【高考自主招生】高中数学复习专题讲义：第2讲 导数（PDF版含解析）

第二讲 导数
一、知识方法拓展
1、导数定义：
函数 y f (x) ,如果自变量 x 在 x0 处有增量 x ，那么函数 y 相应地有增量 y f (x0 x) f (x0 ) ，
y y f (x x) f (x )
比值 叫做函数 y f (x) 在 x0 到 x0 x 之间的平均变化率，即
0 0
= 。如果当
x x x
y
x 0时， 有极限，我们就说函数 y f (x) 在点 x0 处可导，并把这个极限叫做 f (x) 在点 x0 处的导
x
数，记作 f (x ) 或 y 0 x x . 0
y f (x x) f (x )
即 f (x 0 00 ) = lim = lim .
x 0 x x 0 x
y y
求导步骤：① 求函数的改变量 y ；② 求平均变化率 ；③ 取极限，得导数 f (x0 ) = lim .
x x 0 x
2、导数的几何意义和物理意义
① 函数 y f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y f (x) 在点 p(x0 , y0 ) 处的切线的斜率. 相应
地，切线方程为 y y 0 f (x0 )(x x0 ) .
② 如果物体运动的规律是 s s(t)，在点 p(t0 , s0 ) 处导数的意义是 t t0处的瞬时速度.
3、常见函数导数
C 0 （C n为常数）； (x ) nxn 1(n R) ； (sin x) cos x； (cos x) sin x；
1 1 x x x x
(ln x) ； (log x) log e ； (e ) e ； (a ) a ln a . a a
x x
4、导数的运算法则
① 导数的四则运算法则
u u v uv
(u v) u v ； (uv) u v uv ； ( ) (v 0)
v v2
② 复合函数求导
f x ( (x)) f (u) (x)或 y x y u u x
5、函数的单调性与最值
（1）求函数 f (x) 的单调区间的一般步骤：
① 求出 f (x) 的导数 f (x)；
② 求出方程 f (x) 0的根；
③ f (x) 0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； f (x) 0的解集与定义域的交集的对应
区间为减区间；
注：若 f (x) 0，则 f (x) 为常值函数.
（2）求函数 y f (x)极值的步骤：(最好通过列表法)
① 求导数 f (x)；
② 解方程 f (x) 0的根 x0 ；
③ 检查 f (x)在方程 f (x) 0的根 x0 左、右两侧的符号，判断极值.“左正右负” f (x) 在 x 处取极0
大值；“左负右正” f (x)在 x 处取极小值. 0
注：若 x 点是 y f (x)的极值点，则 f (x ) 0 ，反之不一定成立；如函数 f (x) x0 0 在 x 0时没有
导数，但是，在 x 0处，函数 f (x) x 有极小值. .
（3）函数最值
定义：函数 f (x) 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数
f (x) 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。
求函数 y f (x)在[ a,b ]上的最值的步骤：
① 求函数 y f (x)在（a,b）内的极值；
② 将 y f (x)的各极值与 f (a)， f (b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
