(共34张PPT)
2.2
一次
函数
和二次函数
2.2.3
待定系数法
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第二章
函数
考点一
考点二
考点三
已知函数y＝2x＋b，y＝kx(k≠0)，y＝ax2(a≠0)．
问题1：要确定上述三个函数的解析式，各需要几个条件？
提示：都需一个条件．
问题2：对于一次函数y＝kx＋b(k≠0)呢？
提示：需附加两个条件．
问题3：可以求y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式吗？
提示：可以．
待定系数法的定义
一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的
，可先把所求函数写为一般形式，其中 ，然后再根据题设条件求出这些 ．这种通过求
来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．
一般形
式
系数待定
待定系数
待定系
数
利用待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未知系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决．
[例1] 若函数y＝kx＋b的图象经过点P(3，－2)和Q
(－1,2)，则这个函数的解析式为 ( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝－x－1 D．y＝－x＋1
[思路点拨] 把P、Q的坐标代入函数关系式，求k和b的值．
[答案] D
[一点通] 用待定系数法求函数解析式的步骤：
(1)根据题设条件，设出含有待定系数的函数解析式的恰当形式．
(2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)．
(3)解方程(组)，求出待定系数的值(或消去待定系数，从而使问题得到解决)．
(4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式．
1．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)＝________.
答案：2x＋1或－2x－3
[例2] 根据下列条件，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．
(1)图象过点(2,0)，(4,0)，(0,3)；
(2)图象顶点为(1,2)并且过点(0,4)；
(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．
3．若二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值
是－1，则它的解析式为________．
4．已知y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，则
函数解析式为________．
解析：配方得y＝(x－2)2＋h－4，顶点为(2，h－4)，代入直线y＝－4x－1，得h－4＝－9，所以h＝－5.
所以所求函数解析式为y＝x2－4x－5.
答案：y＝x2－4x－5
5．已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－
f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
[一点通] 函数f(x)中含有a，b，c三个参数，要求a，b，c的值，必须有三个独立的条件，而题目恰有三个独立条件，但由第三个条件得到的结果为不等式，所以还应特别注意b，c∈N*这一条件．
①若已知顶点坐标为(h，k)，则可设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
②若已知对称轴方程为x＝h，则可设顶点式y＝a(x－h)2＋c(a≠0)．
③若已知函数的最大值或最小值为k，则可设顶点式y＝a(x－b)2＋k(a≠0)．
④若已知函数与x轴只有一个交点(h,0)，则可设交点式y＝a(x－h)2(a≠0)．
⑤若已知函数与x轴有两个交点(x1,0)，(x2,0)，则可设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
⑥若已知函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设对称点式y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)．
⑦若已知函数图象上的三点，则可设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(共34张PPT)
2.4
函数与方程
把握热点考向
应用创新演练
第二章
函数
考点一
考点二
2.4.2
求函数零点近似解的一种计算方法
——
二分法
理解教材新知
知识点一
知识点二
已知y＝f(x)的图象．
问题1：函数y＝f(x)有几个零点？
提示：三个．
问题2：观察图象，在零点两侧函数值有何不同？
提示：在x1、x3的两侧函数值异号，在x2的两侧函数值同号．
变号零点与不变号零点
如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的 ，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 ，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时 ，则称这样的零点为变号零点．如果没有 ，则称这样的零点为不变号零点.
图象不间断
f(a)f(b)<0
穿过x轴
穿过x轴
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一点就要爬一次电线杆子.10 km长，大约有200多根电线杆子(如图)
问题1：维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
提示：首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正常，断定故障在BC段，再取BC的中点D，再测CD和BD.
问题2：在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障
提示：能．
1．二分法的原理
我们把每次取区间的中点，将区间一分为二再经比较，按需要留下一个小区间的方法称为 ．它是通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法．
二分法
2．二分法的步骤
第一步：在D内取一个闭区间[a0，b0] D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)<0.零点位于区间[a0，b0]中．
继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度.
(1)二分法就是通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示零点．
(2)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
[例1] 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 ( )
[思路点拨] 解答本题可根据二分法的定义，判断是否具备用二分法求零点的条件．
[精解详析] 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点；A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
[答案] B
[一点通] 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
1.函数f(x)的图象如图所示，函数f(x)的变号零点个数
为 ( )
A．0 B．1
C．4 D．3
解析：由图可知，图象与x轴有4个公共点，3个穿过x轴，共有4个零点，其中有3个变号零点．
答案：D
[例2] 用二分法求函数f(x)＝x3－x－2的一个正实数零点(精确到0.1)．
[思路点拨] 解答本题可先确定函数的一个零点所在的大致区间，然后将区间不断一分为二使其零点的范围越来越小，直至所得区间两端点按精确度要求取得同一个值时，求解结束．
[精解详析] 由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表：
由表中数据可知，区间[1.5,1.531 25]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.5，所以1.5可作为所求函数的一个正实数零点的近似值．
[一点通]
(1) 用二分法求函数的零点应遵循的原则:
首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的零点，又要使其长度尽量小；其次要根据给定的精确度，及时检验所得区间的端点值按照所给的精确度所取的近似值是否相同，以决定是停止还是继续计算．
(2)用二分法求函数的零点的近似值，可借助于计算器一步步求解即可.在计算时可借助表格或数轴清晰地描述逐步缩小零点所在的区间的过程.在区间两端点的值按照给定的精确度所取的近似值相同时，运算结束．
2．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经
计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线应填的内容为 ( )
A．(0,0.5) f(0.25) B．(0,1) f(0.25)
C．(0.5,1) f(0.75) D．(0,0.5) f(0.125)
解析：因为f(0)<0，f(0.5)>0，故x0∈(0,0.5).依二分法，第二次应计算f(0.25)．
答案：A
3．用二分法求方程x2－8＝0在区间(2,3)内的近似解，经过
________次二分后精确度能达到0.1.
解析：设f(x)＝x2－8.
取(2,3)的中点x1＝2.5.
∵f(2.5)<0，
所以取(2.5,3)的中点x2＝2.75.
∵f(2.75)<0，
∴取(2.75,3)的中点x3＝2.875.
∵f(2.875)>0，
∴取(2.75,2.875)的中点x4＝2.812 5.
∵f(2.812 5)<0，
∴取(2.812 5,2.875)的中点x5＝2.843 75.
∵f(2.843 75)>0，
∴零点在(2.812 5,2.843 75)内.
∵2.812 5与2.843 75精确到0.1均为2.8，
∴x2－8＝0在(2,3)内精确到0.1的近似解为2.8，
从而可知，经过5次二分即可得x2－8＝0精确到0.1的近似解．
答案：5
(1) 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用．
(2) 二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围.当区间的两个端点的值按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点．(共56张PPT)
2.1
函数
2.1.2
函
数
的
表
示
方
法
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第二章
函数
知识点一
考点一
考点二
考点三
知识点二
考点四
某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．
问题1：该函数的定义域是什么？
提示：{1,2,3,4,5}．
问题2：y与x满足的关系式是什么？
提示：y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．
问题3：试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系．
铅笔数x/支 1 2 3 4 5
钱数y/元 0.5 1 1.5 2 2.5
提示：
问题4：试用图象表示x与y之间的关系．
提示：
函数的表示法
(1)列表法
通过列出 与 的表来表示函数关系的方法叫做列表法．
(2)图象法
用“ ”表示函数的方法叫做图象法．
自变量
对应函数值
图形
(3)解析法(公式法)
如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用 来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法．(也称为公式法)
代数式(或解析式)
某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5千米以内，票价2元；
(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．
已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．
问题1：从起点站出发，公共汽车的行程x（千米）与票价y（元）有函数关系吗？
提示：有函数关系．
问题3：x与y之间有何特点？
提示：x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同．
分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的 ，有着 ，这样的函数通常叫做分段函数．
不同取值区间
不同的对应法则
(1)函数的常用表示法有三种：解析法、图象法和列表法.各自有不同的适用范围，在表示函数时，要视不同情况灵活选用表示方法．
(2) 分段函数是一个整体，不要因为每一部分自变量和解析式不同而把它当成多个函数．
图象如图．
(2)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2,2]．
图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分，如图所示．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
[一点通] 作函数图象的三个步骤：
(1)列表，先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；
(2)描点，把表中一系列的点(x，f(x))在坐标平面上描出来；
(3)连线，用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
1．下列图形是函数y＝－|x|x∈[－2,2]的图象的是 ( )
答案：B
2．画出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝x2－2x(－1≤x＜2)；
(3)y＝，x∈[2，＋∞)．
解：(1)当x＝0时，y＝1；
当x＝2时，y＝5.
所画图象如图（ 1 ）所示．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1.
当x＝－1时，y＝3.
当x＝0时，y＝0.
当x＝1时，y＝－1.
当x＝2时，y＝0.所画图象如图2所示．
(3)当x＝2时，y＝1，其图象如图3所示．
解：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1].
[一点通] 求函数解析式的常用方法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求出f(x)．
4．已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则函数f(x)＝________.
5．已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．
解：设x＋1＝t，则x＝t－1，
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.
