2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图象与性质同步测试（Word版，附答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图象与性质同步测试（Word版，附答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 395.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-02 08:25:04 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.2二次函数的图象与性质》同步测试（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）
A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2
2．将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣5（x+1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣5（x+1）2+3 D．y＝﹣5（x﹣1）2+3
3．若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则2c﹣4b﹣9的值是（ ）
A．5 B．﹣1 C．4 D．18
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则|a﹣b+c|+|2a+b|＝（ ）
A．a+b B．a﹣2b C．a﹣b D．3a
5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（ ）
A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．a﹣b+c＜0 D．4ac﹣b2＜0
6．抛物线y＝x2+2x+3的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
8．一次函数y＝ax+c（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（ ）
A． B．2 C． D．
10．如图是抛物线y＝ax2+bx+c图象的一部分，且抛物线的对称轴为x＝﹣1，那么下列说法正确的是（ ）
①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b＝0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0．
A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤
二．填空题（共10小题，满分40分）
11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0），（0，2），且顶点在第一象限，设M＝4a+2b+c，则M的取值范围是 ．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论中：
①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，
正确的结论是 （只填序号）．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为 ．
14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1＝0；④OA OB＝﹣．其中正确结论的序号是 ．
15．将抛物线y＝x2+4x+3绕原点旋转180°后，再分别向下、向右平移3个单位，此时该抛物线的解析式为 ．
16．已知抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，已知A（﹣1，0），B（1，1），则a的取值范围是 ．
17．已知a、b、m满足a+2b＝m2﹣6m﹣5，3a+4b＝﹣m2+2m﹣6，则a+b的最大值为 ．
18．已知点P（x，y）在二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象上，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是 ．
19．已知抛物线y＝﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2（m是常数），若0≤x≤1时，函数y有最大值﹣5，则m的值为 ．
20．二次函数y＝x2﹣6x+c的图象的顶点与原点的距离为5，则c＝ ．
三．解答题（共5小题，满分50分）
21．若二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2）
（1）当x分别取﹣1，0，1时对应的函数值为y1，y2，y3，请比较y1，y2，y3的大小关系．
（2）对于m，当x＞k时，y随x的增大而增大，求k的最小整数值．
（3）若函数过（a，b）点和（a+6，b）点，求b的取值范围．
22．已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣4m+2（m为常数）
（1）请你用m的代数式表示该函数的顶点坐标．
（2）对于二次函数y＝﹣x2+2mx﹣4m+2，若当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，请你求出m的取值范围．
（3）若二次函数y＝﹣x2+2mx﹣4m+2的顶点纵坐标为H，写出H与m的函数关系式，并判断该函数图象的顶点是否有最高点（或最低点）？若有，请求出这个点的坐标．
23．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．
