高考专题；解析几何常规题型及方法（PDF版）

高考专题：解析几何常规题型及方法
一、高考风向分析：
高考解析几何试题一般共有
3--4
题(1--2
个选择题,
0--1
个填空题,
1
个解答题),
共计
20
多分,
考查的知识点约为
20
个左右，其命题一般紧扣课本,
突出重点,
全面考查。选择题和
填空题考查直线,
圆,
圆锥曲线中的基础知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计
算；而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的
位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几
何的知识分析问题，解决问题。
二、本章节处理方法建议：
纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一
半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一
半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与
几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向
量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合
能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分”
的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第
21
题或
22
题（有
时
20
题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。
鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几内容弹性很
大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题
较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻
下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就
能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几
分算几分。
三、高考核心考点
1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）
2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的
坐标公式、到角公式、夹角公式等）
3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的
各种情况、截距是否为
0
等等）
4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算
5、了解线性规划的意义及简单应用
6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算
7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数
法、交轨法、几何法、待定系数法等）
8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解
决一些常见问题
四、常规题型及解题的技巧方法
A:常规题型方面
（1）中点弦问题
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为
(x1
,
y1)
，
(x2
,
y2
)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
1
2
y
2
典型例题
给定双曲线
x


1。过
A（2，1）的直线与双曲线交于两点
P1
及
P2
，
2
求线段
P1
P2
的中点
P
的轨迹方程。
y
2
y
2
分析：设
P1(x1
,
y1)，
P2
(x2
,
y
)
x
2
代入方程得

1

1
2，
x

22
1
2

1。
2
2
两式相减得
1
(x1

x2
)(x1

x2
)

(y1

y2
)(y1

y2
)

0。
2
又设中点
P（x,y），将
x1

x2

2x，
y1

y2

2y代入，当
x1

x2
时得
2y
y

y
2x

·
1
2

0。
2
x1

x2
y1

y2
y
1
又
k


，
x1

x2
x

2
2
2
代入得2x

y

4x

y

0。
当弦
P1P2
斜率不存在时，其中点
P（2，0）的坐标也满足上述方程。
2
2
因此所求轨迹方程是2x

y

4x

y

0
说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。
变式练习：
给定双曲线
2x2
-
y2
=
2
，过点
B(1,1)能否作直线
L,使
L与所给双曲线交于两点
Q1、Q2
两
点，且点
B
是线段
Q1Q2的中点？如果直线
L存在，求出它的方程;如果不存在,说明理由.
（2）焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点
P，与两个焦点
F1
、
F2
构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭
桥。
x
2
y
2
典型例题
设
P(x,y)为椭圆


1
上任一点，
F1( c,0)
，
F2
(c,0)
为焦点，
a
2
b2
PF1F2

， PF2
F1

。
sin(


)
（1）求证离心率e

；
sin

sin

3
3
（2）求
|PF1|
PF2
|
的最值。
r
r
2c
分析：（1）设
|
PF
|
r
，
|PF

r
，由正弦定理得
1

21
1
2
2

。
sin
sin
sin(

)
2
r1

r2
2c
得

，
sin

sin
sin(

)
c
sin(


)
e


a
sin

sin

(a

ex)3
（2）

(a

ex)3

2a3

6ae2
x2
。
3
当
x

0时，最小值是2a
；
当
x

a时，最大值是2a3

6e2a3。
变式练习：
x2
y
2
设
F1
、
F2
分别是双曲线

1（a>0,b>0）的左、右两个焦点，P
是双曲线上的
a
2
b2
2

一点，若∠P=θ,求证：S△=b
cot
2
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判
别式，应特别注意数形结合的办法
典型例题
抛物线方程y2

p(x
1)
(p

0)，直线x

y

t与x轴的交点在抛物线准线的右边。
（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点
（2）设直线与抛物线的交点为
A、B，且
OA⊥OB，求
p
关于
t
的函数
f(t)的表达式。
p
（1）证明：抛物线的准线为1：x

1
4
p
由直线
x+y=t
与
x
轴的交点（t，0）在准线右边，得
t

1
，而4t

p

4

0
4
x

y

t
由
2
消去y得
x

(2t

p)x

(t
2

p)

0
y2

p(x

1)


