【高考自主招生】高中数学复习专题讲义：第1讲 函数的性质（PDF版含解析）

第一讲 函数的性质
一、知识要点
1、映射
对于任意两个集合 A, B，依对应法则 f ，若对 A 中的任意一个元素 x, 在B 中都有唯一
一个元素与之对应，则称 f : A B为一个映射，记作 f : A B,其中b 称为像，a 称为原
像。
如果 f : A B是一个映射且对任意 x, y A, x y,都有 f x f y ,则 f : A B
是 A 到 B 上称之为单射.
如果 f : A B 是映射且对任意 y B, 都有一个 x A 使得 f x y, 则称
f : A B是 A 到 B 上的满射.
如果 f : A B既是单射又是满射，则 f : A B是 A 到 B 上叫做一一映射.
如果 f : A B是从集合 A 到集合 B 上的一一映射，并且对于B 中每一个元素b ，使b
1
在 A 中的原像 a 和它对应，这样所得的映射叫做 f : A B的逆映射，记作 f : B A.
2、函数方程问题
（1）代换法（或换元法）
把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发
生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得位置函数
1 1
例.设ab 0,a2 b2 ,求af x bf cx的解. （【解析】分别用 x , x t 带入）
x t
（2）待定系数法
当函数方程中的未知数是多项式时，可待定系数而求解.
例.已知 f1 x f x 是一次函数， fn x f fn 1 x 且 f10 x 1024x 1023，
求 f x . （【解析】设 f x ax b a 0 求解）
3、函数对称性以及周期性
1）已知函数 y f x ，若函数 y g x 图像与 y f x 图像关于：
直线 x a对称，则 g x f 2a x ；
直线 y b对称，则 g x 2b f x ；
点 a,b 对称，则 g x 2b f 2a x 。
2）已知函数 y f x 图像关于：
直线 x a对称，则 f x f 2a x ；
点 a,b 对称，则 f x 2b f 2a x ，即 f x f 2a x 2b。
3）常用：若函数 y g x 图像与 y f x 图像关于：
y 轴对称，则 g x f x ；
x 轴对称，则 g x f x ；
原点对称，则 g x f x 。
a b
4）若 f x a f b x ，则 y f x 图像关于直线 x 对称；
2
a b c
若 f x a f b x c ，则 y f x 图像关于点 , 对称；
2 2
b a
若 y f x a 与 y f b x 关于直线 x 对称；
2
5）若 f x T f x ，则函数 y f x 是以T 为周期的函数。
6）若 f x a f x ，则 f x 2a f x a f x f x ，即T 2a ；
1 1 1
若 f x a ，则 f x 2a f x ，即T 2a ；
f x f x a 1
f x
1 1 1
若 f x a ，则 f x 2a f x ，即T 2a 。
f x f x a 1
f x
7）若 f x 关于直线 x a和 x b a b 对称，则 f x 为以2 b a 为周期的周期
函数；
若 f x 关于点 a,0 和 x b a b 对称，则 f x 为以 4 b a 为周期的周期函数；
若 f x 关于点 a, y0 和 b, y0 a b 对称，则 f x 为以 2 b a 为周期的周期函数。
4、抽象函数问题的解法
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号极其满足的条件
的函数，如给出定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等，它是高中函数
的难点，也是与高等数学函数部分的一个衔接点。
（1）函数性质法
函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性等）反映出来的，抽象函数也是
如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，才能够将抽象函数
问题化难为易。常用的方法有：①利用奇偶性整体思考；②利用单调性等价转化；③利用周
期性回归已知；④利用对称性数形结合；⑤借助特殊点列方程。
（2）特殊化方法
