(共45张PPT)
2.1
函数
2.1.4
函数的奇偶数
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第二章
函数
考点一
考点二
考点三
考点四
问题1：对于函数f(x)＝x2，f(x)＝|x|，以－x代替x函数值发生变化吗？其图象有何特征？
提示：以－x代替x各自的函数值不变，即f(－x)＝f(x)；图象关于y轴对称．
问题2：对于函数f(x)＝x3与f(x)＝ ，以－x代替x函数值发生变化吗？其图像有何特征？
提示：以－x代替x各自的函数值互为相反数，即
f(－x)＝－f(x)；图象关于原点对称．
1．奇、偶函数的概念
名称 定义
奇
函
数 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有 ，且 ，则这个函数叫做奇函数
偶
函
数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有 ，且 ，则这个函数叫做
－x∈D
f(－x)＝－f(x)
－x∈D
g(－x)＝g(x)
偶函数
2．奇、偶函数的图象特征
(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以
为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于 对称，则这个函数是偶函数．
坐标原点
坐标原点
y轴
y轴
(1)由定义可知，若x是定义域中的一个数值，则－x也一定在定义域中.因此，奇偶函数的定义域一定是关于原点对称的.若不对称，则这个函数必不具有奇偶性，是非奇非偶函数.
(2)函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同.从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质．
[思路点拨] 先判断定义域是否关于原点对称，然后按奇偶性的定义来判断．
[一点通] 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法
(1)定义法：若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数的定义域关于原点对称，则应进一步判断f
(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
解析：A、D两项中，函数均为偶函数；B项中，函数为非奇非偶正数；C项中，函数为奇函数．
答案：C
2．若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝ ( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：∵f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，
∴f(－x)＝(－x＋1)(－x－a)＝f(x)恒成立．
∴x2＋(a－1)x－a＝x2－(a－1)x－a恒成立.
∴a－1＝0，即a＝1.
答案：C
[例2] 如图，给出了偶函数y＝f(x)的局
部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．
[思路点拨] 法一：利用偶函数图象的对称性比较．
法二：利用f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)比较．
[精解详析] 法一：∵函数f(x)是偶函数，
∴其图象关于y轴对称，如图．
由图象可知f(1)
法二：由图象可知f(－1)又函数y＝f(x)是偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)．
∴f(1)[一点通] 已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象.奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反．
答案：A
[例3] 已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．
[思路点拨] 将x<0时的解析式转化到x>0上求解．同时要注意f(x)是定义域为R的奇函数．
[一点通] 解答该类问题的思路：
(1)“求谁设谁”，即求哪个区间的解析式，x就设在哪个区间内．
(2)要利用已知区间的解析式进行计算．
(3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)．
注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0.
6．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)
＝x2＋3x＋1，则f(x)＝ ( )
A．x2 B．2x2
C．2x2＋2 D．x2＋1
解析：∵f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1， (1)
∴f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.
f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)；
g(x)为奇函数，g(－x)＝－g(x)．
∴f(x)－g(x)＝x2－3x＋1. (2)
联立①②可得f(x)＝x2＋1.
答案：D
7．已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2
＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式．
解：设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1.
∴f(－x)＝x2－x－1.
∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝x2－x－1.
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1.
[例4] (12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
[精解详析] 由f(m)＋f(m－1)>0，得
f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数．? (8分)
[一点通] 此类问题的解答思路是：先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含有“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解.列不等式(组)时，注意函数的定义域也是一个限制条件．
8．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调
函数，且f(－4)A．f(－1)C．f(－3)f(1)
解析：由f(x)是偶函数，得f(－4)又∵f(x)在[0,5]上是单调函数，
∴f(x)在[0,5]上是减函数．
∴f(0)>f(1)>f(2)>f(3)>f(5)．
而f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，
故f(－1)>f(3)，f(－3)>f(5)，只有D正确．
答案：D
答案：A
(1)奇偶性与单调性的相关性质
①若函数f(x)为奇函数，则当f(x)在区间[a，b]上是单调函数时，f(x)在其对称区间[－b，－a]上也是单调函数，且单调性相同．
②若函数f(x)为偶函数，则当f(x)在区间[a，b]上是单调函数时，f(x)在其对称区间[－b，－a]上也是单调函数，且单调性相反．
(2)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)＝0.