(2t

p)2

4(t
2

p)

p(4t

p

4)

0
故直线与抛物线总有两个交点。
（2）解：设点
A(x1，y1)，点
B(x2，y2)
x1

x2

2t

p，x1x2

t
2

p
OA OB， kOA

kOB

1
则
x1x2

y1y2

0
又
y1y2

(t

x1)(t

x2
)
3
x
21x2

y1y2

t

(t

2)p

0
t
2
p

f
(t)

t

2
又p

0，4t

p

4

0得函数f(t)的定义域是
( 2，0)
(0，

)
变式练习：
2
2
直线
y=ax+1
与双曲线
3x
－y
=1
交于两点
A、B
两点
(1)若
A、B
都位于双曲线的左支上，求
a
的取值范围
(2)当
a
为何值时，以
AB
为直径的圆经过坐标原点？
（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题
圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函
数，三角函数，均值不等式）求最值。
典型例题
已知抛物线
y2=2px(p>0)，过
M（a,0）且斜率为
1
的直线
L
与抛物线交于不同的两点
A、B，|AB|≤2p
（1）求
a
的取值范围；（2）若线段
AB
的垂直平分线交
x
轴于点
N，求△NAB
面积的最
大值。
分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于
a
的不
等式，通过解不等式求出
a
的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将
a
表示为另一个
变量的函数，利用求函数的值域求出
a
的范围；对于（2）首先要把△NAB
的面积表示为
一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。
解：(1)直线
L
的方程为：y=x-a,将
y=x-a
代入抛物线方程
y2=2px,得：设直线
L
与抛物线两
4(a

p)

4a
2

0

交点的坐标分别为
A（x1,y1）,B(x2,y2)，则
x1

x2

2(a

p)
,又
y1=x1-a,y2=x2-a,

2
x1x2

a
|
AB
|
(x1

x2
)
2

(y
21

y2
)

2[(x1

x2
)
2

4x1x2
]

8p(
p

2a)
0
|
AB
|
2p,8p(
p

2a)

0, 0

8p(
p

2a)

2p,
p
p
解得:


a


.
2
4
(2)设
AB
的垂直平分线交
AB
与点
Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：
x1

x2
y1

y2
(x1

a)

(x2

a)x3


a

p
,
y3



p.
2
2
2
所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ
为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=
2P，所以
4
1
2
2
S△NAB=
|
AB
|

|
QN
|
p
|
AB
|
p
2p

2p
2
,即△NAB
面积的最大值为
2
2
2
2P
2。
变式练习：
x2
y2
双曲线

1（a>0,b>0）的两条准线间的距离为
3，右焦点到直线
x+y-1=0
的距
a2
b2
2
离为
2
（1）求双曲线的方程
（2）设直线
y=kx+m(k

0且
m

0
)与双曲线交于两个不同的点
C、D，若
A(0,-1)且
AC
=
AD
，求实数
m
的取值范围
（5）求曲线的方程问题
1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
典型例题
已知直线
L过原点，抛物线
C
的顶点在原点，焦点在
x
轴正半轴上。若点
A（-1，0）和
点
B（0，8）关于
L的对称点都在
C
上，求直线
L和抛物线
C
的方程。
分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。
设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0)
设
A、B
关于
L的对称点分别为
A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：
k
2
1
2k
16k
8(k
2
1)
A/（
,
），B（
,
）。因为
A、B
均在抛物线上，代入，消去
k
2
1
k
2
1
k
2
1
k
2
1
1
5
2
5
p，得：k2-k-1=0.解得：k=
,p=
.
2
5
1
5
4
5
所以直线
L的方程为：y=
x,抛物线
C
的方程为
y2=
x.
2
5
变式练习：
1
在面积为
1
的△PMN
中，tanM=
,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以
M、N
为焦点且
2
过点
P
的椭圆方程。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程
典型例题
M
已知直角坐标平面上点
Q（2，0）和圆
C：x2+y2=1,
N
5
O
Q
动点
M
到圆
C
的切线长与|MQ|的比等于常数 （
>0）,求动点
M
的轨迹方程，并说明它
是什么曲线。
分析：如图，设
MN
切圆
C
于点
N，则动点
M
组成的集合是：P={M||MN|=
|MQ|}，由平
面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将
M
点坐标代入，可得：(

