中小学教育资源及组卷应用平台
第07讲-幂函数指数函数（原卷版）
学习目标： 1．理解幂函数的定义，掌握它们的性质及其图像；2．理解指数函数的定义，掌握它们的性质及其图像；
教学内容
1．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞ ( http: / / www.21cnjy.com )）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（ ）21cnjy.com
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
2．设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）
A．f（log3）＞f（2）＞f（2）
B．f（log3）＞f（2）＞f（2）
C．f（2）＞f（2）＞f（log3）
D．f（2）＞f（2）＞f（log3）
3．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x3+x2+1，则f（1）+g（1）＝（ ）www.21-cn-jy.com
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
4．已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，则a＝ ．
5．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）＝f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，则f（919）＝ ．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
知识点一：幂函数
知识梳理
1、幂的有关概念：
正整数指数幂：
零指数幂：
负整数指数幂：
分数指数幂：
2、幂函数的定义：
形如的函数叫幂函数。
注意：幂函数的底数是变量x，系数是1，高中阶段指数取有理数。
( http: / / www.21cnjy.com / )
3、幂函数的图象.
根据幂函数的定义域,先作出其在第一象限的图象,再由其奇偶性作出其他象限的图形,具体见下图,的图象.www-2-1-cnjy-com
其中互质.
( http: / / www.21cnjy.com / )
4、幂函数的性质
所有的幂函数在（0，）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1）
k>0时：（图A）
（1）图象都通过（0，0），（1，1）；
（2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大（增函数）。
k<0时；（图B）
（1）图象都通过点（1，1）（2）在第一象限内，函数值随x的增大而减小（减函数）
（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。
设幂函数的指数，其中p、q互素
当p是偶数时，的定义域关于原点不对称，故它是非奇非偶函数；
当p是奇数时，如果q是偶数，那么是偶函数；如果q是奇数，那么是奇函数
当时，幂函数的单调区间是整个定义域，或是将定义域分为两个单调区间.具体情况可由上述图像直观得到
例题精讲
题型一：幂函数的定义
例1．已知幂函数图像经过点（2，8），则该幂函数的解析式是（ ）
A．y＝3x B． C．y＝x3 D．
例2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则f（16）＝（ ）
A．2 B．4 C．2或﹣2 D．4或﹣4
变式1．若函数f（x）＝|m﹣1|xm+1是幂函数，则m＝（ ）
A．0 B．1 C．0或2 D．1或2
变式2．若幂函数f（x）经过点，且f（a）＝8，则a＝（ ）
A．2 B．3 C．128 D．512
题型二：幂函数的图象
例1．已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．a＞b＞c＞d B．b＞c＞d＞a C．d＞b＞c＞a D．c＞b＞d＞a
例2．图中C1、C2、C3为三个幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．、3、﹣1 B．﹣1、3、 C．、﹣1、3 D．﹣1、、3
变式1．幂函数y＝xn（n+1）（n为正整数）的图象一定经过第 一、二 象限．
变式2．已知函数，当0＜x＜1时图象在直线y＝x上方，则m的取值范围是 （0，2） ．
题型三：幂函数的单调性、奇偶性及其应用
例1．已知幂函数的图象在（0，+∞）上单调递减，则实数a的值是（ ）
A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．
例2．已知幂函数f（x）＝（t2﹣4t﹣4）xt﹣2在（0，+∞）上单调递减，则f（4）＝（ ）
A． B． C．32 D．64
变式1．已知函数f（x）＝﹣x3，若f（m﹣2）＞f（2m），则m的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣2，+∞） C．（﹣3，3） D．（﹣∞，﹣2）
变式2．若幂函数f（x）的图象过点（64，2），则f（x）＜f（x2）的解集为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，1）
C．（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞）
巩固练习
1．已知a＝，b＝，c＝，则（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
2．已知三个数a＝60.7，b＝0.70.8，c＝0.80.7，则三个数的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞c＞b
3．下列大小关系，正确的是（ ）
A．0.993.3＜0.994.5 B．log20.8＜log3π
C．0.535.2＜0.355.2 D．1.70.3＜0.93.1
4．已知，，，则下列关系式正确的是（ ）
A．T1＜T2＜T3 B．T3＜T1＜T2 C．T2＜T3＜T1 D．T2＜T1＜T3
5．已知幂函数f（x）＝，若f（a+1）＜f（10﹣2a），则a的取值范围是（ ）
A．（0，5） B．（5，+∞） C．（﹣1，3） D．（3，5）
6．已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1①x1f(x1)>x2f(x2)；②x1f(x1)；④<.