二、热身练习
3
【例 1】（2007 武大）函数 y x 3x 1的极小值、极大值分别为（ ）
A.极小值-3，极大值-1 B.极小值-4，极大值 1
C.极小值-4，极大值 0 D.极小值-3，极大值 1
2
分析：对函数求导，y ' 3x 3，令 y ' 0 x 1, x 1是两个驻点。因为 x ( , 1) 时，y ' 0；
x ( 1,1)时， y ' 0； x (1, )时， y ' 0，所以 x 1对应极小值， x 1对应极大值。 x 1时，
y 3； x 1时， y 1
答案：D
1
【例 2】（2007 武大）在曲线 y x3 x 1的所有切线中，斜率最小的切线方程为（ ）
3
2
A. y 0 B. y 1 C. x y 1 0 D. x y 0
3
y ' x2分析：对函数求导， 1，所以过 (x0 , y0 ) 的切线斜率为 x
2 1，即所有曲线的切线构成的直线0
系为 y y (x2 1)(x x )。又 x2 1 1，故 x0 0时斜率最小，此时 y0 1，切线方程为 y 1 x，0 0 0 0
即 x y 1 0
答案：C
3 2 2
【例 3】（2011 复旦）设 a 为正数， f (x) x 2ax a ，若 f (x) 在区间 0,a 上大于 0，则a 的取
值范围是（ ）
A. (0,1] B. (0,1) C. (1, ) D. [1, )
2
分析：对函数求导， f '(x) 3x 4ax，则当 x (0,a)时， f '(x) 0，所以 f (x) 在区间 0,a 上单
调递减。若 f (x) 在区间 0,a 上大于 0，当且仅当 f (a) 0 ，即a3 2a3 2a2 0，则0 a 1
答案：A
三、真题精讲
【例 1】（2010 五校联考） y cos3 x sin2 x cos x 的最大值为（ ）
28 32 4 40
A. B. C. D.
27 27 3 27
3 2
分析：令 t cos x，则 y g(t) t t t 1( 1 t 1)， y ' g '(t) 3t
2 2t 1 (t 1)(3t 1) ，
1 1 1
所以函数 g(t) 在 1, 上单调递增，在3
,1 上单调递减。所以在 t 时取得最大值，
3 3
1 32
ymax g( )
3 27
答案：B
1
【例 2】（2007 清华）求 f (x) ex 的单调区间及极值.
x
ex x ex
分析：对函数求导， f '(x) ，则 f '(x) 0 x 1，当 x 0时， f '(x) 0 f (x)单调
x2
递减；0 x 1时， f '(x) 0 f (x)单调递减； x 1时， f '(x) 0 f (x) 单调递增。所以在 x 1时
f (x) 取得最小值e 。
答案： f (x) 在 ( ,0)上单调递减，在 (0,1)上单调递减，在[1, ) 上单调递增。 f (x) 有最小值e
【例 3】（2010 五校联考）设 f (x) eax (a 0)，过点P(a,0)且平行于 y 轴的直线与曲线 C：y f (x)
的交点为 Q，曲线 C 过点 Q 的切线交 x 轴于点 R，则 PQR 的面积的最小值是（ ）
2
2e e e
A. 1 B. C. D.
2 2 4
ax a2 a2
分析：对函数求导， f '(x) ae ，由导数的几何意义可知 f (x) 在 P(a,e ) 处切线的斜率为ae ，故
a2 a2 1 1 1 2
切线方程为 y e ae (x a) 。令 y 0 ，得 aR 点坐标 (a ,0) 。所以 S ，则 PQR e
a 2 a
1 2 1 2 1 2 2
S ' PQR ( a
2ea 2a ea ) (2 a 2) ea ，令 S ' PQR 0 a ，所以 PQR 面积最小值为
2 a 2 2
2e
2
答案：B
3 2
【例 4】（2011 华约）已知 y x x 2x 1，过 ( 1,1) 的直线与该函数图象相切，且 ( 1,1) 不是
切点，求直线斜率。
分析：设切点为 (x , x3 x2 2x 1) 2。对函数求导， f '(x) 3x 2x 2 ，则0 0 0 0 k 3x