6．已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，求f(x)．
[思路点拨] 对于分段函数求值问题，应先看清自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式求解．
[精解详析] f(1)＝12＝1，f(－3)＝0，
f[f(－3)]＝f(0)＝1，
f{f[f(－3)]}＝f(1)＝12＝1.
[一点通]
(1)求分段函数的函数值时，一般应先确定自变量的取值在哪个子区间上，然后用与这个区间相对应的解析式求函数值．
(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值，要进行分类讨论，逐段用不同的函数解析式求解，求解最后检验所求结果是否适合条件．
解析：∵－4<1，∴f(－4)＝16，f(16)＝16－1＝15.
答案：A
答案：－1
9.根据函数y＝f(x)的图象(如图所示)写出它的解析式．
[例4] (12分)某市市内电话收费方法为：3分钟内(含3分钟)收0.2元，以后每加1分钟(不足1分钟按1分钟计)加收0.1元．
(1)求电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式；
(2)试画出0
[思路点拨] 利用分段函数表示y与t之间的关系．
(2)由(1)知，当0(12分)
[一点通] 对于此类问题，要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示．用解析法表示时，首先找出自变量x和函数y，然后利用题干条件用x表示y，最后写出定义域．注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑使函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义．
10．某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，
每答错1道题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系．
解：(1)该函数关系用列表法表示为：
x/道 0 1 2 3 4 5
y/分 50 40 30 20 10 0
(2)该函数关系用图象法表示，如图．
(3)该函数关系用解析法表示为y＝50－10x，x∈{0,1,2,3,4,5}．
表示方法 优点 缺点
列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量可以一一列出的函数关系
图象法 能形象直观地表示出函数的变化情况 只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大
(1)函数的三种表示方法的优缺点比
表示方法 优点 缺点
解
析
法 一是简明、全面地概括了变量间的关系，从“数”的方面揭示了函数关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值 不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来
(2)理解分段函数应注意的问题
①分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．
②求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
③研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．(共39张PPT)
2.2
一次
函数
和二次函数
2.2.2
二次函数的性质与图象
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第二章
函数
考点一
考点二
考点三
已知函数f(x)＝x2，f(x)＝2x2，f(x)＝2x2＋8x.
问题1：上述三个函数是一次函数吗？
提示：不是，因最高次数为2，都是二次函数．
问题2：在同一坐标系中，作出f(x)＝x2，f(x)＝2x2的图象．
提示：如图．
问题3：能将f(x)＝x2的图象变为f(x)＝2x2的图象吗？
提示：能．f(x)＝x2的图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍即可得到f(x)＝2x2的图象．
问题4：x2的系数对图象有何影响？
提示：x2的系数绝对值越大，图像越靠近y轴．
问题5：观察f(x)＝x2的图象，可得出哪些性质？
提示：图象关于y轴对称；在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增；在x＝0处有最小值．
问题6：函数f(x)＝2x2＋8x有类似性质吗？
提示：有．
1．二次函数的定义
函数 叫做二次函数，定义域为 .
f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
R
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
图象 a>0 a<0
2．二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
向上
向下
(1)二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小；反之，|a|越小，抛物线的开口越大．
(2)二次函数在对称轴左右两侧的单调性相反，利用对称轴可求其最值．
[例1] 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)由图象判断x为何值时，y>0，y＝0，y<0.
[思路点拨] 解答本题可先用描点法画出函数f(x)的图象，然后根据图象回答相应的问题．
[精解详析] f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4的图象如图所示．
(1)由图可知，二次函数f(x)的图像对称轴为x＝1且开口向下，且|0－1|<|3－1|，
故f(1)>f(0)>f(3)．
(2)∵x1∴|x1－1|>|x2－1|，
∴f(x1)(3)由图可知：
当x>3或x<－1时，y<0；
当x＝－1或x＝3时，y＝0；
当－10.
1．函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位，得函数y＝x2
－1的图象，则实数m＝________.
解析：y＝x2－1的图像向上平移2个单位，得函数y＝x2＋1的图象，则m＝1.
答案：1
2．若y＝－x2－2x＋3与x轴的两个交点为A，B，顶点为
C，则△ABC的面积为________．
答案：8
答案：D
[例3] (12分)(1)当－2≤x≤2时，求函数y＝x2－2x－3的最大值和最小值．
(2)当1≤x≤2时，求函数y＝－x2－x＋1的最大值和最小值．
(3)当x≥0时，求函数y＝－x(2－x)的取值范围．
[精解详析] (1)作出函数的图象，如图(1)．? (2分)
当x＝1时，ymin＝－4；
当x＝－2时，ymax＝5.? (4分)
(2)作出函数的图象如图(2)．
当x＝1时，ymax＝－1；? (6分)
当x＝2时，ymin＝－5.? (8分)
(3)作出函数y＝－x(2－x)＝x2－2x在x≥0时的图象，如图(3)．?
(10分)
可以看出：当x＝1时，ymin＝－1，无最大值．
所以，当x≥0时，函数的取值范围是y≥－1.? (12分)
[一点通] 求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值的步骤：
(1)配方，找对称轴；
(2)判断对称轴与区间的关系；
(3)求最值．若对称轴在区间外，则f(x)在[m，n]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴处取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得．
答案：－3 9
5．函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是
________，最大值是________．
6．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值
范围是 ( )
A．0≤a≤1 B．0≤a≤2
C．－2≤a≤0 D．－1≤a≤0
解析：y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2.
∵函数在[0,1]上的最大值是a2，
∴0≤－a≤1，即－1≤a≤0.
答案：D
7．已知k∈R，求函数y＝kx2＋2kx＋1，x∈[－3,2]的最值．
(1)画二次函数的图象，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
(2)若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：
①若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域；
②若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域．(共29张PPT)
2.1函 数
2.11
函数
第二课时
映射与函数
把握热点考向
应用创新演练
第二章
函数
考点一
考点二
理解教材新知
函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”，现在把数集扩展到任意的集合．某校高二(16)班有60名同学，同学们的姓名构成集合A.
问题1：若同学们的姓构成集合B，对于A中的任意一个同学，在B中是否会存在唯一的姓与之对应？
提示：是的．
问题2：若C＝{男，女}，那么A，C之间怎样对应？
提示：对于A中任意一个同学，C中都有唯一的性别与之对应．
问题3：若同学们某次的成绩构成集合D.，那么从集合D到集合A的对应与上面的对应一样吗？
提示：不一样，某个成绩可能有几名同学与之对应．
问题4：若同学们的座位构成集合E，那么A，E之间如何对应？
提示：一人一个座位，是一一对应关系．
1．映射的概念
设A，B是两个 集合，如果按照某种对应法则f，对A中的 元素x，在B中有 元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，记作 .
2．象、原象的概念
给定一个集合A到集合B的映射f，若集合B中的元素y与集合A中的元素x相对应，则称y是x在映射f作用下的象，记作f(x)，x称作y的原象．
非空
任意一个
一个且仅有一个
f：A→B
3．一一映射
如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都 一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在 关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射．
有且只有
一一对应
(1)映射包括非空集合A，B以及对应法则f，其中集合A，B可以是数集，可以是点集，也可以是其他任何非空的集合．
(2)集合A，B是有先后次序的，即A到B的映射与B到A的映射是不同的．
(3)集合A中每一个元素在集合B中必有唯一的象(有，且唯一)，但允许B中元素在A中没有原象．
(4)A中元素与B中元素对应，可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”．
[思路点拨] 判断的依据是映射和一一映射的概念．
[精解详析] (1)是映射，且满足一一映射的条件，是一一映射．
(2)对于x＝1∈A，在f作用下的象是0，而0 B，
∴(2)不是映射．
(3)是映射，且满足一一映射的条件，是一一映射．
(4)对于x＝±1∈A，在f作用下的象都是1，故f是映射，但不符合一一映射的条件，故不是一一映射．
[一点通] 判断某种对应法则是否为集合A到集合B的映射的方法：
(1)明确集合A，B中的元素．
(2)判断A的每一个元素是否在集合B中有唯一的元素与之相对应．若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每一个元素在A中都有原象，集合A中的不同元素对应的象不相同．
1．设f：A→B，则下列命题中，正确的是 ( )
A．A中每个元素在B中必有唯一元素与其对应
B．B中每个元素在A中必有元素与其对应
C．B中每个元素在A中对应的元素唯一
D．A中不同的元素在B中对应的元素必不同
解析：f：A→B表示A中的任一元素在B中都有唯一元素与之对应，而B中的部分元素可以不参与对应．
答案：A
2．下列集合A到集合B的对应f是映射的是 ( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开平方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
解析：在B中，集合A中的元素1在B中有±1两个元素与之对应，∴B不正确．C中，集合A中的元素0没有倒数，∴C不正确．D中，集合A中的元素0的绝对值仍然是0，而0 B，∴D不正确．
答案：A
解析：①是映射，不是一一映射，因为集合B中有些元素(正整数)没有原象.②是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数且仍是正实数，任何一个正实数都存在倒数.③是映射，不是一一映射．因为集合A中有不同元素对应集合B中的同一个元素.④不是映射．因为集合A中的元素(如4)对应集合B中的两个元素(2和－2).⑤是映射，是一一映射.因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是某一个等边三角形的内切圆．等边三角形边长不同，内切圆的半径也不同．
答案：D
[一点通] 在求象和原象时要分清象和原象，特别注意原象到象的对应关系.对于A中元素求象，只需将原象代入对应关系即可．对于B中元素求原象，可先设出它的原象，然后利用对应关系列出方程(组)求解．
答案：B
5．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2，
3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f作用下的象， 且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是 ( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：∵a∈A，∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}．
答案：A
(1)映射的特征
①任意性：A中任意元素x在B中都有元素y与之对应，即A中元素不能空着．
②唯一性：从集合A到集合B的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素，即一对多不是映射．
③方向性：f：A→B与f：B→A，一般是不同的映射．
(2)映射与函数的关系
函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．(共46张PPT)
1.2.2
集
合
的
运
算
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第一章
集合
知识点一
考点一
考点二
考点三
知识点二
知识点三
第一
课时
交集与
并集
1.2
集合之间的关系与运算
已知集合A＝{1,2,3,4}，集合B＝{3,4,5,6}，集合C＝{3,4}．
问题1：集合A与B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？
提示：有．{3,4}．
问题2：集合C中的元素与集合A，B有什么关系？
提示：C中的元素属于A且属于B.
