第3讲 等差数列、等比数列课件-2022届新高考数学二轮专题复习（34张PPT）

(共34张PPT)
第3讲 等差数列、等比数列
1.等差数列、等比数列的基本公式
2.等差数列、等比数列的常用性质
数列 等差数列 等比数列
性质 (1)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq; (1)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;
性质 (2)an=am+(n-m)d,d= ; (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等差数列 (2)an=amqn-m,qn-m= ;
(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等比数列(Sm≠0)
3.判断数列是等差数列的常用方法
(1)定义法:an+1-an=d(d∈R,n∈N*) {an}是等差数列.
(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*) {an}是等差数列.
4.判断数列是等比数列的常用方法
名师点析1.如果数列{an}既成等差数列又成等比数列,那么数列{an}是非零常数列;“数列{an}是常数列”是“数列{an}既成等差数列又成等比数列”的必要不充分条件.
2.“ =an·an+2(n∈N*)”是“{an}为等比数列”的必要不充分条件,在判断一个数列是等比数列时,要注意各项均不为0.
突破点一
等差数列、等比数列的基本运算
[例1](2021·山东龙口模拟)在①a1+a3=b3,②b2+S5=-b4,③a1+a9=-4这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中.若问题中的m存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
设等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}是各项均为正数的等比数列,其前n项和为Tn,若　　　　　,　　　　　,且b1=2,T4=5T2,是否存在大于2的正整数m,使得4S1,S3,Sm成等比数列
所以Sn=-n2+7n.所以S1=6,S3=12,Sm=-m2+7m.
若4S1,S3,Sm成等比数列,则 =4S1Sm,即122=4×6(-m2+7m),
所以m2-7m+6=0,解得m=6或m=1(舍去).
此时存在正整数m=6满足题意.
对点练1
(1)(多选题)(2021·广东揭阳一模)已知等比数列{an}的公比为q,且a5=1,则下列选项正确的是(　　)
A.a3+a7≥2 B.a4+a6≥2
C.a7-2a6+1≥0 D.a3-2a4-1≥0
(2)(2021·山东滨州一模)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=2,b2=4,an=2log2bn,n∈N*.
①求数列{an},{bn}的通项公式;
②设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn},记数列{cn}的前n项和为Sn,求S100.
答案 (1)AC
(2)解 ①设等差数列{an}的公差为d,
因为b2=4,所以a2=2log2b2=4,所以d=a2-a1=2.
所以an=2+(n-1)×2=2n.
突破点二
等差数列、等比数列的性质
命题角度1　等差数列的性质
[例2-1](2021·陕西宝鸡二模)已知数列{an}是等差数列,3(a1+a5)+2(a3+a6+a9)=18,则该数列前8项和为(　　)
A.36 B.24 C.16 D.12
答案 D　
解析 因为数列{an}是等差数列,所以a1+a5=2a3,a3+a6+a9=3a6,
所以3×2a3+2×3a6=18,即a3+a6=3.
答案 A　
命题角度2　等比数列的性质
[例2-4](2021·全国甲,文9)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
答案 A　
解析 根据题意及等比数列的性质,可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,
即(S4-S2)2=S2(S6-S4),
∵S2=4,S4=6,∴(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故选A.
[例2-5](2021·江苏镇江模拟)已知数列{an}为等比数列,其前n项的乘积为Tn,若T3=T9,则T12=　　　　　.
答案 1　
解析 ∵T3=T9,∴a4a5a6a7a8a9=1.
又{an}为等比数列, =1,∴a1a12=a4a9=1.
∴T12=a1a2…a11a12==1.
对点练2
(1)(多选题)(2021·山东济宁检测)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且S6>S7>S5,则下列结论正确的是(　　)
A.d<0
B.S11>0
C.S12<0
D.数列{Sn}中的最大项为S11
(2)(2021·陕西咸阳模拟)在等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=12,则{an}的前8项和为(　　)
(3)(2021·北京师大附中月考)已知等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=　　　　　.
答案 (1)AB　(2)A　(3)10　
由题意,可知当1≤n≤6时,an>0,当n≥7时,an<0,故数列{Sn}中的最大项为S6,故D不正确.
(2)∵{an}为等比数列,
∴a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8成等比数列.
又a1+a2=6,a3+a4=12,∴a5+a6=24,a7+a8=48.
故{an}的前8项和为a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=90.
(3)∵等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,
∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9,
∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log395=10.
突破点三
等差数列、等比数列的判断与证明
[例3]设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列;
(2)在(1)的条件下证明 是等差数列,并求an.
证明 (1)由a1=1,及Sn+1=4an+2,得S2=a1+a2=4a1+2,即a2=3a1+2=5,∴b1=a2-2a1=3.
∵Sn+1=4an+2,∴当n≥2时,Sn=4an-1+2,
∴an+1=Sn+1-Sn=4an-4an-1,
∴an+1-2an=2(an-2an-1).
又bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,
∴{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.
对点练3
(2021·全国乙,理19)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积.已
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
突破点四
求数列的通项公式
对点练4
(2021·湖北荆州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3an-2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)不等式Sn>31,求n的最小值.