(3)既是奇函数又是偶函数的函数表达式是f(x)＝0，
x∈A.定义域A是关于原点对称的非空数集．(共36张PPT)
2.1
函数
2.1.3
函
数
的
单
调
性
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第二章
函数
考点一
考点二
考点三
观察下列函数图象
问题1：从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？
提示：甲图中，函数f(x)的值随x增大而增大．
乙图中，函数f(x)的值随x增大而减小．
丙图中，在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小；
在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大．
问题2：甲、乙两图中，若x1提示：甲图中，若x1乙图中，若x1f(x2)．
问题3：丙图中若x1提示：[0，＋∞)．
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M A，如果取区间M中的 两个值x1，x2，改变量 ，则当 时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，如图(1)；当 时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，如图(2)．
Δ x＝x2－x1>0
任意
Δ y＝f(x2)－f(x1)>0
Δ y＝f(x2)－f(x1)<0
如果函数y＝f(x)在某个区间M上是增函数或是减函数，就说y＝f(x)在这个区间M上具有 (区间M称为单调区间)．
单调性
(1)函数单调性定义的理解
一是任意性，即“任意取x1，x2”，不能取两个特殊值；二是x1，x2有大小，通常规定Δ x＝x2－x1>0；三是x1，x2同属于定义域的某个子区间．
(2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，即单调区间是定义域的子集．如函数y＝x2的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，0)时是减函数．
[思路点拨] 函数解析式和区间已给出，要证明函数是增函数，只需用定义证明即可．
[一点通] 利用定义证明函数单调性的步骤如下：
1．证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是减函数．
证明：设x10，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝(2x＋4x2)－(2x＋4x1)
＝2(x－x)＋4(x2－x1)
＝2(x2－x1)(x1＋x2＋2)．
∵x1∴f(x)在(－∞，－1]上是减函数．
[例2] 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
[一点通] 利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．
注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“和”“或” 连接，不能用“∪”连接．
3．函数y＝|x|在区间[－1,1]上的增区间为________．
答案：[0,1]
解：(1)函数的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)；
(2)y＝x2－2x－3的对称轴方程是x＝1，并且开口向上，所以其单调减区间是(－∞，1]，单调增区间是(1，＋∞)．
[例3] (12分)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)[思路点拨] 不等式f(1－a)[一点通] 解决此类与抽象函数有关的变量的取值范围问题，关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，对任意x1∈D ，x2∈D，且f(x1)若函数y＝f(x)在区间D上是减函数，对任意x1 ∈D ，x2∈D，且f(x1)x2.但需要注意的是，不要忘记函数的定义域．
6．若函数y＝f(x)在R上为增函数，则f(－3)与f(－π)
的大小关系是________．
答案：f(－3)>f(－π)
答案：C
8．已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减函数，
求实数a的取值范围．
解：∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2
＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，
∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]．
又∵已知f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴1－a≥4，即a≤－3.
∴所求实数a的取值范围是(－∞，－3]．
(1)函数的单调性是函数在定义域的某个子集上的性质．这个子集可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集．
(2)若x1>x2，f(x1)>f(x2)，则函数y＝f(x)是单调增函数；若x1>x2，f(x1)0(<0)，则函数y＝f(x)是增(减)函数．(共34张PPT)
2.2
一次
函数
和二次函数
2.2.1
一次函数的性质与图象
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第二章
函数
考点一
考点二
考点三
已知函数y＝x＋1，y＝2x，y＝－x＋1.
问题1：上述三个函数自变量是什么？其次数是多少？
提示：自变量是x，一次．
问题2：你能作出它们的图象吗？图象有何特点？
提示：能，如图，图象都为直线．
问题3：观察所作图象，试说明上述函数的单调性．
提示：函数y＝x＋1，y＝2x为增函数，函数y＝－x＋1为减函数．
1．一次函数的概念
函数 叫做一次函数，又叫做 函数.它的定义域为 ，值域为 .
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是直线，其中k叫做该直线的 ，b叫做该直线在y轴上的 ．
y＝kx＋b(k≠0)
线性
斜率
截距
R
R
2．一次函数的性质
(1)函数值的改变量Δy＝y2－y1与自变量的改变量Δx＝x2－x1的比值等于常数k.k的大小表示 ．
(2)当 时，一次函数是增函数；当 时，一次函数是减函数．
(3)当 时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当
时，它既不是奇函数也不是偶函数．
(4)直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴的交点为 ，与y轴的交点为 ．
直线与x轴的倾斜程度
k>0
k<0
b＝0
b≠0
(0，b)
(1)注意k≠0这一条件，当k＝0时，函数为y＝b，它不再是一次函数，其函数图象是平行于x轴或与x轴重合的一条直线．
(2)b为任意的常数.特别地，当b＝0时，函数y＝kx(k≠0)为正比例函数．
[例1] 已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，试求m为何值时，
(1)这个函数为正比例函数；
(2)这个函数为一次函数；
(3)函数值y随x的增大而减小．
[思路点拨] 对于函数y＝kx＋b，当k≠0且b＝0时为正比例函数；当k≠0时，为一次函数；当k<0时，函数值y随x的增大而减小．
[一点通] 函数y＝kxa＋b，当a＝1，k≠0时，为一次函数；当a＝1，k≠0，b＝0时，为正比例函数．
答案：①⑤ ①②③⑤
2．已知y＝(α＋1)xα－1＋2是一次函数，则α＝________.
答案：2
[例2] 画出函数y＝3x＋12的图象，利用图象求：
(1)方程3x＋12＝0的解；
(2)不等式3x＋12>0的解集；
(3)当y≤12时，x的取值范围．
[思路点拨] 求出函数图像与x，y轴的交点坐标，画出函数图象，然后根据函数图象，借助数形结合，就可以解决上述问题．
[精解详析] 由函数y＝3x＋12可知，当x＝0时，y＝12，当y＝0时，x＝－4，所以直线y=3x+12与x轴、y轴的交点坐标分别为(－4,0)，(0,12)．
函数图象如图所示：
(1)图像与x轴交点的横坐标是方程3x＋12＝0的解，即x＝－4.
(2)当x>－4时，函数图象位于x轴的上方，所以不等式3x＋12>0的解集为{x|x>－4}．
(3)由图象可知，直线与y轴交点的坐标是
(0,12)，所以y≤12时x的取值范围{x|x≤0}．
[一点通]
(1)作一次函数图象时，常取直线与坐标轴的交点连线．
(2)若图象在x轴的上方，则对应的函数值大于0，反之，则函数值小于0.
3.如果一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限，
那么 ( )
A．k>0，b>0
B．k>0，b<0
C．k<0，b>0
D．k<0，b<0
解析：由图象可以看出：y随x的增大而增大，所以k>0；直线与y轴的交点在负半轴上，所以b<0.