1．交集的概念
一般地，对于两个给定的集合A，B，由 的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作 ，读作
．
属于A又属于B
“A交B”
A∩B
2．交集的图示法
两个集合A，B的交集可用Venn图表示，
如图阴影部分．
3．交集的性质
(1)A∩B＝B∩A；
(2)A∩A＝A；
(3)A∩ ＝ ∩A＝ ；
(4)如果A B，则A∩B＝A.
已知下列集合：
A＝{－1,3,6}，B＝{－2，－1,4,6}，C＝{－1，－2,3,4,6}．
问题1：集合A与集合B中的公共元素是什么？
提示：－1,6.
问题2：由A和B的所有元素组成的新集合是{－1,3，6，
－1，－2,4,6}吗？为什么？
提示：不是．由集合元素的互异性可知新集合为C.
问题3：集合C中的元素与集合A，B有什么关系？
提示：C中元素属于A或属于B.
1．并集的概念
一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的
构成的集合，叫做A与B的并集，记作 ，读作“ ”．
2．并集的图示法
集合A与B的并集，可用图(1)或图(2)中的阴影表示．
所有元素
A∪B
A并B
3．并集的性质
(1)A∪B＝B∪A；
(2)A∪A＝A；
(3)A∪ ＝ ∪A＝A；
(4)如果A B，则A∪B＝B.
A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{高一(1)班没有参加足球队的同学}，U＝{高一(1)班的同学}．
问题1：集合A，B，U有何关系？
提示：U＝A∪B.
问题2：B中元素与U和A有何关系？
提示：B中元素在U中不在A中．
1．全集
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的 ，那么称这个给定的集合为全集，通常用 表示．
2．补集
如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中 的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作 ，读作“A在U中的补集”．
子集
U
不属于A
UA
3．补集的图示法
全集通常用矩形区域表示，全集与它的任意一个真子集之间的关系，可用Venn图表示，如图所示．
4．补集的性质
(1)A∪ UA＝U；
(2)A∩ UA＝ ；
(3) U( UA)＝A.
(1)A∩B中的元素是指同时属于集合A和集合B的全部元素，也就是说A∩B是集合A与B的全部“公共”元素所组成的集合．
(2)A∪B中的元素包含三种情况：①x∈A，但x B；
②x∈B，但x A；③x∈A，且x∈B.
(3) UA包含三层意思：(1)A U；(2) UA是一个集合，且 UA U；(3) UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．
[例1] (1)(2011·福建高考)若集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于 ( )
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝ ( )
A．{x|x<－5，或x>－3} B．{x|－5C．{x|－35}
[思路点拨] 由定义直接求M∩N ， M∪N.
[精解详析] (1)∵M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，
∴M∩N＝{－1,0,1}∩{0,1,2}＝{0,1}．
(2)借助数轴，M∪N＝{x|－35}＝{x|x<－5，或x>－3}．
[答案] (1)A (2)A
[一点通] 求集合交集、并集的方法：
(1)若集合是有限集，则一般把集合中的元素一一列举出来，然后结合集合交集、并集的定义分别求出；
(2)若集合是由实数组成的，则常借助数轴，把集合分别表示在数轴上，然后利用交集、并集的定义去求解，这样处理比较形象直观．
1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B＝( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{1,2} D．{0}
解析：由并集的概念，可得A∪B＝{0,1,2,3,4}．
答案：A
2．若集合A＝{x|－2＝ ( )
A．{x|－1C．{x|－2解析：A∩B＝{x|－2答案：D
∴A∩B＝{x|－2[例2] 设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}.若A∩B＝B，求a的值．
[思路点拨]
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题.解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A A B，A∪B＝B A B等.解答时应灵活处理．
(2)当集合B A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝ 的情况，切不可漏掉．
[一点通]
4．本例中，“若A∩B＝B”换为“A∪B＝B”，其他条件
不变，则a的值为________．
5．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
[例3] (12分)集合A＝{x|－1(1)若A∩B＝ ，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围．
[思路点拨] 首先明确交、并集的概念，再借助数轴求解．
[精解详析] (1)如图所示，A＝{x|－
1(2)如图所示，A＝{x|－1∴－1[一点通] 此类问题常借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，要特别注意端点值的取舍．当集合的元素离散时，常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解，但求解后要代入检验是否符合题意．
6．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数
a的取值范围是________．
答案：a≤1
解析：如图所示，
若A∩B＝R，则a≤1.
7．若集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋9}，
A∪B＝B，则m的取值范围是________．
答案：－2≤m≤－1
解析：∵A∪B＝B，∴A B，如图所示，
8．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，
C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.
解：由A＝{2，－1，x2－x＋1}，
B＝{2y，－4，x＋4}，
C＝{－1,7}且A∩B＝C，得
7∈A,7∈B且－1∈B，
∴在集合A中x2－x＋1＝7，
在集合运算过程中应力求做到“三化”
(1)意义化：首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形；是表示函数自变量的取值范围、因变量的取值范围，还是表示方程或不等式的解集．
(2)具体化：具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的范围或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．
(3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．(共30张PPT)
2.3
函数的应用
(Ⅰ)
把握热点考向
应用创新演练
第二章
函数
考点一
考点二
考点三
[例1] 某市原来民用电价为0.52元/千瓦时.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元千瓦时，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/千瓦时设一家庭每月平均用电量为200 千瓦时.
(1)求电费关于峰时段用电量的函数关系式；
(2)要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少千瓦时
[思路点拨] 用x表示峰时段用电量，则(200－x)表示谷时用电量，可列出电费y关于x的函数．
[精解详析] (1)设峰时段用电量为x 千瓦时，电费为y元，谷时段用电量为(200－x)千瓦时，则
y＝x×0.55＋(200－x)×0.35，
∴y＝0.2x＋70，x∈[0,200]．
(2)原来电费y1＝0.52×200＝104(元)．
由题意知y≤(1－10%)y1，
即0.55x＋70－0.35x≤93.6，则0.2x≤23.6.
∴x≤118，
即这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118 千瓦时.
[一点通] 求解一次函数模型应用题的策略：
(1)一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．
(2)对于给出图象（是一次函数图像）的应用题，可以先利用函数的图象用待定系数法求出解析式，再反过来，用函数解析式来解决问题，最后翻译成具体问题作出解答．
1.如图所示，这是某电信局规定的打长途电
话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分
钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：
(1)通话2分钟，需要付电话费__________元；
(2)通话5分钟，需要付电话费________元；
(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为____________．
答案：(1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3)
2．某商人的货物，进价已按原价a扣去25%.他希望对货
物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，求此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式．
[例2] 某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元.市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．
(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
[思路点拨] 解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价;先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值，可得汽车合适的销售单价．
[精解详析] (1)因为y＝29－25－x，所以y＝－x＋4(0≤x≤4)．
(2)z＝(8＋ ×4)y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4)．
(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4)．
故当x＝1.5时，zmax＝50.
所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元．
3．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两
道隔墙.要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3 m B．4 m
C．5 m D．6 m
答案：A
4．据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至
25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，且为二次函数图象的顶点．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
[例3] (12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购1件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
(1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？(服装厂售出1件服装的利润＝实际出厂单价－成本)．
[思路点拨] (1)由题意按0(2)服装厂获得的利润＝(P－40)x．
[一点通] 在实际生活和数学中，大量的问题在不同的阶段有着不同的规律.这种情况往往要用分段函数去表示.解决的方法是在不同的部分分别解决，最后用分段函数进行表达.本题中当05．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时
的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地.
(1)把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数；
(2)求汽车行驶5小时与A地的距离．
解：(1)f(5)＝－52＋24×5＋100＝195，f(25)＝－7×25＋380＝205.
∴讲课开始后25分钟学生的注意力更集中．
(2)当0此时，当t＝10时，f(t)max＝240.
