2013年高考数学复习专题辅导 导数与三次函数

2013年高考数学复习专题辅导
导数与三次函数讲义
函数从一次，到二次，再到三次，随着“数”的增加，“形”也表现出一些新的特征.二次较一次：有了“顶点（本质上也是极值点）”、“对称轴”，“零点可有 2 个”等；三次较二次：有了“极值点”、“拐点”、“零点可有 3 个”等.即便如此，三者还是通过导数有机的联系在一起.
1.三次函数的定义.
形如 (a 0) 的函数叫做三次函数.定义域为 R ,值域为 R .
2.拐点
定义：设 f ( x) 是函数 y f (x) 的导函数 y f (x) 的导数，若 f (x) 0 有实数
解 x0 ，则称点 (x0 , f (x0 )) 为函数 y f (x) 的“拐点”.
“拐点”的定义是用二阶导数来定义的.简言之，就是导数的导数.三次函数的拐点，即一阶导函数的顶点，导函数先增后减（或先减后增）过程中的那个“转变点” 三次函数的“拐点”的重要性堪比二次函数的的“顶点”.一阶导数获得斜率，二阶导数获得拐点.一阶导数勾连三次与二次，二阶导数勾连三次与一次、二次函数.三次函数的拐点与一阶导函数的顶点、二阶导函数的零点一致.
3.三次函数的图象特征、以及与x轴的交点个数（根的个数）、极值情况
三 次 函 数 图 象 说 明
a对图象的影响 可以根据极限的思想去分析当a＞0时，在+∞右向上 伸展，-∞左向下伸展。当a＜0时，在+∞右向下伸展，-∞左向上伸展。(可以联系二次函数a对开口的影响去联想三次函数右侧伸展情况)
与x轴有三个交点 若,且，既两个极值异号；图象与x轴有三个交点
与x轴有二个交点 若,且，既有一个极值为0，图象与x轴有两个交点
与x轴有一个交点 1。存在极值时即,且，既两个极值同号，图象与x轴有一个交点。2。不存在极值，函数是单调函数时图象也与x轴有一个交点。
1.极值情况：
(1) 若，则在上为增函数；
(2) 若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.
证明：, △=，
(1) 当 即时，在 R上恒成立， 在为增函数.
(2) 当 即时，解方程，得
由得或，在和上为增函数.
由得，在上为减函数.
总结以上得到结论:
三次函数,
(1) 若，则在R上无极值；
(2) 若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.
由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。
2.根的个数
三次函数导函数为二次函数:，
二次函数的判别式化简为：△=，
(1) 若，则恰有一个实根；
(2) 若,且，则恰有一个实根；
(3) 若,且，则有两个不相等的实根；
(4) 若,且，则有三个不相等的实根.
说明(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与X轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）.
(3)有两个相异实根的充要条件是曲线与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且.
(4)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与X轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.
例1.设函数（a>0），且方程的两个根分别
为1，4
（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；
（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。
解：由 得
的两个根分别为1,4，所以 （*）（Ⅰ）当时，又由（*）式得解得
又因为曲线过原点，所以故
（Ⅱ）由于a>0,所以“在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“在（-∞，+∞）内恒成立”。由（*）式得。
又解 得
即的取值范围
例2.已知函数f（x）=，其中a>0.
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.
【解析】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：
若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：
X 0
f’(x) + 0 -
f(x) 极大值
当等价于，解得-5因此.
若a>2，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：
X 0
f’(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
当时，f（x）>0等价于即，解不等式组得或.因此2例3.已知函数在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数在R上有三个零点，且1是其中一个零点。 （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的取值范围； （Ⅲ）设，且的解集为（-∞，1），求实数的取值范围。
解: （Ⅰ）∵f（x）=－x3+ax2+bx+c，∴． 1分
∵f（x）在在（－∞,0）上是减函数，在（0,1）上是增函数，
∴当x=0时，f（x）取到极小值，即．∴b=0． 3分
（Ⅱ）由（1）知，f（x）=－x3+ax2+c， ∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，∴c=1－a．
∵的两个根分别为，．∵f（x）在（0,1）上是增函数，且函数f（x）在上有三个零点，∴，即．
∴．故f（2）的取值范围为．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，且．
∵1是函数的一个零点
又的解集为，
例4.已知函数，在点处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值；
（3）若过点，可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
【解析】（1） 根据题意，得 即 解得
（2）令，解得，
时， 则对于区间[-2，2]上任意两个自变量，都有 所以的最小值为4。
（Ⅲ）设切点为， 切线的斜率为
则 即， 因为过点，可作曲线的三条切线所以方程有三个不同的实数解
即函数有三个不同的零点， 则
令
即，∴
【金题热身】
一、选择题：
1.若函数f(x)＝x3－3x＋a有3 个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,2)　　　　B．[－2,2] C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
【解析】　f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，∴x＝±1.三次函数f(x)＝0有3个根
f(x)极大值>0且f(x)极小值<0∴x＝－1为极大值点，x＝1为极小值点．
∴，∴－22．函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是(　　)
A．2 B．1 C．0 D．由a确定