（Ⅰ）求该二次函数的对称轴；
（Ⅱ）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；
（Ⅲ）若二次函数的图象开口向下，对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的最大值．
24．已知函数y＝（m为常数），此函数图象记为G．
（1）当m＝时，
①当y＝﹣1时，求图象G上对应点的坐标；
②当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围．
（2）当m＝1时，直线y＝2k+1（k为常数）与图象G的交点中横坐标最小的交点在直线x＝﹣1和x＝1之间（不包括边界）时，求k的取值范围．
（3）当x＞m时，图象G与坐标轴有两个交点，直接写出m的取值范围．
25．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y＝﹣x2的图象为l1．
（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）；
（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为l2，如图2，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标；
（3）设P为y轴上一点，且S△ABC＝S△ABP，求点P的坐标；
（4）请在图2上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点Q，使△QAB为等腰三角形？若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：当x＝1时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2；
当x＝2时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7；
所以2＞y1＞y2．
故选：A．
2．解：将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，得到y＝﹣5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为：y＝﹣5（x+1）2﹣1．
故选：A．
3．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），
∴﹣（﹣2）2﹣2b+c＝3，
整理得，﹣2b+c＝7，
∴2c﹣4b﹣9＝2（c﹣2b）﹣9＝2×7﹣9＝5，
故选：A．
4．解：观察函数图象，发现：
图象过原点，c＝0；
抛物线开口向上，a＞0；
抛物线的对称轴0＜﹣＜1，﹣2a＜b＜0．
∴|a﹣b+c|＝a﹣b，|2a+b|＝2a+b，
∴|a﹣b+c|+|2a+b|＝a﹣b+2a+b＝3a．
故选：D．
5．解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0．
抛物线的对称轴x＝﹣＝1＞0，则b＜0．
抛物线与y轴交与负半轴，则c＜0，
所以abc＞0．
故A选项错误；
B、∵x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0．
故B选项错误；
C、∵对称轴为直线x＝1，图象经过（3，0），
∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0．
故C选项错误；
D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0．
故D选项正确；
故选：D．
6．解：∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
故选：B．
7．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
而c＜0，
∴a+b+2c＜0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，所以④错误．
故选：C．
8．解：A、一次函数y＝ax+c与y轴交点应为（0，c），二次函数y＝ax2+bx+c与y轴交点也应为（0，c），图象不符合，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，a的取值矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．
故选：D．
9．解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：
．
①当m＜0≤x≤n＜1时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2或m＝2（舍去）．
当x＝n时y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+5，
解得：n＝2或n＝﹣2（均不合题意，舍去）；
②当m＜0≤x≤1＜n时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2．
当x＝1时y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+5，
解得：n＝，
③当m＜0＜x≤n时，x＝n时y取最小值，x＝1时y取最大值，
2m＝﹣（n﹣1）2+5，n＝，
∴m＝，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n＝﹣2+＝．
故选：D．
10．解：①由抛物线与x轴交于两点可知：b2﹣4ac＞0，故①正确；
②由抛物线的图象可知：a＞0，c＜0，
对称轴＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故②错误；