答案：B
4．已知一次函数的图象经过点A(－3,4)，B(－1,2)．
(1)求这个一次函数的解析式，并画出图;
(2)求△AOB的面积（O为坐标原点）．
[例3] (12分)已知f(x)为一次函数且满足4f(1－x)－2f(x－1)＝3x＋18，求函数f(x)在[－1,1]上的最大值，并比较f(2 012)和f(2 013)的大小．
[思路点拨] 首先用待定系数法求解析式，再研究其性质．
[一点通] 一次函数的值域或一次函数的最大值、最小值，常利用一次函数的单调性来求解．求一次函数的解析式时，待定系数法是常用的方法．
答案：(6，＋∞)
6．已知一次函数y＝(a＋1)xa2－3＋b是奇函数，且在定义
域R内单调递减，求a，b的值．
解：因为函数是一次函数，所以a2－3＝1，解得a＝±2.又一次函数是减函数，所以a＋1<0，即a＝－2.
因为一次函数是奇函数，其图象过坐标原点，故b＝0.
(1)一次函数y＝kx＋b的图像与y轴的交点为(0，b)，当b>0时，此交点在y轴的正半轴上；当b<0时，此交点在y轴的负半轴上；当b＝0时，此交点为原点．
(2)一次函数y＝kx＋b具有单调性，当k>0时，一次函数是增函数；当k<0时，一次函数为减函数．(共50张PPT)
第一课时
变量与函数的概念
理解教材新知
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应用创新演练
第二章
函数
知识点一
考点一
考点二
考点三
知识点二
考点四
2.1
函 数
2.1.1
函
数
2.1.1 函数
提示：t是自变量，s是因变量．
问题2：时间t(0≤t≤3)确定后下落的距离s确定吗？
提示：确定．
问题3：对于一个时间t，下落的距离s是否唯一？
提示：唯一．
问题4：时间t和物体下落的距离s有何限制？
提示：0≤t≤3，0≤s≤44.1.
1．函数的定义
设集合A是一个 的数集，对A中的 ，按照确定的法则f，都有 数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作
．函数y＝f(x)也经常写作 ．
非空
任意数x
唯一确定的
y＝f(x)，
x∈A
函数f或函数f(x)
2．函数的定义域与值域
在函数y＝f(x)，x∈A中， 叫做自变量， 取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的 ，记作 ．所有函数值构成的集合 ，
叫做这个函数的值域．
自变量
x
函数值
y＝f(a)或y|x＝a
{y|y＝f(x)
x∈A}
名称 定义 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b}
{x|a{x|a≤x{x|a1．区间定义及表示
设a，b是两个实数，而且a闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
2．无穷区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号
(－∞，
＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
(1) 函数定义的理解
①A是非空数集，②法则f是确定的，③A中每一个x值都有唯一的y值与之对应．
(2) 函数符号y＝f(x)表示y是x的函数.符号“f”可以看做对x施加的某种法则(或运算).它可以是解析式，也可以是图象或表格．
[思路点拨] 判断一个对应是否是函数，要从以下两个方面着手：①A是非空数集；②A中任意一个数x按照确定的法则f，在B中都有唯一确定的数y与之对应．
[精解详析]
序号 是否是
函数 原因分析
(1) 否 A中元素0在B中无元素与之对应
(2) 是 同时满足任意性和唯一性
(3) 否 A中某些元素如－2在B中无元素与之对应
(4) 否 A中某些元素如4在B中有两个元素与之对应
[一点通] 判断某一对应是否为函数的方法：
判断从集合A到集合B的对应法则是否为函数，一定要以函数概念为准则．要注意对应法则对于A中元素是否有意义，同时要注意特殊值的分析．
答案：D
[思路点拨] 将x分别赋值，代入函数解析式化简即可．
[一点通]
(1)在函数y＝f(x)中，x为自变量，f为对应关系，f(x)是对应关系f下x对应的函数值，所以求函数值时，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)替换后进行计算即可；
(2)求f[f(x)]时，一般应遵循由里到外的原则．
答案：－1
[思路点拨]
[一点通]
(1)当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形 ：
①负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；
②分式中分母不能为0；
③零次幂的底数不为0；
④如果f(x)是由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；
⑤如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．
(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题.注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示(这是与初中的不同之处)．
A．[2,3) B．(3，＋∞)
C．[2,3)∪(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)
答案：C
[思路点拨] 求值域的方法很多：①利用解析式逐个求；②用直接法；③分离常数后，逐步求出；④利用二次函数求．
(4) y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.? (10分)
∵－1≤x≤2，∴0≤x＋1≤3，∴0≤(x＋1)2≤9. (11分)
∴－5≤－(x＋1)2＋4≤4.
∴函数的值域为[－5,4]．? (12分)
[一点通] 求函数值域的方法及注意事项:
求函数值域应首先确定定义域，由定义域及对应法则确定函数的值域．对一些简单的函数，可用观察法直接求解；对于二次函数，常用配方法求值域；对于分式类型的函数，可采用分离常数法求解；对于带根号的函数，常用换元法求值域，要注意换元前后变量的取值范围．
答案：[1，＋∞)
解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，∵f(－1)＝5，
f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，
∴这个函数的值域为{1,2,5}．
(2)函数的定义域为R，∵(x－1)2＋1≥1，
∴这个函数的值域为{y|y≥1}．
(1)对函数相等的理解
①函数有三个要素：定义域、值域、对应关系．函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个 函数才是同一个函数．
②定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数的对应关系不一定相同，如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．
(2)区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合，如{x|a2.4
函数与方程
把握热点考向
应用创新演练
第二章
函数
考点一
考点二
考点三
2.4.1
函
数
的
零
点
理解教材新知
给定一元二次函数y＝x2＋2x－3，其图象如下：
问题1：方程x2＋2x－3＝0的根是什么？
提示：方程的根为－3,1.
