2021-2022学年高一上学期数学 北师大版（2019）必修第一册第四章 对数运算和对数函数 核心素养提升卷（Word含解析）

第四章 对数运算和对数函数 核心素养提升卷
一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。
1．若是定义域为的偶函数，且当时，，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．天上的星光有的较亮，有的较暗，天文学以“星等”区分之，即选择某一特定的星光强度为标准，对于发出星光强度为F的星体，定义其“星等”为，并称该星体为“m等星”，已知天狼星为等星，北极星为2等星，则天狼星的星光强度大约是北极星的（ ）倍.(已知.)
A．3 B．13 C．23 D．33
3．设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知奇函数在单调递增，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，直线与函数和的图象分别交于点，，若函数的图象上存在一点，使得为等边三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，若，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数（且）在上既是奇函数，又是增函数，则的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。
9．给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．函数的图象恒在x轴的上方
B．若函数的值域为R，则实数a的取值范围是
C．与函数的图象关于直线对称的图象对应的函数解析式为（）
D．已知，，则
10．某学校为了加强学生核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，让学生以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下，其中研究成果正确的是（ ）
A．函数的定义域为，且是偶函数
B．对于任意的，都有
C．对于任意的a，，都有
D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，，总满足
11．某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是(a>0且a≠1)，它的图象如图所示，给出以下命题，其中正确的有（ ）
A．池塘中原有浮草的面积是0.5平方米
B．第8个月浮草的面积超过60平方米
C．浮草每月增加的面积都相等
D．若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2>t1+t3
12．给出下列五个结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数的最大值为
B．已知函数（且）在上是减函数则a的取值范围是
C．在同一直角坐标系中，函数与的图象关于y轴对称
D．在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
E.已知定义在R上的奇函数在内有1010个零点，则函数的零点个数为2021
三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
14．关于函数的下列命题：
①函数的图象关于y轴对称；
②函数的最小值为；
③当时，是增函数；当时，是减函数；
④在上是增函数；
⑤无最大值，也无最小值．
其中正确命题的序号是_________．
15．如图，已知正方形的边长为2，平行于x轴，顶点，和分别在函数，和的图象上，则实数的值为_________．
16．已知函数（）的反函数为，当时，函数的最大值为，最小值为，则________
四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知在函数的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标依次为t，，，其中.
（1）设的面积为S，求S关于t的解析式；
（2）判断函数的单调性；
（3）求的最大值.
18．已知函数（，且）的图象过点，其反函数的图象过点.
（1）若将的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，就得到函数的图象，写出的解析式；
（2）在（1）的条件下，若在上恒成立，求实数m的取值范围.
19．已知函数为奇函数，为偶函数．
（1）求的值．
（2）设，若对于恒成立，求实数的取值范围．
20．设函数，且．
（1）求的值；
（2）若令，求实数t的取值范围；
（3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值．
21．已知函数是偶函数，且当时，(，且).
（1）求当时的的解析式；
（2）在①在上单调递增；②在区间上恒有这两个条件中任选一个补充到本题中，求的取值范围.(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)
22．已知函数（且）是定义域为的奇函数，且.
（1）求的值，并判断的单调性（不要求证明）；
（2）是否存在实数，使函数在上的最大值为0？如果存在，求出实数所有的值；如果不存在，请说明理由.
参考答案
1．A
【解析】由题意当时，则，又因为函数是偶函数，
故得到
所以函数的解析式为：，
当，即时，由，
得，即，即，又，∴；
当，即时，由，
得，即，即，又，∴.
综上，得的解集是.
故选：A.
2．C
【解析】解：设天狼星的星光强度为，北极星的星光强度为，
因为天狼星为等星，北极星为2等星，
所以，
解得，，
所以
故选：C
3．A
【解析】因为，
所以可得或，
所以的定义域为或，
因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得，
所以的定义域为，
因为函数图象与函数图象关于直线对称，
所以与互为反函数，
故的值域即为的定义域.
故选：.
4．A
【解析】∵，且，
∴令，则，，
∴，，，
又∵，∴.
故选：A.
5．D
【解析】，，，，．
，，，所以A，B错误；在上为增函数，，所以C错误；
在上为减函数，，所以D正确．
故选:D
6．C
【解析】由題意，，.
设，因为是等边三角形，
所以点到直线的距离为，
所以，.
根据中点坐标公式可得
，
所以，解得.
故选：C
7．D
【解析】若，，使得，则.
由于函数在区间上为增函数，则，
由于函数在区间上为减函数，则，
所以，，解得.
故选：D.