其中正确结论的序号是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
7．已知幂函数(∈Z)为偶函数,且在区间（0，+∞）上是单调减函数.(1)求函数；(2)讨论的奇偶性.【来源：21·世纪·教育·网】
知识点二：指数函数
知识梳理
①定义：一般地,函数叫做指数函数．
与幂函数不同，在这个函数中，自变量是指数，而底数则是常数．
②基本性质：1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；
3）当时函数为减函数，当时函数为增函数．
③函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；
3）对于相同的，函数的图象关于轴对称．
④函数值的变化特征：
例题精讲
例1．方程的解集是________．
例2．方程：的解为________．
例3．若，则等于________．
例4．已知，求：
（1）；
（2）的值．
例5．化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）已知，求的值．
例6．若，上述函数是指数函数的个数是
A. B. C. D.
例7．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）．
例8．求满足下列条件的实数的范围：
（1）；
（2）；
（3）．
例9．如图所示，曲线，分别为指数函数，，，的图象，则，，，与的大小关系为 21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.
B.
C.
D.
例10．与函数的图象关于轴对称的函数图象是
A. ( http: / / www.21cnjy.com / ) B. ( http: / / www.21cnjy.com / )
C. ( http: / / www.21cnjy.com / ) D. ( http: / / www.21cnjy.com / )
例11．比较 ， ， 的大小．
巩固练习
1．（1）函数的定义域为 ，值域为 .
（2）函数的定义域为 ，值域为 .
（3）函数的定义域是 ；值域是 .
（4）
（5）函数的定义域 ，值域 ；在区间 上是增函数.
（6）函数的定义域是 ，值域是 ．
2．若函数的图象与轴有交点，则实数的范围是_____________
3．(1)函数的图象一定过____________象限.
(2)函数的图象一定过定点，则点的坐标是_________.
4．当时，不等式恒成立，则的取值范围是．
5．不等式的解集为，则实数的取值范围是．
6． 已知函数，
（1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）若对任意实数，均存在以为三边边长的三角形，求实数的取值范围．
7．已知函数．
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com / )
1、设函数，“该函数的图像过点”是“该函数为幂函数”的（ ）．
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件
(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件
2、下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是（ ）
A．y＝x5 B．y＝5x C．y＝log2x D．y＝x﹣1
3、已知幂函数f（x）＝（m∈Z）在区间（0，+∞）上是单调增函数，且y＝f（x）的图象关于y轴对称，则f（﹣2）的值为（ ）21教育网
A．16 B．8 C．﹣16 D．﹣8
4、下列函数中为幂函数且为偶函数的是（ ）
A．f（x）＝x2 B．f（x）＝3x
C．f（x）＝（1﹣x）2 D．f（x）＝x
5、已知函数．
（1）证明：当时，函数是减函数；
（2）根据a的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（3）当，且时，证明：对任意，存在唯一的，使得，
且．
( http: / / www.21cnjy.com / )
笔耕不辍
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
x
O
y
B图
x
O
y
A图
①，②，③ ①，②，③，
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第07讲-幂函数指数函数（解析版）
学习目标： 1．理解幂函数的定义，掌握它们的性质及其图像；2．理解指数函数的定义，掌握它们的性质及其图像；
教学内容
1．已知f（x）是定义域为（﹣∞ ( http: / / www.21cnjy.com )，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（ ）21·cn·jy·com
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
【解析】
解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），
∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，
则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）＝2，
∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（0）＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）
＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，
故选：C．
2．设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）
A．f（log3）＞f（2）＞f（2）
B．f（log3）＞f（2）＞f（2）
C．f（2）＞f（2）＞f（log3）
D．f（2）＞f（2）＞f（log3）
【解析】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数，∴，
∵log34＞log33＝1，，
∴0
f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴＞＞，
故选：C．
3．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x3+x2+1，则f（1）+g（1）＝（ ）21cnjy.com
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【解析】解：由f（x）﹣g（x）＝x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得
f（﹣x）﹣g（﹣x）＝﹣x3+x2+1，
根据f（x）＝f（﹣x），g（﹣x）＝﹣g（x），得
f（x）+g（x）＝﹣x3+x2+1，再令x＝1，计算得，
f（1）+g（1）＝1．
故选：C．
4．已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，则a＝ ﹣3 ．
【解析】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣ln2）＝﹣8，
又∵当x＜0时，f（x）＝﹣eax，
∴f（﹣ln2）＝﹣e﹣aln2＝﹣8，
∴﹣aln2＝ln8，∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3
5．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）＝f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，则f（919）＝ 6 ．www.21-cn-jy.com
【解析】解：由f（x+4）＝f（x﹣2）．则f（x+6）＝f（x），
∴f（x）为周期为6的周期函数，
f（919）＝f（153×6+1）＝f（1），
由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（1）＝f（﹣1），
当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，
f（﹣1）＝6﹣（﹣1）＝6，
∴f（919）＝6，
故答案为：6．
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
知识点一：幂函数
知识梳理
1、幂的有关概念：
正整数指数幂：
零指数幂：
负整数指数幂：
分数指数幂：
2、幂函数的定义：
形如的函数叫幂函数。
注意：幂函数的底数是变量x，系数是1，高中阶段指数取有理数。
( http: / / www.21cnjy.com / )
3、幂函数的图象.