问题2：函数的图象与x轴的交点是什么？
提示：交点为(－3,0)，(1,0)．
问题3：方程的根与交点的横坐标有什么关系？
提示：相等．
问题4：通过图象观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？
提示：在每一交点两侧函数值符号异号．
1．函数的零点：
如果函数y＝f(x)在实数α处的值 ，即 ，则 叫做这个函数的零点.在坐标系中表示图象与x轴的公共点是 ．
等于零
f(α)＝0
α
(α，0)
2．二次函数的零点与相应二次方程根的关系
判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像
(1)并非所有的函数都有零点，若函数y＝f(x)有零点，则零点一定在函数定义域内．
(2)函数的零点其实就是函数y＝f(x)图像与x轴交点的横坐标，函数的零点不是点，而是一个实数．
(3)若c是函数y＝f(x)的零点，则一定有f(c)＝0.
[例1] 求下列函数的零点：
(1)f(x)＝－x2－2x＋3；
(2)f(x)＝x4－1.
[思路点拨] 根据函数零点与相应方程的根之间的关系知，求函数的零点就是求相应方程的根．
[精解详析] (1)∵f(x)＝－x2－2x＋3
＝－(x＋3)(x－1)，
∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1.
故函数的零点是－3,1.
(2)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，
∴方程x4－1＝0的实数根是－1或1.
故函数的零点是－1,1.
[一点通] 函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：对于不能用求根公式求解的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点．
1．若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax
的零点是________．
解析：∵f(x)＝ax－b的零点是3，
∴f(3)＝0，即3a－b＝0，也就是b＝3a.
∴g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)．
∴g(x)的零点为－1,0.
答案：－1,0
2．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝x3－x2＋x－1；
(2)f(x)＝x4－2x2－3.
[思路点拨] 由y＝f(x)与x轴公共点的个数或方程f(x)＝0的实数根的个数来判断函数零点的个数．
[一点通] 判断函数零点个数的主要方法：
(1)转化为解相应方程，有几个根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)的符号，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点问题．
答案：C
解：(1)由f(x)＝0，得
x2－7x＋12＝0.
Δ＝49－4×12＝1>0，
∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.
∴函数f(x)有两个零点，分别是3,4.
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且ac<0，判断函数零
点的个数．
解：法一：∵ac<0，
∴Δ＝b2－4ac>0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，
所以二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．
[例3] (10分)已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围．
[思路点拨] 根据二次方程根的分布画出相应的函数图象，数形结合建立关于a的不等式组．
[一点通] 解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．
6．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为
________．
答案：(－1,0)
7．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．
（ 1 ）函数是否有零点是针对相应方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．反映在图象上就是函数图象与x轴无交点，如函数y＝1，y＝x2＋1就没有零点．
（ 2 ）判断函数的零点，可利用的结论：
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．(共29张PPT)
2.1函 数
2.11
函数
第二课时
映射与函数
把握热点考向
应用创新演练
第二章
函数
考点一
考点二
理解教材新知
函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”，现在把数集扩展到任意的集合．某校高二(16)班有60名同学，同学们的姓名构成集合A.
问题1：若同学们的姓构成集合B，对于A中的任意一个同学，在B中是否会存在唯一的姓与之对应？
提示：是的．
问题2：若C＝{男，女}，那么A，C之间怎样对应？
提示：对于A中任意一个同学，C中都有唯一的性别与之对应．
问题3：若同学们某次的成绩构成集合D.，那么从集合D到集合A的对应与上面的对应一样吗？
提示：不一样，某个成绩可能有几名同学与之对应．
问题4：若同学们的座位构成集合E，那么A，E之间如何对应？
提示：一人一个座位，是一一对应关系．
1．映射的概念
设A，B是两个 集合，如果按照某种对应法则f，对A中的 元素x，在B中有 元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，记作 .
