导数应用中的函数构造技巧课件-2022届新高考数学二轮专题突破复习（49张PPT）

(共49张PPT)
　导数应用中的函数构造技巧
规律方法
近几年高考数学压轴题,多以导数为工具来证明不等式或求参数的取值范围,这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点,而构造函数是解决导数问题最基本的方法,以下对在处理导数问题时构造函数的规律方法进行归类总结,并举例说明.
1.具体函数的构造
根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构形式的相同点,构造具体的函数解析式,利用导数研究函数的性质从而解决问题.
2.抽象函数的构造
当题目是以抽象函数为背景且题设条件或所求结论中具有
特征式时,解决这类问题的有效策略是将上述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来,合理构造出相关的可导函数,然后利用函数的性质解决问题.
(1)利用f(x)与x(xn)构造
(2)利用f(x)与ex(enx)构造
(3)利用f(x)与sin x,cos x构造
由于sin x,cos x的导函数存在一定的特殊性,所以也是重点考查的范畴,我们一起看看常考的几种形式:F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x;
考查角度
角度一　具体函数的构造
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>a>b
D.b>a>c
答案 A　
[例1-2](2021·浙江宁波模拟)已知实数a,b,c∈(0,e),且3a=a3,4b=b4,5c=c5,则(　　)
A.aC.c答案 C　
x=e,所以f(x)在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即f(a)>f(b)>f(c),又a,b,c∈(0,e),所以a>b>c.故选C.
技巧点拨构造具体函数解决问题的关键是分析所给代数式的结构,发现结构相同的部分,必要时,应对代数式进行合理地转化和变形(移项、通分、取对数、拆分、常数代换等),以便发现它们的共同点,从而构造函数.
A.x+y=1 B.xy=1
C.x+y>2 D.x+y>3
答案 C　
角度二　抽象函数的构造
[例2-1](2021·辽宁锦州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)+xf'(x)<0,若f(2)=0,则不等式xf(x)>0的解集为(　　)
A.{x|-2B.{x|x<-2或x>2}
C.{x|-22}
D.{x|x<-2或0答案 D　
解析 令F(x)=xf(x),则F(x)为奇函数,且当x<0时,F'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,所以函数F(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减.
又f(2)=0,则F(-2)=F(2)=0,于是xf(x)>0可化为F(x)>F(-2)或F(x)>F(2),
则x<-2或0[例2-2](2021·河北正定一中模拟)设f'(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数,且满足xf'(x)-2f(x)>0,若△ABC是锐角三角形,则(　　)
A.f(sin A)sin2B>f(sin B)sin2A
B.f(sin A)sin2BC.f(cos A)sin2B>f(sin B)cos2A
D.f(cos A)sin2B答案 D　
名师点析利用f(x)与x(xn)构造函数的技巧
(1)f'(x)g(x)±f(x)g'(x)型
①对于f'(x)+g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)+g(x).
②对于f'(x)-g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)-g(x).
③对于f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)g(x).
④对于f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数
⑤对于xf'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x).
⑥对于xf'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数
(2)xf'(x)±nf(x)型
①对于xf'(x)+nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xnf(x).
②对于xf'(x)-nf(x)>0(或<0),构造函数
[例2-3](2021·辽宁锦州月考)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且对任意x∈R满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论正确的是(　　)
A.e2f(2)>e3f(3)
B.e2f(2)C.e2f(2)≥e3f(3)
D.e2f(2)≤e3f(3)
答案 A　
解析 令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex(f(x)+f'(x))<0,因此函数g(x)在R上单调递减,所以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3).故选A.
[例2-4]若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)-2f(x)>0,f(0)=1,则不等式f(x)>e2x的解集为　　　　　.
答案 {x|x>0}　
A.(e2 021,+∞) B.(0,e2 021)
C.(e2 021e,+∞) D.(0,e2 021e)
答案 D　
名师点析利用f(x)与ex(enx)构造函数的技巧
答案 AD　
技巧点拨利用f(x)与sin x,cos x构造函数的技巧
(1)对于f'(x)sin x+f(x)cos x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)·sin x.
(2)对于f'(x)sin x-f(x)cos x>0(或<0),构造函数
(3)对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0(或<0),构造函数
(4)对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)cos x.
对点演练
A.(-∞,-1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-1,1)
答案 D　
答案 D　
A.bB.aC.aD.c答案 A　
答案 B　
答案 D　
6.(2021·江西九江三模)已知f(x)是定义在区间(0,+∞)上的可导函数,f'(x)是f(x)的导函数,若xf(x)+x2f'(x)=ex,f(1)=e,则f(x)在区间(0,+∞)上(　　)
A.单调递增
B.单调递减
C.有极大值
D.有极小值
答案 A　
7.(2021·湖南长沙联考)已知定义在R上的连续函数f(x)的导函数为f'(x),且cos xf'(x)<(cos x+sin x)f(x)成立,则下列各式一定成立的是(　　)
A.f(0)=0
B.f(0)<0
C.f(π)>0
答案 C　
8.(2021·辽宁朝阳模拟)已知f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,f'(x)是f(x)的导函数,且xf'(x)ln x>f(x)(x>1),f(e2)=2,则不等式f(ex)A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.(0,2)
D.(1,2)
答案 C