当10当20≤t≤45时，f(t)max＝f(20)＝240.
∴讲课开始后10分钟到20分钟，学生注意力最集中，能持续10分钟．
(1)解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式.求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性．
(2)数学建模的过程图示如下：(共45张PPT)
2.1
函数
2.1.4
函数的奇偶数
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第二章
函数
考点一
考点二
考点三
考点四
问题1：对于函数f(x)＝x2，f(x)＝|x|，以－x代替x函数值发生变化吗？其图象有何特征？
提示：以－x代替x各自的函数值不变，即f(－x)＝f(x)；图象关于y轴对称．
问题2：对于函数f(x)＝x3与f(x)＝ ，以－x代替x函数值发生变化吗？其图像有何特征？
提示：以－x代替x各自的函数值互为相反数，即
f(－x)＝－f(x)；图象关于原点对称．
1．奇、偶函数的概念
名称 定义
奇
函
数 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有 ，且 ，则这个函数叫做奇函数
偶
函
数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有 ，且 ，则这个函数叫做
－x∈D
f(－x)＝－f(x)
－x∈D
g(－x)＝g(x)
偶函数
2．奇、偶函数的图象特征
(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以
为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于 对称，则这个函数是偶函数．
坐标原点
坐标原点
y轴
y轴
(1)由定义可知，若x是定义域中的一个数值，则－x也一定在定义域中.因此，奇偶函数的定义域一定是关于原点对称的.若不对称，则这个函数必不具有奇偶性，是非奇非偶函数.
(2)函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同.从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质．
[思路点拨] 先判断定义域是否关于原点对称，然后按奇偶性的定义来判断．
[一点通] 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法
(1)定义法：若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数的定义域关于原点对称，则应进一步判断f
(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
解析：A、D两项中，函数均为偶函数；B项中，函数为非奇非偶正数；C项中，函数为奇函数．
答案：C
2．若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝ ( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：∵f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，
∴f(－x)＝(－x＋1)(－x－a)＝f(x)恒成立．
∴x2＋(a－1)x－a＝x2－(a－1)x－a恒成立.
∴a－1＝0，即a＝1.
答案：C
[例2] 如图，给出了偶函数y＝f(x)的局
部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．
[思路点拨] 法一：利用偶函数图象的对称性比较．
法二：利用f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)比较．
[精解详析] 法一：∵函数f(x)是偶函数，
∴其图象关于y轴对称，如图．
由图象可知f(1)法二：由图象可知f(－1)又函数y＝f(x)是偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)．
∴f(1)[一点通] 已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象.奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反．
答案：A
[例3] 已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．
[思路点拨] 将x<0时的解析式转化到x>0上求解．同时要注意f(x)是定义域为R的奇函数．
[一点通] 解答该类问题的思路：
(1)“求谁设谁”，即求哪个区间的解析式，x就设在哪个区间内．
(2)要利用已知区间的解析式进行计算．
(3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)．
注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0.
6．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)
＝x2＋3x＋1，则f(x)＝ ( )
A．x2 B．2x2
C．2x2＋2 D．x2＋1
解析：∵f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1， (1)
∴f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.
f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)；
g(x)为奇函数，g(－x)＝－g(x)．
∴f(x)－g(x)＝x2－3x＋1. (2)
联立①②可得f(x)＝x2＋1.
答案：D
7．已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2
＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式．
解：设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1.
∴f(－x)＝x2－x－1.
∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝x2－x－1.
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1.
[例4] (12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
[精解详析] 由f(m)＋f(m－1)>0，得
f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数．? (8分)
[一点通] 此类问题的解答思路是：先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含有“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解.列不等式(组)时，注意函数的定义域也是一个限制条件．
8．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调
函数，且f(－4)A．f(－1)C．f(－3)f(1)
解析：由f(x)是偶函数，得f(－4)又∵f(x)在[0,5]上是单调函数，
∴f(x)在[0,5]上是减函数．
∴f(0)>f(1)>f(2)>f(3)>f(5)．
而f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，
故f(－1)>f(3)，f(－3)>f(5)，只有D正确．
答案：D
答案：A
(1)奇偶性与单调性的相关性质
①若函数f(x)为奇函数，则当f(x)在区间[a，b]上是单调函数时，f(x)在其对称区间[－b，－a]上也是单调函数，且单调性相同．
②若函数f(x)为偶函数，则当f(x)在区间[a，b]上是单调函数时，f(x)在其对称区间[－b，－a]上也是单调函数，且单调性相反．
(2)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)＝0.
(3)既是奇函数又是偶函数的函数表达式是f(x)＝0，
x∈A.定义域A是关于原点对称的非空数集．(共36张PPT)
2.1
函数
2.1.3
函
数
的
单
调
性
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第二章
函数
考点一
考点二
考点三
观察下列函数图象
问题1：从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？
提示：甲图中，函数f(x)的值随x增大而增大．
乙图中，函数f(x)的值随x增大而减小．
丙图中，在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小；
在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大．
问题2：甲、乙两图中，若x1提示：甲图中，若x1乙图中，若x1f(x2)．
问题3：丙图中若x1提示：[0，＋∞)．
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M A，如果取区间M中的 两个值x1，x2，改变量 ，则当 时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，如图(1)；当 时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，如图(2)．
Δ x＝x2－x1>0
任意
Δ y＝f(x2)－f(x1)>0
Δ y＝f(x2)－f(x1)<0
如果函数y＝f(x)在某个区间M上是增函数或是减函数，就说y＝f(x)在这个区间M上具有 (区间M称为单调区间)．
单调性
(1)函数单调性定义的理解
一是任意性，即“任意取x1，x2”，不能取两个特殊值；二是x1，x2有大小，通常规定Δ x＝x2－x1>0；三是x1，x2同属于定义域的某个子区间．
(2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，即单调区间是定义域的子集．如函数y＝x2的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，0)时是减函数．
[思路点拨] 函数解析式和区间已给出，要证明函数是增函数，只需用定义证明即可．
[一点通] 利用定义证明函数单调性的步骤如下：
1．证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是减函数．
证明：设x10，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝(2x＋4x2)－(2x＋4x1)
＝2(x－x)＋4(x2－x1)
＝2(x2－x1)(x1＋x2＋2)．
∵x1∴f(x)在(－∞，－1]上是减函数．
[例2] 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
[一点通] 利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．
注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“和”“或” 连接，不能用“∪”连接．
3．函数y＝|x|在区间[－1,1]上的增区间为________．
答案：[0,1]
解：(1)函数的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)；
(2)y＝x2－2x－3的对称轴方程是x＝1，并且开口向上，所以其单调减区间是(－∞，1]，单调增区间是(1，＋∞)．
[例3] (12分)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)[思路点拨] 不等式f(1－a)[一点通] 解决此类与抽象函数有关的变量的取值范围问题，关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，对任意x1∈D ，x2∈D，且f(x1)若函数y＝f(x)在区间D上是减函数，对任意x1 ∈D ，x2∈D，且f(x1)x2.但需要注意的是，不要忘记函数的定义域．
6．若函数y＝f(x)在R上为增函数，则f(－3)与f(－π)
的大小关系是________．
答案：f(－3)>f(－π)
答案：C
8．已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减函数，
求实数a的取值范围．
解：∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2
＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，
∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]．
又∵已知f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴1－a≥4，即a≤－3.
∴所求实数a的取值范围是(－∞，－3]．
(1)函数的单调性是函数在定义域的某个子集上的性质．这个子集可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集．
(2)若x1>x2，f(x1)>f(x2)，则函数y＝f(x)是单调增函数；若x1>x2，f(x1)0(<0)，则函数y＝f(x)是增(减)函数．(共19张PPT)
章末
小结
知识整合与阶段检测
核心要点归纳
阶段质量检测
一、指数函数
1．根式
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(4)有理指数幂的运算性质：aα·aβ＝aα＋β(a>0，α，β∈Q)；(aα)β＝aαβ(a>0，α，β∈Q)；(ab)α＝aαbα(a>0，b>0，α∈Q)．
3．指数函数图象和性质
函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
a>1 0图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
定点 图象过定点(0，1)
单调性 在(－∞，＋∞)
上是增函数 在(－∞，＋∞)
上是减函数
函数值的变化情况 当x>0时，ax>1
当x＝0时，ax＝1
当x<0时，00时，0当x＝0时，ax＝1，
当x<0时，ax>1
a>1 0[说明]
(1)指数函数的底数决定其单调性，当底数不确定时，要注意分类讨论．
(2)指数函数f(x)＝ax具有性质：f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(1)＝a≠0，因此满足性质f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(1)＝a≠0的函数的一个原型就是指数函数.在解决有关抽象函数的问题时，可以借助其原型解决有关问题．
二、对数函数
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(1)对数式与指数式的互化：ax＝N logaN＝x；
(2)负数和零没有对数，loga1＝0，logaa＝1.
2．两个重要对数
(1)常用对数：以10为底的对数lg N；
(2)自然对数：以无理数e＝2.718 28…为底数的对数ln N.