2
0 2x0 2 ，
(x3 x2 2x
又 k 0 0 0
1) 1
，联立之后可得 x0 1，因为 ( 1,1) 不是切点，所以 x0 1， k 1
x0 ( 1)
答案： k 1
'
【例 5】（2010武大）已知 f (x) 是定义在区间 (0, )上的可导函数，满足 f (x) 0 ，且 f (x) f (x) 0
（1）讨论函数F(x) ex f (x)的单调性
1 1
（2）设0 x 1，比较函数 xf (x)与 f ( )的大小
x x
x x x
分析：（1）由于F '(x) e f (x) e f '(x) e ( f (x) f '(x)) 0 ，所以F(x)在 (0, )上单调递减
1 1
1 1 xx 1
（2）当0 x 1时， x ，由（1）得e f (x) e x f ( )，即 f (x) e x f ( ) 。
x x x
1 1 2 (x 1)2
令 g(x) x 2ln x,0 x 1，当0 x 1时，有 g '(x) 1 0，
x x2 x x2
1
1 x 1
所以 g(x)在 (0,1)上单调递减，故 g(x) g(1) 0，即 g(x) x 2ln x 0 e x ，
x x2
1
x 1 1 1 1 1
由此可得 f (x) e x f ( ) f (x) f ( ) xf (x) f ( )
x x2 x x x
答案：（1）F(x)在 (0, )上单调递减
1 1
（2）当0 x 1时， xf (x) f ( )
x x
四、重点总结
1、利用导数判定函数的单调性、极值点、最值
2、利用导数的几何意义解决曲线切线的斜率问题
五、强化训练
A 组
3
1. 函数 y x 3x 2的极小值、极大值分别为（ ）
A.极小值 0，极大值 4 B.极小值-16，极大值 4
C.极小值-1，极大值 4 D.极小值 0，极大值 1
2
分析：对函数求导，y ' 3x 3，令 y ' 0 x 1, x 1是两个驻点。因为 x ( , 1) 时，y ' 0 ；
x ( 1,1)时，y ' 0；x (1, )时，y ' 0，所以 x 1对应极大值，x 1对应极小值。x 1
时， y 4 ； x 1时， y 0
答案：A
f (x0 h) f (x0 h)2. 设 f (x0 ) 2 ，则 lim （ ）
h 0 h
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
分析：由导数定义可得
f (x0 h) f (x0 h) f (x0 h) f (x0) f (x0) f (x h)lim lim lim 0 2 f (x 0) 4
h 0 h h 0 h h 0 h
答案：D
3. 函数 f (x) ex ln(1 x) 2的单调递减区间为____________
1 ex (1 x) 1
分析：对函数求导， f '(x) ex ，则 x 0时， f '(x) 0 ；x 0时， f '(x) 0；
1 x 1 x
x 0时， f '(x) 0 ，又函数的定义域为 ( 1, )，所以 f (x) 的单调递减区间为 ( 1,0]
答案： ( 1,0]
4. 若四次函数F(x) 0有四个根，则它的导函数有多少个根？
分析： 令 F(x) 0 的四个根为 a1 a2 a3 a4 ，且不妨设 F(x) 0 的最高次项系数大于 0，则
x 时 F(x) 0 。所以在 ( ,a1) 上 F(x) 0 ，在 (a1,a2 ) 上 F(x) 0 ，在 (a2 ,a3) 上
F(x) 0，在 (a3 ,a4 )上F(x) 0，在 (a4 , )上F(x) 0。所以F(x)的导函数有 3 个极值点，
即有 3 个根
答案： 至多 3 个根
3
5. 若方程 x 27x m 0有 3 个不同实根，求实数m 的取值范围
分析：记 f (x) x3 27x m， f (x) 0 有 3 个不同实根，则 f '(x) 0 应该有 2 个不同实根 x1, x2 。