① 在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将 x 换成 x 或将 x 换成
其他字母等；
② 在求函数值时，可用特殊值代入；
③ 研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或通过具体模型函数为
解答综合题提供思路和方法。
5、函数的迭代
一个函数的自复合，叫做迭代。我们用 gk x 表示 g x 的 k 次迭代函数。
g
0 x x
即
g k 1
x g g
k x
p g x x
如果 则称 g x 有迭代周期 p.
k
g x 不恒等于x k 1,2, , p 1
迭代问题的解法通常是找它的迭代周期。一般来说，若 y g x 的图像关于直线 y x
对称，则一定有 g g x x .它的迭代周期就是 2.下面是几个常见函数的迭代周期。
2x 7
g x ,迭代周期是 3；
x 1
x 1
g x , 迭代周期是 4；
x 1
6、凹凸函数
设 f 为定义在区间 I 上的函数，若对 I 上任意两点 x 、 x 和实数 0,1 ,1 2 总有
f x1 1 x2 f x1 1 f x2 , 则称 f 为 I 上的凸函数（有时也称下凸函
数）。反之，如果总有不等式 f x1 1 x2 f x1 1 f x2 , 则称则称 f 为 I
上的凹函数（有时也称上凸函数）。
1 x x f x1 f x2
特 别 地 ， 时 ， 有 f 1 2 （ 凸 函 数 ） 或
2 2 2
x x f x1 2 1 f x2 f （凹函数）。
2 2
如何判断一个函数是凸函数（凹函数）？除了定义以外，还有下面的定理：
设 f 为 I 上二阶可导函数，则 f 为 I 上的凸（凹）函数的充要条件是 f x 0
f x 0 .
凸函数更一般的情形是下面的琴生不等式：若 f 为 a,b 上的凸函数，则对任意
n
xi a,b , i 0 i 1,2, ,n ，且 i 1,则
i 1
n n
f i xi i f xi .
i 1 i 1
二、热身练习
2
1、（2009 复旦）若要求关于 x 的函数 lg log 2ax bx 1的定义域是 , ,则 a 、b 的取0.5
值范围是（ ）
A 2 B a 0 C b 4a 0 D a b 0
2 2
【解析】选 由 lg log 2ax bx 1 0 0 2ax bx 1 1 ax2A. 0.5 bx 1 0 对
a 0
x , 恒成立 这样的a,b不存在。 2
b 4a 0
2、（2010 复旦）某校有一个班级，设变量 x 是该班同学的姓名，变量 y 是该班同学的学号，
变量 z 是该班同学的身高，变量 w 是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中正确
的是（ ）
A y 是 x 的函数 B z 是 y 的函数 C w 是 z 的函数 D w 是 x 的函数
【解析】按照函数的定义，由于班上可能会有相同的姓名，故 A 不正确。而任意一个学生
的学号是唯一的，也对应了一个唯一的身高，故选项 B 正确；同理，C, D 均不正确。
3、（2007 复旦）设 f x 是定义在实数集上的周期为 2 的周期函数，且是偶函数。已知当
x 2,3 时， f x x,则当 x 2,0 时， f x 的表达式为（ ）
A 3 | x 1| B 2 | x 1| C 3 | x 1| D 2 | x 1|
【解析】选 A 可以考虑特殊值。 f 2 f 2 2, f 1 f 1 f 3 3，
f 0 f 2 2。符合条件的只有选项 A 了。
4、（2006 复旦）设有三个函数，第一个是 y f x ，它的反函数就是第二个函数，而第三
个函数的图像与第二个函数的图像关于直线 x y 0对称，则第三个函数是（ ）
A y f x B y f x C y f 1 x D y f 1 x
1
【解析】选 B 。第二个函数是 y f x, 1第三个函数为 x f y ，即 y f x
三、真题讲解
ax2 8x b
1、（2005 交大）函数 y 的最大值为9,最小值为1,求实数a 、b .
x2 1
2 2 2
【解析】 yx y ax 8x b,即 a y x 8x b y 0 .
显然，这个关于 x 的方程必有实数根，从而有 64 4 a y b y 0
y2 a b y ab 16 0 。根据题意，1 y 9 y 9 y 1 0
a b 10
y2 10y 9 0,故 ，所以解得a b 5 .
ab 16 9

