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第16讲-三角函数（解析版）
学习目标： 1. 复习正余弦函数的图像及其性质；2. 复习正切函数的图像及其性质；3. 掌握的函数；4. 三角函数综合运用
教学内容
1、在中，若，则是（ ）
．等腰三角形；.直角三角形；．等腰直角三角形；．等腰三角形或直角三角形．
【答案】
【解析】
所以
所以是等腰三角形或直角三角形
2、在中，所对的边分别为，若成等比数列，且
，求角B的大小并判断的形状．
【答案】等边三角形
【解析】由得，
解得：，
成等比数列
化简得：，所以△ABC为等边三角形．
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1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
微思考
1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？
提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？
提示 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
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知识点一：正余弦函数的图像与性质
知识梳理
三角函数
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数
最小正周期
单调性 在上递增；在上递减 在上递增；在上递减
最值 当时，最大值为1当时，最小值为 当时，最大值为1当时，最小值为
对称轴 =
对称中心 =
图像 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
例题精讲
例1. 求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）的单调增区间
（3）．
【答案】（1）；
（2）令，函数的单调减区间为[，]
故函数的单调增区间为[ ， ]（）．
（3）．
例2. 求下列函数的最值，及取得相应最值的值．
（1）； （2）；
（3），．
【答案】（1）， ；
（2），，；
（3）
例3. 函数的图像与的图像在区间上交点的个数是 ． 21·cn·jy·com
【答案】.
【解析】通过画图即可得到交点个数为4
例4. 函数和的图像围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为___________
【答案】4π
【解析】通过余弦函数的图像和割补法，可以得到长为2π，宽为2的矩形，所以面积是4π
例5.若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则的值为( )．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在大于0，在内大于0，内小于0，在内大于0，内小于0，内大于0，在内大于0，内小于0，内大于0，内小于0，，2·1·c·n·j·y
例6.已知函数＝－，则的值域是________
【答案】
【解析】＝，画图可得值域
巩固练习
1、函数的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点。求的取值范围
【答案】
【解析】，画图可得
2、已知和的图像的连续的三个交点、、构成三角形，则的面积等于 . 【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】.
【解析】由正余弦函数图像易得
3、函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，令，值域为，，
4、确定函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．
【答案】定义域；值域；
单调区间：递增：，递减：；
非奇非偶；
．
知识点二：正切函数的图像与性质
知识梳理
三角函数
定义域
值域
奇偶性 奇函数
最小正周期
单调性 在上递增
最值 无最大值，无最小值
对称中心
对称轴 无对称轴
图像
例题精讲
例1. 函数的一个对称中心是，则的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 921cnjy.com
【答案】B
【解析】为函数的对称中心，所以的最小值为3
例2. 求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。
【答案】令，则由得，
即函数的定义域是
因为函数的值域是R，所以的值域是R。
周期
既不是奇函数也不是偶函数。
由得
所以函数在上是增函数。
例3.函数的最小正周期为 ( )
A B C D
【答案】B
【解析】错误分析:将函数解析式化为后得到周期,而忽视了定义域的限制,导致出错.
例4. 试讨论函数的单调性
【答案】可视为与合而成的，复合的条件为
即x∈(kπ，kπ＋)(k∈Z)
①当a＞1时，在u∈(0，＋∞)上单调递增；
当x∈(kπ，kπ＋)时，u＝tanx是单调递增的，
∴在x∈(kπ，kπ＋)(k∈Z)上是单调增函数
②当0＜a＜1时，在u∈(0，＋∞)上单调递减；
当x∈(kπ，kπ＋)时，x是单调递增的
∴在x∈(kπ，kπ＋)(k∈Z)上是单调减函数
故当a＞1时，在x∈(kπ，kπ＋)(k∈Z)上单调递增；
当0＜a＜1时，在x∈(kπ，kπ＋)(k∈Z)上单调递减；
例5.函数，其中.
（1）讨论的奇偶性；
（2）时，求证的最小正周期；
（3），当函数的图像与的图像有交点时，求满足条件的的个数，说明理由.