③由对称轴可知：＝﹣1，
∴b＝2a，即2a﹣b＝0，故③错误；
④当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
故④正确；
⑤当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故⑤正确；
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分40分）
11．解：将（﹣1，0）与（0，2）代入y＝ax2+bx+c，
∴0＝a﹣b+c，2＝c，
∴b＝a+2，
∵＞0，a＜0，
∴b＞0，
∴a＞﹣2，
∴﹣2＜a＜0，
∴M＝4a+2（a+2）+2
＝6a+6，
∴﹣6＜M＜6，
故答案为：﹣6＜M＜6；
12．解：∵抛物线开口向下
∴a＜0，
∵对称轴为x＝﹣1
∴＝﹣1
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴
∴c＞0
∴abc＞0故①错误
∵由图象得x＝﹣3时y＜0
∴9a﹣3b+c＜0 故②正确，
∵图象与x轴有两个交点
∴Δ＝b2﹣4ac＞0 故③正确
∵a﹣b＝a﹣2a＝﹣a＞0
∴a＞b故④正确
故答案为②③④
13．解：∵D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，
∴设D（x，﹣x2+6x），
∵顶点C的坐标为（4，3），
∴OC＝＝5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC＝OC＝5，BC∥x轴，
∴S△BCD＝×5×（﹣x2+6x﹣3）＝﹣（x﹣3）2+15，
∵﹣＜0，
∴S△BCD有最大值，最大值为15，
故答案为15．
14．解：观察函数图象，发现：
开口向下 a＜0；与y轴交点在y轴正半轴 c＞0；对称轴在y轴右侧 ﹣＞0；顶点在x轴上方 ＞0．
①∵a＜0，c＞0，﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，①成立；
②∵＞0，
∴＜0，②不成立；
③∵OA＝OC，
∴xA＝﹣c，
将点A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c中，
得：ac2﹣bc+c＝0，即ac﹣b+1＝0，③成立；
④∵OA＝﹣xA，OB＝xB，xA xB＝，
∴OA OB＝﹣，④成立．
综上可知：①③④成立．
故答案为：①③④．
15．解：y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1．此时，该抛物线顶点坐标是（﹣2，﹣1）．
将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（2，1）．再分别向下、向右平移3个单位后的顶点坐标是（﹣1，﹣2）．
所以此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2﹣2．
故答案是：y＝﹣（x+1）2﹣2．
16．解：由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝x+，
∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴令x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0，
∴△＝9﹣8a＞0，
∴a＜；
①当a＜0时，
此时函数的对称轴在y轴左侧，
当抛物线过点A时，为两个函数有两个交点的临界点，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：a+1+1＝0，
解得a＝﹣2，
故a≤﹣2；
②当a＞0时，
此时函数的对称轴在y轴右侧，
当抛物线过点B时，为两个函数有两个交点的临界点，
将点B的坐标代入抛物线表达式得：a﹣1+1＝1，
解得a＝1，
即：a≥1
∴1≤a＜
综上所述：1≤a＜或a≤﹣2．
故答案为1≤a＜或a≤﹣2．
17．解：，
②﹣①得：2a+2b＝﹣2m2+8m﹣1，
∴a+b＝﹣m2+4m﹣
＝﹣（m﹣2）2+，
∴当m＝2时，a+b有最大值，最大值为．
故答案为：．
18．解：∵二次函数y＝2（x+1）2﹣3，
∴该函数对称轴是直线x＝﹣1，当x＝﹣1时，取得最小值，此时y＝﹣3，
∵点P（x，y）在二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象上，
∴当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是：﹣3≤y≤5，
故答案为：﹣3≤y≤5．
19．解：∵y＝﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2＝﹣4（x﹣）2﹣4m，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝．
当＜0，即m＜0时，x＝0时y取最大值（如图1所示），
∴﹣4m﹣m2＝﹣5，
解得：m1＝﹣5，m2＝1（不合题意，舍去）；
当0≤≤1，即0≤m≤2时，x＝时y取最大值（如图2所示），
∴﹣4m＝﹣5，
解得：m3＝；
当＞1，即m＞2时，x＝1时y取最大值（如图3所示），
∴﹣4+4m﹣4m﹣m2＝﹣5，
解得：m4＝﹣1（不合题意，舍去），m5＝1（不合题意，舍去）．
综上所述，m的值为﹣5或．
故答案为：﹣5或．
20．解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c的图象的顶点坐标为（3，c﹣9），
∴32+（c﹣9）2＝52，
解得c＝13或c＝5．
故答案为：13或5．
三．解答题（共5小题，满分50分）
21．解：（1）观察图象可知，x≤1时，y随x的增大而减小，
∵﹣1＜0＜1，
∴y1＞y2＞y3．
