2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.4二次函数的应用》同步达标训练（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.4二次函数的应用》同步达标训练（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-01 09:09:29 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.4二次函数的应用》同步达标训练（附答案）
1．已知一个直角三角形两直角边长的和为10，设其中一条直角边长为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝﹣x2+5x B．y＝﹣x2+10x C．y＝x2+5x D．y＝x2+10x
2．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x）
C．y＝10（200﹣10x）2 D．y＝（10+x）（200﹣10x）
3．如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形（ABCD）菜园，若菜园靠墙的一边（AD）长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（ ）
A． B．y＝x（12﹣x） C． D．y＝x（24﹣x）
4．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52） B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）
5．如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式是 ．（不需写出x的取值范围）．
6．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为 ．
7．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．
8．如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线的解析式．
9．如图等腰直角△ABC的直角边与正方形MNPQ的边长均为10cm，边CA与边MN在同一直线上，点A与点M重合，让△ABC沿MN方向以1cm/s的速度匀速运动，运动到点A与N重合时停止，设运动的时间为t，运动过程中△ABC与正方形MNPQ的重叠部分面积为S，
（1）试写出S关于t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．
（2）当MA＝2cm时，重叠部分的面积是多少？
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a＝0的两根，且AC﹣BC＝2，D为AB的中点．
（1）求a的值．
（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．
①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；
②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，求y与x之间的函数关系式．
12．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的两组对应值如表：
售价x（元/件） 40 50
周销售量y（件） 120 100
周销售利润w（元） 2400 3000
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）直接写出该商品的每件的进价以及y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当每件售价x为多少时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；
（3）若该商品每件进价提高了4元，其每件售价不超过m元（m是大于50的常数，且是整数），该商店在销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，直接写出周销售的最大利润．
13．2021年东京奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
（1）当k＝4时，求这条抛物线的解析式．
（2）当k＝4时，求运动员落水点与点C的距离．
（3）图中CE＝米，CF＝5米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．
14．如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA是12m，宽OB是4m．按照图中所示的直角坐标系，隧道顶端D到路面OA的距离为10m．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线的拱壁上需要安装路灯，如果灯离地面的高度不超过8.5m，那么两灯的水平距离最小是多少？
15．在刚刚结束的校运动会的实心球比赛中，小宇在决赛中，实心球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知实心球出手处A距离地面的高度是米，当实心球运行的水平距离为4米时，达到最大高度5米的B处．小宇此次投掷的成绩是多少米？
16．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，同时公司要保证获得的利润不低于20%，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
（3）当售价为多少时，公司能获得最大利润，最大利润是多少？
17．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点D为抛物线上一个动点（不与B，C重合）．
（1）求直线l的表达式；
（2）如图，当点D在直线l上方的抛物线上时，过D点作DE∥x轴交直线l于点E，设点D的横坐标为m．
①当点D运动到使得点E与点C重合时，求点D的坐标；
②求线段DE的长（用含m的代数式表示），并求出线段DE的最大值．
18．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△ACP的周长最小，请求出点P的坐标；
（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连接OA，若抛物线y＝﹣x2﹣2x+c经过点A．
（1）求c的值；
（2）将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），直接写出m的取值范围；
（3）若点P为抛物线上一动点，求使S△ABP＝S△AOB时点P的坐标．
20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且图象经过点B（1，0）、C（0，4），图象与x轴的另一交点为A．
（1）求A点坐标和抛物线表达式．
（2）点Q为抛物线对称轴上一动点，以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AC有两个交点时，求点Q的纵坐标取值范围．
（3）P为抛物线上一动点，且P在线段AC的上方，连接PB交y轴于点M，过M作抛物线对称轴的垂线段，垂足为H，连接CH．探究CH+HM+MB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4），与x轴的另一个交点为C，点A在线段PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC面积的最大值；
（3）以AB为边在其左侧作等腰直角三角形ABD，问点D能否落在抛物线上，若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．
22．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（4，0）、B（﹣1，0）、C（0，4）三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D是直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点D，DM∥y轴交AC于点M，求△DMN周长的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图2，点P为抛物线第一象限上的点，连接OP与直线AC相交于点Q，若S△COQ：S△AOQ＝3：5，求点P的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点坐标为点D，连接CD、BC、BD．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）求证：△DCB∽△AOC；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E是平移后的抛物线与原抛物线的交点，点F是原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点P，使得以点B、E、F、P为顶点的四边形是矩形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．已知二次函数y＝﹣x +2x+k．