2．象、原象的概念
给定一个集合A到集合B的映射f，若集合B中的元素y与集合A中的元素x相对应，则称y是x在映射f作用下的象，记作f(x)，x称作y的原象．
非空
任意一个
一个且仅有一个
f：A→B
3．一一映射
如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都 一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在 关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射．
有且只有
一一对应
(1)映射包括非空集合A，B以及对应法则f，其中集合A，B可以是数集，可以是点集，也可以是其他任何非空的集合．
(2)集合A，B是有先后次序的，即A到B的映射与B到A的映射是不同的．
(3)集合A中每一个元素在集合B中必有唯一的象(有，且唯一)，但允许B中元素在A中没有原象．
(4)A中元素与B中元素对应，可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”．
[思路点拨] 判断的依据是映射和一一映射的概念．
[精解详析] (1)是映射，且满足一一映射的条件，是一一映射．
(2)对于x＝1∈A，在f作用下的象是0，而0 B，
∴(2)不是映射．
(3)是映射，且满足一一映射的条件，是一一映射．
(4)对于x＝±1∈A，在f作用下的象都是1，故f是映射，但不符合一一映射的条件，故不是一一映射．
[一点通] 判断某种对应法则是否为集合A到集合B的映射的方法：
(1)明确集合A，B中的元素．
(2)判断A的每一个元素是否在集合B中有唯一的元素与之相对应．若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每一个元素在A中都有原象，集合A中的不同元素对应的象不相同．
1．设f：A→B，则下列命题中，正确的是 ( )
A．A中每个元素在B中必有唯一元素与其对应
B．B中每个元素在A中必有元素与其对应
C．B中每个元素在A中对应的元素唯一
D．A中不同的元素在B中对应的元素必不同
解析：f：A→B表示A中的任一元素在B中都有唯一元素与之对应，而B中的部分元素可以不参与对应．
答案：A
2．下列集合A到集合B的对应f是映射的是 ( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开平方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
解析：在B中，集合A中的元素1在B中有±1两个元素与之对应，∴B不正确．C中，集合A中的元素0没有倒数，∴C不正确．D中，集合A中的元素0的绝对值仍然是0，而0 B，∴D不正确．
答案：A
解析：①是映射，不是一一映射，因为集合B中有些元素(正整数)没有原象.②是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数且仍是正实数，任何一个正实数都存在倒数.③是映射，不是一一映射．因为集合A中有不同元素对应集合B中的同一个元素.④不是映射．因为集合A中的元素(如4)对应集合B中的两个元素(2和－2).⑤是映射，是一一映射.因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是某一个等边三角形的内切圆．等边三角形边长不同，内切圆的半径也不同．
答案：D
[一点通] 在求象和原象时要分清象和原象，特别注意原象到象的对应关系.对于A中元素求象，只需将原象代入对应关系即可．对于B中元素求原象，可先设出它的原象，然后利用对应关系列出方程(组)求解．
答案：B
5．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2，
3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f作用下的象， 且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是 ( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：∵a∈A，∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}．
答案：A
(1)映射的特征
①任意性：A中任意元素x在B中都有元素y与之对应，即A中元素不能空着．
②唯一性：从集合A到集合B的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素，即一对多不是映射．
③方向性：f：A→B与f：B→A，一般是不同的映射．
(2)映射与函数的关系
函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．(共39张PPT)
2.2
一次
函数
和二次函数
2.2.2
二次函数的性质与图象
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第二章
函数
考点一
考点二
考点三
已知函数f(x)＝x2，f(x)＝2x2，f(x)＝2x2＋8x.
问题1：上述三个函数是一次函数吗？
提示：不是，因最高次数为2，都是二次函数．
问题2：在同一坐标系中，作出f(x)＝x2，f(x)＝2x2的图象．
提示：如图．
问题3：能将f(x)＝x2的图象变为f(x)＝2x2的图象吗？
提示：能．f(x)＝x2的图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍即可得到f(x)＝2x2的图象．
问题4：x2的系数对图象有何影响？
提示：x2的系数绝对值越大，图像越靠近y轴．
问题5：观察f(x)＝x2的图象，可得出哪些性质？
提示：图象关于y轴对称；在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增；在x＝0处有最小值．
问题6：函数f(x)＝2x2＋8x有类似性质吗？
提示：有．
1．二次函数的定义
函数 叫做二次函数，定义域为 .
f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
R
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
图象 a>0 a<0
2．二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
向上
向下
(1)二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小；反之，|a|越小，抛物线的开口越大．
(2)二次函数在对称轴左右两侧的单调性相反，利用对称轴可求其最值．
[例1] 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)由图象判断x为何值时，y>0，y＝0，y<0.
[思路点拨] 解答本题可先用描点法画出函数f(x)的图象，然后根据图象回答相应的问题．
[精解详析] f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4的图象如图所示．
(1)由图可知，二次函数f(x)的图像对称轴为x＝1且开口向下，且|0－1|<|3－1|，
故f(1)>f(0)>f(3)．
(2)∵x1∴|x1－1|>|x2－1|，
∴f(x1)(3)由图可知：
当x>3或x<－1时，y<0；
当x＝－1或x＝3时，y＝0；
当－10.
1．函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位，得函数y＝x2
－1的图象，则实数m＝________.
解析：y＝x2－1的图像向上平移2个单位，得函数y＝x2＋1的图象，则m＝1.
答案：1
2．若y＝－x2－2x＋3与x轴的两个交点为A，B，顶点为
C，则△ABC的面积为________．
答案：8
答案：D
[例3] (12分)(1)当－2≤x≤2时，求函数y＝x2－2x－3的最大值和最小值．
(2)当1≤x≤2时，求函数y＝－x2－x＋1的最大值和最小值．
(3)当x≥0时，求函数y＝－x(2－x)的取值范围．
[精解详析] (1)作出函数的图象，如图(1)．? (2分)
当x＝1时，ymin＝－4；
当x＝－2时，ymax＝5.? (4分)
(2)作出函数的图象如图(2)．
当x＝1时，ymax＝－1；? (6分)
当x＝2时，ymin＝－5.? (8分)
(3)作出函数y＝－x(2－x)＝x2－2x在x≥0时的图象，如图(3)．?
(10分)
可以看出：当x＝1时，ymin＝－1，无最大值．
所以，当x≥0时，函数的取值范围是y≥－1.? (12分)
[一点通] 求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值的步骤：
(1)配方，找对称轴；
(2)判断对称轴与区间的关系；
(3)求最值．若对称轴在区间外，则f(x)在[m，n]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴处取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得．
答案：－3 9
5．函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是
________，最大值是________．
6．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值
范围是 ( )
A．0≤a≤1 B．0≤a≤2
C．－2≤a≤0 D．－1≤a≤0
解析：y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2.