（2）观察图象可知k的最小整数为2．
（3）设直线y＝b与抛物线的交点为（x1，b），（x2，b），
由题意x1﹣x2＝6，
由，消去y得到，x2﹣（m+1）x+m﹣b＝0，
∴x1+x2＝m+1，x1x2＝m﹣b，
∵（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，
∴（m+1）2﹣4（m﹣b）＝36，
∴b＝，
设y′＝m2﹣2m，
∵y′＝（m﹣1）2﹣1，
当1≤m≤2时，﹣1≤y′≤0，
∴≤b≤9．
22．解：（1）∵﹣＝﹣＝m，＝m2﹣4m+2，
∴顶点坐标为：（m，m2﹣4m+2）；
（2）∵抛物线的对称轴为：直线x＝m，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x≥m时，函数值y随x的增大而减小，
∵当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，
∴m≤1；
（3）∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣4m+2的顶点纵坐标为H，
∴H＝m2﹣4m+2＝（m﹣2）2﹣2，
∵1＞0，
∴函数顶点有最低点，坐标为（2，﹣2）．
23．解：（Ⅰ）对称轴x＝﹣＝2．
（Ⅱ）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，
∴当x＝2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2，即P（2，2），
∴4a﹣8a+3a＝2，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2x2+8x﹣6，
∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．
∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．
∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6，即Q（4，﹣6）．
∴△OPQ的面积为4×（2+6）﹣2×2÷2﹣4×6÷2﹣（4﹣2）×（2+6）÷2＝10；
（Ⅲ）∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，
∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件，
∴t+1≤5且t≥﹣1，
∴﹣1≤t≤4，
∴t的最大值为4．
24．解：（1）当m＝时，函数可化为y＝，
①针对于函数y＝x2﹣2x+2，
当y＝﹣1时，x2﹣2x+2＝﹣1，此方程无解；
针对于函数y＝﹣x2+x+，
当y＝﹣1时，﹣x2+x+＝﹣1，
∴x＝（舍）或x＝﹣1，
∴当y＝﹣1时，图象G上对应点的坐标为（﹣1，﹣1）；
②画出函数图象如图1所示，
针对于函数y＝﹣x2+x+，
当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣+＝﹣1，
当x＝时，y＝﹣+×+＝，
针对于函数y＝x2﹣2x+2，
当x＝1时，y＝1﹣2+2＝1，
当x＝2是，y＝22﹣2×2+2＝2，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围﹣1≤y≤或1≤y≤2；
（2）当m＝1时，y＝，
画出函数图象如图2所示，
针对于y＝﹣x2+2x+2，
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
当x＝1时，y＝3，
∵直线y＝2k+1（k为常数）与图象G的交点中横坐标最小的交点在直线x＝﹣1和x＝1之间（不包括边界）时，
∴﹣1＜2k+1＜3，
∴﹣1＜k＜1；
（3）∵x＞m，
∴只考虑函数y＝x2﹣6mx+6m（x＞m），
此函数的图象如图3所示，
∵函数的解析式为y＝x2﹣6mx+6m（x＞m），
∴此函数的对称轴为直线x＝3m，
当m＜0时，3m＜m，图象如图3粉色线条，
∵图象与坐标轴有两个交点，
∴当x＝m时，y＝﹣5m2+6m＝﹣m（5m﹣6）＜0，
∴m＜，即m＜0，函数图象与坐标轴有两个交点，
当m＝0时，y＝x2（x＞0），图象如图3蓝色线条，此时，图象与坐标轴没有交点，
当m＞0时，函数y＝x2﹣6mx+6m（x＞m）的图象如图3所示的黑色线条，
∴3m＞m，
∵图象与坐标轴有两个交点，
∴当x＝m时，y＝﹣5m2+6m＝﹣m（5m﹣6）＞0，
∴m＜，
当x＝3m时，y＝﹣9m2+6m＝﹣3m（3m﹣2）＜0，
∴m＞，
即＜m＜，函数图象与坐标轴有两个交点，
综上，m＜0或＜m＜，函数图象与坐标轴有两个交点．
25．解：（1）让抛物线过点A，即把点A的坐标代入计算，得到，b+c＝﹣1，不过点B，则把点B的坐标代入得到3b+c≠8，依此两个要求，随便找一个数即可．故平移后的抛物线的一个解析式y＝﹣x2+2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣5等（满足条件即可）；
（2）设l2的解析式为y＝﹣x2+bx+c，联立方程组，
解得：，则l2的解析式为y＝﹣x2+x﹣．
点C的坐标为（）．
（3）如答图1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，
则AD＝2，CF＝，BE＝1，DE＝2，DF＝，FE＝．
得：S△ABC＝S梯形ABED﹣S梯形BCFE﹣S梯形ACFD＝．
延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y＝x﹣，则点G的坐标为（0，），设点P的坐标为（0，h），
①当点P位于点G的下方时，，连接AP、BP，
则S△ABP＝S△BPG﹣S△APG＝﹣﹣h，又S△ABC＝S△ABP＝，得，点P的坐标为（0，）．