（1）如果此二次函数的图象与x轴有两个交点，求k的取值范围；
（2）如图，此二次函数的图象过点A（3，0），且与y轴交于点B，直线AB与此二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标；
（3）在（2）中，点C为直线AB上方的抛物线上的一个动点，作CD⊥AB于点D，试求CD最长时，点C的坐标，并求出此时CD的长度．
25．已知，如图，抛物线y＝﹣（x﹣2）2+8与x轴分别交于B，C两点（点C在点B的左边），与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
26．如图，已知直线y＝2x+n与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，抛物线的顶点是A（1，﹣4），点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点Q，使∠BAQ＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．
27．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于C，CO：AO＝2：1，连接BC，与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一点，连接PC、PD，求△PCD面积的最大值，及当△PCD面积最大时点P的坐标；
（3）M为抛物线对称轴上一点，N为抛物线上一点，在（2）的基础上，是否存在这样的点M，使得以点P、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：若其中一条直角边长为x，则另一条直角边长为（10﹣x），
依题意得：y＝x（10﹣x）＝﹣x2+5x．
故选：A．
2．解：由题意可得，y与x的函数关系式为：
y＝（60﹣50+x）（200﹣10x）
＝（10+x）（200﹣10x）．
故选：D．
3．解：∵AD的边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，
∴AB＝米，
∵菜园的面积＝AD×AB＝x ，
∴y＝．
故选：C．
4．解：y关于x的函数表达式为：y＝（50+2﹣x）x
＝﹣x2+26x（2≤x＜52）．
故选：A．
5．解：∵四边形DEFG是矩形，BC＝12，BC上的高AH＝8，DE＝x，矩形DEFG的面积为y，
∴DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
得DG＝，
∴y＝x＝+12x，
故答案为：y＝+12x．
6．解：设y＝a（x﹣20）2+16，
因为抛物线过（0，0），
所以代入得：
400a+16＝0，
解得a＝﹣，
故此抛物线的函数关系式为：
y＝﹣（x﹣20）2+16．
故答案为：y＝﹣（x﹣20）2+16．
7．解：∵PB＝6﹣t，BE+EQ＝6+t，
∴S＝PB BQ＝PB （BE+EQ）
＝（6﹣t）（6+t）
＝﹣t2+18，
∴S＝﹣t2+18（0≤t＜6）．
8．解：设该抛物线的解析式是y＝ax2，
由图象知，点（10，﹣4）在函数图象上，代入得：
100a＝﹣4，
解得：a＝﹣．
故该抛物线的解析式是y＝﹣x2．
9．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，四边形MNPQ是正方形，
∴△AMR是等腰直角三角形，
由题意知，AM＝MR＝t，
S＝S△AMR＝t t＝（0≤t≤10）；
（2）当MA＝2cm时，重叠部分的面积是＝2cm2．
10．解：（1）∵AC、BC的长为方程x2﹣14x+a＝0的两根，
∴AC+BC＝14，
又∵AC﹣BC＝2，
∴AC＝8，BC＝6，
∴a＝8×6＝48，
答：a的值是48．
（2）∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝10．
又∵D为AB的中点，
∴CD＝AB＝5，
∵sinB＝＝，
过C作CE⊥AB于E，
根据三角形的面积公式得：AC BC＝AB CE，
6×8＝10CE，
解得：CE＝，
过P作PK⊥BQ于K，
∵sinB＝，
∴PK＝PB sinB，
∴S△PBQ＝BQ×PK＝BQ BPsinB，
（I）当0＜t≤1时，S＝S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ＝AC BC﹣AP CE﹣BQ BPsinB，
＝×8×6﹣×2t×﹣×3t×（10﹣2t）×，
＝t2﹣t+24，
（II）同理可求：当1＜t≤2.5时，S＝S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ＝AC BC﹣AP CE﹣BQ BPsinB，
＝×8×6﹣×2t×﹣×3×（10﹣2t）×，
＝﹣t+12；
（III）当2.5＜t≤3时，
S＝CQ PCsin∠BCD＝×3×（10﹣2t）×＝﹣t+12；
（IIII）当3＜t＜4时，
∵△PHC∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴PH＝6﹣1.2t，
∴S＝CQ PH＝CQ PH＝×[6﹣3（t﹣2）]×（6﹣1.2t）
＝1.8t2﹣16.2t+48．
答：S与t之间的函数关系式是：
S＝t2﹣t+24（0＜t≤1）
或S＝﹣t+12（1＜t≤2.5），
或S＝﹣t+12（2.5＜t≤3），
或S＝1.8t2﹣16.2t+48．（3＜t＜4）．
②解：在整个运动过程中，只可能∠PQC＝90°，
当P在AD上时，若∠PQC＝90°，cosB＝＝，
∴＝，
∴t＝2.5，
当P在DC上时，若∠PQC＝90°，
sinA＝sin∠CPQ，
＝，
＝，或＝，
t＝，或t＝2.5，
∵1＜t＜4，
∴t＝，t＝2.5，符合题意，
∴当t＝2.5秒或秒时，△PCQ为直角三角形．
答：存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形，符合条件的t的值是2.5秒，秒．
11．解：∵正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，
∴AE＝2．
①当点P在AE上时，0≤x≤2，
∵点P经过的路径长为x，
∴PE＝x．
∴y＝S△CPE＝PE BC＝×x×4＝2x．
②当点P在AD上时，2＜x≤6，
∵点P经过的路径长为x．
∴AP＝x﹣2，DP＝6﹣x．
∴y＝S△CPE
＝S正方形ABCD﹣S△BEC﹣S△APE﹣S△PDC
＝4×4﹣×2×4﹣×2×（x﹣2）﹣×4×（6﹣x）＝16﹣4﹣x+2﹣12+2x＝x+2．
③当点P在DC上时，6＜x≤10，
∵点P经过的路径长为x，
∴PD＝x﹣6，PC＝10﹣x．
∴y＝S△OPE＝PC BC＝×（10﹣x）×4＝﹣2x+20．
综上所述，y与x之间的函数关系式为
y＝．
12．解：（1）由表中数据知，每件商品进价为：＝20，
∴每件进价 20元；
设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得
，
解得：，
所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200；
（2）由题意，得w＝（﹣2x+200）（x﹣20）
＝﹣2x2+240x﹣4000
＝﹣2（x﹣60）2+3200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝60时，w有最大值，最大值为3200，
∴当每件售价为60元时，周销售利润w最大，最大利润为3200元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣20﹣4）（﹣2x+200）＝﹣2x2+248x﹣4800＝﹣2（x﹣62）2+2888，
∵﹣2＜0，对称轴为x＝62，24≤x≤m，
∴当50＜m＜62时，周销售最大利润为﹣2m2+248m﹣4800，
当m≥62时，周销售最大利润为2888元．
13．解：（1）如图所示：
根据题意，可得抛物线顶点坐标M（3，4），A（2，3），
设抛物线解析为：y＝a（x﹣3）2+4，
则3＝a（2﹣3）2+4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+4；
（2）由题意可得：当y＝0，则0＝﹣（x﹣3）2+4，
解得：x1＝1，x2＝5，
故抛物线与x轴交点为：（5，0），
当k＝4时，运动员落水点与点C的距离为5米；
（3）根据题意，抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+k，
将点A（2，3）代入可得：a+k＝3，即a＝3﹣k
若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水，
则当x＝时，y＝a+k≥0，即（3﹣k）+k≥0，
解得：k≤，
当x＝5时，y＝4a+k≤0，即4（3﹣k）+k≤0，
解得：k≥4，
故4≤k≤．
14．解：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），
设抛物线解析式为：y＝a（x﹣6）2+10，
将点C（3，）代入y＝a（x﹣6）2+10，
得：9a+10＝，
解得：a＝﹣，
故该抛物线解析式为y＝﹣（x﹣6）2+10；
（2）根据题意，当x＝6+4＝10时，y＝﹣×16+10＝＞6，
∴这辆货车能安全通过；
（3）令y＝8.5，则﹣（x﹣6）2+10＝8.5，
解得：x1＝3，x2＝9，
则x2﹣x1＝9﹣3＝6．
所以两排灯的水平距离最小是6m．