根据幂函数的定义域,先作出其在第一象限的图象,再由其奇偶性作出其他象限的图形,具体见下图,的图象.【来源：21·世纪·教育·网】
其中互质.
( http: / / www.21cnjy.com / )
4、幂函数的性质
所有的幂函数在（0，）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1）
k>0时：（图A）
（1）图象都通过（0，0），（1，1）；
（2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大（增函数）。
k<0时；（图B）
（1）图象都通过点（1，1）（2）在第一象限内，函数值随x的增大而减小（减函数）
（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。
设幂函数的指数，其中p、q互素
当p是偶数时，的定义域关于原点不对称，故它是非奇非偶函数；
当p是奇数时，如果q是偶数，那么是偶函数；如果q是奇数，那么是奇函数
当时，幂函数的单调区间是整个定义域，或是将定义域分为两个单调区间.具体情况可由上述图像直观得到
例题精讲
题型一：幂函数的定义
例1．已知幂函数图像经过点（2，8），则该幂函数的解析式是（ ）
A．y＝3x B． C．y＝x3 D．
【解析】解：设幂函数为f（x）＝xα，
因为图象经过点（2，8），
∴f（2）＝8＝23，从而α＝3，
函数的解析式f（x）＝x3，
故选：C．
例2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则f（16）＝（ ）
A．2 B．4 C．2或﹣2 D．4或﹣4
【解析】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，由函数图象过点（4，2），
所以4α＝2，解得α＝，
所以f（x）＝，
所以f（16）＝＝＝4．
故选：B．
变式1．若函数f（x）＝|m﹣1|xm+1是幂函数，则m＝（ ）
A．0 B．1 C．0或2 D．1或2
【解析】解：函数f（x）＝|m﹣1|xm+1是幂函数，
|m﹣1|＝1，所以m﹣1＝1或m﹣1＝﹣1，
解得m＝2或m＝0，
当m＝2时，f（x）＝x3，满足题意；当m＝0时，f（x）＝x，也满足题意；
所以m＝0或2．
故选：C．
变式2．若幂函数f（x）经过点，且f（a）＝8，则a＝（ ）
A．2 B．3 C．128 D．512
【解析】解：设幂函数f（x）＝xα，∵它的图象经过点，
∴3＝，∴α＝3，f（x）＝x3．
∵f（a）＝a3＝8，∴a＝2，
故选：A．
题型二：幂函数的图象
例1．已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．a＞b＞c＞d B．b＞c＞d＞a C．d＞b＞c＞a D．c＞b＞d＞a
【解析】解：根据幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象知，
b＞c＞1＞d＞0＞a，
即b＞c＞d＞a．
故选：B．
例2．图中C1、C2、C3为三个幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．、3、﹣1 B．﹣1、3、 C．、﹣1、3 D．﹣1、、3
【解析】解：由幂函数y＝xα在第一象限内的图象知，
图中C1对应的α＜0，C2对应的0＜α＜1，C3对应的α＞1；
结合选项知，指数α的值依次可以是﹣1，和3．
故选：D．
变式1．幂函数y＝xn（n+1）（n为正整数）的图象一定经过第 一、二 象限．
【解析】解：∵幂函数y＝xn（n+1）（n为正整数）为偶函数，故它的图象关于y轴对称，
又函数的图象经过原点，和点（1，1 ），在（0，+∞）上单调递增，
故它的图象一定经过第一、第二象限，
故答案为：一、二．
变式2．已知函数，当0＜x＜1时图象在直线y＝x上方，则m的取值范围是 （0，2） ．
【解析】解：∵函数，当0＜x＜1时图象在直线y＝x上方，
∴当0＜x＜1时，，∴log2m＜1，
∴0＜m＜2．
∴m的取值范围为（0，2）．
题型三：幂函数的单调性、奇偶性及其应用
例1．已知幂函数的图象在（0，+∞）上单调递减，则实数a的值是（ ）
A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．
【解析】解：由函数是幂函数，
所以a2+a﹣1＝1，解得a＝1或a＝﹣2；
当a＝1时，f（x）＝x﹣4在（0，+∞）上单调递减，满足题意；