5．对数函数的图象和性质
a>1 0图象
a>1 0性质 定义域(0，＋∞)
值域R
恒过定点(1，0)
非奇非偶函数
在(0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减
当x>1时，y>0；
当01时，y<0；
当00
三、幂函数
幂函数的图象与性质
单调性 在R上递增 在(－∞，0)上递减，
在(0，＋∞) 上递增 在R上递增 在(0，＋∞) 上递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减
图像
过定点 (0，0)，(1，1) (1，1)
[说明] 比较两个幂的大小的方法：
(1)当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较.
(2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较.
(3)当幂的底数和指数都不相同时，一种方法是作商，通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小；另一种方法是找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，从而确定两个幂值的大小．
四、函数建模
1．解答函数应用题的一般步骤是：
2．函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．(共49张PPT)
3.1
指数与指数函数
3.1.2
指
数
函
数
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第三章
基本初等函数(Ⅰ)
知识点一
考点一
考点二
考点三
知识点二
考点四
某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量就变为原来的84%.假设这种物质原来的质量为1.
问题1：经过3年这种物质的质量是多少？
提示：0.843.
问题2：若经过x年后质量为y，则y与x的关系能用等式表示吗？
提示：能，y＝0.84x.
问题3：质量y是经过年数x(x>0)的函数吗？
提示：是，符合函数的定义．
问题4：如果不考虑x、y的实际意义，x∈R时等式y＝0.84x是否表示y是x的函数？如果是，该函数有何特点？
提示：是．底数是常数，指数是自变量．
指数函数的定义
函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
y＝ax(a>0且a≠1)
提示：
问题2：两函数图象有无交点？
提示：有交点，其坐标为(0，1)．
问题3：两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？
a＞1 0＜a＜1
图 象
性 质 定义域
值域
过定点 过点 ，即x＝ 时，y＝
单调性 是R上的 是R上的
R
(0，＋∞)
(0，1)
0
1
增函数
减函数
指数函数的图象和性质
(1)指数函数中，底数是一个常量，自变量出现在指数位置上.显然y＝xa不是指数函数，这一点要特别注意．
(2)指数函数中，系数一定为1，指数一定为x.例如，
y＝3·2x不是指数函数，y＝2x＋1也不是指数函数．
(3)当01时，x→－∞，y→0. (其中“x→＋∞”的意义是“x接近于正无穷大”)
[例1] 下列函数中，哪些是指数函数？
(1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x；
(4)y＝xx；(5)y＝xα(α是常数)．
[思路点拨] 解答本题的关键是理解指数函数的定义，即只有符合y＝ax(a>0且a≠1，x∈R)的函数才是指数函数，否则不是．
[精解详析] (1)y＝10x符合定义，是指数函数；
(2)y＝10x＋1中指数是x＋1而非x，不是指数函数；
(3)y＝－4x中系数为－1而非1，不是指数函数；
(4)y＝xx中底数和指数均是自变量x，不符合指数函数定义，不是指数函数；
(5)y＝xα中底数是自变量，不是指数函数．
[一点通] 判定一个函数为指数函数：①底数要大于零且不等于1；②幂指数是自变量x；③系数为1，是y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)这样的形式．
答案：③
2．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，求a的值．
[思路点拨] 函数y＝ax的图象过点(1，a)，可根据各图象上横坐标为1的点的位置确定a的大小．
[一点通]
(1)指数函数的图象随底数变化的规律：
①无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax的图像都与直线x＝1相交于点(1，a)，由图像可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．
②指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，图高则底大．
(2) 指数函数图象问题的处理方法
①抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点(0，1)；
②利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)；
③利用函数的奇偶性与单调性．
3．函数y＝2－|x|的大致图象是 ( )
答案：C
4．函数f(x)＝ax－1＋1(a>0且a≠1)的图像过定点A，则A点的
坐标为________．
解析：原函数f(x)＝ax－1＋1可变形为y－1＝ax－1，将y－1看做x－1的函数．
令x－1＝0，则y－1＝1，即x＝1，y＝2，
∴函数f(x)＝ax－1＋1的图象恒过定点A(1，2)．
答案：(1，2)
[精解详析] (1)1.82.2，1.83可看做函数y＝1.8x的两个函数值，
∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数．
∴1.82.2<1.83.
(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，
又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.
(3)∵1.90.4>1.90＝1，0.92.4<0.90＝1，
∴1.90.4>0.92.4.
[一点通] 比较幂的大小的方法：
(1)对于底数相同但指数不同的幂，可以利用指数函数的单调性来比较．
(2)对于底数不同但指数相同的幂，可利用指数函数图象的变化规律来比较．
(3)对于底数不同且指数不同的幂，则应通过中间值来比较．
解析：函数y＝0.9x在R上为减函数，所以0.90.3>0.90.5.
答案：D
答案：m8．如果a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．
[思路点拨] 确保指数有意义，可得其定义域，再由定义域确定值域.
(3)定义域为R.
∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，? (10分)
∴22x－x2≤2，即y≤2.
故函数的值域为(0，2]．? (12分)
[一点通] (1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)函数y＝af(x)的值域的求法如下：
①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
解析：由题意知ax≥1的解集是(－∞，0]，∴0答案：(0，1)
(1)应用指数函数y＝ax的单调性时，如果底数a大小不确定，必须分“a>1”和“0(2)当a>1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.当01.2
集合之间的关系与运算
1. 2 . 2
集
合
的
运
算
应用创新演练
第一章
集合
考点一
考点二
考点三
第二课时集合的补集运算
把握热点考向
[例1] 设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}， UA＝{5}，则a的值为________．
[思路点拨] 涉及补集运算时，若集合是用列举法表示的，常用补集的定义求解．A∪ UA＝U是解本题的关键．
[一点通] 在进行补集的简单运算时，应首先明确全集，而利用A∪ UA＝U求全集U是利用定义解题的常规性思维模式，故进行补集运算时，要紧扣补集定义及补集的性质来解题．
1．(2011·四川高考)若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，则
MN＝ ( )
A． B．{1,3,5}
C．{2,4} D．{1,2,3,4,5}
解析：由题意知 MN＝{1,3,5}．
答案：B
2．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则
UA＝________.
解析：借助数轴得 UA＝{x|x＝－3，或x>4}．
答案：{x|x＝－3，或x>4}
3．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}， UB＝
{1,4,6}，求集合B.
解：法一：A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}.
又 UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
法二：借助Venn图，如图所示.
由图可知B＝{2,3,5,7}.
[例2] 已知全集U＝同{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B， UA∪B，A∩ UB， U(A∪B)．
[思路点拨] 利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出 UA及 UB，然后求解．
[精解详析] 如图所示.
∵A＝{x|－2∴ UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
UB＝{x|x<－3，或2A∪B＝{x|－3≤x＜3}.
∴A∩B＝{x|－2 UA∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，
A∩ UB＝{x|2 U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}.
[一点通]
(1)如果所给集合是有限集，则可先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．在解答过程中常常借助Venn图来求解．这样处理，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题．
4．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩ UB＝( )
A．{x|0≤x<1} B．{x|0C．{x|x<0} D．{x|x>1}
解析： UB＝{x|x≤1}，
∴A∩ UB＝{x|0答案：B
5．(2011·湖南高考)设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩ UN
＝{2,4}，则N＝ ( )
A．{1,2,3} B．{1,3,5}
C．{1,4,5} D．{2,3,4}
解析：由M∩ UN＝{2,4}，可得集合N中不含元素2,4，集合M中含有元素2,4，故N＝{1,3,5}．
答案：B
解：如图所示.
[例3] (12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a[思路点拨] 可先求出 RA，再结合B RA列出关于a的不等式组求a的取值范围．
[一点通]
(1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题，一般利用数轴求解.涉及集合间的关系时，不要忘掉空集的情形．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
7．已知集合A＝{x|x则实数a的取值范围是________．
答案：{a|a≥2}
解析： RB＝{x|x≤1，或x≥2}，
A＝{x|x可知当a≥2时，A∪ RB＝R.
8．已知集合A＝{x|x0}.若A∩ RB
＝ ，求实数a的取值范围．
解：∵B＝{x|x<－1，或x>0}，
∴ RB＝{x|－1≤x≤0}.
要使A∩ RB＝ ，结合数轴分析(如图)，
可得a≤－1.
(1)求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，所选的全集不同，得到的补集也是不同的．
(2)当题设条件中含有“至少”“至多”等词语且包含的情况较多时，在解答过程中往往需要进行分类讨论.为了避免讨论，可以借助补集思想来求解，即从问题的对立面出发，进行求解，最后取相应集合的补集．(共24张PPT)
3.2
对数与对数函数
3.2.3
指数
函数
与对数函数的关系
把握热点考向
应用创新演练
第三章
基本初等函数(Ⅰ)
考点一
考点二
理解教材新知
已知对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x.