15．解：根据题意，点A的坐标为（0，），顶点为B（4，5），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+5，
∵点A（0，）在抛物线上，
∴a（0﹣4）2+5＝，
解得a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+5，
令y＝0，则﹣（x﹣4）2+5＝0，
解得：x＝9或x＝﹣1（不合实际，舍去），
答：小宇此次投掷的成绩是9米．
16．解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，
把（10，40），（18，24）代入得：
，
解得：，
∴y＝﹣2x+60，
∵销售价不高于18元/千克，同时公司要保证获得的利润不低于20%，
∴x≤18且×100%≥20%，
∴12≤x≤18，
故y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+60（12≤x≤18）；
（2）由题意得：（x﹣10）（﹣2x+60）＝150，
整理得：x2﹣40x+375＝0
解得：x1＝15，x2＝25，
∵12≤x≤18，
∴x＝15，
∴销售价定为15元时，该经销商每天获得150元的销售利润；
（3）设公司每天利润为w，则
w（x﹣10）（﹣2x+60）
＝﹣2x2+80x﹣600
＝﹣2（x﹣20）2+200，
∵﹣2＜0，
∴对称轴为直线x＝20，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，
∵12≤x≤18，
∴当x＝18时，w最大，最大为192．
即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．
17．解：（1）当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
当y＝0时，y＝﹣x2+x+2＝0，
解得：x＝﹣或x＝4，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣，0），B（4，0），
设直线l的表达式为y＝kx+b，
将点B（4，0），C（0，2）代入，
得：，
解得：，
∴直线l的表达式为y＝﹣x+2；
（2）①∵C（0，2），点D运动到使得点E与点C重合，
∴E（0，2），
∵DE∥x轴，
∴D的纵坐标为2，
令y＝﹣x2+x+2＝2，
解得x＝0或﹣，
∴D（﹣，2）；
②设P（m，﹣m2+m+2），
∵DE∥x轴，
∴点E和点D的纵坐标相同，
又∵点E在直线l上，
∴﹣m2+m+2＝﹣x+2，
∴x＝2m2﹣7m，
∴ED＝m﹣（2m2﹣7m）＝﹣2m2+8m，
∵DE＝﹣2（m﹣2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴m＝2时，线段PE的最大值是8．
18．解：（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为M（1，﹣4）．
（2）如图1，由（1）得，抛物线的对称轴为直线x＝1，
设直线x＝1交BC于点D，点P为直线x＝1上任意一点，连接AD、PB，
∵AC为定值，
∴当PA+PC的值最小时，△ACP的周长最小，
∵点B与点A关于直线x＝1对称，
∴PA＝PB，
∴PA+PC＝PB+PC，
∵PB+PC≥BC，
∴当点P与点D重合时，PA+PC＝PB+PC＝BC，
此时PB+PC的值最小，PA+PC的值也最小，
抛物线y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵∠AOC＝∠BOC＝90°，OA＝1，OB＝OC＝3，
∴AC＝＝，BC＝＝，
∴PA+PC+AC的最小值为+．
（3）如图2，过点N作NF⊥x轴于点F，交BC于点E，
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，则3k﹣3＝0，
解得k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设点N的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，x﹣3），
∴EN＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∵S△BCN＝S△CEN+S△BEN＝EN OF+EN BF＝OB EN，
∴S△BCN＝×3（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，S△BCN最大＝，此时N（，﹣），
∴△BCN面积的最大值为，N（，﹣）．
19．解：（1）把点A的坐标（﹣2，4）代入y＝﹣x2﹣2x+c中，
﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+c＝4，
∴c＝4；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+4＝﹣（x+1）2+5，
∴抛物线顶点D的坐标是（﹣1，5）
如图，过点D作DE⊥AB于点E交AO于点F，
∵AB的中点E的坐标是（﹣1，4），OA的中点F的坐标是（﹣1，2），
∴m的取值范围是：1＜m＜3；
（3）如图，设抛物线交x轴于C，G，连接AC、BC、AG、BG，
∵AB∥x轴，
∴S△ABC＝S△ABG＝S△AOB，
∴若点P为抛物线上一动点，使S△ABP＝S△AOB，则点C或G即为点P，
令y＝﹣x2﹣2x+4＝0，
解得x＝﹣1+或﹣1﹣，
∴P的坐标为（﹣1+，0）或（﹣1﹣，0）．
20．解：（1）∵2×（﹣1）﹣1＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
∴设y＝a（x﹣1） （x+3），
∴a （﹣1）×3＝4，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣1） （x+3）
＝﹣x2﹣x+4，
（2）如图1，
设Q（﹣1，y），C（0，4），A（﹣3，0），
由OC≥AQ得，
1+（y﹣4）2≥[（1﹣（﹣3）]2+y2，
∴y≤，
如图2，
∵OF∥OC，
∴＝，
＝，
∴EF＝，
当⊙Q与AC切于点A时，
∠QAF＝90°，
∴∠EAF+∠EAQ＝90°，
∵AO⊥QF，
∴∠AEF＝∠AEQ＝90°，
∴∠EAF+∠AFE＝90°，
∴∠EAQ＝∠AFE，
∴△AEQ∽△FEA，
∴＝，
∴＝，
∴EQ＝，
∴Q（﹣1，﹣），
∴﹣＜y≤；
（3）如图3，
作B点关于直线x＝﹣的对称点B′，
∴B′（﹣2，0），
∴MB＝MB′，
∴CH+HM+MB
＝CH+1+MB
＝CH+1+MB′，
∴当C、H、B′共线时，CH+1+MB′最小，
∵GB′＝OG＝1，
∴HG是△B′OC的中位线，
∴GH＝OC＝2，
∴H（﹣1，2），
∴M（0，2），
∴直线BM的表达式是：y＝﹣2x+2，
由﹣x2﹣x+4＝﹣2x+2得，
x1＝1，x2＝﹣，
当x＝﹣时，y＝﹣2×+2＝5，
∴P（﹣，5）．
21．解：（1）把P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c，
得，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+．
（2）如图1，设直线PQ的解析式为y＝kx+b，
把P（3，0）、Q（1，4）代入y＝kx+b，
得，解得，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣2x+6，
设A（m，﹣2m+6）（1≤m≤3），则AB＝﹣2m+6，
∵抛物线y＝﹣x2+与x轴的另一个交点为C，
∴C（﹣3，0），
∴BC＝m+3，
∴S△ABC＝BC AB＝（m+3）（﹣2m+6）＝﹣m2+9，
∵当1≤m≤3，S△ABC随m的增大而减小，
∴当m＝1时，S△ABC最大＝﹣12+9＝8，
∴△ABC面积的最大值为8．
（3）能．
如图2，∠BAD＝90°，AD＝AB，
设点D在抛物线上，D（n，﹣n2+），
对于直线PQ：y＝﹣2x+6，当y＝﹣n2+时，则﹣2x+6＝﹣n2+，
∴x＝n2+，
∴A（n2+，﹣n2+），
∴n2+﹣n＝﹣n2+，
解得n1＝﹣，n2＝3（不符合题意，舍去），
∴D（﹣，）；
如图3，∠ABD＝90°，AB＝DB，
设A（m，﹣2m+6）（1≤m≤3），
则B（m，0），D（3m﹣6，0），
当点D在抛物线上时，则﹣（3m﹣6）2+＝0，
解得m1＝1，m2＝3（不符合题意，舍去），
D（﹣3，0）；
如图4，∠ADB＝90°，AD＝BD，作DE⊥AB于点E，
则DE＝AE＝BE＝AB，
设A（m，﹣2m+6）（1≤m≤3），
则E（m，﹣m+3），D（2m﹣3，﹣m+3），
若点D在抛物线上，则﹣（2m﹣3）2+＝﹣m+3，
解得m1＝1（不符合题意，舍去），m2＝6（不符合题意，舍去），
综上所述，点D的坐标为（﹣，）或（﹣3，0）．
22．解：（1）设抛物线解析式是y＝a（x﹣4） （x+1），
∴a （﹣4）×1＝4，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣4） （x+1）＝﹣x2+3x+4；
（2）如图1，
设DN的延长线交OA与N，
∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠ACO＝45°，
∵DM∥y轴，
∴∠DNA＝∠AOC＝90°，
∠AMN＝∠ACO＝∠DMN＝∠OAC＝45°，
∴AN＝MN，
∵∠DNM＝90°，
∴∠D＝∠DMN＝45°，
∴DN＝NM＝DM，
设D（m，﹣m2+3m+4），
∴MN＝AN＝OA﹣ON＝4﹣x，
∴DM＝DN﹣MN
＝﹣m2+3m+4﹣（4﹣m）
＝﹣m2+4m
＝﹣（m﹣2）2+4；