当a＝﹣2时，f（x）＝x5在（0，+∞）上单调递增，不满足题意；
所以a＝1．
故选：A．
例2．已知幂函数f（x）＝（t2﹣4t﹣4）xt﹣2在（0，+∞）上单调递减，则f（4）＝（ ）
A． B． C．32 D．64
【解析】解：由f（x）＝（t2﹣4t﹣4）xt﹣2是幂函数，
可知t2﹣4t﹣4＝1，即t2﹣4t﹣5＝0，解得t＝﹣1或t＝5，
所以f（x）＝x﹣3或f（x）＝x3，
又幂函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以f（x）＝x﹣3，
所以．
故选：B．
变式1．已知函数f（x）＝﹣x3，若f（m﹣2）＞f（2m），则m的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣2，+∞） C．（﹣3，3） D．（﹣∞，﹣2）
【解析】解：函数f（x）＝﹣x3的定义域为R，且为减函数，
若f（m﹣2）＞f（2m），
则m﹣2＜2m，
解得m＞﹣2，
即m的取值范围是（﹣2，+∞）．
故选：B．
变式2．若幂函数f（x）的图象过点（64，2），则f（x）＜f（x2）的解集为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，1）
C．（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞）
【解析】解：设幂函数f（x）＝xα，由于它的图象过点（64，2），
∴2＝64α，∴α＝，f（x）＝．
则f（x）＜f（x2），即 ＜，∴0≤x＜x2，
∴x＞1，故原不等式的解集为（1，+∞），
故选：C．
巩固练习
1．已知a＝，b＝，c＝，则（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【解析】解：∵a＝＝，
b＝＝（22）＝＜＜a，
c＝＝＞＝＝a，
综上可得：b＜a＜c，
故选：A．
2．已知三个数a＝60.7，b＝0.70.8，c＝0.80.7，则三个数的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞c＞b
【解析】解：∵指数函数y＝6x在R上为单调增函数，∴a＝60.7＞60＝1
∵指数函数y＝0.7x在R上为单调减函数，∴b＝0.70.8＜0.70.7＜0.70＝1
∵幂函数y＝x0.7在（0，+∞）上为单调增函数，∴0.70.7＜0.80.7＝c＜1
∴a＞c＞b
故选：D．
3．下列大小关系，正确的是（ ）
A．0.993.3＜0.994.5 B．log20.8＜log3π
C．0.535.2＜0.355.2 D．1.70.3＜0.93.1
【解析】解：对于A：考察指数函数y＝0.99x，由于0.99＜1，故它在R上是减函数，
∵3.3＜4.5，∴0.993.3＞0.994.5 故A错；
对于B：考察对数函数log2x，由于2＞1，故它在（0，+∞）上是增函数，
∴log20.8＜log21＝0，而log3π＞log31＝0，∴log20.8＜log3π
故B正确；
对于C：考察幂函数y＝x5.2，由于5.2＞0，故它在（0，+∞）上是增函数，
∵0.53＞0.35，∴0.535.2＞0.355.2故C错；
对于D：考考察指数函数y＝1.7x，由于1.7＞1，故它在R上是增函数，
∴1.70.3＞1.70＝1，
考考察指数函数y＝0.9x，由于0.9＜1，故它在R上是减函数，
0.93.1＜0.90＝1，故1.70.3＞0.93.1故D错；
故选：B．
4．已知，，，则下列关系式正确的是（ ）
A．T1＜T2＜T3 B．T3＜T1＜T2 C．T2＜T3＜T1 D．T2＜T1＜T3
【解析】解：考察幂函数y＝，由于，故它在R上是增函数，
∴，
又，考察幂函数y＝，它在R上是增函数，
∴＝T1
∴T2＜T1＜T3．
故选：D．
5．已知幂函数f（x）＝，若f（a+1）＜f（10﹣2a），则a的取值范围是（ ）
A．（0，5） B．（5，+∞） C．（﹣1，3） D．（3，5）
【解析】解：∵幂函数f（x）＝＝的定义域为{x|x＞0}，在（0，+∞）上单调递减．
∴若f（a+1）＜f（10﹣2a），
则 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
即，
解得3＜a＜5，即a的取值范围是（3，5）．
故选：D．
6．已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1①x1f(x1)>x2f(x2)；②x1f(x1)；④<.