设 x 21 x2，令 f '(x) 3x 27 0 x 3, x 3 ，则 x 3时， f (x) 有极大值，所以 1 2
f ( 3) 0 m 54；x 3时，f (x) 有极小值，所以 f (3) 0 m 54 。所以 54 m 54
答案： 54 m 54
6. 已知三次方程 x3 3a2x 6a2 3a 0(a 0)只有一个实根是正的，求a 的取值范围
3 2
分析：令 f (x) x 3a x 6a2 3a ，则 f '(x) 3x2 3a2
(1） f '(x) 0恒成立 a 0与题设矛盾
（2） f '(x) 0恒成立显然不可能
（3） f '(x) 0 x a, x a ，因为a 0，所以 f (x) 在 ( , a) 上单调递增，在 ( a,a) 上
f ( a) 0 3 3 3 3
单调递减，在 (a, )上单调递增，则 a
f (a) 0 2 2
3 3 3 3
答案： a
2 2
a
7. 已知函数 f (x) x2 (x 0,a R)
x
（1）判断函数 f (x) 的奇偶性
（2）若 f (x) 在区间 2, 上是增函数，求实数 a 的取值范围
分析：（1）对 a 进行讨论，
a 0 f (x) x2 为偶函数
a a
a 0 f (x) x2 , f ( x) x2 ，则 f (x) f ( x) ，为非奇非偶函数
x x
a 2x3 a
（2）由题意，在 x 2时， f '(x) 2x 0 a (2x3)min 16
x2 x2
所以a 16
答案：（1）a 0时为偶函数，a 0时为非奇非偶函数；（2）a 16
8. 已知三次曲线C : y x3 bx2 cx d 的图象关于点 A(1,0)中心对称
（1）求常数b
（2）若曲线C 与直线 l : y 4x 12相切，求曲线C 的方程
分析：（1）由题意，若 (t, s)在曲线上，则 (2 t, s) 也在曲线上，即
s t3 bt2 ct d
(6 2b)t
2 (12 4b)t 8 4b 2c 2d 0
s (2 t)
3 b(2 t)2 c(2 t) d
由于恒成立，所以6 2b 0 b 3
（2）由（1）知8 4b 2c 2d 0 c d 2 d 2 c
令 (m, 4m 12)是C 的切点 C在该点的切线斜率为 4
2
由 y ' 3x 2bx c 4 3m2 2bm c 3m2 6m c c 4 3m2 6m，
又4m 12 m3 3m2 cm 2 c c(m 1) m3 3m2 4m 10，所以m 1，
c 5,d 7 3 2，从而 y x 3x 5x 7
3 2
答案：（1）b 3；（2） y x 3x 5x 7
B 组
a
1. 一元三次函数 f (x) 的三次项系数为 ， f '(x) 9x 0的解集为 (1, 2)
3
（1）若 f '(x) 7a 0有两个相等实根，求 f '(x) 的解析式
（2）若 f (x) 在 R 上单调递减，求a 的取值范围
a 2
分析：设 f (x) x3 bx2 cx d ，则 f '(x) ax 2bx c ，
3
2
f '(x) 9x 0 ax (2b 9)x c 0。又因为 f '(x) 9x 0的解集为 (1, 2)，所以
(x 1)(x 2) 0,a 0，对比系数可得2b 3a 9,c 2a
（1） f '(x) 7a 0 ax
2 2bx c 7a 0 ax2 (3a 9)x 9a 0，因为有两个相等
实根，所以 (3a 9)
2 36a2 0 a 1 f '(x) x2 6x 2
（2） f '(x) ax
2 (3a 9)x 2a，要使得 f (x) 在 R 上单调递减，只需 f '(x) 0在R 上恒成
a 0
立即可。所以 27 18 2 a 27 18 2
(3a 9)2 8a2 0
答案：（1） f '(x) x2 6x 2；（2） 27 18 2 a 27 18 2
2. 设三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a b c)，在 x 1处取得极值，其图象在 x m 处的切线
的斜率为 3a
b
（1）求证：0 1
a