2-1)(x2+y2)-
4
2x+(1+4
2)=0.
当
=1
时它表示一条直线；当 ≠1
时，它表示圆。这种方法叫做直接法。
变式练习：
2
过抛物线
y
=4x
的焦点
F
作斜率为
k
的弦
AB，且
AB
≤8，此外，直线
AB
和椭圆
2
2
3x
+2y
=2
交于不同的两点。
（1）求直线
AB
的斜率
k
的取值范围
（2）设直线
AB
与椭圆相交于
C、D
两点，求
CD
中点
M
的轨迹方程
（6）
存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，
求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式
来解决）
x
2
y
2
典型例题
已知椭圆
C
的方程


1，试确定
m
的取值范围，使得对于直线
4
3
y

4x
m，椭圆
C
上有不同两点关于直线对称。
分析：椭圆上两点
(x1
,
y1)，
(x2
,
y2
)，代入方程，相减得3(x1

x2
)(x1

x2
)

4(y1

y2
)
(y1

y2
)

0。
x1

x2
y1

y2
y1

y2
1
又
x

，
y

，
k



，代入得
y

3x。
2
2
x1

x2
4
y

3x
又由
解得交点
( m, 3m)。
y

4x
m
( m)2
( 3m)2
2
13
2
13
交点在椭圆内，则有


1，得

m

。
4
3
13
13
变式练习：
2
为了使抛物线
(y
1)

x
1上存在两点关于直线
y

mx
对称，求
m
的取值范围。
（7）两线段垂直问题
y
·y
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用
k
·k

1
21
2

1来处理或用向量的坐标运
x1·x2
算来处理。
6
典型例题
已知直线
l
的斜率为
k
，且过点
P( 2,0)
，抛物线C:
y2

4(x
1)，直线
l
与
抛物线
C
有两个不同的交点（如图）。
（1）求
k
的取值范围；
（2）直线
l
的倾斜角
为何值时，A、B
与抛物线
C
的焦点连线互相垂直。
y
分析：（1）直线
y

k(x

2)
代入抛物线方程得
B
k
2
x2

(4k
2

4)x

4k
2

4

0，
A
P
由

0，得 1
k

1(k

0)。
(-2,0)
O
x
4k
2

4
（2）由上面方程得
x1x
2

，
k
2
2
y1y2

k
(x1

2)(x2

2)

4，焦点为O(0,0)。
y
y
k
2
由
k
1
2OA·kOB



1，得
x
21x2
k
1
2
2
2
k


，

arctan
或



arctan
2
2
2
变式练习：
(x

3)2
y
2
经过坐标原点的直线
l
与椭圆


1相交于
A、B
两点，若以
AB
为直径的
6
2
圆恰好通过椭圆左焦点
F，求直线
l
的倾斜角。
B:解题的技巧方面
在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用
几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算
量。下面举例说明：
（1）充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代
数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
3x

4y
m

0
x2
2
典型例题
设直线
与圆

y

x

2y

0相交于
P、Q
两点，O
为坐
标原点，若OP OQ，求m的值。
2
2
解：
圆
x

y

x

2y

0过原点，并且OP OQ，
1
PQ是圆的直径，圆心的坐标为
M
(
，1)
2
1
又
M
(
，1)在直线3x

4y
m

0上，
2
7
1
5
3
(
)

4
1 m

0， m


即为所求。
2
2
评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且OP OQ
，PQ
是圆的直
径，圆心在直线
3x

4y
m

0上，而是设
P(x1，y1)、Q(x2，y2
)再由OP OQ和韦
达定理求m，将会增大运算量。
变式练习：
2
2
已知点
P（5，0）和圆
O：
x

y

16，过
P
作直线
l
与圆
O
交于
A、B
两点，求弦
AB
中点
M
的轨迹方程。
评注：此题若不能挖掘利用几何条件 OMP

90 ，点
M
是在以
OP
为直径的圆周上，
而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。
二.
充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、
中点等问题中常常用到。
典型例题
已知中心在原点
O，焦点在
y轴上的椭圆与直线
y

