的近似根为x1=-3,x2=2.5
(2)原方程的近似根为x1=0.8,x2=-0.4
y/m
O
(第2题)
解:当x=0时,y
柱子OA的高度是
4
2
2x
0
(不合题意
舍去)
2+√11
因此,水池的半径至少为
m,才能使喷出的水流不
至于落在池外.
解:如图所示,由图象可知方程2x2=x+2,即2x2-x-2=0有
两个根,一个根在-1和0之间,另一个根在1和2之间
2
43
(1)求-1和0之间的根,利用计算器进行探索:
0.9
0.8
0.7
0.6
x-
0.52
0.08
0.32
0.68
因此,x=-0.8是方程2x2=x+2的一个近似根.
(2)求1和2之间的根,利用计算器进行探索:
1.1
1.2
1.4
2
-x
0.68
0.320.08
0.52
因此,x=1.3是方程2x2=x+2的另一个近似根
元二次方程2x2=x+2的近似根为x1=-0.8,x2=1.3(共8张PPT)
习题
2.10
北师版·九年级下册
1.
求下列二次函数的图象与x轴的交点的坐标，并画草图验证:
（1）
（2）y
=－2x2＋20x－49.
2．二次函数y
=
x2+bx－1
（b为常数）的图象与x轴相交吗？如果相交，有几个交点？
3.
一元二次方程x2－6x+4=1的根与二次函数y=x2－6x+4的图象有什么关系?试把方程的根在图象上表示出来.
4．二次函数y
=
－x2+3x＋4的图象与一次函数y
=
2x－1的图象相交吗？如果相交，请求出它们的交点坐标.
○○
解:(1)当y=0时,x2-x+3=0
2
2-4ac=(-1)2-4××3<0
两数y=x2-x+3的图象与x轴没有交点
列表如下
1|0
74.532.534.57
描点、连线,草图如图所示
4
(2)当y=0时,2x2+20x-49=0,解得x=5
函数y=-2x2+20x-49的图象与x轴的交点坐标为5
0
2
列表如下
6
描点、连线,草图如图所示
X
由两函数图象可以看出抛物线y=x2-x+3与x轴没有
交点,抛物线y=-2x2+20x-49与x轴有两个交点
解:一元二次方程x2+bx-1=0的根的判别式A=b2+4>0
因此二次函数y=x2+bx-1(b为常数)的图象与x轴相交,
有两个交点
解:一元二次方程x2-6x+4=1的根是二次函数y=x2-6x
4的图象与直线y=1的交点的横坐标
以下作函数y=x2-6x+4的图象
列表
0
23456
4
4-5-4-14
描点、连线,图象简图如图所示,方程两根为点A,B的横坐标
y42
B
24
3x+4
解:解方程组
2x-1
√21
二次函数y=-x2+3+4的图象与一次函数y=2x-1的图象
l-√21
相交,交点坐标是(共14张PPT)
北师版·九年级下册
第2课时
利用二次函数求一元二次方程的近似根
复习导入
1.
若方程
的根为
和
，则二次函数
的图象与x轴交点坐标是
.
2.
二次函数
的图象如图所示，则一元二次方程
的解为
.
(-2，0)，(3，0)
探究新知
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗?
由图象可知，方程x2+2x-10=0_____根，一个根在____和____之间，另一个根在____和____（填两个整数）.
两个
－5
－4
2
3
（1）先求－5和－4之间的根.
利用计算器进行探索：
x
y
－4.1
－1.39
－4.2
－0.76
－4.3
－0.11
－4.4
0.56
y对应的值由负变为正
因此，x=－4.3是方程的一个近似根.
y值更接近0
（2）另一个根可以类似地求出:
x
y
2.1
2.2
2.3
2.4
－1.39
－0.76
－0.11
0.56
因此，x=2.3是方程的另一个近似根.
归
纳
总
结
利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般步骤：
画出二次函数y=ax2+bx+c的图象；
确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间；
列表，在②中的连个数之间取值，进行估计.
近似根就出现在对应y值正负交换的位置.
做一做
利用二次函数的图象求一元二次方程
的近似根.