（2）若函数 y f (x)在区间 s, t 上单调递增，求 s t 的取值范围
f '(1) 3a 2b c 0
分析：（1） f '(x) 3ax2 2bx c ，由题意可得
f '(m) 3am
2 2bm c 3a
m2c b
3a 2b c 2b 0 a b 0 0 1
m2 m 1 a
2
（2）由（1）可知 f '(x) 3ax 2bx c 0的 4b2 12ac 0，所以方程 f '(x) 0 有两
2b
个不同实根 x1, x2 。又 f '(1) 3a 2b c 0 x1 1 x2 1 x2 0 x 。 1
3a
所以，当 x x2 或 x x1时， f '(x) 0；当 x2 x x1时， f '(x) 0
2b 8 8
所以， y f (x)的单调递增区间是 x1, x2 x1 x2 2 2, ，即 s t 2,
3a 3 3
8
答案：（1）略；（2） s t 2,
3
1
3. 已知定义在正实数集上的函数 f (x) x2 2ax, g(x) 3a2 ln x b ，其中 a 0 ，设两曲线
2
y f (x)， y g(x) 有公共点，且在公共点处的切线相同
（1）若a 1，求b 的值
（2）用 a 表示b ，并求b 的最大值
3
分析：（1） f '(x) x 2, g '(x) ，设 y f (x)与 y g(x)(x 0)在公共点 (x0 , y0 ) 处的切线
x
1
x
2
0 2x 3ln x b
f (x0 ) g(x0 )
0 0
2 5
相同，由题意可知 x0 1 b
f '(x0 ) g '(x ) 30 2x0 2
x0
3a2
（2） f '(x) x 2a, g '(x) ，设 y f (x) 与 y g(x)(x 0)在公共点 (x0 , y0 ) 处的切
x
1
x
2
0 2ax 3a
2 ln x b
f (x
0 0
0 ) g(x0 ) 2
线相同，由题意可知 x a
f '(x ) g '(x ) 3a
2 0
0 0 x0 2a
x0
5
所以b a2 3a2 ln a
2
5
令h(a) a2 3a2 ln a(a 0) ，则h '(a) 2a(1 3ln a)
2
1
当 2a(1 3ln a) 0，即0 a e3 时，h '(a) 0
1
当 2a(1 3ln a) 0 ，即a e3 时，h '(a) 0，
1 2
3
所以h(a) 在 (0, )的最大值为h(e3 ) e3
2
2
5 5 3
答案：（1）b ；（2）b a2 3a2 ln a ，最大值为 e3
2 2 2
b
4. 已知函数 f (x) ax 2ln x, f (1) 0 .
x
（1）若函数 f (x) 在其定义域内为单调函数，求 a 的取值范围；
1
（ 22）若函数 f (x) 的图像在 x 1处的切线的斜率为 0，且a f ( ) n 1，已知a1 4n 1 ，
an n 1
求证：an 2n 2 ；
a a 2
分析：（1） f (1) 0 a b f (x) ax 2ln x f '(x) a
x x2 x
要使函数 f (x) 在定义域 (0, )内为单调函数，则在 (0, )内 f '(x) 恒大于 0 或恒小于 0
2
当a 0时， f '(x) 0在 (0, )内恒成立
x
1 1 1 1
当a 0时，要使 f '(x) a( )2 a 0恒成立，则a 0 a 1
x a a a
a 2
当a 0时， f '(x) a 0恒成立
x2 x
所以综上所述，a ( ,0] [1, )
1
（2）根据题意得 f '(1) 0 a 1 f '(x) ( 1)2
x
1 2 2 2 2
所以an 1 f ( ) n 1 (an n) n 1 an 2nan 1
an n 1
用数学归纳法证明如下：
当n 1时，a1 4 2 1 2，不等式成立
假设当n k 时，不等式ak 2k 2 成立，即ak 2k 2
则当n k 1时，a a2 k 1 k 2kak 1 ak (ak 2k) 1 (2k 2) 2 1 2(k 1) 2
所以不等式也成立。综上所述，可得证。
答案：（1）a ( ,0] [1, )；（2）略