x
1相交于
P、Q
两点，
10
且OP OQ，
|
PQ|
，求此椭圆方程。
2
2
2
解
：
设
椭
圆
方
程
为
ax
by

1(a

b

0)
，
直
线
y

x
1
与
椭
圆
相
交
于
P
(x1，y1)、Q(x2，y2
)两点。
y

x
1
由方程组
消去
y后得
ax
2

by
2

1
(a

b)x
2

2bx

b
1

0
2b
b
1

x1

x2


，x1x2

a

b
a

b
由
kOP

kOQ

1，得
y1y2

x1x2
（1）
又
P、Q
在直线
y

x
1上，
y1

x1
1，
(2)

y2

x2
1，
(3)

y1
y2

(x1
1)(x2
1)

x1x2

(x1

x2
)
1
把（1）代入，得2x1x2

(x1

x2
)
1
0，
2(b
1)
2b
即

1
0
a

b
a

b
化简后，得
a
b

2
（4）
8
10
5
由
|
PQ|
，得
(x1

x2
)
2

(y
21

y2
)

2
2
5
5

(x1

x
2
2
)

，(x
2
1

x2
)

4x1x2

，
4
4
2b
2
4(b
1)
5(
)


a

b
a

b
4
2
1
3
把（2）代入，得4b
8b

3

0，解得b

或b

2
2
3
1
代入（4）后，解得a

或a

2
2
3
1
由a

b

0，得a

，b

。
2
2
3x
2
y
2
所求椭圆方程为


1
2
2
评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。
变式练习：
x
2
y
2
若双曲线方程为


1，AB
为不平行于对称轴且不过原点的弦，M
为
AB
中点，
a
2
b2
b2
设
AB、OM
的斜率分别为
k
AB、kOM
，则
k
AB

kOM

a
2
三.
充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。
2
2
2
2
典型例题
求经过两已知圆C1：x

y

4x

2y

0和C2：x

y

2y

4

0
的交
点，且圆心在直线
l
：2x

4y
1
0上的圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
x2

y2

4x

2y

(x2

y2

2y

4)

0
即
(1
)x2

(1
)y2

4x

2(1
)y

4

0，
2

1
其圆心为
C（
，
）
1


1
2

1
1
又
C
在直线
l
上，
2


4

1
0
，解得


，代入所设圆的方程得
1


1
3
x2

y2

3x

y
1
0为所求。
评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。
变式练习：
某直线
l
过直线
L1：４x-３y-12=0
和
L2：7x-y+28=0
的交点，且倾斜角为直线
L1的倾斜
角的一半，求此直线
l
的方程
9
四、充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问
题．这也是我们常说的三角代换法。
x2
y2
典型例题
P
为椭圆

1上一动点，A
为长轴的右端点，B
为短轴的上端点，求四
a2
b2
边形
OAPB
面积的最大值及此时点
P
的坐标。
变式练习：
已知
P(x，y)是椭圆
x2＋4y2=1
上任一点，试求
P
到直线
x
+
y
–
2
=
0
的最小值及此时
P
的坐标。
五、线段长的几种简便计算方法
①
充分利用现成结果，减少运算过程
一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦
AB
长的方法是：把直线方程
y

kx
b代入圆锥
2
曲线方程中，得到型如ax
bx

c

0的方程，方程的两根设为
x
A，
xB
，判别式为△，
△
则
|
AB|
1
k
2
·|xA

xB
|
1
k
2·
，若直接用结论，能减少配方、开方等运算
|
a
|
过程。
例
求直线
x

y
1
0
2被椭圆
x

4y2

16所截得的线段
AB
的长。
②
结合图形的特殊位置关系，减少运算
在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲
线的定义，可回避复杂运算。
x
2
y
2
例
F1
、
F2
是椭圆


1的两个焦点，AB
是经过
F1
的弦，若
|
AB|
8，求值
25
9
|
F2
A
|

|
F2B
|
③
利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离
2
2
例
点
A（3，2）为定点，点
F是抛物线
y