8．B
【解析】∵函数(a>0,a≠1)在R上是奇函数，
∴f(0)=0，∴k=2，
经检验k=2满足题意，
又函数为增函数，
所以，
所以g(x)=loga(x+2)
定义域为x> 2，且单调递增，
故选：B.
9．AC
【解析】A.，∴，
∴函数的图象恒在x轴的上方，故正确；
B.若的值域为R，则可以取遍所有的正数，
∴，即或，故错误；
C.与（）互为反函数，它们的图象关于直线对称，故正确；
D.由换底公式，得，，
∴，即，
∴，即，故错误.
故选：AC
10．BC
【解析】A：由，解得，故的定义域为．
又，
∴为奇函数，故错误．
B：由，，故正确．
C：，
，
∴，故正确．
D：取，，则，，
∴，故错误．
故选：BC．
11．ABD
【解析】浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是 (a>0且a≠1)，函数的图象经过(2，2)，所以，解得a=2.
当t=0时，y=，故选项A正确;
当第8个月时，，故B正确;
当t=1时，y=1，增加0.5，当t=2时，y=2，增加1，故每月增加的面积不相等，故C错误.
根据函数的解析式，解得t1=log210+1，
同理t2=log220+1，t3=log230+1，
所以2t2=2log220+2=log2400+2>t1+t3=log2300+2，所以2t2>t1+t3.故D正确.
故选：ABD
12．DE
【解析】A错，令，则t的最大值为1，∴的最小值为；
B错，∵函数在上是减函数，∴解得；
C错，在同一直角坐标系中，函数与的图象关于x轴对称；
D正确，在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称；
E正确，∵定义在R上的奇函数在内有1010个零点，∴在内有1010个零点，∴函数的零点个数为.故选DE.
13．
【解析】由题设，令，而为增函数，
∴要使在上是增函数，即在上为增函数，
∴或，可得或，
∴的取值范围是.
故答案为：
14．①②④
【解析】对①，，定义域为，
，
所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确.
对②， ，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为，故②正确.
对③，时，，
令，设任意，
.
当时，，所以为减函数，
当时，，所以为增函数，
所以在为减函数，在为增函数，故③错误.
对④，因为函数在为减函数，在为增函数，
又因为函数为偶函数，
所以在，上是增函数，故④正确.
对⑤，由②知，函数的最小值为，故⑤错误.
故答案为：①②④
15．
【解析】设B（x，2logax），∵BC平行于x轴，∴C（x′，2logax）即logax′＝2logax，∴x′＝x2，
∴正方形ABCD边长＝|BC|＝x2﹣x＝2，解得x＝2．
由已知，AB垂直于x轴，∴A（x，3logax），
正方形ABCD边长＝|AB|＝3logax﹣2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a，
故答案为：．
16．2
【解析】因为，
所以函数（）在定义域上单调递增，
因为函数与反函数有相同的单调性，
所以在上单调递增，在上单调递增，
因为为奇函数，则也为奇函数，
.
故答案为：2
17．
（1）（）
（2）减函数
（3）
18．
（1）
（2）
19．（1）；（2）
【解析】解：（1）因为定义域为，且为奇函数，所以，解得，所以，则，所以为奇函数，故满足条件；
又为偶函数，所以，即，即，即，所以，解得，所以
（2）由（1），所以，
又因为在区间上是增函数，所以当时，，所以由题意，
得，
因此，实数的取值范围是：
20．（1）6；（2）；（3），此时；，此时．
【解析】（1）；
（2），又，，，所以t的取值范围为；
（3）由，
令，，
当时，，即，解得，
所以
，此时；
当时，，即，
，此时．
21．（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）当时，，又是偶函数，则，
即.
（2）选条件①的解析：由于在上单调递增，显然不合题意，
则，此时的取值范围是.
选条件②的解析：若，则，显然不合要求.
当时，因为与都是偶函数，所以只需考虑时即可．由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，而在上单调递增的，所以在上单调递减．
则，此时的取值范围是.
22．（1）；为上的增函数；（2）存在，.
【解析】（1）∵函数（且）是定义域为的奇函数，，
∴，，∴.
因为，∴，，或，
∵，∴，，
因为为增函数，为减函数，所以为上的增函数.
（Ⅱ）
，
设，则，
∵，∴，记，
（1）当，即时，要使最大值为0，则要，
∵，，，∴在上单调递增，∴，由，得，因，所以满足题意.
（2）当，即时，要使最大值为0，则要，且.
∵，
①若 ，则，，
又，∴，由于，∴不合题意.
②若 ，即，则，，
综上所述，只存在满足题意.