∵DN+MN+DM＝DM+DM＝（+1） DM，
∴当m＝2时，DM最大＝4，
即△DMN的周长＝（DN+MN+DM）最大＝4+4，
当x＝2时，y＝﹣（2﹣4）×（2+1）＝6，
∴D（2，6）；
（3）如图2，
∵S△COQ：S△AOQ＝3：5，
∴＝，
作QD⊥OA于D，
∵CO⊥OA，
∴DQ∥OC，
∴＝＝＝，
∵OA＝4，
∴OD＝，OD＝AD＝，
∴Q（，），
∴QO的解析式是：y＝x，
当﹣x2+3x+4＝x时，
x＝，
∵P在第一象限，
∴x＝，
∴y＝﹣（）2+3×+4
＝，
∴P（，）．
23．解：（1）把A（﹣1，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）证明：如图1，连结AC，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1，
∵点B与点A（﹣1，0）关于直线x＝1对称，
∴A（3，0），
∴CD2＝12+（4﹣3）2＝2，BC2＝32+32＝18，BD2＝（3﹣1）2+42＝20，
∴CD＝，CB＝3，CD2+BC2＝BD2＝20，
∴△DCB是直角三角形，且∠DCB＝90°，
∵OA＝1，OC＝3，
∴，＝，
∵∠DCB＝∠AOC，，
∴△DCB∽△AOC．
（3）存在．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴将该抛物线向右平移两个单位得到的抛物线为y＝﹣（x﹣3）2+4，
即y＝﹣x2+6x﹣5，
由得，
∴E（2，3），
设点F的坐标为（1，m），
如图2，四边形PBEF是矩形，
设PF交x轴于点K，抛物线平移后点A的对应点为L，则L（1，0），
∴L在抛物线的对称轴直线x＝1上，
过点E、P分别作直线x＝1的垂线，垂足分别为点G、T，作EH⊥x轴于点H，
则G（1，3），H（2，0），
∴EG＝LH＝BH＝1，EH＝3，
∵∠EGL＝∠GLK＝∠EHL＝90°，
∴四边形EGLH是矩形，
∴∠GEH＝∠FEB＝90°，
∴∠FEG＝∠BEH＝90°﹣∠FEH，
∵∠EGF＝∠EHB＝90°，
∴△FEG∽△BEH，
∴，
∴FG＝BH＝×1＝，
∴m＝3﹣＝，
∵PT∥x轴，PF∥BE，
∴∠FPT＝∠FKL＝∠EBH，
∵∠FTP＝∠EHB＝90°，PF＝BE，
∴△FPT≌△EBH（AAS），
∴PT＝BH＝1，FT＝EH＝3，
∴xP＝1+1＝2，yP＝yT＝﹣3＝﹣，
∴P（2，﹣）；
如图3，以BE的中点Q为圆心，以BE为直径作⊙Q交直线x＝1于点F、F′，
过点F作直径为FP，作四边形BPEF、四边形BP′EF′，
∵QP＝PF，PB＝PE，
∴四边形BPEF是平行四边形，
∵PF＝BE，
∴四边形BPEF是矩形，
∵QF＝QB，
∴QF2＝QB2，
∵Q（，），
∴（m﹣）2+（1﹣）2＝（）2+（﹣3）2，
解得m1＝1，m2＝2，
∴F（1，1），F′（1，2），
∵点P与点F（1，1）关于点Q（，）成中心对称，
∴P（4，1），
同理可得P′（4，2）．
综上所述，点P的坐标为（2，﹣）或（4，1）或（4，2）．
24．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，
∴△＝22+4k＞0．
解得：k＞﹣1；
（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），
∴0＝﹣9+6+k．
解得：k＝3，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
令x＝0，得y＝3，
∴B（0，3）．
设直线AB的解析式为：y＝mx+b．
将点A（3，0），（0，3）代入，
得：，
解得：m＝﹣1，b＝3，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3，
把x＝1代入y＝﹣x+3得y＝2，
∴P（1，2）；
（3）如图，连接CB、CA、OC，
设动点C的坐标为（a，﹣a2+2a+3）．
∵S△ABC＝S△OAC+S△OBC﹣S△OAB
＝×3a+×3×（﹣a2+2a+3）﹣×3×3
＝a2+a
＝（a﹣）2+，
∴当a＝时，△ABC的面积最大，最大值为，
∵a＝时，﹣a2+2a+3＝，
∴此时C的坐标为（，）．
∵OB＝OA＝3，
∴AB＝3．
∵S△ABC＝AB DC，
∴×3 DC＝．
解得：DC＝．
∴CD的最大值为，此时C的坐标为（，）．
25．解：（1）由抛物线y＝﹣（x﹣2）2+8可知点A（0，6），
令y＝0，则0＝﹣（x﹣2）2+8，
解得x＝﹣2或x＝6，
∴点C（﹣2，0），B（6，0）；
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
将A（0，6），B（6，0）代入得，
，
解得，，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6；
（3）如图：
∵△PDE为等腰直角三角形，
∴PD＝PE，
设点P的横坐标为a，点E的横坐标为b，
∴PD＝﹣（a﹣2）2+8﹣（﹣a+6）＝﹣a2+3a，
＝﹣，
∴b＝4﹣a，
∴PE＝|a﹣（4﹣a）|＝|2a﹣4|＝2|2﹣a|，
∴﹣a2+3a＝2|2﹣a|，
∴a＝4或a＝5﹣，
∴P（4，6）或P（5﹣，3﹣5）．
26．解：（1）将点A（1，﹣4）代入直线y＝2x+n得，
2+n＝﹣4，
∴n＝﹣6，
∴直线y＝2x﹣6，
当y＝0时，代入直线得：0＝2x﹣6，
解得：x＝3，
∴点B坐标（3，0），
设抛物线表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点B代入抛物线得，
0＝4a﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线表达式y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，有两种情况：
①如图，当AB为边时，
设点M（0，m），
已知点A（1，﹣4），点B（3，0）
∴MA2＝12+（m+4）2，AB2＝（1﹣3）2+（﹣4﹣0）2＝20，BM2＝32+m2，
∴MB2＝AM2+AB2，即12+（m+4）2+20＝32+m2，
解得m＝﹣，
即点M的坐标（0，﹣），
延长BN交y轴于点M′，作AG⊥y轴于G，BH⊥GA交GA的延长线于点H．
由△BOM∽△BHA，可得＝，
∴＝，
∴OM′＝，
∴M′（0，），
②如图，当AB为对角线时，
取线段AB的中点P，作辅助圆⊙P，与y轴交于点M1，M2，作PG⊥y轴于点G，
点P坐标（，），即（2，﹣2），
由①可得线段AB＝＝2，
∴⊙P半径，
在Rt△PM1G中，PM1＝，PG＝2，
M1G＝＝1，
根据垂径定理可得，M2G＝1，
∴点M1坐标（0，﹣1），点M2坐标（0，﹣3）；
综上所述，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，点M坐标为：（0，﹣）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）；
（3）存在点Q的横坐标为﹣2或，使∠BAQ＝45°．
理由如下：假设存在满足条件的点Q，如图，
当四边形ADBC为正方形，且点Q1，Q2分别在直线AD和直线AC上时，∠BAQ＝45°，
设过线段AB中点P，且与线段AB垂直的直线：y＝﹣+b，
将点P（2，﹣2）代入得：﹣2＝﹣1+b，
解得b＝﹣1，
∴直线为y＝﹣，
设点C点坐标（n，﹣n﹣1），
在Rt△ABD中，∠BAQ＝45°，AB＝2，
sin45°＝，
解得BD＝，
∴BD＝＝，
解得n1＝0，n2＝4，
∴点C坐标（0，﹣1），点D坐标（4，﹣3），
设直线AD表达式为：y＝qx+p，将点A（1，﹣4），点D（4，﹣3）代入得，
，
解得，
∴直线AD的表达式为y＝﹣，
同理可得直线AC的表达式为y＝﹣3x﹣1，
联立直线AD与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4可得，
﹣＝（x﹣1）2﹣4，
解得x1＝1，x2＝，
同理联立直线AC与抛物线可解得x3＝1，x4＝﹣2，
∴点Q的横坐标为﹣2或．
27．解：（1）∵A（﹣2，0），B（6，0），
∴AO＝2，BO＝6，
∵CO：AO＝2：1，
∴CO＝4，
∴C（0，4），
设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），将C（0，4）代入得：
4＝﹣12a，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+4；
（2）过P作PH⊥BC于H，过P作PQ∥y轴交BC于Q，如图：
由A（﹣2，0），B（6，0）可得抛物线的对称轴为直线x＝＝2，
设直线BC为y＝kx+4，将B（6，0）代入得：0＝6k+4，
∴k＝﹣，
∴直线BC为y＝﹣x+4，
在y＝﹣x+4中，令x＝2得y＝，
∴D（2，），
而C（0，4），
∴CD＝＝，
∴S△PCD＝CD PH＝PH，
∴PH最大时，S△PCD最大，
∵PQ∥y轴，
∴∠PQH＝∠BCO，
在Rt△BCO中，BC＝＝2，
∴sin∠BCO＝＝，
∴sin∠PQH＝，即＝，
∴PH＝PQ，
∴S△PCD＝PH＝×PQ＝PQ，
设P（t，﹣t2+t+4），则Q（t，﹣t+4），
∴PQ＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣3）2+3，
∵﹣＜0，
∴t＝3时，PQ最大为3，
∴S△PCD最大值是3，此时P（3，5）；
（3）存在，理由如下：
设M（2，m），N（n，﹣n2+n+4），而C（0，4），P（3，5），
①当MN、CP为对角线时，MN、CP的中点重合，如图：