4x的焦点，点
P
在抛物线
y

4x上移
动，若
|PA| |PF|取得最小值，求点
P
的坐标。
五、高考试题选编
1.
过抛物线
y2

6x的焦点
F，作弦AB x
轴于
A、B
两点，则弦长
AB
等于（
）
A.
6
B.
18
C.
6
2
D.
36
2
x2
y
2.
若直线
y

kx

1与焦点在
x
轴上的椭圆


1总有公共点，则实数
m
的取值范围
5
m
是（
）
A.
（0，5）
B.
（1，5）
C.
[1，5)
D.
[1，5]
10
3.
直线
2
2y

x

1被椭圆3x

4y
12所截得的弦的中点坐标是（
）
4
3
4
11
8
1
8
15
A.
(
，
)
B.
(
，
)
C.
(
，

)
D.
(
，
)
7
7
7
7
7
7
7
7
5
x2
4.
过点
A
( 1，
)
引抛物线
y

的一条弦，使该弦被
A
点平分，则该弦所在直线方程为
2
4
（
）
A.
4x

2y
1
0
B.
x

2y

4

0
C.
4x

2y

9

0
D.
x

2y

6

0
5.
设
，
且
3x2

4y2x
y R
12，则
x2

y2的最大值与最小值分别是（
）
A.
2，
3
B.
4，2
3
C.
4，3
D.
8，6
6.
P
是抛物线
y2

x上的点，F是抛物线的焦点，则点
P
到
F与
P
到
A
(3，
1)
的距离之和
的最小值是（
）
13
7
A.
3
B.
C.
4
D.
4
2
2
2
7.已知圆C
:
(x

a)

(x

2)

4(a

0)及直线l
:
x

y
3

0.当直线l被C截得的弦
长为2
3
时，则
a=（
）
A．
2
B．2

2
C．
2
1
D．
2
1
8．(03
全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点F(
7,0),直线y

x
1与其相交于M、N
2
两点，MN
中点的横坐标为
,
则此双曲线的方程是（
）
3
x
2
y
2
x
2
y
2
A．

1
B．

1
3
4
4
3
x
2
y
2
x
2
y
2
C．

1
D．

1
5
2
2
5
9．(03
江苏)已知长方形四个顶点
A（0，0），B（2，0），C（2，1）和
D（0，1），一
质点从
AB
的中点
P0
沿与
AB
夹角为θ的方向射到
BC
上的点
P1后，依次反射到
CD、DA
和
AB
上的点
P2、P3和
P4（入射角等于反射角）.设
P4
的坐标为（x4，0）.若
1<
x4<2，则
tanθ的取值范围是
（
）
1
1
2
2
1
2
2
A．
(
,1)
B．
(
,
)
C．
(
,
)
D．
(
,
)
3
3
3
5
2
5
3
10．(03
广东)（双曲线虚轴的一个端点为
M，两个焦点为
F1、F2， F1MF2
120 ，则
双曲线的离心率为（
）
6
6
3
A.
3
B.
C.
D.
2
3
3
11
11.
直线
y

kx
1与抛物线
(y
1)2

4(x

2)只有一个公共点，则
k
的值为________。
12.
曲线
C：
y

(x

2)2
关于直线
x

y

3
0对称的曲线C'
的方程_________。
x
2
y
2F、F
13．(03
年上海)
给出问题：
1
2
是双曲线

1的焦点，点
P
在双曲线上。若点
16
20
P
到焦点
F1的距离等于
9，求点
P
到焦点
F2的距离
PF2

________
。
某学生的解答如下：双曲线的实轴长为
8，由
PF1

PF2

8，即
9

PF2

8，得
PF2
1或
17。
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在上面空格内；若不正确，将正确
结果填在上面空格内。
14.
(03
年上海)在以
O
为原点的直角坐标系中，点
A(4， 3)为 OAB
的直角顶点，已知
AB

2OA
，且点
B
的纵坐标大于零。
（1）求向量
AB
的坐标。
2
2
（2）求圆
x
6x

y

2y

0关于直线
OB
对称的圆的方程。
2
（3）是否存在实数
a
，使抛物线
y

ax
1上总有关于直线
OB
对称的两个点？若不存
在，说明理由；若存在，求
a
的取值范围。
15.
已知抛物线
C：
y

x2

2m2x

(2m2
1)(m R)
（1）求证：抛物线
C
与
x
轴交于一定点
M；
（2）若抛物线与
x
轴正半轴交于
N，与
y轴交于
P，求证：PN
的斜率是一个定值；
（3）当
m
为何值时，三角形
PMN
的面积最小，并求此最小值。
12