【答案】（1）奇函数；（2）证明略；（3）198个
【解析】（1）由 得，
所以函数的定义域为 不写扣1分
所以定义域关于原点对称 -----------1分21教育网
-----------1分
所以函数是上的奇函数. ----------1分
（2），
函数是周期函数，且是它的一个周期.
因为 ----------2分（必须要验证）
所以函数是周期函数，且是它的一个周期.
假设是函数的最小正周期，且
那么对任意实数，都有成立
取，则，所以，（*）
取，则所以
把（*）式代入上式，得，所以,
得,时，上式左边为无理数，右边为有理数
所以只能但由，，知
所以假设错误，故是的最小正周期. -----------3分www-2-1-cnjy-com
（3）因为，且
由成立，当且仅当成立 -----------2分
，得
所以，
因为，所以只能
得， -----------1分
得是的递增函数
当时，，不符合
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当 无解
故满足条件的的个数有198个.
巩固练习
1、判断函数的奇偶性．
【答案】奇函数
【解析】
2、已知函数是增函数，值域为，求的值。
【答案】
【解析】，
3、作出函数的图象，并观察函数的周期．
【答案】函数的图象如下图：周期为．
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知识点三：的函数
知识梳理
（1）几个物理量：―振幅；―频率（周期的倒数）；―相位；―初相；
(2)函数表达式的确定：由最值确定；由周期确定；由图像上的特殊点确定．
(3)函数图像的画法：
①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图像；
②图像变换法：这是作函数简图常用方法．
(4) 函数的图像如何变换能得到的图像.
【由的图像变换出的图像一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图像变换
途径一：先平移变换再伸缩变换
先将的图像向左()或向右()平移｜｜个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的倍，便得的图像www.21-cn-jy.com
途径二：先伸缩变换再平移变换
先将的图像上各点的横坐标变为原来的倍,再沿x轴向左()或向右（）平移个单位，便得的图像21*cnjy*com
要特别注意，若由得到的图像，则向左或向右平移应平移个单位】
例题精讲
例1.函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（ ）
向右平移个单位长度 向右平移个单位长度
向左平移个单位长度 向左平移个单位长度
【答案】
【答案】由图像可得周期，所以为一个对称轴，故答案选D
例2. 将函数的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 ．
【答案】6
【答案】向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则函数周期为，的最小值为6
例3. 函数在上单调递减，则正实数的取值范围是_________．
【答案】
【答案】
例4. 已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为 【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】
【解析】，
例5. 如果函数的图像关于直线对称，则 ．
【答案】
【解析】由题意易得函数周期为，为函数的一个对称中心，
例6.已知,,且在区间有最小值,无最大值,则 ．
【答案】
【解析】如图所示,因为,且,又在区间内只有最小值、无最大值,所以在处取得最小值,所以,所以．又,所以当时,；当时,,此时在区间内有最大值,故．【出处：21教育名师】
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例7. 右图为函数的
部分图像，是它与轴的两个交点，分别为它的最高点和最低点，是线段的中点，且，则函数的解析式 .【版权所有：21教育】
【答案】
【解析】是线段的中点点纵坐标为2，即，，，
例8.【2020年一模闵行12】设函数（，），，若恰有4个零点，则下述结论中：① 若恒成立，则的值有且仅有2个；② 在上单调递增；③ 存在和，使得对任意恒成立；④“”是“方程在内恰有五个解”的必要条件；21*cnjy*com
所有正确结论的编号是________
【答案】①③④
【解析】，由恰有4个零点，知且
由
①正确；
在上单调递增，则矛盾，所以②错误；
对任意恒成立，则，当时，符合题意，所以③正确；
，如图，充要条件为，即且，也就是且，所以④正确
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例9.若对任意实数a，函数y＝5sin(πx－)(k∈Ｎ)在区间［a，a＋3］上的值出现不少于4次且不多于8次，则k的值是( )