六、参考答案
A 组
1. 分析：对函数求导， y ' 3x2 3，令 y ' 0 x 1, x 1是两个驻点。因为 x ( , 1) 时，
y ' 0； x ( 1,1)时， y ' 0； x (1, )时， y ' 0，所以 x 1对应极大值，x 1对应极
小值。 x 1时， y 4 ； x 1时， y 0
答案：A
2. 分析：由导数定义可得
f (x h) f (x h) f (x h) f (x ) f (x ) f (x
lim 0 0 lim 0 0 lim 0 0
h)
2 f (x0) 4
h 0 h h 0 h h 0 h
答案：D
x
f '(x) ex
1 e (1 x) 1
3. 分析：对函数求导， ，则 x 0时，f '(x) 0 ；x 0时，f '(x) 0；
1 x 1 x
x 0时， f '(x) 0 ，又函数的定义域为 ( 1, )，所以 f (x) 的单调递减区间为 ( 1,0]
答案： ( 1,0]
4. 分析： 令 F(x) 0的四个根为 a1 a2 a3 a4 ，且不妨设 F(x) 0的最高次项系数大于 0，则
x 时 F(x) 0 。所以在 ( ,a1) 上 F(x) 0 ，在 (a1,a2 ) 上 F(x) 0 ，在 (a2 ,a3) 上
F(x) 0，在 (a3 ,a4 )上F(x) 0，在 (a4 , )上 F(x) 0。所以F(x)的导函数有 3 个极值点，
即有 3 个根
答案： 至多 3 个根
3
5. 分析：记 f (x) x 27x m，f (x) 0 有 3 个不同实根，则 f '(x) 0 应该有 2 个不同实根 x1, x2 。
2
设 x1 x2，令 f '(x) 3x 27 0 x 3, x 3 ，则 x 3时， f (x) 有极大值，所以 1 2
f ( 3) 0 m 54；x 3时，f (x) 有极小值，所以 f (3) 0 m 54 。所以 54 m 54
答案： 54 m 54
3 2 2
6. 分析：令 f (x) x 3a x 6a 3a ，则 f '(x) 3x2 3a2
(1） f '(x) 0恒成立 a 0与题设矛盾
（2） f '(x) 0恒成立显然不可能
（3） f '(x) 0 x a, x a ，因为a 0，所以 f (x) 在 ( , a) 上单调递增，在 ( a,a) 上
f ( a) 0 3 3 3 3
单调递减，在 (a, )上单调递增，则 a
f (a) 0 2 2
3 3 3 3
答案： a
2 2
7. 分析：（1）对 a 进行讨论，
2
a 0 f (x) x 为偶函数
a 0 f (x) x2
a a
, f ( x) x2 ，则 f (x) f ( x) ，为非奇非偶函数
x x
a 2x3 a
（2）由题意，在 x 2时， f '(x) 2x 0 a (2x3) 16
x2 x2
min
所以a 16
答案：（1）a 0时为偶函数，a 0时为非奇非偶函数；（2）a 16
8. 分析：（1）由题意，若 (t, s)在曲线上，则 (2 t, s) 也在曲线上，即
s t3 bt
2 ct d
(6 2b)t
2 (12 4b)t 8 4b 2c 2d 0
3
s (2 t) b(2 t)
2 c(2 t) d
由于恒成立，所以6 2b 0 b 3
（2）由（1）知8 4b 2c 2d 0 c d 2 d 2 c
令 (m, 4m 12)是C 的切点 C在该点的切线斜率为 4
2 2 2 2
由 y ' 3x 2bx c 4 3m 2bm c 3m 6m c c 4 3m 6m，
3 2 3 2
又4m 12 m 3m cm 2 c c(m 1) m 3m 4m 10，所以m 1，
c 5,d 7，从而 y x3 3x2 5x 7
3 2
答案：（1）b 3；（2） y x 3x 5x 7
B 组
a
分析：设 f (x) x3
2
1. bx2 cx d ，则 f '(x) ax 2bx c ，
3
2
f '(x) 9x 0 ax (2b 9)x c 0。又因为 f '(x) 9x 0的解集为 (1, 2)，所以