∴，解得n＝1，
∴N（1，5）；
②当MC、NP为对角线时，MC、NP的中点重合，如图：
∴，解得n＝﹣1，
∴N（﹣1，）；
③当MP、CN为对角线时，MP、CN的中点重合，如图：
∴，即得n＝5，
∴N（5，），
综上所述，N的坐标为（1，5）或（﹣1，）或（5，）．
1．已知一个直角三角形两直角边长的和为10，设其中一条直角边长为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝﹣x2+5x B．y＝﹣x2+10x C．y＝x2+5x D．y＝x2+10x
2．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x）
C．y＝10（200﹣10x）2 D．y＝（10+x）（200﹣10x）
3．如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形（ABCD）菜园，若菜园靠墙的一边（AD）长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（ ）
A． B．y＝x（12﹣x） C． D．y＝x（24﹣x）
4．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52） B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）
5．如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式是 ．（不需写出x的取值范围）．
6．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为 ．
7．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．
8．如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线的解析式．
9．如图等腰直角△ABC的直角边与正方形MNPQ的边长均为10cm，边CA与边MN在同一直线上，点A与点M重合，让△ABC沿MN方向以1cm/s的速度匀速运动，运动到点A与N重合时停止，设运动的时间为t，运动过程中△ABC与正方形MNPQ的重叠部分面积为S，
（1）试写出S关于t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．
（2）当MA＝2cm时，重叠部分的面积是多少？
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a＝0的两根，且AC﹣BC＝2，D为AB的中点．
（1）求a的值．
（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．
①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；
②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，求y与x之间的函数关系式．
12．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的两组对应值如表：
售价x（元/件） 40 50
周销售量y（件） 120 100
周销售利润w（元） 2400 3000
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）直接写出该商品的每件的进价以及y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当每件售价x为多少时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；
（3）若该商品每件进价提高了4元，其每件售价不超过m元（m是大于50的常数，且是整数），该商店在销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，直接写出周销售的最大利润．
13．2021年东京奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
（1）当k＝4时，求这条抛物线的解析式．
（2）当k＝4时，求运动员落水点与点C的距离．
（3）图中CE＝米，CF＝5米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．
14．如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA是12m，宽OB是4m．按照图中所示的直角坐标系，隧道顶端D到路面OA的距离为10m．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线的拱壁上需要安装路灯，如果灯离地面的高度不超过8.5m，那么两灯的水平距离最小是多少？
15．在刚刚结束的校运动会的实心球比赛中，小宇在决赛中，实心球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知实心球出手处A距离地面的高度是米，当实心球运行的水平距离为4米时，达到最大高度5米的B处．小宇此次投掷的成绩是多少米？
16．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，同时公司要保证获得的利润不低于20%，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
（3）当售价为多少时，公司能获得最大利润，最大利润是多少？
17．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点D为抛物线上一个动点（不与B，C重合）．
（1）求直线l的表达式；
（2）如图，当点D在直线l上方的抛物线上时，过D点作DE∥x轴交直线l于点E，设点D的横坐标为m．
①当点D运动到使得点E与点C重合时，求点D的坐标；
②求线段DE的长（用含m的代数式表示），并求出线段DE的最大值．
18．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△ACP的周长最小，请求出点P的坐标；
（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连接OA，若抛物线y＝﹣x2﹣2x+c经过点A．
（1）求c的值；
（2）将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），直接写出m的取值范围；
（3）若点P为抛物线上一动点，求使S△ABP＝S△AOB时点P的坐标．
20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且图象经过点B（1，0）、C（0，4），图象与x轴的另一交点为A．
（1）求A点坐标和抛物线表达式．
（2）点Q为抛物线对称轴上一动点，以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AC有两个交点时，求点Q的纵坐标取值范围．
（3）P为抛物线上一动点，且P在线段AC的上方，连接PB交y轴于点M，过M作抛物线对称轴的垂线段，垂足为H，连接CH．探究CH+HM+MB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4），与x轴的另一个交点为C，点A在线段PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC面积的最大值；
（3）以AB为边在其左侧作等腰直角三角形ABD，问点D能否落在抛物线上，若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．
22．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（4，0）、B（﹣1，0）、C（0，4）三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D是直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点D，DM∥y轴交AC于点M，求△DMN周长的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图2，点P为抛物线第一象限上的点，连接OP与直线AC相交于点Q，若S△COQ：S△AOQ＝3：5，求点P的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点坐标为点D，连接CD、BC、BD．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）求证：△DCB∽△AOC；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E是平移后的抛物线与原抛物线的交点，点F是原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点P，使得以点B、E、F、P为顶点的四边形是矩形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．已知二次函数y＝﹣x +2x+k．
（1）如果此二次函数的图象与x轴有两个交点，求k的取值范围；
（2）如图，此二次函数的图象过点A（3，0），且与y轴交于点B，直线AB与此二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标；