解析：f′(x)＝3x2＋6x＋4＝3(x＋1)2＋1>0，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点．答案：C
3.若函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围为(　　)
A．a≥3　　　　　　B．a＝3 C．a≤3 D．0解析　∵f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)单减∴f′(x)＝3x2－2ax≤0在(0,2)恒成立，即3x2≤2ax在(0,2)上恒成立．∴a≥x在(0,2)上恒成立，∴a≥3. 答案　A
4若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)
A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3 B．－3C．－2[解析]　因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－25.已知函数f(x)＝x3－x2－x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为(　　)
A．f(－a2)≤f(－1) B．f(－a2)C．f(－a2)≥f(－1) D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定
解析：由题意可得f′(x)＝x2－2x－.由f′(x)＝(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝.当x<－1时，f(x)为增函数；当－16.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，方程f′(x)＝0有两个不同的实数根，由Δ>0得m的取值范围．答案：B
7．已知函数f(x)＝3x3－ax2＋x－5在区间[1,2]上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，5)　　　　　　　　　B．(－∞，5]
C．(－∞，) D．(－∞，3]
解析：由题意可得f′(x)＝9x2－2ax＋1≥0在x∈[1,2]时恒成立．故只需满足a≤(9x＋)min，x∈[1,2]即可．又由函数h(x)＝x＋(a>0)的单调性可知函数g(x)＝9x＋在[1,2]上为增函数，故a≤5. 答案：B
8.下列图象中有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝(　　)
图1
A. B．－ C. D．－
解析：f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∵a≠0，∴其图象为最右侧的一个．由f′(0)＝a2－1＝0，得a＝±1.由f′(x)的图象知，a<0，故a＝－1，f(－1)＝－－1＋1＝－.答案：B
9. 已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 (　　)
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
解析：y′＝－x2＋81，所以当x＞9时，y′＜0；当x∈(0,9)时，y′＞0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．答案：C
二、填空题：
10.函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)的单调减区间是(0,4)，则k的值是________．
解析：f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x∵函数的单调减区间是(0,4)，∴f′(4)＝0，∴k＝.答案：
11.下图是函数y＝f(x)的导函数的图象，给出下面四个判断．
①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数； ②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；
④x＝3是f(x)的极小值点．其中，所有正确判断的序号是________．
解析：由函数y＝f(x)的导函数的图象可知：(1)f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2)f(x)在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．
故②③正确．答案：②③
12.已知函数f(x)＝x3－bx2＋c(b，c为常数)．当x＝2时，函数f(x)取得极值，若函数f(x)只有三个零点，则实数c的取值范围为________
解析　∵f′(x)＝x2－2bx，∵x＝2时，f(x)取得极值，∴22－2b×2＝0，解得b＝1.∴当x∈(0,2)时，f(x)单调递减，当x∈(－∞，0) 或x∈(2，＋∞)时，f(x)单调递增．若f(x)＝0有3个实根，则，解得013.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1,0)，则极小值为________．
解析　f′(x)＝3x2－2px－q，由题知f′(1)＝3－2p－q＝0.又f(1)＝1－p－q＝0，联立方程组，得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，解得x＝1或x＝，经检验知x＝1是函数的极小值点，∴f(x)极小值＝f(1)＝0. 答案　0
三、解答题
14.设函数.
（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；
（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.
[解析]（1）由已知有，从而，所以；（2）由，所以不存在实数，使得是上的单调函数.
15.设的导数为，若函数的图像关于直线对称，且．（Ⅰ）求实数的值 （Ⅱ）求函数的极值
解：（I）因从而即关于直线对称，
又由于
（II）由（I）知
令
当上为增函数；
当上为减函数；
当上为增函数；
从而函数处取得极大值处取得极小值
16、已知函数＝x3－ax2＋b(a，b为实数，且a>1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2.(1)求的解析式；(2)若函数＝－mx在区间[－2,2]上为减函数，求实数m的取值范围．
解：(1) ＝3x2－3ax，令＝0，得x1＝0，x2＝a，∵a>1，∴在[－1,0]上为增函数，在[0,1]上为减函数．∴f(0)＝b＝1，∵f(－1)＝－a，f(1)＝2－a，∴f(－1)∴f(－1)＝－a＝－2，a＝.∴f(x)＝x3－2x2＋1.
(2) ＝x3－2x2－mx＋1，g′(x)＝3x2－4x－m.由在[－2,2]上为减函数，知g′(x)≤0在x∈[－2,2]上恒成立．∴，即∴m≥20.∴实数m的取值范围是m≥20.
17.已知函数其中.
（Ⅰ）当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求的单调区间;
【解析】（Ⅰ）当时, ,
所以曲线在点处的切线方程为.
(Ⅱ) 令,解得或,因为,以下分两种情况讨论:
(1)若,则.当变化时, ,的变化情况如下表:
+ - +
所以的单调递增区间是,;的单调递减区间是.
+ - +
(2)若,则.当变化时, ,的变化情况如下表:
所以的单调递增区间是,;的单调递减区间是.