∵函数在[0,1]上的最大值是a2，
∴0≤－a≤1，即－1≤a≤0.
答案：D
7．已知k∈R，求函数y＝kx2＋2kx＋1，x∈[－3,2]的最值．
(1)画二次函数的图象，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
(2)若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：
①若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域；
②若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域．(共56张PPT)
2.1
函数
2.1.2
函
数
的
表
示
方
法
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第二章
函数
知识点一
考点一
考点二
考点三
知识点二
考点四
某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．
问题1：该函数的定义域是什么？
提示：{1,2,3,4,5}．
问题2：y与x满足的关系式是什么？
提示：y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．
问题3：试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系．
铅笔数x/支 1 2 3 4 5
钱数y/元 0.5 1 1.5 2 2.5
提示：
问题4：试用图象表示x与y之间的关系．
提示：
函数的表示法
(1)列表法
通过列出 与 的表来表示函数关系的方法叫做列表法．
(2)图象法
用“ ”表示函数的方法叫做图象法．
自变量
对应函数值
图形
(3)解析法(公式法)
如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用 来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法．(也称为公式法)
代数式(或解析式)
某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5千米以内，票价2元；
(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．
已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．
问题1：从起点站出发，公共汽车的行程x（千米）与票价y（元）有函数关系吗？
提示：有函数关系．
问题3：x与y之间有何特点？
提示：x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同．
分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的 ，有着 ，这样的函数通常叫做分段函数．
不同取值区间
不同的对应法则
(1)函数的常用表示法有三种：解析法、图象法和列表法.各自有不同的适用范围，在表示函数时，要视不同情况灵活选用表示方法．
(2) 分段函数是一个整体，不要因为每一部分自变量和解析式不同而把它当成多个函数．
图象如图．
(2)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2,2]．
图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分，如图所示．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
[一点通] 作函数图象的三个步骤：
(1)列表，先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；
(2)描点，把表中一系列的点(x，f(x))在坐标平面上描出来；
(3)连线，用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
1．下列图形是函数y＝－|x|x∈[－2,2]的图象的是 ( )
答案：B
2．画出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝x2－2x(－1≤x＜2)；
(3)y＝，x∈[2，＋∞)．
解：(1)当x＝0时，y＝1；
当x＝2时，y＝5.
所画图象如图（ 1 ）所示．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1.
当x＝－1时，y＝3.
当x＝0时，y＝0.
当x＝1时，y＝－1.
当x＝2时，y＝0.所画图象如图2所示．
(3)当x＝2时，y＝1，其图象如图3所示．
解：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1].
[一点通] 求函数解析式的常用方法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求出f(x)．
4．已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则函数f(x)＝________.
5．已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．
解：设x＋1＝t，则x＝t－1，
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.
6．已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，求f(x)．
[思路点拨] 对于分段函数求值问题，应先看清自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式求解．
[精解详析] f(1)＝12＝1，f(－3)＝0，
f[f(－3)]＝f(0)＝1，
f{f[f(－3)]}＝f(1)＝12＝1.
[一点通]
(1)求分段函数的函数值时，一般应先确定自变量的取值在哪个子区间上，然后用与这个区间相对应的解析式求函数值．
(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值，要进行分类讨论，逐段用不同的函数解析式求解，求解最后检验所求结果是否适合条件．
解析：∵－4<1，∴f(－4)＝16，f(16)＝16－1＝15.
答案：A
答案：－1
9.根据函数y＝f(x)的图象(如图所示)写出它的解析式．
[例4] (12分)某市市内电话收费方法为：3分钟内(含3分钟)收0.2元，以后每加1分钟(不足1分钟按1分钟计)加收0.1元．
(1)求电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式；
(2)试画出0[思路点拨] 利用分段函数表示y与t之间的关系．
(2)由(1)知，当0(12分)
[一点通] 对于此类问题，要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示．用解析法表示时，首先找出自变量x和函数y，然后利用题干条件用x表示y，最后写出定义域．注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑使函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义．
10．某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，
每答错1道题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系．
解：(1)该函数关系用列表法表示为：
x/道 0 1 2 3 4 5
y/分 50 40 30 20 10 0
(2)该函数关系用图象法表示，如图．
(3)该函数关系用解析法表示为y＝50－10x，x∈{0,1,2,3,4,5}．
表示方法 优点 缺点
列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量可以一一列出的函数关系
图象法 能形象直观地表示出函数的变化情况 只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大
(1)函数的三种表示方法的优缺点比
表示方法 优点 缺点
解
析
法 一是简明、全面地概括了变量间的关系，从“数”的方面揭示了函数关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值 不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来
(2)理解分段函数应注意的问题
①分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．
②求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
③研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．(共13张PPT)
章末
小结
知识整合与阶段检测
核心要点归纳
阶段质量检测
1．关于函数的概念
(1)函数的定义
设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照某种确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．因为函数的值域被定义域和对应法则完全确定，所以确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应法则．
(2)对应法则f可以是解析式、表格、图象，对应函数的三种表示方法——解析法、列表法、图象法．
(3)求定义域的四个准则：①分式中分母不为零；②偶次根式中被开方式非负；③x0中x≠0；④解析式由几个式子构成时，定义域是使各个式子有意义的自变量取值集合的交集．
(4)求函数值域常用的方法有：①配方法；②分离常数法；③图像法；④换元法；⑤单调性法；⑥判别式法等．
(5)分段函数是一个函数，而它的对应法则表现为多个，依据自变量的取值区间来分段．定义域是各取值区间的并集，值域是各段函数值取值区间的并集．
(6)函数的解析式
函数的解析式是函数的一种表示方法.求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．
求函数解析式的主要方法有：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出f(x)．
2．函数的性质
(1)函数的单调性
①设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M A.