（3）在（2）中，点C为直线AB上方的抛物线上的一个动点，作CD⊥AB于点D，试求CD最长时，点C的坐标，并求出此时CD的长度．
25．已知，如图，抛物线y＝﹣（x﹣2）2+8与x轴分别交于B，C两点（点C在点B的左边），与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
26．如图，已知直线y＝2x+n与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，抛物线的顶点是A（1，﹣4），点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点Q，使∠BAQ＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．
27．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于C，CO：AO＝2：1，连接BC，与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一点，连接PC、PD，求△PCD面积的最大值，及当△PCD面积最大时点P的坐标；
（3）M为抛物线对称轴上一点，N为抛物线上一点，在（2）的基础上，是否存在这样的点M，使得以点P、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：若其中一条直角边长为x，则另一条直角边长为（10﹣x），
依题意得：y＝x（10﹣x）＝﹣x2+5x．
故选：A．
2．解：由题意可得，y与x的函数关系式为：
y＝（60﹣50+x）（200﹣10x）
＝（10+x）（200﹣10x）．
故选：D．
3．解：∵AD的边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，
∴AB＝米，
∵菜园的面积＝AD×AB＝x ，
∴y＝．
故选：C．
4．解：y关于x的函数表达式为：y＝（50+2﹣x）x
＝﹣x2+26x（2≤x＜52）．
故选：A．
5．解：∵四边形DEFG是矩形，BC＝12，BC上的高AH＝8，DE＝x，矩形DEFG的面积为y，
∴DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
得DG＝，
∴y＝x＝+12x，
故答案为：y＝+12x．
6．解：设y＝a（x﹣20）2+16，
因为抛物线过（0，0），
所以代入得：
400a+16＝0，
解得a＝﹣，
故此抛物线的函数关系式为：
y＝﹣（x﹣20）2+16．
故答案为：y＝﹣（x﹣20）2+16．
7．解：∵PB＝6﹣t，BE+EQ＝6+t，
∴S＝PB BQ＝PB （BE+EQ）
＝（6﹣t）（6+t）
＝﹣t2+18，
∴S＝﹣t2+18（0≤t＜6）．
8．解：设该抛物线的解析式是y＝ax2，
由图象知，点（10，﹣4）在函数图象上，代入得：
100a＝﹣4，
解得：a＝﹣．
故该抛物线的解析式是y＝﹣x2．
9．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，四边形MNPQ是正方形，
∴△AMR是等腰直角三角形，
由题意知，AM＝MR＝t，
S＝S△AMR＝t t＝（0≤t≤10）；
（2）当MA＝2cm时，重叠部分的面积是＝2cm2．
10．解：（1）∵AC、BC的长为方程x2﹣14x+a＝0的两根，
∴AC+BC＝14，
又∵AC﹣BC＝2，
∴AC＝8，BC＝6，
∴a＝8×6＝48，
答：a的值是48．
（2）∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝10．
又∵D为AB的中点，
∴CD＝AB＝5，
∵sinB＝＝，
过C作CE⊥AB于E，
根据三角形的面积公式得：AC BC＝AB CE，
6×8＝10CE，
解得：CE＝，
过P作PK⊥BQ于K，
∵sinB＝，
∴PK＝PB sinB，
∴S△PBQ＝BQ×PK＝BQ BPsinB，
（I）当0＜t≤1时，S＝S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ＝AC BC﹣AP CE﹣BQ BPsinB，
＝×8×6﹣×2t×﹣×3t×（10﹣2t）×，
＝t2﹣t+24，
（II）同理可求：当1＜t≤2.5时，S＝S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ＝AC BC﹣AP CE﹣BQ BPsinB，
＝×8×6﹣×2t×﹣×3×（10﹣2t）×，
＝﹣t+12；
（III）当2.5＜t≤3时，
S＝CQ PCsin∠BCD＝×3×（10﹣2t）×＝﹣t+12；
（IIII）当3＜t＜4时，
∵△PHC∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴PH＝6﹣1.2t，
∴S＝CQ PH＝CQ PH＝×[6﹣3（t﹣2）]×（6﹣1.2t）
＝1.8t2﹣16.2t+48．
答：S与t之间的函数关系式是：
S＝t2﹣t+24（0＜t≤1）
或S＝﹣t+12（1＜t≤2.5），
或S＝﹣t+12（2.5＜t≤3），
或S＝1.8t2﹣16.2t+48．（3＜t＜4）．
②解：在整个运动过程中，只可能∠PQC＝90°，
当P在AD上时，若∠PQC＝90°，cosB＝＝，
∴＝，
∴t＝2.5，
当P在DC上时，若∠PQC＝90°，
sinA＝sin∠CPQ，
＝，
＝，或＝，
t＝，或t＝2.5，
∵1＜t＜4，
∴t＝，t＝2.5，符合题意，
∴当t＝2.5秒或秒时，△PCQ为直角三角形．
答：存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形，符合条件的t的值是2.5秒，秒．
11．解：∵正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，
∴AE＝2．
①当点P在AE上时，0≤x≤2，
∵点P经过的路径长为x，
∴PE＝x．
∴y＝S△CPE＝PE BC＝×x×4＝2x．
②当点P在AD上时，2＜x≤6，
∵点P经过的路径长为x．
∴AP＝x﹣2，DP＝6﹣x．
∴y＝S△CPE
＝S正方形ABCD﹣S△BEC﹣S△APE﹣S△PDC
＝4×4﹣×2×4﹣×2×（x﹣2）﹣×4×（6﹣x）＝16﹣4﹣x+2﹣12+2x＝x+2．
③当点P在DC上时，6＜x≤10，
∵点P经过的路径长为x，
∴PD＝x﹣6，PC＝10﹣x．
∴y＝S△OPE＝PC BC＝×（10﹣x）×4＝﹣2x+20．
综上所述，y与x之间的函数关系式为
y＝．
12．解：（1）由表中数据知，每件商品进价为：＝20，
∴每件进价 20元；
设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得
，
解得：，
所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200；
（2）由题意，得w＝（﹣2x+200）（x﹣20）
＝﹣2x2+240x﹣4000
＝﹣2（x﹣60）2+3200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝60时，w有最大值，最大值为3200，
∴当每件售价为60元时，周销售利润w最大，最大利润为3200元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣20﹣4）（﹣2x+200）＝﹣2x2+248x﹣4800＝﹣2（x﹣62）2+2888，
∵﹣2＜0，对称轴为x＝62，24≤x≤m，
∴当50＜m＜62时，周销售最大利润为﹣2m2+248m﹣4800，
当m≥62时，周销售最大利润为2888元．
13．解：（1）如图所示：
根据题意，可得抛物线顶点坐标M（3，4），A（2，3），
设抛物线解析为：y＝a（x﹣3）2+4，
则3＝a（2﹣3）2+4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+4；
（2）由题意可得：当y＝0，则0＝﹣（x﹣3）2+4，
解得：x1＝1，x2＝5，
故抛物线与x轴交点为：（5，0），
当k＝4时，运动员落水点与点C的距离为5米；
（3）根据题意，抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+k，
将点A（2，3）代入可得：a+k＝3，即a＝3﹣k
若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水，
则当x＝时，y＝a+k≥0，即（3﹣k）+k≥0，
解得：k≤，
当x＝5时，y＝4a+k≤0，即4（3﹣k）+k≤0，
解得：k≥4，
故4≤k≤．
14．解：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），
设抛物线解析式为：y＝a（x﹣6）2+10，
将点C（3，）代入y＝a（x﹣6）2+10，
得：9a+10＝，
解得：a＝﹣，
故该抛物线解析式为y＝﹣（x﹣6）2+10；
（2）根据题意，当x＝6+4＝10时，y＝﹣×16+10＝＞6，
∴这辆货车能安全通过；
（3）令y＝8.5，则﹣（x﹣6）2+10＝8.5，
解得：x1＝3，x2＝9，
则x2﹣x1＝9﹣3＝6．
所以两排灯的水平距离最小是6m．
15．解：根据题意，点A的坐标为（0，），顶点为B（4，5），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+5，
∵点A（0，）在抛物线上，
∴a（0﹣4）2+5＝，
解得a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+5，