其中正确结论的序号是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
【答案】D
【解析】设函数，由点在函数图象上得，解得α＝，故.故为(0，＋∞)上的增函数，故①错误，②正确；而为(0，＋∞)上的减函数，故③正确，④错误．21*cnjy*com
7．已知幂函数(∈Z)为偶函数,且在区间（0，+∞）上是单调减函数.(1)求函数；(2)讨论的奇偶性.21教育名师原创作品
【答案】（1）∵是偶函数，∴应为偶数。又∵在（0，+∞）上是单调减函数，∴<0，-1<<3。又∈Z，∴=0，1，2。21*cnjy*com
当=0或2时，=-3不是偶数，舍去；
当=1时，=-4；∴=1，即。
（2），∴
①当，函数为非奇非偶函数；
②当，函数为偶函数；
③当，函数为奇函数；
④当，函数既是奇函数，又是偶函数。
知识点二：指数函数
知识梳理
①定义：一般地,函数叫做指数函数．
与幂函数不同，在这个函数中，自变量是指数，而底数则是常数．
②基本性质：1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；
3）当时函数为减函数，当时函数为增函数．
③函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；
3）对于相同的，函数的图象关于轴对称．
④函数值的变化特征：
例题精讲
例1．方程的解集是________．
【解析】解：由得，
设，则，
则原方程等价为，即，
解得或．
由，解得．
由，解得．
故方程的解集为{1，3}。
【答案】{1，3}．
例2．方程：的解为________．
【解析】解：，
（舍）
或，
解得．
【答案】3
例3．若，则等于________．
【解析】解：
因为
【答案】
例4．已知，求：
（1）；
（2）的值．
【解析】解：，
，
（1），
；
（2）；
，则．
【答案】见解析
例5．化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）已知，求的值．
【解析】解：（1）（Ⅰ），，；
原式；
（Ⅱ）原式；
（Ⅲ）原式；
；
；
，；
原式；
（2）；
由得：；
；
；
原式．
例6．若，上述函数是指数函数的个数是
A. B. C. D.
【解析】解：是幂函数；
是指数函数；
是二次函数；
是二次函数；
是二次函数；
是一次函数（正比例函数，幂函数）；
是指数函数；
【答案】B
例7．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）．
【解析】解：（1）由，得，
的定义域为；
（2）由，得，即．
的定义域为，．
【答案】见解析
例8．求满足下列条件的实数的范围：
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】解：（1），且函数在上是单调增函数，
．
故的取值范围为．
（2），且函数在上是单调增函数，
．
故的取值范围为．
（3），且函数在上是单调减函数，
．
故的取值范围为．
【答案】见解析
例9．如图所示，曲线，，，分别为指数函数，，，的图象，则，，，与的大小关系为 【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.
B.
C.
D.
【解析】解：当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，
可知，大于1，，大于0小于1
又由图可知，即．，即．
，，，与1的大小关系是．
【答案】B
例10．与函数的图象关于轴对称的函数图象是
A. ( http: / / www.21cnjy.com / ) B. ( http: / / www.21cnjy.com / )
C. ( http: / / www.21cnjy.com / ) D. ( http: / / www.21cnjy.com / )
【解析】解：因为函数的图象为，
易知其关于轴对称的图形为，
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】．
例11．比较 ， ， 的大小．
【解析】先比较的大小.由于底数(0，1)， ∴ 在R上是减函数，∵ ， ∴ ，再考虑指数函数y=1.3x， 由于1.3>1， 所以y=1.3x在R上为增函数1.30.7>1.30=1， ∴ .