②当点P位于点G的上方时，，同理，点P的坐标为（0，）．
综上所述所求点P的坐标为（0，）或（0，）
（4）作图痕迹如答图2所示．
若AB为等腰三角形的腰，则分别以A、B为圆心，以AB长为半径画圆，交抛物线分别于Q1、Q2；
若AB为等腰三角形的底边，则作AB的垂直平分线，交抛物线分别于Q3、Q4，
由图可知，满足条件的点有Q1、Q2、Q3、Q4，共4个可能的位置
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）
A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2
2．将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣5（x+1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣5（x+1）2+3 D．y＝﹣5（x﹣1）2+3
3．若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则2c﹣4b﹣9的值是（ ）
A．5 B．﹣1 C．4 D．18
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则|a﹣b+c|+|2a+b|＝（ ）
A．a+b B．a﹣2b C．a﹣b D．3a
5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（ ）
A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．a﹣b+c＜0 D．4ac﹣b2＜0
6．抛物线y＝x2+2x+3的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
8．一次函数y＝ax+c（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（ ）
A． B．2 C． D．
10．如图是抛物线y＝ax2+bx+c图象的一部分，且抛物线的对称轴为x＝﹣1，那么下列说法正确的是（ ）
①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b＝0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0．
A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤
二．填空题（共10小题，满分40分）
11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0），（0，2），且顶点在第一象限，设M＝4a+2b+c，则M的取值范围是 ．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论中：
①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，
正确的结论是 （只填序号）．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为 ．
14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1＝0；④OA OB＝﹣．其中正确结论的序号是 ．
15．将抛物线y＝x2+4x+3绕原点旋转180°后，再分别向下、向右平移3个单位，此时该抛物线的解析式为 ．
16．已知抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，已知A（﹣1，0），B（1，1），则a的取值范围是 ．
17．已知a、b、m满足a+2b＝m2﹣6m﹣5，3a+4b＝﹣m2+2m﹣6，则a+b的最大值为 ．
18．已知点P（x，y）在二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象上，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是 ．
19．已知抛物线y＝﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2（m是常数），若0≤x≤1时，函数y有最大值﹣5，则m的值为 ．
20．二次函数y＝x2﹣6x+c的图象的顶点与原点的距离为5，则c＝ ．
三．解答题（共5小题，满分50分）
21．若二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2）
（1）当x分别取﹣1，0，1时对应的函数值为y1，y2，y3，请比较y1，y2，y3的大小关系．
（2）对于m，当x＞k时，y随x的增大而增大，求k的最小整数值．
（3）若函数过（a，b）点和（a+6，b）点，求b的取值范围．
22．已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣4m+2（m为常数）
（1）请你用m的代数式表示该函数的顶点坐标．
（2）对于二次函数y＝﹣x2+2mx﹣4m+2，若当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，请你求出m的取值范围．
（3）若二次函数y＝﹣x2+2mx﹣4m+2的顶点纵坐标为H，写出H与m的函数关系式，并判断该函数图象的顶点是否有最高点（或最低点）？若有，请求出这个点的坐标．
23．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．
（Ⅰ）求该二次函数的对称轴；
（Ⅱ）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；
（Ⅲ）若二次函数的图象开口向下，对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的最大值．