问题1：上述两个函数都是一一映射吗？
提示：都是．
问题2：两函数的自变量与因变量有何关系？
提示：y＝log2x的自变量就是y＝2x的因变量，y＝log2x的因变量就是y＝2x的自变量．
问题3：函数y＝2x＋1是y关于x的函数，试求出x关于y的函数式．
问题4：通常自变量用x表示，试用x表示问题3中的函数关系．
问题5：在同一坐标系中，作出y＝2x＋1和问题4中函数的图象．
问题6：两函数的图象有何特征？
提示：两函数的图象关于y＝x对称．
提示：如图．
1．反函数
当一个函数是 时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，称这两个函数互为 ．
2．图象的对称性
对数函数y＝logax(a>0，a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，a≠1) ，它们的图象关于直线 对称．函数y＝f(x)的反函数通常用y＝ 表示．
一一映射
反函数
互为反函数
y＝x
f－1(x)
(1)并不是所有的函数都存在反函数，只有x与y一一对应的函数才有反函数．
(2)若y＝f(x)有反函数y＝f－1(x)，则y＝f－1(x)的反函数是y＝f(x)，即y＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数．
[例1] 求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数．
[思路点拨] 要求y＝2x＋1的反函数，应该用y表示x，求出反函数后要注明反函数的定义域，即原函数的值域．
[精解详析] ∵y＝2x＋1，0<2x<1，
∴1<2x＋1<2.
∴1由2x＝y－1，得x＝log2(y－1)，
∴f－1(x)＝log2(x－1)(1[一点通] 求反函数的一般步骤：
答案：D
2．函数f(x)＝3x(0A．(0，＋∞) B．(1，9]
C．(0，1) D．[9，＋∞)
解析：∵0即函数f(x)的值域为(1，9]．
故f(x)的反函数的定义域为(1，9]．
答案：B
[例2] 已知函数f(x)＝ax－k的图象过点(1，3)，其反函数y＝f－1(x)的图象过点(2，0)，则f(x)的表达式为________．
[思路点拨] 由(2，0)在y＝f－1(x)的图象上知，(0，2)在y＝f(x)的图象上．
[精解详析] ∵y＝f－1(x)的图象过点(2，0)，
∴y＝f(x)的图像过点(0，2)，∴2＝a0－k，
∴k＝－1，
∴f(x)＝ax＋1.
又∵y＝f(x)的图象过点(1，3)，
∴3＝a1＋1，
∴a＝2，∴f(x)＝2x＋1.
[答案] f(x)＝2x＋1
[一点通] 若点P(m，n)在函数y＝f(x)(或在反函数y＝
f－1(x))的图象上，则点P′(n，m)在反函数y＝f－1(x)(或在函数y＝f(x))的图象上.利用这种对称性去解题，常常可以避开求反函数的解析式，从而达到简化运算的目的．
3．已知函数y＝ax与y＝logax，其中a＞0且a≠1，下列说法不
正确的是 ( )
A．两者的图象关于直线y＝x对称
B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域
C．两函数在各自的定义域内增减性相同
D．y＝ax的图象经过平行移动可得到y＝logax的图像
解析：由y＝ax与y＝logax互为反函数，图象关于y＝x对称，知A、B正确.当a>1时，它们均为增函数;当0答案：D
.
4．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能
是图中的 ( )
解析：y＝ax与y＝logax互为反函数，图象关于y＝x对称，而y＝loga(－x)与y＝logax关于y轴对称．
∵在y＝loga(－x)中，－x>0，即x<0，
∴排除A、C.当0答案：B
一个函数是否存在反函数可从以下两点进行判断：
(1)从函数观点来看，就是由式子y＝f(x)解出x，得x＝φ(y)后，看对于值域内任意一个y的值，由式子x＝φ(y)是否能确定定义域内有唯一的x值与之对应．
(2)用图象来判断，就是看函数y＝f(x)的图象与任一垂直于y轴的直线是否至多只有一个交点．(共44张PPT)
1.2
集合之间的关系与运算
1.2.1
集
合
之
间
的
关
系
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第一章
集合
知识点一
考点一
考点二
考点三
知识点二
知识点三
给出下面两个集合：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．
问题1：集合A中的元素都是集合B中的元素吗？
提示：是的．
问题2：集合B中的元素都是集合A中的元素吗？
提示：不全是．
定义 符号
语言 图形语言(Venn图)
子集 如果集合A中的 元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集. A B
(或B A)
真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中 不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集 A B
(或B?A)
任意一个
至少有一个元素
1.子集与真子集
2．子集的性质
(1)规定：空集是 的子集.也就是说，对任意集合A，都有 A.
(2)任何一个集合A都是它本身的 ，即 .
(3)如果A B，B C，则 .
(4)如果A?B，B?C，则 .
任何集合
子集
A A
A C
A?C
给定两个集合:A＝{0,1}，B＝{x|x2＝x}．
问题1：集合B能否用列举法表示出来？
提示：能，B＝{0,1}．
问题2：集合A中的元素和集合B中的元素有什么关系？
提示：完全相同．
定义 符号
语言 图形语言(Venn图)
集合相等 如果集合A的 都是集合B的元素，反过来，集合B的 也都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合B A＝B
1.集合相等
每一个元素
每一个元素
2．集合相等的性质
若A B，B A，则A＝B；反之， .
若A＝B，则A B，且B A
已知A＝{北京四中高一(2)班的学生}，B＝{北京四中高一的学生}．
问题1：A和B有何关系？
问题2：若李胜男是北京四中高一(2)班的学生，则李胜男是北京四中高一的学生对吗？你能得出什么结论？
提示：对，利用元素特征性质之间的关系可判断集合之间的关系．
提示：A B.
(1)一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A B，则 .于是，x具有性质p(x) x具有性质q(x)，即 ．
反之，如果p(x) q(x)，则A一定是B的 ，其中符号“ ”是“推出”的意思．
x∈A x∈B
p(x) q(x)
子集
(2) 如果命题“p(x) q(x)”和命题“q(x) p(x)”，都是正确的命题，这时我们常说，一个命题的条件和结论可以互相推出，互相推出可用符号“ ”表示.于是，上述两个正确的互逆命题可表示为p(x) q(x).显然，如果p(x) q(x)，则A＝B；反之，如果 ，则 ．
A＝B
p(x) q(x)
对子集、真子集概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A B的常用方法．
(2)不能简单地把“A B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝ 时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A?B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，且x A.
[例1] 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈Z|x2＝1}；
(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(3)A＝{－1,1}，B＝{ ，{－1}，{1}，{－1,1}}；
(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(5)A＝{x|－1[思路点拨] 首先明确元素的特性，再利用子集与真子集的概念进行判断．
[精解详析] (1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.
(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．
(3)观察发现集合A是集合B的一个元素，故A∈B.
(4)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示由图可发现A?B.
[一点通] 判断集合之间的关系本方法是转化为判定元素和集合间的关系，首先判断一个集合A.中的任意一个元素是否属于另一个集合B.若是，则A B，否则A B.其次判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A.若是，则B A，否则B A.最后下结论：若A B，B A，则A＝B;若A B，B A，则A?B;若A B，B A，则B?A，若上述三种情况均不成立，则A B，B A.
1．已知集合P＝{2 010,2 011}，Q＝{2 010,2 011，2 012 }，则有 ( )
A．P＝Q B．Q P
C．P?Q D．Q?P
答案：C
解析：很明显，集合P中的元素都属于集合Q，则P Q，但是2 012∈Q,2 012 P，所以P?Q.
2．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜1}，则有( )
A．A>B B．A?B
C．B?A D．A B
答案：C
解析：借助数轴，可得B?A.
3．已知集合M＝{x∈Z|－1≤x<3}，N＝{x|x＝|y|，y∈M}，
试判断集合M，N的关系．
解：∵x∈Z，且－1≤x＜3，∴x的取值为－1,0,1,2.
∴M＝{－1,0,1,2}．
又∵y∈M，∴|y|的值分别是0,1,2.
∴N＝{0,1,2}．∴N? M.
[例2] 已知集合A＝{2，a，b}，集合B＝{2a,2，b2}.若A＝B，求a，b的值．
[思路点拨] 从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，还要注意集合中元素的互异性．
[一点通]
(1) 若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关.要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．
(2)若两个集合中元素均为无限多个，要看两个集合的代表元素是否一致.且看代表元素满足的条件是否一致.若均一致，则两个集合相等．
(3)证明两个集合相等的常用思路是证A B且B A.
4．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则b－a
＝ ( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案：C
5．已知M＝{0,2，b}，N＝{0,2，b2}，且M＝N，则实
数b的值为________．
解析：∵M＝N，∴b＝b2.解得b＝1或b＝0(舍去)，
∴b＝1.
答案：1
6．已知集合A＝{x|x＝3n－2，n∈Z}，B＝{y|y＝3k＋1，
k∈Z}，证明A＝B.
证明：(1)设任意x0∈A，则x0＝3n0－2，且n0∈Z.
3n0－2＝3(n0－1)＋1，因为n0∈Z，所以n0－1∈Z.
所以x0∈B.故A B.
(2)设任意y0∈B，则有y0＝3k0＋1，且k0∈Z.
3k0＋1＝3(k0＋1)－2，
因为k0∈Z，所以k0＋1∈Z.
所以y0∈A.故B A.
综上可得A＝B.