A2 B4 C3或4 D2或3
【答案】D
【解析】这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：先求出与k相关的周期T的取值范围，再求k
∵T＝
又因每一周期内出现值时有2次，出现4次取2个周期，出现值8次应有4个周期
∴有4T≥3且2T≤3
即得≤T≤，∴≤≤
解得≤k≤，∵k∈Ｎ，∴k＝2或3
例10. 已知函数是上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值．
【答案】，
【解析】由是上的偶函数，得，即，
展开整理得：，对任意都成立，且，所以．
又，所以．由的图象关于点对称，
得．取，得， 所以，∴．所以，．即；
；综上所得，
巩固练习
1、已知如图是函数y＝2sin(ωx＋)其中｜｜＜的图象，那么（ ）
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Aω＝，＝ Bω＝，＝－
Cω＝2，＝ Dω＝2，＝－
【答案】C
【解析】由图可知，点(0，1)和点(，0)都是图象上的点将点(0，1)的坐标代入待定的函数式中，得2sin＝1，即sin＝，又｜｜＜，∴＝
又由“五点法”作图可知，点(，0)是“第五点”，所以ωx＋＝2π，即ω·π＋＝2π，解之得ω＝2，故选C
2、函数的图像向右平移（）个单位，得到的图像关于直线对称，则的最小值为 （ ）
A. B. C. D.以上都不对
【答案】A
【解析】平移后解析式为，图像关于对称，
∴（），∴（），
∴当时，的最小值为．
3、已知函数在处取得最小值，则函数满足（ ）
A、是偶函数，其图像关于点对称；
B、是偶函数，其图像关于点对称；
C、是奇函数，其图像关于点对称；
D、是奇函数，其图像关于点对称。
【答案】C
【解析】，，所以B选项正确
4、将函数的图像先向左平移，然后将所得图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图像对应的函数解析式为 .
【答案】的图像先向左平移，横坐标变为原来的倍
5、将函数的图像向下平移1个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（ ）
【A】 【B】 【C】 【D】
【答案】 A
【解析】，
6、已知函数．
（1）当时，求函数 f (x)的值域；
（2）求函数 y = f (x)的图像与直线 y =1相邻两个交点间的最短距离．
【解析】（1） ……………4分
当时，，所以的值域为……7分
（2） ∴，……………………9分
或， ……………………12分
∴当时，两交点的最短距离为
知识点四：三角函数综合与应用
例题精讲
例1.若,且．则下列结论正确的是( )
； ； ； ．
【答案】
【解析】构造偶函数，，所以，所以选D
例2.将函数的图像向右平移（）个单位后得到函数的图像．若对满足的，有的最小值为．则（ ）.21教育名师原创作品
（A） (B) （C）或 (D) 或
【答案】C
【解析】或，
当时，令，，C选项正确
例3.某港口某天0时至24时的水深(米)随时间(时)变化曲线近似满足如下函数模型：.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为( )
【A】16时 【B】17时 【C】18时 【D】19时
【答案】D
【解析】，
，
例4.节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题. 某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点、及的中点处，km，km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与、等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道、、.设（弧度），排污管道的总长度为km．
（1）将表示为的函数；
（2）试确定点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01 km）．
【答案】（1）由已知得，
即（其中）
（2）记，则，则有，
解得或
由于，所以，当，即点在中垂线上离点距离为km处,
取得最小值（km）．
例5.已知函数，其中常数；
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．
【答案】(1)因为，根据题意有
(2)，
或，
即的零点相离间隔依次为和，
故若在上至少含有30个零点，则的最小值
为．
例6.已知函数满足关系，其中是常数.
（1）设，，求的解析式；
（2）设计一个函数及一个的值，使得；
（3）当，时，存在，对任意，恒成立，
求的最小值.
【答案】（1）， ；
（2），
若，则
，
(3),
显然，即的最小正周期是，
因为存在，对任意，恒成立，
所以当或时，
当时，
所以
或
所以的最小值是.
