第3讲等差数列与等比数列课件-2022届新高考数学二轮专题复习（23张PPT）

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第3讲 等差数列与等比数列
1.等差数列与等比数列
类别 等差数列 等比数列
通项 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1
通项的推广1 an=am+(n-m)d an=amqn-m
通项的推广2
前n项和
性质 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 若m+n=p+q,则aman=apaq
等号两边项数一样多,等差数列是和,等比数列是积
2.等差数列与等比数列的判断方法
判断方法 等差数列 等比数列
定义法 an+1-an=d(d是常数,n∈N*)
通项 公式法 an=kn+b(k,b是常数) an=kqn(k,q为常数,且kq≠0)
前n项 和法 数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn(A,B是常数且A2+B2≠0) 数列{an}的前n项和为Sn=A-Aqn(常数A≠0,公比q≠1)
中项法 an+an+2=2an+1(n∈N*) anan+2= (n∈N*)
结论 若数列{an},{bn}为等差数列且项数相同,则{kan},{an±bn}, {pan+qbn}都是等差数列 若数列{an},{bn}为等比数列且项数相同,则{kan}(k≠0), 都是等比数列
突破点一
等差、等比数列的基本运算
[例1](1)(2020全国Ⅰ,文10)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=(　　)
A.12 B.24 C.30 D.32
(2)(2020全国Ⅲ,文17)设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8.
①求{an}的通项公式;
②记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.
(1)D解析 设等比数列{an}的公比为q,因为a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.所以a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32.
(2)解 ①设{an}的公比为q,则an=a1qn-1.
由Sm+Sm+1=Sm+3得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0,
解得m=-1(舍去),m=6.
解题策略等差、等比数列基本运算的解题思路
(1)抓住基本量:首项a1和公差d(或公比q);
(2)解方程(组):把条件转化为关于a1和d(或q)的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量.
对点练1
(1)(2020全国Ⅱ,文6)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则 =(　　)
A.2n-1
B.2-21-n
C.2-2n-1
D.21-n-1
(2)(2020全国Ⅱ,文14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=　　　　　.
答案 (1)B　(2)25
(2)设等差数列{an}的公差为d.
∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.
突破点二
等差、等比数列的性质
[例2](1)(2021全国甲,文9)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
(2)(2021山西太原五中二模)在等差数列{an}中,a11=2a8+6,则a2+a6+a7=(　　)
A.-18 B.-6
C.8 D.12
答案 (1)A　(2)A
解析 (1)设等比数列的公比为q,由题意知q≠1.根据等比数列的性质可知,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),∵S2=4,S4=6,
∴(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故选A.
(2)∵a11=2a8+6=a11+a5+6,∴a5=-6.
设等差数列{an}的公差为d,则a2+a6+a7=(a1+d)+(a1+5d)+(a1+6d)=3(a1+4d)=3a5=-18.故选A.
解题心得等差、等比数列的性质的应用
抓关系 抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手,选择恰当的性质进行求解
用性质 数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的性质解题
对点练2
(1)(2021全国甲,理7)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0,乙:{Sn}是递增数列,则(　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
(2)(2021黑龙江哈师大附中三模)Sn是等差数列{an}的前n项和,a1+a2+a3=3,a7+a9=10,则S9=(　　)
A.9 B.16 C.20 D.27
答案 (1)B　(2)D
解析 (1)当数列{an}满足q=1>0,a1=-1时,an=-1,Sn=-n,{Sn}不是递增数列;
当{Sn}是递增数列时,n≥2时,an=Sn-Sn-1>0,q>0,所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.
(2)由a1+a2+a3=3a2=3,得a2=1,
由a7+a9=2a8=10,得a8=5,
突破点三
等差、等比数列的判断与证明
[例3](1)(2020全国Ⅱ,理6)数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
(2)(2021全国甲,理18)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列;②数列 是等差数列;③a2=3a1.
误区警示判断或证明一个数列是等差(等比)数列时应注意的问题
1.判断一个数列是等差(等比)数列,可利用通项公式法及前n项和公式法,但不能作为证明方法.
2.若要判断一个数列不是等差(等比)数列,只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列.
3.an-1an+1= (n≥2,n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件,也就是判断一个数列是等比数列时,要注意各项均不为0.
对点练3