[例3] (12分)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1[思路点拨] 就B是否为空集进行讨论，利用B A列出关于m的不等式(组)求解．
[一点通]
(1) 分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)解此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3) 解此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．
7．若集合A＝{x|1a}，满足A?B，则实数a
的取值范围是 ( )
A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
答案：B
解析：如图所示，因为A?B，所以a≤1.
8．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|x－a＝0}.若B A，
则实数a的值为________．
解析：A＝{3,5}，B＝{a}．∵B A，∴a＝3或a＝5.
答案：3或5
(1)子集和真子集
①A B包含两种情况：A＝B和A?B.当A是B的子集时，不要漏掉A＝B的情况．
②集合与集合之间的关系有包含关系、相等关系，其中包含关系有：包含于( )、包含( )、真包含于(?)、真包含(?)等、用这些符号时要注意方向，如A B与B A是相同的，但A B，B A是不同的．
(2)空集
①空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
②利用“A B”或“A?B”解题时，要讨论A＝ 和A≠ 两种情况．(共24张PPT)
3.2
对数与对数函数
3.2.1
对
数
及
其
运
算
把握热点考向
应用创新演练
第三章
基本初等函数(Ⅰ)
考点一
考点二
第二课时
换底公式与自然对数
[例1] 计算下列各式的值：
(1)(log43＋log83)log32；
(2)log 2＋log279.
[思路点拨] 先用换底公式化为同底的对数，再运用运算性质运算．
[一点通] 利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数，即可用对数的运算性质来解决对数求值问题，同时要注意换底公式的逆用．
答案：A
3．已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝__________．(用p，
q表示)
[思路点拨] 先求出x，y，z的表达式，即将已知指数式化为对数式，然后求解和证明．
[一点通] 对数式的证明和对数式的化简的基本思路是一致的，就是根据对数的运算性质和换底公式对对数式化简．
4．解方程(lg x)2＋lg x3－10＝0.
解：原方程变形为
(lg x)2＋3lg x－10＝0，
即(lg x＋5)(lg x－2)＝0，
∴lg x＝－5或lg x＝2，
∴x＝10－5或x＝100.
经检验知：x＝10－5和x＝100都是原方程的根．
6．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0的两根是
α，β，求αβ的值．
(1)换底公式主要用于计算、化简求值，用于计算时把底统一化成以10为底的对数．化简时，有两种思路：①根据题目特点，先换部分对数的底进行运算，最后再得结果；②直接把题中对数全换成同一底的对数进行运算．(共32张PPT)
3.4
函
数
的应用
(Ⅱ)
把握热点考向
应用创新演练
第三章
基本初等函数(Ⅰ)
考点一
考点二
考点三
[例1] 某林区2012年木材蓄积量为200万立方米.由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域．
(2)作出函数y＝f(x)的图象，并应用图象求多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米.
[精解详析] (1)现有木材蓄积量为200万立方米；
1年后，木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)（万立方米）；
2年后木材蓄积量为200(1＋5%)2 （万立方米） ；
… …
x年后，木材蓄积量为200(1＋5%)x.
∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.
∵x虽然以年为单位，但木材每时每刻都在生长，
∴x≥0且x∈R.∴函数的定义域为[0，＋∞)．
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)的图象，列表如下：
x 0 1 2 3 …
y 200 210 220.5 231.5 …
作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0，300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)，所经过的时间x．
∵8∴9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
图象如图所示．
[一点通] 增长(衰减)率问题广泛存在于生产和生活中，如银行复利计算、人口增长率、国民经济生产总值增长率等均属于这类问题．研究并解决这类问题是中学数学的重要应用方向之一.解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：具体分析问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察，归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解此数学问题即可．
1．某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次(由1个分裂
成2个).这种细菌由1个分裂成4 096个需经过( )
A．12 h B．4 h
C．3 h D．2 h
答案：C
2．某公司为应对金融危机的影响，拟投资100万元，有
两种投资方案可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息. 哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少钱？(结果精确到0.01万元)
解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由此可见，按年利率9%，每年复利一次计算的投资要比年利率10%单利计算的投资更有利，5年后约多得利息3.86万元.
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
[思路点拨] 由题意可知飞行速度是耗氧量的函数，由函数表达式分别给变量赋值，求出另外的量即可．
[一点通] 解决此类问题首先要明确各个量所代表的实际意义，然后利用对数运算性质或换底公式求解．
3．(2011·湖南高考)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－
lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
解析：由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，故lg A9－lg 0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍．
答案：6 10 000
答：一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位数.
[例3] (12分)函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图
象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，
B(x2，y2)，且x1(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2 012)，g(2 012)的大小．
[思路点拨] (1)根据函数图象上的特殊点确定相应函数解析式；
(2)确定x1，x2的范围，结合函数图象及性质比较大小．
[精解详析] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，? (2分)
C2对应的函数为f(x)＝2x.? (4分)
(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，
f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，? (6分)
∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)．? (8分)
∴1从图象上知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，?(11分)
∴f(2 012)>g(2 012)>g(8)>f(8)．? (12分)
[一点通] 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的是对数函数．
5．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图．
(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．
6．已知甲、乙两个工厂在今年1月份的利润都是6万元，
且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元. 甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R)．
(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；
(2)在同一直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．
所以甲厂在今年5月份的利润为f(5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g(5)＝86万元，故有f(5)＝g(5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．
(2)作函数图象如下：
从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：
当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；
当1g(x)；
当5(1)如何选择函数模型
在解决实际问题中，我们要根据实际情况灵活选取函数的模型．(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快．
(2)(共45张PPT)
3.2
对数与对数函数
3.2.1
对
数
及
其
运
算
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第三章
基本初等函数(Ⅰ)
知识点二
考点一
考点二
考点三
知识点三
知识点一
知识点四
第一课时
提示：3 －3
提示：不存在．
提示：利用对数求解．
对数的概念
对于指数式ab＝N，把“以a为底N的对数b”记作 ，即 ．其中，数a叫做对数的底数，N叫做 ，读作“ ”.
logaN
b＝logaN(a>0，且a≠1)
真数
b等于以a为底N的对数
根据对数的定义：对数式b＝logaN是ab＝N的另一种形式．
问题1：试求2log24的值．
提示：因为22＝4，log24＝2，所以2log24＝4.
问题2：由34＝81与4＝log381你能得出什么结论？
提示：3log381＝81.
指数式与对数式的互化 ab＝N
对数恒等式 alogaN＝
对数的性质 ①底的对数等于 ，即logaa＝
②1的对数等于 ，即loga1＝
③零和负数没有对数
常用对数 以10为底的对数，即log10N＝lg N
b＝logaN
N
1
1
零
0
问题1：我们知道am＋n＝am·an，那么logaM·N＝logaM·logaN正确吗？举例说明．
提示：不正确，例如log24＝log22×2＝log22·log22＝1×1＝1，而log24＝2.
问题2：你能推出loga(MN )(M>0，N>0)的表达式吗？
提示：能．
令am＝M，an＝N，∴MN＝am＋n.
由对数的定义知
logaM＝m，logaN＝n，logaMN＝m＋n，
∴logaMN＝logaM＋logaN.
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
已知对数log864，log264，log28，log464，log48.
问题1：对数log864的值与对数log264和log28的值有什么关系？
问题2：对数log864的值与对数log464和log48的值有什么关系？
问题3：由问题1，2你能得出什么结论？
1．换底公式
对数的换底公式：logbN＝ (a，b>0，a，b≠1，N>0)．
2．自然对数
(1)以 为底的对数叫做自然对数，logeN通常记作 ．
(2)自然对数与常用对数的关系：
ln N≈ lg N.
无理数e
ln N
2.302 6
(1)对数式logaN＝b可看做一种记号，表示关于b的方程ab＝N(a>0，a≠1)的解；也可以看做一种运算，即已知底为a(a>0，a≠1)，幂为N，求幂指数的运算.因此，对数式logaN＝b又可看做幂运算的逆运算．
(2)在对数的运算法则中，各个字母都有一定的取值范围(M>0，N>0，a>0，a≠1)，只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立．
[思路点拨] 依据ax＝N x＝logaN(a>0且a≠1)进行转化．
[一点通]
(1)在利用ax＝N x＝logaN(a>0且a≠1)进行互化时，关键是弄清各个字母所在的位置．
(2)对数式与指数式的关系如图：
答案：C
[思路点拨] 解答本题可利用对数的性质及对数恒等式
a logaN＝N来化简求值．
[一点通]
(1)对数的基本性质常用来化简或求值，应用时注意底数的恰当选用．
(2)对数恒等式注意事项：①两底相同，即幂底与对数底相同；②对数的系数必须是1.
3．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③
若10＝lg x，则x＝10；④若e＝ln x，则x＝e2.其中，正确的是 ( )
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
解析：lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x，则x＝1010，③错误；若e＝ln x，则x＝ee，故④错误．
答案：C
答案：C
答案：5
[一点通] 对于底数相同的对数式的化简或求值，常用的方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
6．当a>0，且a≠1时，下列说法正确的是 ( )
A．若M＝N，则logaM＝logaN
B．若logaM＝logaN，则M＝N
C．若logaM2＝logaN2，则M＝N
D．若M＝N，则logaM2＝logaN2
解析：在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．
答案：B
6．2log510＋log50.25＝ ( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：2log510＋log50.25＝log5102＋log50.25＝
log5(100×0.25)＝log525＝2.