如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1＞0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)＞0(＜0)时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增(减)函数．
②如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．
③若函数y＝f(x)在[a，b]上递增，则f(a)、f(b)分别为y＝f(x)在[a，b]上的最小值、最大值；若函数y＝f(x)在[a，b]上递减，则f(a)、f(b)分别为y＝f(x)在[a，b]上的最大值、最小值．
(2)函数的奇偶性
①设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，则这个函数叫做奇(或偶)函数．
②奇偶函数图象特点：
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的对称图形，则这个函数是偶函数．
3．二次函数
二次函数解析式的三种形式：
①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中(－h，k)为顶点；
③两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中(x1,0)，(x2,0)是函数的图象与x轴的两个交点坐标，并且只有抛物线与x轴有交点时才可写出两根式．
(2)研究二次函数的性质，主要包括图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值．
4．函数的应用举例(实际问题的解法)
解决应用问题的一般程序
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识建模型；
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论；
(4)还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的结果．
求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为
5．函数与方程
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根.从图象上来看，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．(共34张PPT)
2.2
一次
函数
和二次函数
2.2.3
待定系数法
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第二章
函数
考点一
考点二
考点三
已知函数y＝2x＋b，y＝kx(k≠0)，y＝ax2(a≠0)．
问题1：要确定上述三个函数的解析式，各需要几个条件？
提示：都需一个条件．
问题2：对于一次函数y＝kx＋b(k≠0)呢？
提示：需附加两个条件．
问题3：可以求y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式吗？
提示：可以．
待定系数法的定义
一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的
，可先把所求函数写为一般形式，其中 ，然后再根据题设条件求出这些 ．这种通过求
来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．
一般形
式
系数待定
待定系数
待定系
数
利用待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未知系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决．
[例1] 若函数y＝kx＋b的图象经过点P(3，－2)和Q
(－1,2)，则这个函数的解析式为 ( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝－x－1 D．y＝－x＋1
[思路点拨] 把P、Q的坐标代入函数关系式，求k和b的值．
[答案] D
[一点通] 用待定系数法求函数解析式的步骤：
(1)根据题设条件，设出含有待定系数的函数解析式的恰当形式．
(2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)．
(3)解方程(组)，求出待定系数的值(或消去待定系数，从而使问题得到解决)．
(4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式．
1．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)＝________.
答案：2x＋1或－2x－3
[例2] 根据下列条件，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．
(1)图象过点(2,0)，(4,0)，(0,3)；
(2)图象顶点为(1,2)并且过点(0,4)；
(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．
3．若二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值
是－1，则它的解析式为________．
4．已知y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，则
函数解析式为________．
解析：配方得y＝(x－2)2＋h－4，顶点为(2，h－4)，代入直线y＝－4x－1，得h－4＝－9，所以h＝－5.
所以所求函数解析式为y＝x2－4x－5.
答案：y＝x2－4x－5
5．已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－
f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
[一点通] 函数f(x)中含有a，b，c三个参数，要求a，b，c的值，必须有三个独立的条件，而题目恰有三个独立条件，但由第三个条件得到的结果为不等式，所以还应特别注意b，c∈N*这一条件．
①若已知顶点坐标为(h，k)，则可设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
②若已知对称轴方程为x＝h，则可设顶点式y＝a(x－h)2＋c(a≠0)．
③若已知函数的最大值或最小值为k，则可设顶点式y＝a(x－b)2＋k(a≠0)．
④若已知函数与x轴只有一个交点(h,0)，则可设交点式y＝a(x－h)2(a≠0)．
⑤若已知函数与x轴有两个交点(x1,0)，(x2,0)，则可设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
⑥若已知函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设对称点式y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)．
⑦若已知函数图象上的三点，则可设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(共34张PPT)
2.4
函数与方程
把握热点考向
应用创新演练
第二章
函数
考点一
考点二
2.4.2
求函数零点近似解的一种计算方法
——
二分法
理解教材新知
知识点一
知识点二
已知y＝f(x)的图象．
问题1：函数y＝f(x)有几个零点？
提示：三个．
问题2：观察图象，在零点两侧函数值有何不同？
提示：在x1、x3的两侧函数值异号，在x2的两侧函数值同号．
变号零点与不变号零点
如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的 ，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 ，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时 ，则称这样的零点为变号零点．如果没有 ，则称这样的零点为不变号零点.
图象不间断
f(a)f(b)<0
穿过x轴
穿过x轴
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一点就要爬一次电线杆子.10 km长，大约有200多根电线杆子(如图)
问题1：维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
提示：首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正常，断定故障在BC段，再取BC的中点D，再测CD和BD.
问题2：在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障
提示：能．
1．二分法的原理
我们把每次取区间的中点，将区间一分为二再经比较，按需要留下一个小区间的方法称为 ．它是通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法．
二分法
2．二分法的步骤
第一步：在D内取一个闭区间[a0，b0] D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)<0.零点位于区间[a0，b0]中．
继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度.