由图象可知方程有两根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间.
x
y
－4.9
1.21
－4.8
0.44
－4.7
－0.31
近似根：－4.7
2.9
2.8
2.7
近似根：2.7
做一做
你还能利用二次函数
的图象求一元二次方程
的近似根吗？
和直线
交点和横坐标就是方程
的根
归
纳
总
结
利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法：
方法一
直接作出二次函数y=ax2+bx+c的图象；图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0
的根.
方法二
先将一元二次方程变形为
ax2+bx=－c，再在同一直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx
和直线y=－c；两图象的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0
的根.
随堂练习
利用二次函数的图象求一元二次方程－2x2+4x+1=0的近似根.
解：由图象可知，图象与x轴有两个交点，其横坐标一个在－1与0之间，另一个在2与3之间.
y=－2x2+4x+1
y=－2x2+4x+1
随堂练习
利用二次函数的图象求一元二次方程－2x2+4x+1=0的近似根.
（1）先求－1和0之间的根.
利用计算器进行探索:
x
y
－0.1
0.58
－0.2
0.12
－0.3
－0.38
因此，x=－0.2是方程的一个近似根.
y=－2x2+4x+1
利用二次函数的图象求一元二次方程－2x2+4x+1=0的近似根.
随堂练习
（2）再求2和3之间的根.
利用计算器进行探索:
x
y
2.1
0.58
2.2
0.12
2.3
－0.38
因此，x=2.2是方程的另一个近似根.
课堂小结
对于本节课学习的内容，你还有哪些疑惑？
课后作业
习题2.11
1、2、3(共17张PPT)
北师版·九年级下册
5
二次函数与一元二次方程
第1课时
二次函数与一元二次方程的关系
新课导入
竖直上抛物体的高度h
(m)
与运动时间
t
(s)
的关系可以近似地用公式来表示：
h＝－5t2+v0t+h0
抛出时的高度
抛出时的速度
新课导入
一个小球从地面被以
40
m/s
的速度竖直向上抛起，
小球距离地面的高度h
(m)
与运动时间
t(s)
的关系如图所示.
h＝－5t2+v0t+h0
抛出时的高度
抛出时的速度
新课导入
那么：
（1）h与t的关系式是什么？
h=－5t2＋40t
（2）小球经过多少秒后落地？
你有几种求解方法？与同伴进行交流.
①由图象可知8秒后小球落地.
②将h=0代入二次函数解得t=0或t=8
t=0为开始时间，t=8为结束时间.
探究新知
二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象如图所示.
（1）
（2）
（3）
与同伴交流并回答问题.
二次函数
的图象与x轴有几个交点？
两个交点
一元二次方程
有几个根？
两个根
二次函数
的图象与x轴有几个交点？
一个交点
一元二次方程
有几个根？
两个相同的根
二次函数
的图象与x轴有几个交点？
没有交点
一元二次方程
有几个根？
没有根
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
抛物线y=ax2+bx+c与x轴
ax2+bx+c
=
0
的根
△=
b2
–
4ac
有两个交点
有两个不同实根
△
>
0
有一个交点
有两个相同实根
△
=
0
没有交点
没有根
△
<
0
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
想一想
h=－5t2＋40t
何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？
1.
一个足球被从地面上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式
来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间.
（1）画出函数
的图象；
随堂练习
（2）当t
=1，t
=2时，足球距地面的高度分别是多少？
当t=1时，
当t=2时，
1.
一个足球被从地面上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式
来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间.
随堂练习
（3）方程
，
的根的实际意义分别是什么？你能在图象上表示出来吗？
2.
二次函数y=x2+bx-1(b为常数)的图象与x轴相交吗?
如果相交，有几个交点?
解:二元一次方程x2+bx-1=0中，
△=b2+4
≥4
∴二次函数y=x2+bx-1与x轴有两个交点.
2.
二次函数y=－x2+3x+4的图象与一次函数y=2x－1的
图象相交吗？如果相交，请求出它们的交点坐标？
解：由题意得
－x2+3x+4=2x－1，
即x2
－
x
－
5=0，
∵△=b2－4ac=1+20=21＞0，
∴
∴交点坐标为
或
.
课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
课后作业
习题2.10
1、4