24．已知函数y＝（m为常数），此函数图象记为G．
（1）当m＝时，
①当y＝﹣1时，求图象G上对应点的坐标；
②当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围．
（2）当m＝1时，直线y＝2k+1（k为常数）与图象G的交点中横坐标最小的交点在直线x＝﹣1和x＝1之间（不包括边界）时，求k的取值范围．
（3）当x＞m时，图象G与坐标轴有两个交点，直接写出m的取值范围．
25．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y＝﹣x2的图象为l1．
（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）；
（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为l2，如图2，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标；
（3）设P为y轴上一点，且S△ABC＝S△ABP，求点P的坐标；
（4）请在图2上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点Q，使△QAB为等腰三角形？若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：当x＝1时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2；
当x＝2时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7；
所以2＞y1＞y2．
故选：A．
2．解：将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，得到y＝﹣5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为：y＝﹣5（x+1）2﹣1．
故选：A．
3．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），
∴﹣（﹣2）2﹣2b+c＝3，
整理得，﹣2b+c＝7，
∴2c﹣4b﹣9＝2（c﹣2b）﹣9＝2×7﹣9＝5，
故选：A．
4．解：观察函数图象，发现：
图象过原点，c＝0；
抛物线开口向上，a＞0；
抛物线的对称轴0＜﹣＜1，﹣2a＜b＜0．
∴|a﹣b+c|＝a﹣b，|2a+b|＝2a+b，
∴|a﹣b+c|+|2a+b|＝a﹣b+2a+b＝3a．
故选：D．
5．解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0．
抛物线的对称轴x＝﹣＝1＞0，则b＜0．
抛物线与y轴交与负半轴，则c＜0，
所以abc＞0．
故A选项错误；
B、∵x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0．
故B选项错误；
C、∵对称轴为直线x＝1，图象经过（3，0），
∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0．
故C选项错误；
D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0．
故D选项正确；
故选：D．
6．解：∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
故选：B．
7．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
而c＜0，
∴a+b+2c＜0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，所以④错误．
故选：C．
8．解：A、一次函数y＝ax+c与y轴交点应为（0，c），二次函数y＝ax2+bx+c与y轴交点也应为（0，c），图象不符合，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，a的取值矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．
故选：D．
9．解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：
．
①当m＜0≤x≤n＜1时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2或m＝2（舍去）．
当x＝n时y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+5，
解得：n＝2或n＝﹣2（均不合题意，舍去）；
②当m＜0≤x≤1＜n时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2．
当x＝1时y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+5，
解得：n＝，
③当m＜0＜x≤n时，x＝n时y取最小值，x＝1时y取最大值，
2m＝﹣（n﹣1）2+5，n＝，
∴m＝，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n＝﹣2+＝．
故选：D．
10．解：①由抛物线与x轴交于两点可知：b2﹣4ac＞0，故①正确；
②由抛物线的图象可知：a＞0，c＜0，
对称轴＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故②错误；
③由对称轴可知：＝﹣1，
∴b＝2a，即2a﹣b＝0，故③错误；
④当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
故④正确；
⑤当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故⑤正确；