巩固练习
1、某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第个月从事旅游服务工
作的人数可近似地用函数来刻画，其中正整数表示月份且，例如
表示1月份，和是正整数，，．
统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；
③2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
（1）试根据已知信息，求的表达式；
（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺
季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．
【答案】（1）………………………………………………………………………2分
……………………………………………………………………1分
………………………………………………………………………2分
…………………………………………………………………………2分
………………………………………………………1分
（2）令……………………………………………2分
…………………………………………………3分
答：一年中月是该地区的旅游“旺季”。…………………………1分
2、已知，，并且有方程组成立，则
___________
【答案】1
【解析】构造函数，为奇函数，
3、设定义在R上的函数是最小正周期为2的偶函数，当x[0,]时，0【答案】20
【解析】画图可得零点个数为20个
4、已知函数的周期为，图象的一个对称中心为.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．2-1-c-n-j-y
（1）求函数与的解析式；
（2）求证：存在，使得，，能按照某种顺序成等差数列．
（3）定义：当函数取得最值时，函数图像上对应的点称为函数的最值点，如果函数的图像上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆的内部或圆周上，求的取值范围．
【答案】(1)由函数的周期为，，得,
又曲线的一个对称中心为，，
故，得，所以
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，所以
(2)当时，，，所以
问题转化为方程在内是否有解．
设， ，，且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在零点
（3）函数当时取得最大值或最小值，当，即与原点距离最近的的最大值和最小值点分别是点和，于是有，所以的取值范围是
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1．设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题意，方程在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，结合正弦函数的图象和性质，求得的范围．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，
即在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根．
，，
当，则，求得；
当，，方程在区间上有1个根，不满足题意；
当，，求得；
当，则，方程在区间上有3个不同的根，满足条件，此时，，
当，，方程在区间上有5个不同的根，不满足题意；
当时，方程在区间上至少有5个不同的根，不满足题意．
综上，可得，
故选：A．
2．函数在区间内不存在零点，则正实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】
由题意利用正弦函数的零点，可得，或，，由此求得正实数的取值范围．
【详解】
解：函数在区间内不存在零点且，所以，即，所以，
因为，所以，
或，解得或，
因为，所以或，
故正实数的取值范围为，
故答案为：．
3．关于的方程在上有两个解，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】
直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出参数的取值范围．
【详解】
解：由于，
由于，，
故，所以在上单调递增，在上单调递减，且，，，
所以函数的图象和有两个交点时，参数的取值范围为：，即．
故答案为：．
4．已知函数的图像关于直线成轴对称图形，则实数＝________．
【答案】
【分析】
由题意利用正弦函数的图象的对称性，可得，由此求得的值．
【详解】
解：函数的图象关于直线成轴对称图形，故当时，函数值为最值，
，解得，
故答案为：．
5．函数的值域为________．
【答案】
【分析】
设，则函数化成，其中，．然后根据二次函数在闭区间上的最值，即可求出函数的值域．
【详解】
解：设，则，
，
当时，；当时，；
因此，函数的值域是，．
故答案为：，．
6．函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”．
（1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由；
（2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围．
【答案】（1）不是，理由见解析；（2）.
【分析】
(1)根据函数值的范围可判定不是函数的“区间”；
(2)根据新定义和余弦函数的性质可得存在k，，使得，再分类讨论即可求出的取值范围.
【详解】
(1) 不是函数的“区间”.理由如下：
因为，
所以对于任意的，，都有，
所以不是函数的“区间”.
(2)因为是函数的“区间”，
所以存在，，使得.
所以
所以存在，使得
不妨设，又因为，
所以，所以.
即在区间内存在两个不同的偶数.
①当时，区间的长度，
所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意.
②当时，有，
所以.
当时，有，即.
所以也符合题意.
当时，有，即.
所以符合题意.
当时，有，此式无解.
综上所述，的取值范围是.
7．已知．
（1）求函数的单调增区间；
（2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
(1)根据整体代换法即可求出正弦函数的单调递增区间；
(2)根据题意中的范围得出的范围，进而得出的范围，解不等式即可.