(1)二分法就是通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示零点．
(2)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
[例1] 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 ( )
[思路点拨] 解答本题可根据二分法的定义，判断是否具备用二分法求零点的条件．
[精解详析] 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点；A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
[答案] B
[一点通] 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
1.函数f(x)的图象如图所示，函数f(x)的变号零点个数
为 ( )
A．0 B．1
C．4 D．3
解析：由图可知，图象与x轴有4个公共点，3个穿过x轴，共有4个零点，其中有3个变号零点．
答案：D
[例2] 用二分法求函数f(x)＝x3－x－2的一个正实数零点(精确到0.1)．
[思路点拨] 解答本题可先确定函数的一个零点所在的大致区间，然后将区间不断一分为二使其零点的范围越来越小，直至所得区间两端点按精确度要求取得同一个值时，求解结束．
[精解详析] 由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表：
由表中数据可知，区间[1.5,1.531 25]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.5，所以1.5可作为所求函数的一个正实数零点的近似值．
[一点通]
(1) 用二分法求函数的零点应遵循的原则:
首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的零点，又要使其长度尽量小；其次要根据给定的精确度，及时检验所得区间的端点值按照所给的精确度所取的近似值是否相同，以决定是停止还是继续计算．
(2)用二分法求函数的零点的近似值，可借助于计算器一步步求解即可.在计算时可借助表格或数轴清晰地描述逐步缩小零点所在的区间的过程.在区间两端点的值按照给定的精确度所取的近似值相同时，运算结束．
2．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经
计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线应填的内容为 ( )
A．(0,0.5) f(0.25) B．(0,1) f(0.25)
C．(0.5,1) f(0.75) D．(0,0.5) f(0.125)
解析：因为f(0)<0，f(0.5)>0，故x0∈(0,0.5).依二分法，第二次应计算f(0.25)．
答案：A
3．用二分法求方程x2－8＝0在区间(2,3)内的近似解，经过
________次二分后精确度能达到0.1.
解析：设f(x)＝x2－8.
取(2,3)的中点x1＝2.5.
∵f(2.5)<0，
所以取(2.5,3)的中点x2＝2.75.
∵f(2.75)<0，
∴取(2.75,3)的中点x3＝2.875.
∵f(2.875)>0，
∴取(2.75,2.875)的中点x4＝2.812 5.
∵f(2.812 5)<0，
∴取(2.812 5,2.875)的中点x5＝2.843 75.
∵f(2.843 75)>0，
∴零点在(2.812 5,2.843 75)内.
∵2.812 5与2.843 75精确到0.1均为2.8，
∴x2－8＝0在(2,3)内精确到0.1的近似解为2.8，
从而可知，经过5次二分即可得x2－8＝0精确到0.1的近似解．
答案：5
(1) 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用．
(2) 二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围.当区间的两个端点的值按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点．(共30张PPT)
2.3
函数的应用
(Ⅰ)
把握热点考向
应用创新演练
第二章
函数
考点一
考点二
考点三
[例1] 某市原来民用电价为0.52元/千瓦时.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元千瓦时，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/千瓦时设一家庭每月平均用电量为200 千瓦时.
(1)求电费关于峰时段用电量的函数关系式；
(2)要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少千瓦时
[思路点拨] 用x表示峰时段用电量，则(200－x)表示谷时用电量，可列出电费y关于x的函数．
[精解详析] (1)设峰时段用电量为x 千瓦时，电费为y元，谷时段用电量为(200－x)千瓦时，则
y＝x×0.55＋(200－x)×0.35，
∴y＝0.2x＋70，x∈[0,200]．
(2)原来电费y1＝0.52×200＝104(元)．
由题意知y≤(1－10%)y1，
即0.55x＋70－0.35x≤93.6，则0.2x≤23.6.
∴x≤118，
即这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118 千瓦时.
[一点通] 求解一次函数模型应用题的策略：
(1)一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．
(2)对于给出图象（是一次函数图像）的应用题，可以先利用函数的图象用待定系数法求出解析式，再反过来，用函数解析式来解决问题，最后翻译成具体问题作出解答．
1.如图所示，这是某电信局规定的打长途电
话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分
钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：
(1)通话2分钟，需要付电话费__________元；
(2)通话5分钟，需要付电话费________元；
(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为____________．
答案：(1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3)
2．某商人的货物，进价已按原价a扣去25%.他希望对货
物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，求此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式．
[例2] 某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元.市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．
(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
[思路点拨] 解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价;先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值，可得汽车合适的销售单价．
[精解详析] (1)因为y＝29－25－x，所以y＝－x＋4(0≤x≤4)．
(2)z＝(8＋ ×4)y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4)．
(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4)．
故当x＝1.5时，zmax＝50.
所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元．
3．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两
道隔墙.要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3 m B．4 m
C．5 m D．6 m
答案：A
4．据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至
25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，且为二次函数图象的顶点．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
[例3] (12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购1件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
(1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？(服装厂售出1件服装的利润＝实际出厂单价－成本)．
[思路点拨] (1)由题意按0(2)服装厂获得的利润＝(P－40)x．
[一点通] 在实际生活和数学中，大量的问题在不同的阶段有着不同的规律.这种情况往往要用分段函数去表示.解决的方法是在不同的部分分别解决，最后用分段函数进行表达.本题中当05．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时
的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地.
(1)把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数；
(2)求汽车行驶5小时与A地的距离．
解：(1)f(5)＝－52＋24×5＋100＝195，f(25)＝－7×25＋380＝205.
∴讲课开始后25分钟学生的注意力更集中．
(2)当0此时，当t＝10时，f(t)max＝240.
当10当20≤t≤45时，f(t)max＝f(20)＝240.
∴讲课开始后10分钟到20分钟，学生注意力最集中，能持续10分钟．
(1)解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式.求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性．
(2)数学建模的过程图示如下：