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分40分）
11．解：将（﹣1，0）与（0，2）代入y＝ax2+bx+c，
∴0＝a﹣b+c，2＝c，
∴b＝a+2，
∵＞0，a＜0，
∴b＞0，
∴a＞﹣2，
∴﹣2＜a＜0，
∴M＝4a+2（a+2）+2
＝6a+6，
∴﹣6＜M＜6，
故答案为：﹣6＜M＜6；
12．解：∵抛物线开口向下
∴a＜0，
∵对称轴为x＝﹣1
∴＝﹣1
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴
∴c＞0
∴abc＞0故①错误
∵由图象得x＝﹣3时y＜0
∴9a﹣3b+c＜0 故②正确，
∵图象与x轴有两个交点
∴Δ＝b2﹣4ac＞0 故③正确
∵a﹣b＝a﹣2a＝﹣a＞0
∴a＞b故④正确
故答案为②③④
13．解：∵D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，
∴设D（x，﹣x2+6x），
∵顶点C的坐标为（4，3），
∴OC＝＝5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC＝OC＝5，BC∥x轴，
∴S△BCD＝×5×（﹣x2+6x﹣3）＝﹣（x﹣3）2+15，
∵﹣＜0，
∴S△BCD有最大值，最大值为15，
故答案为15．
14．解：观察函数图象，发现：
开口向下 a＜0；与y轴交点在y轴正半轴 c＞0；对称轴在y轴右侧 ﹣＞0；顶点在x轴上方 ＞0．
①∵a＜0，c＞0，﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，①成立；
②∵＞0，
∴＜0，②不成立；
③∵OA＝OC，
∴xA＝﹣c，
将点A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c中，
得：ac2﹣bc+c＝0，即ac﹣b+1＝0，③成立；
④∵OA＝﹣xA，OB＝xB，xA xB＝，
∴OA OB＝﹣，④成立．
综上可知：①③④成立．
故答案为：①③④．
15．解：y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1．此时，该抛物线顶点坐标是（﹣2，﹣1）．
将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（2，1）．再分别向下、向右平移3个单位后的顶点坐标是（﹣1，﹣2）．
所以此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2﹣2．
故答案是：y＝﹣（x+1）2﹣2．
16．解：由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝x+，
∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴令x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0，
∴△＝9﹣8a＞0，
∴a＜；
①当a＜0时，
此时函数的对称轴在y轴左侧，
当抛物线过点A时，为两个函数有两个交点的临界点，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：a+1+1＝0，
解得a＝﹣2，
故a≤﹣2；
②当a＞0时，
此时函数的对称轴在y轴右侧，
当抛物线过点B时，为两个函数有两个交点的临界点，
将点B的坐标代入抛物线表达式得：a﹣1+1＝1，
解得a＝1，
即：a≥1
∴1≤a＜
综上所述：1≤a＜或a≤﹣2．
故答案为1≤a＜或a≤﹣2．
17．解：，
②﹣①得：2a+2b＝﹣2m2+8m﹣1，
∴a+b＝﹣m2+4m﹣
＝﹣（m﹣2）2+，
∴当m＝2时，a+b有最大值，最大值为．
故答案为：．
18．解：∵二次函数y＝2（x+1）2﹣3，
∴该函数对称轴是直线x＝﹣1，当x＝﹣1时，取得最小值，此时y＝﹣3，
∵点P（x，y）在二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象上，
∴当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是：﹣3≤y≤5，
故答案为：﹣3≤y≤5．
19．解：∵y＝﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2＝﹣4（x﹣）2﹣4m，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝．
当＜0，即m＜0时，x＝0时y取最大值（如图1所示），
∴﹣4m﹣m2＝﹣5，
解得：m1＝﹣5，m2＝1（不合题意，舍去）；
当0≤≤1，即0≤m≤2时，x＝时y取最大值（如图2所示），
∴﹣4m＝﹣5，
解得：m3＝；
当＞1，即m＞2时，x＝1时y取最大值（如图3所示），
∴﹣4+4m﹣4m﹣m2＝﹣5，
解得：m4＝﹣1（不合题意，舍去），m5＝1（不合题意，舍去）．
综上所述，m的值为﹣5或．
故答案为：﹣5或．
20．解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c的图象的顶点坐标为（3，c﹣9），
∴32+（c﹣9）2＝52，
解得c＝13或c＝5．
故答案为：13或5．
三．解答题（共5小题，满分50分）
21．解：（1）观察图象可知，x≤1时，y随x的增大而减小，
∵﹣1＜0＜1，
∴y1＞y2＞y3．
（2）观察图象可知k的最小整数为2．
（3）设直线y＝b与抛物线的交点为（x1，b），（x2，b），
由题意x1﹣x2＝6，
由，消去y得到，x2﹣（m+1）x+m﹣b＝0，
∴x1+x2＝m+1，x1x2＝m﹣b，
∵（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，