2、（2006 复旦）设 x , x 0, ,且 x x1 2 1 2 , 下列不等式中成立的是（ ）
2
1 x x
① tan x1 tan x2 tan
1 2 ;
2 2
1 x1 x② tan x1 tan x2 tan
2 ;
2 2
1 x x
③ sin x1 sin x2 sin
1 2 ;
2 2
1 x x
④ sin x1 sin x2 sin
1 2 ;
2 2
A ①③ B ①④ C ②③ D ②④

【解析】选 B 这是一道和凸函数有关的问题，分别画出 y tan x , y sin x, x 0, 的
2
草图。由图像可知 y tan x 是下凸函数， y sin x 是上凸函数，故选 B
* 1
3、（2009 清华）a 0,b 0,a b 1,n N , 求证：a2n b2n .
22n 1
2n *
【解析】本题考查的是前文中证明函数是凸函数的充要条件。首先构造函数 y x ,n N
2n 1
先证明它是凸函数。事实上 y 2nx , y 2n 2n 1 x2n 2 0, 故 y x2n ,n N * 是
a2n b2n
2n 2n

a b 1 2n 2n 1 , 上的凸函数，从而 a b ,证毕！
2 2 2 22n 1
2x 1
4、（2007 交大）已知函数 f1 x , 对于 n 1,2, , 定义 fn 1 x f1 fn x , 若
x 1
f35 x f5 x ,则 f28 x ________ .
1 x 1 x 2
【解析】 . 本题考查迭代周期问题。计算得 f2 x , f3 x ,
x 1 x 2x 1
1
f4 x ,
1 x
1 x
f x , f x x,故 f x 以 6 为周期. 注：条件 f5 6 35 x f5 x 可以不用。
2 x
2
5、（2007 北大） f x x 53x 196 | x2 53x 196 |, 求 f 1 f 2 f 50 .
2
【解析】 f x x 53x 196 | x2 53x 196 | x 4 x 49 | x 4 x 49 |,
50
故 f 4 f 5 f 48 f 49 0，所以 f i f 1 f 2 f 3
i 1
f 50 288 188 92 92 660 .
a b
6、（2002 交大）函数 f x | lg x |, 有0 a b且 f a f b 2 f .
2
1 求a,b满足的关系；
2 证明：存在这样的b,使3 b 4.
a b
【解析】 1 因为 f x | lg x |, 有0 a b且 f a f b 2 f ,所以 ab 1，
2
且 a 0,1 ,b 1, .
1 2 1b b 2
2 1
lgb 2 lg b lg b （因为b 2），
2 4 b
1 4 3 2
故4b b2 2 , 即b 4b 2b 1 0, b 1 b3 3b2 b 1 0
b2
令 g x x3 3x2 x 1,而 g 3 0, g 4 0,故 g x 0在 3, 4 之间必有一解，所以
存在b ，是的3 b 4.
四、强化训练
（A 组）
1、（2004 复旦）若存在M ,使对任意 x D （D 为函数 f x 的定义域），都有
1 1 1
| f x | M ,则称函数 f x 有界。问函数 f x sin 在 x 0, 上是否有界？
x x 2
1 1 1
【解析】令 t,则 t 2, ， sin t sin t.
x x x

若令 t 2k ,k Z 且 k 1,则当 k 时，sin t sin 2k 1， t ，
2 2
1 1 1
故 f x sin 在 x 0, 上无界 .注：本题中的 t 有无穷多个赋值方式，如令
x x 2

t 2k ,2k , 事实上，只要使sin t 0均可。
3 5
2、（2007 复旦）若a 1,b 1且 lg a b lg a lgb,则 lg a 1 lg b 1
A lg 2 B 1 C 不是与a,b无关的常数 D 0
【解析】选 D. 由a b ab, 得 a 1 b 1 ab a b 1 1.故 lg a 1 lg b 1
lg1 0
x 2002
3、（2005 复旦）定义在 R 上的函数 f x x 1 满足 f x 2 f 4015 x ，
x 1
则 f 2004 ________ .
【解析】2005. 令 x 2 f 2 2 f 2004 4013,令 x 2004 f 2004 2 f 2
f 2 2 f 2004 4013,
2011. f 2004 2005.
f 2004 2 f 2 2011
4、设 f x | x 1| | x 2 | | x 2013 | | x 1| | x 2 | | x 2013 | x R
且 f a2 3a 2 f a 1 ，则 a 的值有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 无数个
【解析】因为 f x f x ，故 f x 为偶函数.在 1 x 1时，有
f x | x 1| | x 1| | x 2 | | x 2 | | x 2013 | | x 2013 |
2 1 2 2013 2013 2014 1 a2.当 3a 2 1且 1 a 1 1时，
3 5
恒有 f a2 3a 2 f a 1 a 2. 故选D ！
2
3 3
5、（ 2 22000 交大）求函数 f x x 1 x x 1 x x R 的反函数
3 3
【解析】由 f x x 1 x2 x 1 x2 得
2 2
y3 2x 33 x 1 x2 x 1 x2 33 x 1 x2 x 1 x2
3 3
2x 3 x 1 x
2 x 1 x2 2x 3y

y3 3y 3
x , f 1
x 3x
x
2 2
x4 4x3 17x2 26x 106
6、 （模拟题）求函数 f x 在区间 1,1 上的值域.
x2 2x 7
64 2
【解析】 f x x2 2x 7 1，值域为 15,15 x2 2x 7 3
7、（模拟题）已知 f x 是定义在 R 上的函数，且 f x 2 1 f x 1 f x
（1）试证明 f x 是周期函数；
（2）若 f 1 2 3,试求 f 2013
1 f x
【解析】（1）又条件可知 f 1 1,故 f x 2 .用 x 2 换上式的 x ，得
1 f x
1 f x
1
1 f x 2 1 f x 1
f x 4
1 f x 2 1 f x f x
1
1 f x
1
所以 f x 8 f x ，即 f x 是以 8 为周期的周期函数。
f x 4
1
（2） f 2013 f 8 251 5 f 5 f 1 4 3 2 .
f 1
8、（模拟题）已知 f1 x f x 是一次函数，fn x f fn 1 x 且 f10 x 1024x 1023 .
求 f x
【解析】设 f x ax b a 0 则有
f2 x f f x a ax b b a
2x b a 1
f3 x f f f x a a
2x b a 1 b a
3x b a2 a 1 .
b 1 a10
10 9 8 10
依此类推有： f10 x a x b a a a 1 a x a=1时不成立
1 a
b 1 a10
10
由题设可得：a 1024且 =1023，故解得a 2,b 1或a 2,b 3 .
1 a
所以 f x 2x 1或 f x 2x 3 .
1 1
9、（模拟题）已知实数 x 满足 x3 2 5,求 x2 .
x3 x2
【解析】记 t x2
1
1则
x2
2 2
1 1 1
20 3 x
2
x 1 x
2 2 t2
3 2 2 t 3
x x x
3 2 1t 3t 20 0 t 2 t 2 5t 10 0, t 2,故 x2 3 .
x2
2
10、（2001 交大）已知函数 f x x 2x 2, x t, t 1 的最小值是 g t ，试着写出 g t
的解析表达式。
2
【解析】 f x x 1 1,其对称轴为 x 1.
2
当 t 1时， f x 在 t, t 1 上单调递增，从而 g t f t t 2t 2
2
当 t 1 1即 t 2时， f x 在 t, t 1 上单调递减，从而 g t f t 1 t 4t 5
当 2 t 1时， g t f 1 1
t 2 2t 2, t 1,