【答案】
巩固练习
1．（1）函数的定义域为 ，值域为 .
（2）函数的定义域为 ，值域为 .
（3）函数的定义域是 ；值域是 .
（4）
（5）函数的定义域 ，值域 ；在区间 上是增函数.
（6）函数的定义域是 ，值域是 ．
【答案】（1），；（2），；（3），；（4）；（5）R，（0，8〕，（-∞， 1〕；（6），21世纪教育网版权所有
2．若函数的图象与轴有交点，则实数的范围是_____________
【答案】
【解析】原问题等价于方程有解，得到，求的值域，即是的满足条件的取值范围．
3．(1)函数的图象一定过____________象限.
(2)函数的图象一定过定点，则点的坐标是_________.
【答案】(1) = ,它可以看作是指数函数 图象作关于 轴对称的图象,因此一定过第三象限和第四象限.2-1-c-n-j-y
(2) 的图象可以看作把 的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到,且 一定过点 ,则 应过点 .【版权所有：21教育】
4．当时，不等式恒成立，则的取值范围是．
【答案】
5．不等式的解集为，则实数的取值范围是．
【答案】
6． 已知函数，
（1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）若对任意实数，均存在以为三边边长的三角形，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
7．已知函数．
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）由，得 ①
当时，①等价于，解方程得，，
当时，①等价于1-1=2，即0=2，不成立，
当时，①等价于，即0=2，不成立，
综上满足的．
（2）当时，，所以对于恒成立等价于对于恒成立．
令（），则==
对于恒成立又等价于对于恒成立，
也就是，
又=，所以，得
( http: / / www.21cnjy.com / )
1、设函数，“该函数的图像过点”是“该函数为幂函数”的（ ）．
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件
(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】幂函数一定经过点（1，1）但经过点（1，1）的函数很多，不一定是幂函数
2、下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是（ ）
A．y＝x5 B．y＝5x C．y＝log2x D．y＝x﹣1
【解答】解：对于A．则为幂函数，幂指数大于0，则为R上的增函数，且为奇函数，则A满足条件；
对于B．则为指数函数，不具奇偶性，则B不满足条件；
对于C．则为底数大于1的对数函数，不具奇偶性，则C不满足条件；
对于D．为幂函数，且为奇函数，在x＞0，x＜0上递减，则D不满足条件．
故选：A．
3、已知幂函数f（x）＝（m∈Z）在区间（0，+∞）上是单调增函数，且y＝f（x）的图象关于y轴对称，则f（﹣2）的值为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．16 B．8 C．﹣16 D．﹣8
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m∈Z）的图象关于y轴对称，
∴函数f（x）＝（m∈Z）是偶函数，
又∵幂函数f（x）＝（m∈Z）在（0，+∞）上为增函数，
∴﹣m2+2m+3是偶数且﹣m2+2m+3＞0，∵m∈N*，∴m＝1，
∴幂函数f（x）＝x4，
f（﹣2）＝16．
故选：A．
4、下列函数中为幂函数且为偶函数的是（ ）
A．f（x）＝x2 B．f（x）＝3x
C．f（x）＝（1﹣x）2 D．f（x）＝x
【解答】解：A．f（x）＝x2为幂函数且为偶函数；
B．f（x）＝3x不为幂函数；
C．f（x）＝（1﹣x）2不为幂函数；
D.为幂函数但不为偶函数．
故选：A．
5、已知函数．
（1）证明：当时，函数是减函数；
（2）根据a的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（3）当，且时，证明：对任意，存在唯一的，使得，
且．
【答案】解：（1）证明：任取，设，
则
因为，所以，又
所以，即
所以当时，函数是减函数
（2）当时，，所以，
所以函数是偶函数 21教育网
当时，
所以函数是奇函数 【出处：21教育名师】
当且时，，
因为且
所以函数是非奇非偶函数
（3）证明：由（1）知，当时函数是减函数，
所以函数在上的值域为，
因为，所以存在，使得.
假设存在使得，
若，则，若，则，
与矛盾，故是唯一的
假设，即或，则或
所以，与矛盾，故
( http: / / www.21cnjy.com / )
笔耕不辍
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
x
O
y
B图
x
O
y
A图
①，②，③ ①，②，③，
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