(x 1)(x 2) 0,a 0，对比系数可得2b 3a 9,c 2a
（1） f '(x) 7a 0 ax2 2bx c 7a 0 ax2 (3a 9)x 9a 0，因为有两个相等
实根，所以 (3a 9)2 36a2 0 a 1 f '(x) x2 6x 2
2
（2） f '(x) ax (3a 9)x 2a，要使得 f (x) 在 R 上单调递减，只需 f '(x) 0在R 上恒成
a 0
立即可。所以 27 18 2 a 27 18 2 2 2
(3a 9) 8a 0
2
答案：（1） f '(x) x 6x 2；（2） 27 18 2 a 27 18 2
f '(1) 3a 2b c 0
2
2. 分析：（1） f '(x) 3ax 2bx c ，由题意可得
f '(m) 3am
2 2bm c 3a
m2c b
3a 2b c 2b 0 a b 0 0 1
m2 m 1 a
（2）由（1）可知 f '(x) 3ax2 2bx c 0 4b2的 12ac 0，所以方程 f '(x) 0 有两
2b
个不同实根 x1, x2 。又 f '(1) 3a 2b c 0 x1 1 x2 1 x 0 x 。 2 1
3a
所以，当 x x2 或 x x1时， f '(x) 0；当 x2 x x1时， f '(x) 0
2b 8 8
所以， y f (x)的单调递增区间是 x1, x2 x1 x2 2 2, ，即 s t 2, 3a 3 3
8
答案：（1）略；（2） s t 2,
3
3
3. 分析：（1） f '(x) x 2, g '(x) ，设 y f (x)与 y g(x)(x 0)在公共点 (x0 , y0 ) 处的切线
x
1
x2 0 2x0 3ln x b f (x0 ) g(x )
0
0 2 5
相同，由题意可知 x0 1 b
f '(x0 ) g '(x 30 ) 2x0 2
x0
3a2
（2） f '(x) x 2a, g '(x) ，设 y f (x) 与 y g(x)(x 0)在公共点 (x0 , y0 ) 处的切
x
1
x2 2
f (x ) g(x ) 0
2ax0 3a ln x0 b
0 0 2
线相同，由题意可知 2 x0 a
f '(x0 ) g '(x0 ) 3ax0 2a
x0
5
所以b a2 3a2 ln a
2
5
令h(a) a2 3a2 ln a(a 0) ，则h '(a) 2a(1 3ln a)
2
1
当 2a(1 3ln a) 0，即0 a e3 时，h '(a) 0
1
当 2a(1 3ln a) 0 ，即a e3 时，h '(a) 0，
1 2
3
所以h(a) 在 (0, )的最大值为h(e3 ) e3
2
2
5 5
答案：（ ）b ；（ ）b a2 3a2
3
1 2 ln a ，最大值为 e3
2 2 2
a a 2
4. 分析：（1） f (1) 0 a b f (x) ax 2ln x f '(x) a
x x2 x
要使函数 f (x) 在定义域 (0, )内为单调函数，则在 (0, )内 f '(x) 恒大于 0 或恒小于 0
2
当a 0时， f '(x) 0在 (0, )内恒成立
x
1 1 1 1
当a 0时，要使 f '(x) a( )2 a 0恒成立，则a 0 a 1
x a a a
a 2
当a 0时， f '(x) a 0恒成立
x2 x
所以综上所述，a ( ,0] [1, )
1
（2）根据题意得 f '(1) 0 a 1 f '(x) ( 1)2
x
1 2
所以a n 1 f ( ) n 1 (an n)
2 n2 1 a2n 2nan 1
an n 1
用数学归纳法证明如下：
当n 1时，a1 4 2 1 2，不等式成立
假设当n k 时，不等式ak 2k 2 成立，即ak 2k 2
则当n k 1时，a 2k 1 ak 2kak 1 ak (ak 2k) 1 (2k 2) 2 1 2(k 1) 2
所以不等式也成立。综上所述，可得证。
答案：（1）a ( ,0] [1, )；（2）略