令y＝0，则﹣（x﹣4）2+5＝0，
解得：x＝9或x＝﹣1（不合实际，舍去），
答：小宇此次投掷的成绩是9米．
16．解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，
把（10，40），（18，24）代入得：
，
解得：，
∴y＝﹣2x+60，
∵销售价不高于18元/千克，同时公司要保证获得的利润不低于20%，
∴x≤18且×100%≥20%，
∴12≤x≤18，
故y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+60（12≤x≤18）；
（2）由题意得：（x﹣10）（﹣2x+60）＝150，
整理得：x2﹣40x+375＝0
解得：x1＝15，x2＝25，
∵12≤x≤18，
∴x＝15，
∴销售价定为15元时，该经销商每天获得150元的销售利润；
（3）设公司每天利润为w，则
w（x﹣10）（﹣2x+60）
＝﹣2x2+80x﹣600
＝﹣2（x﹣20）2+200，
∵﹣2＜0，
∴对称轴为直线x＝20，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，
∵12≤x≤18，
∴当x＝18时，w最大，最大为192．
即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．
17．解：（1）当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
当y＝0时，y＝﹣x2+x+2＝0，
解得：x＝﹣或x＝4，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣，0），B（4，0），
设直线l的表达式为y＝kx+b，
将点B（4，0），C（0，2）代入，
得：，
解得：，
∴直线l的表达式为y＝﹣x+2；
（2）①∵C（0，2），点D运动到使得点E与点C重合，
∴E（0，2），
∵DE∥x轴，
∴D的纵坐标为2，
令y＝﹣x2+x+2＝2，
解得x＝0或﹣，
∴D（﹣，2）；
②设P（m，﹣m2+m+2），
∵DE∥x轴，
∴点E和点D的纵坐标相同，
又∵点E在直线l上，
∴﹣m2+m+2＝﹣x+2，
∴x＝2m2﹣7m，
∴ED＝m﹣（2m2﹣7m）＝﹣2m2+8m，
∵DE＝﹣2（m﹣2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴m＝2时，线段PE的最大值是8．
18．解：（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为M（1，﹣4）．
（2）如图1，由（1）得，抛物线的对称轴为直线x＝1，
设直线x＝1交BC于点D，点P为直线x＝1上任意一点，连接AD、PB，
∵AC为定值，
∴当PA+PC的值最小时，△ACP的周长最小，
∵点B与点A关于直线x＝1对称，
∴PA＝PB，
∴PA+PC＝PB+PC，
∵PB+PC≥BC，
∴当点P与点D重合时，PA+PC＝PB+PC＝BC，
此时PB+PC的值最小，PA+PC的值也最小，
抛物线y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵∠AOC＝∠BOC＝90°，OA＝1，OB＝OC＝3，
∴AC＝＝，BC＝＝，
∴PA+PC+AC的最小值为+．
（3）如图2，过点N作NF⊥x轴于点F，交BC于点E，
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，则3k﹣3＝0，
解得k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设点N的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，x﹣3），
∴EN＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∵S△BCN＝S△CEN+S△BEN＝EN OF+EN BF＝OB EN，
∴S△BCN＝×3（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，S△BCN最大＝，此时N（，﹣），
∴△BCN面积的最大值为，N（，﹣）．
19．解：（1）把点A的坐标（﹣2，4）代入y＝﹣x2﹣2x+c中，
﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+c＝4，
∴c＝4；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+4＝﹣（x+1）2+5，
∴抛物线顶点D的坐标是（﹣1，5）
如图，过点D作DE⊥AB于点E交AO于点F，
∵AB的中点E的坐标是（﹣1，4），OA的中点F的坐标是（﹣1，2），
∴m的取值范围是：1＜m＜3；
（3）如图，设抛物线交x轴于C，G，连接AC、BC、AG、BG，
∵AB∥x轴，
∴S△ABC＝S△ABG＝S△AOB，
∴若点P为抛物线上一动点，使S△ABP＝S△AOB，则点C或G即为点P，
令y＝﹣x2﹣2x+4＝0，
解得x＝﹣1+或﹣1﹣，
∴P的坐标为（﹣1+，0）或（﹣1﹣，0）．
20．解：（1）∵2×（﹣1）﹣1＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
∴设y＝a（x﹣1） （x+3），
∴a （﹣1）×3＝4，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣1） （x+3）
＝﹣x2﹣x+4，
（2）如图1，
设Q（﹣1，y），C（0，4），A（﹣3，0），
由OC≥AQ得，
1+（y﹣4）2≥[（1﹣（﹣3）]2+y2，
∴y≤，
如图2，
∵OF∥OC，
∴＝，
＝，
∴EF＝，
当⊙Q与AC切于点A时，
∠QAF＝90°，
∴∠EAF+∠EAQ＝90°，
∵AO⊥QF，
∴∠AEF＝∠AEQ＝90°，
∴∠EAF+∠AFE＝90°，
∴∠EAQ＝∠AFE，
∴△AEQ∽△FEA，
∴＝，
∴＝，
∴EQ＝，
∴Q（﹣1，﹣），
∴﹣＜y≤；
（3）如图3，
作B点关于直线x＝﹣的对称点B′，
∴B′（﹣2，0），
∴MB＝MB′，
∴CH+HM+MB
＝CH+1+MB
＝CH+1+MB′，
∴当C、H、B′共线时，CH+1+MB′最小，
∵GB′＝OG＝1，
∴HG是△B′OC的中位线，
∴GH＝OC＝2，
∴H（﹣1，2），
∴M（0，2），
∴直线BM的表达式是：y＝﹣2x+2，
由﹣x2﹣x+4＝﹣2x+2得，
x1＝1，x2＝﹣，
当x＝﹣时，y＝﹣2×+2＝5，
∴P（﹣，5）．
21．解：（1）把P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c，
得，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+．
（2）如图1，设直线PQ的解析式为y＝kx+b，
把P（3，0）、Q（1，4）代入y＝kx+b，
得，解得，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣2x+6，
设A（m，﹣2m+6）（1≤m≤3），则AB＝﹣2m+6，
∵抛物线y＝﹣x2+与x轴的另一个交点为C，
∴C（﹣3，0），
∴BC＝m+3，
∴S△ABC＝BC AB＝（m+3）（﹣2m+6）＝﹣m2+9，
∵当1≤m≤3，S△ABC随m的增大而减小，
∴当m＝1时，S△ABC最大＝﹣12+9＝8，
∴△ABC面积的最大值为8．
（3）能．
如图2，∠BAD＝90°，AD＝AB，
设点D在抛物线上，D（n，﹣n2+），
对于直线PQ：y＝﹣2x+6，当y＝﹣n2+时，则﹣2x+6＝﹣n2+，
∴x＝n2+，
∴A（n2+，﹣n2+），
∴n2+﹣n＝﹣n2+，
解得n1＝﹣，n2＝3（不符合题意，舍去），
∴D（﹣，）；
如图3，∠ABD＝90°，AB＝DB，
设A（m，﹣2m+6）（1≤m≤3），
则B（m，0），D（3m﹣6，0），
当点D在抛物线上时，则﹣（3m﹣6）2+＝0，
解得m1＝1，m2＝3（不符合题意，舍去），
D（﹣3，0）；
如图4，∠ADB＝90°，AD＝BD，作DE⊥AB于点E，
则DE＝AE＝BE＝AB，
设A（m，﹣2m+6）（1≤m≤3），
则E（m，﹣m+3），D（2m﹣3，﹣m+3），
若点D在抛物线上，则﹣（2m﹣3）2+＝﹣m+3，
解得m1＝1（不符合题意，舍去），m2＝6（不符合题意，舍去），
综上所述，点D的坐标为（﹣，）或（﹣3，0）．
22．解：（1）设抛物线解析式是y＝a（x﹣4） （x+1），
∴a （﹣4）×1＝4，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣4） （x+1）＝﹣x2+3x+4；
（2）如图1，
设DN的延长线交OA与N，
∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠ACO＝45°，
∵DM∥y轴，
∴∠DNA＝∠AOC＝90°，
∠AMN＝∠ACO＝∠DMN＝∠OAC＝45°，
∴AN＝MN，
∵∠DNM＝90°，
∴∠D＝∠DMN＝45°，
∴DN＝NM＝DM，
设D（m，﹣m2+3m+4），
∴MN＝AN＝OA﹣ON＝4﹣x，
∴DM＝DN﹣MN
＝﹣m2+3m+4﹣（4﹣m）
＝﹣m2+4m
＝﹣（m﹣2）2+4；
∵DN+MN+DM＝DM+DM＝（+1） DM，
∴当m＝2时，DM最大＝4，
即△DMN的周长＝（DN+MN+DM）最大＝4+4，
当x＝2时，y＝﹣（2﹣4）×（2+1）＝6，
∴D（2，6）；
（3）如图2，
∵S△COQ：S△AOQ＝3：5，
∴＝，
作QD⊥OA于D，
