江苏省南京师大附中江宁分校2011-2012学年高一下学期期末调研数学试卷

南京师大附中江宁分校2011~2012学年度第二学期期末调研测试卷
高一数学
本试卷包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分。本试卷满分100分，考试时间120分钟。
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分。
1. 已知集合，，则__________。
2. 在平面直角坐标系中，点P（1，2）到直线的距离为__________。
3. 函数（）的最小正周期为，则__________。
4. 函数的零点个数为__________。
5. 设向量，互相垂直，则实数的值为__________。
6. 求值：＝__________。
7. 函数的图象经过一个定点，则该定点的坐标是__________。
8. 在平面直角坐标系中，若三条直线，和相交于一点，则实数的值为__________。
9. 给出下列命题：
①在空间，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行；
②在空间，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线平行；
③在空间，若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线平行；
④在空间，若两条直线都与一个平面垂直，则这两条直线平行；
其中，正确命题的序号是 。（写出所有正确命题的序号）
10. 在等差数列中，若，则__________。
11. 已知正三角形ABC的边长为2，沿着BC边上的高AD将正三角形折起，使得平面ABD⊥平面ACD（如图），则三棱锥A－BCD的体积为__________。
（图1） （图2）
12. 已知变量满足则的最大值为__________。
13. 观察下列数表：
根据以上排列规律，数表中第行中所有数的和为__________。
14. 设是定义在R上的奇函数，且，若不等式对区间内任意两个不相等的实数都成立，则不等式的解集是__________。
二、解答题：本大题共6小题，共58分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （本小题满分8分）
已知向量，，且。
（1）求的值；
（2）求的值。
16. （本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，已知点A（－2，1），直线。
（1）若直线过点A，且与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线与直线平行，且在轴、轴上的截距之和为3，求直线的方程。
17. （本小题满分10分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点，AC与BD的交点为O。
求证：（1）直线OE∥平面PBC；
（2）平面ACE⊥平面PBD。
18. （本小题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且A，B，C成等差数列。
（1）若，，求△ABC的面积；
（2）若成等比数列，试判断△ABC的形状。
19. （本小题满分10分）
某厂生产A产品的年固定成本为250万元，若A产品的年产量为万件，则需另投入成本（万元）。已知A产品年产量不超过80万件时，；A产品年产量大于80万件时，。因设备限制，A产品年产量不超过200万件。现已知A产品的售价为50元/件，且年内生产的A产品能全部销售完。设该厂生产A产品的年利润为L（万元）。
（1）写出L关于的函数解析式；
（2）当年产量为多少时，该厂生产A产品所获的利润最大？
20. （本小题满分10分）
设数列的前项和为，数列满足：，（）。已知对任意的都成立。
（1）求的值；
（2）设数列的前项和为，问是否存在互不相等的正整数，使得成等差数列，且成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
【试题答案】
说明：
1. 本解答给出的解法供参考。如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4. 只给整数分数，填空题不给中间分数。
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分。
1. 2. 3 3. 2 4. 1 5. 2或－1 6. 7. （2，2）
8. 1 9. ①④ 10. 6 11. 12. 12 13.
14.
二、解答题：本大题共6小题，共58分。第15题8分，第16~20题每题10分。
15. 解：（1）因为，（2分）
即。
显然，，所以。（4分）
（2）由（1）得（6分）
。（8分）
16. 解：（1）由题意，直线的斜率为2，所以直线的斜率为，（2分）
所以直线的方程为，即。（4分）
（2）由题意，直线的斜率为2，所以直线的斜率为2，
设直线的方程为。（6分）
令，得；令，得。（8分）
由题知，解得。
所以直线的方程为，即。（10分）
17. 证：（1）在正方形ABCD中，AC与BD的交点O为BD的中点。
又因为E为PD的中点，所以OE∥PB。（2分）
因为OE平面PBC，平面PBC，所以OE∥平面PBC。（4分）
（2）因为PD⊥底面ABCD，AC平面ABCD，
所以PD⊥AC。（6分）
在正方形ABCD中，AC⊥BD。
又因为BD平面PBD，PD平面PBD，且，
所以AC⊥平面PBD。（8分）
又因为AC平面ACE，
所以平面ACE⊥平面PBD。（10分）
18. 解：因为A，B，C成等差数列，所以。
又A＋B＋C＝，所以。（2分）
（1）解法一：因为，，所以
由正弦定理得，即，即，得。
因为，所以，即C为锐角，所以，从而。（4分）
所以。（6分）
解法二：由余弦定理得，
即，得。（4分）
所以。（6分）
（2）因为，，成等比数列，所以。（7分）
由正弦定理得（8分）
由余弦定理得。
所以，即，即。（9分）
又因为，所以△ABC为等边三角形。（10分）
19. 解：（1）由题意知
（4分）
（2）①当时，，所以
当时，；（6分）
②当时，
。（8分）
当且仅当，即时，“＝”成立。
因为，所以。（9分）
答：当年产量为60万件时，该厂所获利润最大。（10分）
20. 解：（1）当时，；
当时，，也适合上式。
所以。（2分）
因为对任意的都成立，，
所以，
所以，且，
所以，数列是首项为1，公比为3的等比数列。
所以，（4分）
即，
因为，
所以
所以对任意的都成立，
所以。（6分）
（2）由（1）得，
所以，
所以，
，
两式相减，得
。
解得。（8分）
所以。
若存在互不相等的正整数成等差数列，且成等比数列，
则，
即。（*）
由成等差数列，得，所以。
所以由（*）得。
即。
所以，
即，即，即。
这与矛盾，
所以，不存在满足条件的正整数。（10分）