∴（m+1）2﹣4（m﹣b）＝36，
∴b＝，
设y′＝m2﹣2m，
∵y′＝（m﹣1）2﹣1，
当1≤m≤2时，﹣1≤y′≤0，
∴≤b≤9．
22．解：（1）∵﹣＝﹣＝m，＝m2﹣4m+2，
∴顶点坐标为：（m，m2﹣4m+2）；
（2）∵抛物线的对称轴为：直线x＝m，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x≥m时，函数值y随x的增大而减小，
∵当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，
∴m≤1；
（3）∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣4m+2的顶点纵坐标为H，
∴H＝m2﹣4m+2＝（m﹣2）2﹣2，
∵1＞0，
∴函数顶点有最低点，坐标为（2，﹣2）．
23．解：（Ⅰ）对称轴x＝﹣＝2．
（Ⅱ）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，
∴当x＝2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2，即P（2，2），
∴4a﹣8a+3a＝2，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2x2+8x﹣6，
∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．
∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．
∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6，即Q（4，﹣6）．
∴△OPQ的面积为4×（2+6）﹣2×2÷2﹣4×6÷2﹣（4﹣2）×（2+6）÷2＝10；
（Ⅲ）∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，
∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件，
∴t+1≤5且t≥﹣1，
∴﹣1≤t≤4，
∴t的最大值为4．
24．解：（1）当m＝时，函数可化为y＝，
①针对于函数y＝x2﹣2x+2，
当y＝﹣1时，x2﹣2x+2＝﹣1，此方程无解；
针对于函数y＝﹣x2+x+，
当y＝﹣1时，﹣x2+x+＝﹣1，
∴x＝（舍）或x＝﹣1，
∴当y＝﹣1时，图象G上对应点的坐标为（﹣1，﹣1）；
②画出函数图象如图1所示，
针对于函数y＝﹣x2+x+，
当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣+＝﹣1，
当x＝时，y＝﹣+×+＝，
针对于函数y＝x2﹣2x+2，
当x＝1时，y＝1﹣2+2＝1，
当x＝2是，y＝22﹣2×2+2＝2，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围﹣1≤y≤或1≤y≤2；
（2）当m＝1时，y＝，
画出函数图象如图2所示，
针对于y＝﹣x2+2x+2，
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
当x＝1时，y＝3，
∵直线y＝2k+1（k为常数）与图象G的交点中横坐标最小的交点在直线x＝﹣1和x＝1之间（不包括边界）时，
∴﹣1＜2k+1＜3，
∴﹣1＜k＜1；
（3）∵x＞m，
∴只考虑函数y＝x2﹣6mx+6m（x＞m），
此函数的图象如图3所示，
∵函数的解析式为y＝x2﹣6mx+6m（x＞m），
∴此函数的对称轴为直线x＝3m，
当m＜0时，3m＜m，图象如图3粉色线条，
∵图象与坐标轴有两个交点，
∴当x＝m时，y＝﹣5m2+6m＝﹣m（5m﹣6）＜0，
∴m＜，即m＜0，函数图象与坐标轴有两个交点，
当m＝0时，y＝x2（x＞0），图象如图3蓝色线条，此时，图象与坐标轴没有交点，
当m＞0时，函数y＝x2﹣6mx+6m（x＞m）的图象如图3所示的黑色线条，
∴3m＞m，
∵图象与坐标轴有两个交点，
∴当x＝m时，y＝﹣5m2+6m＝﹣m（5m﹣6）＞0，
∴m＜，
当x＝3m时，y＝﹣9m2+6m＝﹣3m（3m﹣2）＜0，
∴m＞，
即＜m＜，函数图象与坐标轴有两个交点，
综上，m＜0或＜m＜，函数图象与坐标轴有两个交点．
25．解：（1）让抛物线过点A，即把点A的坐标代入计算，得到，b+c＝﹣1，不过点B，则把点B的坐标代入得到3b+c≠8，依此两个要求，随便找一个数即可．故平移后的抛物线的一个解析式y＝﹣x2+2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣5等（满足条件即可）；
（2）设l2的解析式为y＝﹣x2+bx+c，联立方程组，
解得：，则l2的解析式为y＝﹣x2+x﹣．
点C的坐标为（）．
（3）如答图1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，
则AD＝2，CF＝，BE＝1，DE＝2，DF＝，FE＝．
得：S△ABC＝S梯形ABED﹣S梯形BCFE﹣S梯形ACFD＝．
延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y＝x﹣，则点G的坐标为（0，），设点P的坐标为（0，h），
①当点P位于点G的下方时，，连接AP、BP，
则S△ABP＝S△BPG﹣S△APG＝﹣﹣h，又S△ABC＝S△ABP＝，得，点P的坐标为（0，）．
②当点P位于点G的上方时，，同理，点P的坐标为（0，）．
综上所述所求点P的坐标为（0，）或（0，）
（4）作图痕迹如答图2所示．
若AB为等腰三角形的腰，则分别以A、B为圆心，以AB长为半径画圆，交抛物线分别于Q1、Q2；
若AB为等腰三角形的底边，则作AB的垂直平分线，交抛物线分别于Q3、Q4，
由图可知，满足条件的点有Q1、Q2、Q3、Q4，共4个可能的位置