∵CO⊥OA，
∴DQ∥OC，
∴＝＝＝，
∵OA＝4，
∴OD＝，OD＝AD＝，
∴Q（，），
∴QO的解析式是：y＝x，
当﹣x2+3x+4＝x时，
x＝，
∵P在第一象限，
∴x＝，
∴y＝﹣（）2+3×+4
＝，
∴P（，）．
23．解：（1）把A（﹣1，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）证明：如图1，连结AC，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1，
∵点B与点A（﹣1，0）关于直线x＝1对称，
∴A（3，0），
∴CD2＝12+（4﹣3）2＝2，BC2＝32+32＝18，BD2＝（3﹣1）2+42＝20，
∴CD＝，CB＝3，CD2+BC2＝BD2＝20，
∴△DCB是直角三角形，且∠DCB＝90°，
∵OA＝1，OC＝3，
∴，＝，
∵∠DCB＝∠AOC，，
∴△DCB∽△AOC．
（3）存在．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴将该抛物线向右平移两个单位得到的抛物线为y＝﹣（x﹣3）2+4，
即y＝﹣x2+6x﹣5，
由得，
∴E（2，3），
设点F的坐标为（1，m），
如图2，四边形PBEF是矩形，
设PF交x轴于点K，抛物线平移后点A的对应点为L，则L（1，0），
∴L在抛物线的对称轴直线x＝1上，
过点E、P分别作直线x＝1的垂线，垂足分别为点G、T，作EH⊥x轴于点H，
则G（1，3），H（2，0），
∴EG＝LH＝BH＝1，EH＝3，
∵∠EGL＝∠GLK＝∠EHL＝90°，
∴四边形EGLH是矩形，
∴∠GEH＝∠FEB＝90°，
∴∠FEG＝∠BEH＝90°﹣∠FEH，
∵∠EGF＝∠EHB＝90°，
∴△FEG∽△BEH，
∴，
∴FG＝BH＝×1＝，
∴m＝3﹣＝，
∵PT∥x轴，PF∥BE，
∴∠FPT＝∠FKL＝∠EBH，
∵∠FTP＝∠EHB＝90°，PF＝BE，
∴△FPT≌△EBH（AAS），
∴PT＝BH＝1，FT＝EH＝3，
∴xP＝1+1＝2，yP＝yT＝﹣3＝﹣，
∴P（2，﹣）；
如图3，以BE的中点Q为圆心，以BE为直径作⊙Q交直线x＝1于点F、F′，
过点F作直径为FP，作四边形BPEF、四边形BP′EF′，
∵QP＝PF，PB＝PE，
∴四边形BPEF是平行四边形，
∵PF＝BE，
∴四边形BPEF是矩形，
∵QF＝QB，
∴QF2＝QB2，
∵Q（，），
∴（m﹣）2+（1﹣）2＝（）2+（﹣3）2，
解得m1＝1，m2＝2，
∴F（1，1），F′（1，2），
∵点P与点F（1，1）关于点Q（，）成中心对称，
∴P（4，1），
同理可得P′（4，2）．
综上所述，点P的坐标为（2，﹣）或（4，1）或（4，2）．
24．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，
∴△＝22+4k＞0．
解得：k＞﹣1；
（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），
∴0＝﹣9+6+k．
解得：k＝3，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
令x＝0，得y＝3，
∴B（0，3）．
设直线AB的解析式为：y＝mx+b．
将点A（3，0），（0，3）代入，
得：，
解得：m＝﹣1，b＝3，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3，
把x＝1代入y＝﹣x+3得y＝2，
∴P（1，2）；
（3）如图，连接CB、CA、OC，
设动点C的坐标为（a，﹣a2+2a+3）．
∵S△ABC＝S△OAC+S△OBC﹣S△OAB
＝×3a+×3×（﹣a2+2a+3）﹣×3×3
＝a2+a
＝（a﹣）2+，
∴当a＝时，△ABC的面积最大，最大值为，
∵a＝时，﹣a2+2a+3＝，
∴此时C的坐标为（，）．
∵OB＝OA＝3，
∴AB＝3．
∵S△ABC＝AB DC，
∴×3 DC＝．
解得：DC＝．
∴CD的最大值为，此时C的坐标为（，）．
25．解：（1）由抛物线y＝﹣（x﹣2）2+8可知点A（0，6），
令y＝0，则0＝﹣（x﹣2）2+8，
解得x＝﹣2或x＝6，
∴点C（﹣2，0），B（6，0）；
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
将A（0，6），B（6，0）代入得，
，
解得，，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6；
（3）如图：
∵△PDE为等腰直角三角形，
∴PD＝PE，
设点P的横坐标为a，点E的横坐标为b，
∴PD＝﹣（a﹣2）2+8﹣（﹣a+6）＝﹣a2+3a，
＝﹣，
∴b＝4﹣a，
∴PE＝|a﹣（4﹣a）|＝|2a﹣4|＝2|2﹣a|，
∴﹣a2+3a＝2|2﹣a|，
∴a＝4或a＝5﹣，
∴P（4，6）或P（5﹣，3﹣5）．
26．解：（1）将点A（1，﹣4）代入直线y＝2x+n得，
2+n＝﹣4，
∴n＝﹣6，
∴直线y＝2x﹣6，
当y＝0时，代入直线得：0＝2x﹣6，
解得：x＝3，
∴点B坐标（3，0），
设抛物线表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点B代入抛物线得，
0＝4a﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线表达式y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，有两种情况：
①如图，当AB为边时，
设点M（0，m），
已知点A（1，﹣4），点B（3，0）
∴MA2＝12+（m+4）2，AB2＝（1﹣3）2+（﹣4﹣0）2＝20，BM2＝32+m2，
∴MB2＝AM2+AB2，即12+（m+4）2+20＝32+m2，
解得m＝﹣，
即点M的坐标（0，﹣），
延长BN交y轴于点M′，作AG⊥y轴于G，BH⊥GA交GA的延长线于点H．
由△BOM∽△BHA，可得＝，
∴＝，
∴OM′＝，
∴M′（0，），
②如图，当AB为对角线时，
取线段AB的中点P，作辅助圆⊙P，与y轴交于点M1，M2，作PG⊥y轴于点G，
点P坐标（，），即（2，﹣2），
由①可得线段AB＝＝2，
∴⊙P半径，
在Rt△PM1G中，PM1＝，PG＝2，
M1G＝＝1，
根据垂径定理可得，M2G＝1，
∴点M1坐标（0，﹣1），点M2坐标（0，﹣3）；
综上所述，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，点M坐标为：（0，﹣）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）；
（3）存在点Q的横坐标为﹣2或，使∠BAQ＝45°．
理由如下：假设存在满足条件的点Q，如图，
当四边形ADBC为正方形，且点Q1，Q2分别在直线AD和直线AC上时，∠BAQ＝45°，
设过线段AB中点P，且与线段AB垂直的直线：y＝﹣+b，
将点P（2，﹣2）代入得：﹣2＝﹣1+b，
解得b＝﹣1，
∴直线为y＝﹣，
设点C点坐标（n，﹣n﹣1），
在Rt△ABD中，∠BAQ＝45°，AB＝2，
sin45°＝，
解得BD＝，
∴BD＝＝，
解得n1＝0，n2＝4，
∴点C坐标（0，﹣1），点D坐标（4，﹣3），
设直线AD表达式为：y＝qx+p，将点A（1，﹣4），点D（4，﹣3）代入得，
，
解得，
∴直线AD的表达式为y＝﹣，
同理可得直线AC的表达式为y＝﹣3x﹣1，
联立直线AD与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4可得，
﹣＝（x﹣1）2﹣4，
解得x1＝1，x2＝，
同理联立直线AC与抛物线可解得x3＝1，x4＝﹣2，
∴点Q的横坐标为﹣2或．
27．解：（1）∵A（﹣2，0），B（6，0），
∴AO＝2，BO＝6，
∵CO：AO＝2：1，
∴CO＝4，
∴C（0，4），
设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），将C（0，4）代入得：
4＝﹣12a，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+4；
（2）过P作PH⊥BC于H，过P作PQ∥y轴交BC于Q，如图：
由A（﹣2，0），B（6，0）可得抛物线的对称轴为直线x＝＝2，
设直线BC为y＝kx+4，将B（6，0）代入得：0＝6k+4，
∴k＝﹣，
∴直线BC为y＝﹣x+4，
在y＝﹣x+4中，令x＝2得y＝，
∴D（2，），
而C（0，4），
∴CD＝＝，
∴S△PCD＝CD PH＝PH，
∴PH最大时，S△PCD最大，
∵PQ∥y轴，
∴∠PQH＝∠BCO，
在Rt△BCO中，BC＝＝2，
∴sin∠BCO＝＝，
∴sin∠PQH＝，即＝，
∴PH＝PQ，
∴S△PCD＝PH＝×PQ＝PQ，
设P（t，﹣t2+t+4），则Q（t，﹣t+4），
∴PQ＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣3）2+3，
∵﹣＜0，
∴t＝3时，PQ最大为3，
∴S△PCD最大值是3，此时P（3，5）；
（3）存在，理由如下：
设M（2，m），N（n，﹣n2+n+4），而C（0，4），P（3，5），
①当MN、CP为对角线时，MN、CP的中点重合，如图：
∴，解得n＝1，
∴N（1，5）；
②当MC、NP为对角线时，MC、NP的中点重合，如图：
∴，解得n＝﹣1，
∴N（﹣1，）；
③当MP、CN为对角线时，MP、CN的中点重合，如图：
∴，即得n＝5，
∴N（5，），
综上所述，N的坐标为（1，5）或（﹣1，）或（5，）．