【详解】
(1)由，
得，
所以函数的单调递增区间为：；
(2)因为，
所以，
所以，
所以，
因为关于x的不等式对恒成立，
所以，解得，
即m的取值范围为：
8．已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）若的最小值是，，求的单调减区间；
（3）在（2）的条件下，设函数，其中，.若在取得最小值，且是其图象的一个对称中心，求的最小值.21·世纪*教育网
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）先对函数化简，然后由于函数为偶函数可知的系数为零，从而可求出的值；
（2）由的最小值是，可求得，从而可求得的解析式，则可得，然后由可求得答案；
（3）由（2）结合辅助角公式可得，由题意可得，从而可求出的值，进而可求得结果
【详解】
（1）函数可化为：
因为为偶函数，所以，得.
（2）由（1）知，
当时，函数取最小值，即，
得出，所以.
当，
即，时，单调速减.
所以的单调减区间为，.
（3），这里， .
由辅助角公式可化为；，其中，.
由题意得：，其中.
联立得：，
由于，即，得：，
而，所以，进而得到，.
把代入（*）得：，.
由于，所以.
综上所述，.
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第16讲-三角函数（解析版）
学习目标： 1. 复习正余弦函数的图像及其性质；2. 复习正切函数的图像及其性质；3. 掌握的函数；4. 三角函数综合运用
教学内容
1、在中，若，则是（ ）
．等腰三角形；.直角三角形；．等腰直角三角形；．等腰三角形或直角三角形．
2、在中，所对的边分别为，若成等比数列，且
，求角B的大小并判断的形状．
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1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
微思考
1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？
提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？
提示 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
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知识点一：正余弦函数的图像与性质
知识梳理
三角函数
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数
最小正周期
单调性 在上递增；在上递减 在上递增；在上递减
最值 当时，最大值为1当时，最小值为 当时，最大值为1当时，最小值为
对称轴 =
对称中心 =
图像 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
例题精讲
例1. 求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）的单调增区间
（3）．
例2. 求下列函数的最值，及取得相应最值的值．
（1）； （2）；
（3），．
例3. 函数的图像与的图像在区间上交点的个数是 ． 21cnjy.com
例4. 函数和的图像围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为___________
例5.若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则的值为( )．
A． B． C． D．
例6.已知函数＝－，则的值域是________
固练习
1、函数的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点。求的取值范围
2、已知和的图像的连续的三个交点、、构成三角形，则的面积等于 . 21·cn·jy·com
3、函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ．
4、确定函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．
知识点二：正切函数的图像与性质
知识梳理
三角函数
定义域
值域
奇偶性 奇函数
最小正周期
单调性 在上递增
最值 无最大值，无最小值
对称中心
对称轴 无对称轴
图像
例题精讲
例1. 函数的一个对称中心是，则的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9www.21-cn-jy.com
例2. 求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。
例3.函数的最小正周期为 ( )
A B C D
例4. 试讨论函数的单调性
例5.函数，其中.
（1）讨论的奇偶性；
（2）时，求证的最小正周期；
（3），当函数的图像与的图像有交点时，求满足条件的的个数，说明理由.
巩固练习
1、判断函数的奇偶性．
2、已知函数是增函数，值域为，求的值。
3、作出函数的图象，并观察函数的周期．
知识点三：的函数
知识梳理
（1）几个物理量：―振幅；―频率（周期的倒数）；―相位；―初相；
(2)函数表达式的确定：由最值确定；由周期确定；由图像上的特殊点确定．
(3)函数图像的画法：
①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图像；
②图像变换法：这是作函数简图常用方法．
(4) 函数的图像如何变换能得到的图像.