故 g t 1, t 2, 1

t
2 4t 5, t , 2
（B 组）
2
1、（2008 交大）已知函数 f x ax bx c a 0 , 且 f x x 没有实数根 .那么
f f x x是否有实数根？并证明你的结论.
【解析】法一：利用 f f x x 0 ，得到 0，故没有实数根（本方法计算量过大）
法二：若a 0, 则 f x x,对一切 x R恒成立.
故有 f f x f x x ；
同理a 0时 ,则 f x x,对一切 x R恒成立.
故有 f f x f x x；所以 f f x x没有实数根
2、 （模拟题）已知函数 f x ax2 2bx 4c a,b,c R,a 0 .
2
（1）函数 f x 的图像与直线 y x 均无公共点，求证: 4b 16ac 1
（2）若a 0且a b 1，又 | x | 2时，恒有 | f x | 2，求 f x 的解析式.
2
【解析】（1）函数 f x 与直线 y x 无公共点，ax 2bx 4c x无实数解.
2
故 2b 1 16ac 0 ，即4b2 4b 1 16ac 0 .
同理 函数 f x 2与直线 y x 无公共点，即有4b 4b 1 16ac 0 .
2
两式相加 得8b 2 32ac 0, 4b2即 16ac 1.
（2）a b 1，又 | x | 2时，恒有 | f x | 2
故有 2 f 0 4c 4a 4b 4c 4 a b f 2 4 2 4 2
1
故4c 2 .C 又 | f x | 2 .故 f x 2 f 0
2
故 f x 在 x 0处取得最小值而且0 2, 2 从而 x 0是函数的对称轴.
故b 0,a 1。 f x x2 2
1 f n 1 2nf n 1 1
n 1 f n n N 3、（模拟题）已知 f 1 且当 时有 .求
5 f n 1 2 f n
【解析】把已知条件中的等式进行整理，得到：
1 1
f n 1 f n 2 n 1 f n f n 1 2 n 1
f n f n 1
1 1
把 n 依次用2,3, ,n 代换，得： 2 3
f 2 f 1
1 1
2 4
f 3 f 2
1 1
2 n 1
f n f n 1
上述的n 1个等式相加，可以得到：
1 1
2 3 4 n 1 n 1 n 4 f n f 1
1 1 1
所以 n 1 n 4 n2 3n 1 故 f n
f n f 1 n2 3n 1
4、（模拟题）已知 f x 是定义在 R 上的不恒为0 的函数，且对于任意的a,b R ，有
f ab af b bf a .
（1）求 f 0 , f 1 的值.
（2）判断 f x 的奇偶性，并证明你的结论.
f 2 n
（3）若 f 2 2 ，un n N ,求数列 un 的前 n 项和 Sn .
n
【解析】（1）令a b 0，则 f 0 0；令a b 1，则 f 1 f 1 f 1 ，
f 1 0 。
（2）令a 1,b x, 则 f x f x xf 1 ,
再令a 1,b 1,则 f 1 f 1 f 1 2 f 1 0 f 1 0
故 f x f x ，即 f x 是奇函数。
f ab f a f b
（3）当ab 0时， .
ab a b
f x
令 g x ,则有 g ab g a g b g an ng a
x
故 f an ang an nang a nan 1 ag a nan 1 f a ，
f an f 2 n n 1n 1 1 1 a f a ,故un f .
n n 2 2
1 1 1 1
又因为 f 1 f 2 2 f f 2 2 f 1 0,
2 2 2 2
n
1 1
1
n 1 n
1 1 1 1 2 2 1 故 f u . n Sn 1 .
2 2 2 2 1 21
2