【由的图像变换出的图像一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图像变换
途径一：先平移变换再伸缩变换
先将的图像向左()或向右()平移｜｜个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的倍，便得的图像2·1·c·n·j·y
途径二：先伸缩变换再平移变换
先将的图像上各点的横坐标变为原来的倍,再沿x轴向左()或向右（）平移个单位，便得的图像21世纪教育网版权所有
要特别注意，若由得到的图像，则向左或向右平移应平移个单位】
例题精讲
例1.函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（ ）
向右平移个单位长度 向右平移个单位长度
向左平移个单位长度 向左平移个单位长度
例2. 将函数的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 ．
例3. 函数在上单调递减，则正实数的取值范围是_________．
例4. 已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为 【来源：21·世纪·教育·网】
例5. 如果函数的图像关于直线对称，则 ．
例6.已知,,且在区间有最小值,无最大值,则 ．
例7. 右图为函数的
部分图像，是它与轴的两个交点，分别为它的最高点和最低点，是线段的中点，且，则函数的解析式 .www-2-1-cnjy-com
例8.设函数（，），，若恰有4个零点，则下述结论中：① 若恒成立，则的值有且仅有2个；② 在上单调递增；③ 存在和，使得对任意恒成立；④“”是“方程在内恰有五个解”的必要条件；2-1-c-n-j-y
所有正确结论的编号是________
例9.若对任意实数a，函数y＝5sin(πx－)(k∈Ｎ)在区间［a，a＋3］上的值出现不少于4次且不多于8次，则k的值是( )21*cnjy*com
A2 B4 C3或4 D2或3【来源：21cnj*y.co*m】
例10. 已知函数是上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值．
巩固练习
1、已知如图是函数y＝2sin(ωx＋)其中｜｜＜的图象，那么（ ）
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Aω＝，＝ Bω＝，＝－
Cω＝2，＝ Dω＝2，＝－
2、函数的图像向右平移（）个单位，得到的图像关于直线对称，则的最小值为 （ ）【出处：21教育名师】
A. B. C. D.以上都不对
3、已知函数在处取得最小值，则函数满足（ ）
A、是偶函数，其图像关于点对称；
B、是偶函数，其图像关于点对称；
C、是奇函数，其图像关于点对称；
D、是奇函数，其图像关于点对称。
4、将函数的图像先向左平移，然后将所得图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图像对应的函数解析式为 .【版权所有：21教育】
5、将函数的图像向下平移1个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（ ）
【A】 【B】 【C】 【D】
6、已知函数．
（1）当时，求函数 f (x)的值域；
（2）求函数 y = f (x)的图像与直线 y =1相邻两个交点间的最短距离．
知识点四：三角函数综合与应用
例题精讲
例1.若,且．则下列结论正确的是( )
； ； ； ．
例2.将函数的图像向右平移（）个单位后得到函数的图像．若对满足的，有的最小值为．则（ ）.21·世纪*教育网
（A） (B) （C）或 (D) 或21教育名师原创作品
例3.某港口某天0时至24时的水深(米)随时间(时)变化曲线近似满足如下函数模型：.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为( )21*cnjy*com
【A】16时 【B】17时 【C】18时 【D】19时
例4.节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题. 某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点、及的中点处，km，km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与、等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道、、.设（弧度），排污管道的总长度为km．
（1）将表示为的函数；
（2）试确定点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01 km）．
例5.已知函数，其中常数；
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．
例6.已知函数满足关系，其中是常数.
（1）设，，求的解析式；
（2）设计一个函数及一个的值，使得；
（3）当，时，存在，对任意，恒成立，
求的最小值.
巩固练习
1、某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第个月从事旅游服务工
作的人数可近似地用函数来刻画，其中正整数表示月份且，例如
表示1月份，和是正整数，，．
统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；
③2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
（1）试根据已知信息，求的表达式；
（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺
季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．
2、已知，，并且有方程组成立，则
___________
3、设定义在R上的函数是最小正周期为2的偶函数，当x[0,]时，04、已知函数的周期为，图象的一个对称中心为.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．
（1）求函数与的解析式；
（2）求证：存在，使得，，能按照某种顺序成等差数列．
（3）定义：当函数取得最值时，函数图像上对应的点称为函数的最值点，如果函数的图像上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆的内部或圆周上，求的取值范围．
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1．设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数在区间内不存在零点，则正实数的取值范围是________．
【答案】
3．关于的方程在上有两个解，则实数的取值范围为________．
【答案】
4．已知函数的图像关于直线成轴对称图形，则实数＝________．
5．函数的值域为________．
6．函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”．
（1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由；
（2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围．
7．已知．
（1）求函数的单调增区间；
（2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围．
8．已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）若的最小值是，，求的单调减区间；
（3）在（2）的条件下，设函数，其中，.若在取得最小值，且是其图象的一个对称中心，求的最小值.21教育网
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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