答案：C
(1)在指数式与对数式互化中，并非任何指数式都可直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log-39＝2.只有符合a>0，a≠1，且N>0时才有ax＝N x＝lgaN.
(2)利用对数的运算性质解决问题的一般思路：①把复杂的真数化简；②正用公式：对于式中真数的积、商、幂、方根，运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：对于式中对数的和、差、积、商，运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．(共47张PPT)
跟踪演练
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高考八大高频考点例析
考点六
考点五
考点四
考点三
考点二
考点一
考点七
考点八
第2部分
考题印证
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考题印证
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考题印证
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考题印证
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考题印证
考查方式 集合的有关概念的考查重点：一是集合的相关概念以及集合与集合之间的关系，二是考查集合语言、集合思想的理解与应用.常以选择、填空的形式考查，属于低档题.
备考指要 解决这类问题，熟练掌握集合的交、并、补集的概念及性质，学会用数轴或Venn图解决这种问题，注意加强逆向思维能力的培养.
[例1] (2011·浙江高考)若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>－1}，则( )
A．P Q B．Q P
C． RP Q D．Q RP
[解析] ∵P＝{x|x<1}，∴ RP＝{x|x≥1}，
又Q＝{x|x>－1}，∴ RP Q.
[答案] C
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考查方式 集合的交、并、补集运算是高考中的常考内容，常与不等式结合，主要以选择题、填空题的形式考查，属于低档题．
备考指要 解决这类问题，应熟练掌握集合的交、并、补集的概念及性质，学会用数轴或Venn图解决这种问题，注意加强逆向思维能力的培养.
[答案] A
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考查方式 函数是高考考点的一个热点，不仅适合单独命题，而且可以与其他内容结合综合命题．函数及其基本性质是主要内容，其定义域、单调性、奇偶性几乎是每年必考.这些知识与集合、不等式、函数图象等常常交汇出题，既可以是选择、填空，也可以是解答题．
备考指要 熟练掌握函数定义域、值域的基本求法，掌握判断和证明函数的单调性，求单调区间，特别是含参数的函数的单调区间的方法．奇偶性常与对称性及以后学习的周期性结合命题．在备考中，应注重函数与方程、数形结合及等价转化思想的应用.
[答案] D
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考查
方式 函数图象的考查涉及的知识面广，形式灵活，是每年高考必考内容，主要考查函数图象的选择、图象的变换及图象应用，以选择题、填空题的形式出现．
备考
指要 在判断函数图象时，要充分利用特殊点以及图象的对称关系来判断.对于图象的应用，作图要准确，否则结论易出错.
[例4] (2011·陕西高考)函数y＝x 的图象是 ( )
[答案] B
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考查方式 二次函数作为最基本的初等函数，在高考中经常出现，主要考查函数的单调性、奇偶性、最值等性质，有时也与方程、不等式结合，考查形式有选择、填空题，也有解答题．
备考指要 解决二次函数有关的问题，应熟练掌握二次函数的图象和性质，掌握二次函数最值的求法及“三个二次”之间的关系.
[例5] 已知函数f(x)＝x2－4x＋7，则f(4)，f(2)，f(1)的大小关系是 ( )
A．f(2)＜f(4)＜f(1) B．f(1)＜f(2)＜f(4)
C．f(2)＜f(1)＜f(4) D．f(1)＜f(4)＜f(2)
[答案] C
[解析] f(x)＝(x－2)2＋3是对称轴为x＝2，
且开口向上的抛物线，画出图象如图所示，可
知f(1)＝f(3)，且[2，＋∞)为函数的递增区间.
由2＜3＜4，知f(2)＜f(3)＜f(4)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．
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考查
方式 本考点是每年高考的必考内容，主要考查三大函数的图象与性质，同时还经常与其他知识结合综合考查.题型为选择、填空、解答题.从难度上看，容易题、中档题、难题均有可能出现．
备考
指要 1.熟练掌握指数幂、对数及对数的运算性质.
2.熟练掌握三大函数的图象和性质，会运用图象
和性质解决有关问题.
3.注意数形结合、分类讨论思想的灵活运用.
[答案] C
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考查方式 函数与方程是新课标中新增内容，主要考查零点个数的判断及零点所在区间，题型多为选择题．
备考指要 函数y＝f(x)有零点 方程f(x)＝0有实根 函数y＝f(x)的图象与x轴存在交点．在解决函数与方程问题时，要注意这三者之间的关系，在解题中要充分利用这个关系实现问题的转化，同时还要注意使用函数的性质，如函数的单调性、奇偶性等.
[答案] C
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考查方式 函数的实际应用几乎每年的高考题都有所涉及，主要体现在结合实际问题得到相关的函数模型，然后利用函数模型性质求解．题型多样，难度属中等题．
备考指要 应熟悉一些基本初等函数模型，如一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型及分段函数模型，了解它们的广泛应用，并借助实例掌握函数建模的思想及具体实施步骤，重视函数思想的复习，加大函数探索题、开放题和信息题的研究力度.
[例8] (2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
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3.1
指数与指数函数
3.1.1
实数指数幂及其运算
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第三章
基本初等函数(Ⅰ)
知识点一
考点一
考点二
考点三
知识点二
知识点三
初中我们学习了正整数指数幂的运算性质，根据性质思考下列问题．
提示：m，n∈N＋，且m>n.
问题3：你能得出什么结论？
n次幂
底数
指数
3．整数指数幂的运算法则
正整数指数幂的运算法则对整数指数幂的运算仍然成立．
(1)am·an＝ (m，n∈Z)；
(2)(am)n＝ (m，n∈Z)；
(3) ＝ (a≠0，m，n∈Z)；
(4)(ab)m＝ (m∈Z).
am＋n
amn
am－n
am·bm
问题1：4的平方根是什么？8的立方根是什么？
提示：±2，2.
问题2：－4有平方根吗？－4有立方根吗？
提示：没有，有．
问题3：若x4＝16，试想x有几个值？
提示：有两值，为±2.
问题4：若x4＝－9，x存在吗？
提示：不存在．
提示：－8，4.
提示：－2，2.
1．a的n次方根的意义
如果存在实数x，使得xn＝a(a∈R，n>1，n∈N＋)，则x叫做 ．求a的n次方根，叫做把a开n次方，称作开方运算．
a的n次方根
n
a
a
|a|
0
无意义
2．有理指数幂的运算性质
(1)aαaβ＝ (a>0，α，β∈Q)；
(2)(aα)β＝ (a>0，α，β∈Q)；
(3)(ab)α＝ (a>0，b>0，α∈Q)．
aα＋β
aαβ
aαbα
[思路点拨] 将被开方数化为完全平方的形式，结合根式的性质求解．
[一点通]
(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简.化简时，要结合条件分类讨论．
解析：由题意得a－1≥0，即a≥1.
∴原式＝a－1＋|1－a|＋1－a
＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
答案：a－1
[思路点拨] 解决本题的关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性质进行化简．
答案：C
[思路点拨] 直接利用分数指数幂的运算性质求解．
[一点通] 解决此类问题首先要将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解．对化简求值的结果，一般保留为分数指数幂的形式；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序．
答案：A
6．已知a＋a－1＝5，则a2＋a－2＝________．
解析：法一：由a＋a－1＝5两边平方得
a2＋2aa－1＋a－2＝25，
即a2＋a－2＝23.
法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
答案：23
(1)在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分数指数幂，再进行运算．
(2)幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂.若无特殊说明，结果一般用分数指数幂的形式表示．(共35张PPT)
1.1
集合与集合的表示方法
1.1.2
集
合
的
表
示
方
法
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应用创新演练
第一章
集合
知识点一
考点一
考点二
考点三
知识点二
观察下列集合：
(1)中国古代四大发明组成的集合；
(2)20的所有正因数组成的集合；
(3)所有正偶数组成的集合．
问题1：上述三个集合中的元素能分别一一列举出来吗？
提示：(1)(2)能，而(3)不能．
问题2：(3)中的元素你能按规律写出来吗？
提示：能．一般表示为2,4,6，…，2n，….
列举法
常常把集合的 都列举出来，写在
内表示这个集合，这种表示集合的方法叫做列举法
所有元素
花括号
“{ }”
观察下列集合：
(1)不等式x－2≥3的解集；
(2)奇数组成的集合．
问题1：上述两个集合能用列举法表示吗？
提示：不能．
问题2：它们的元素有何特性？
提示：(1)中元素都大于等于5；(2)中元素被2除余1.
问题3：如何表示这两个集合？
提示：把它们的特性写在花括号内，即{x|x≥5}；{x|x＝2n＋1，x∈Z}．
描述法
(1)集合的特征性质
如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x
，而不属于集合A的元素 ，则性质 p(x)叫做集合A的一个特征性质．
(2)特征性质描述法
集合A可以用它的特征性质p(x)描述为 ，它表示集合A是由集合I中 的所有元素构成的．这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法．
都具有性
质p(x)
都不具有性质p(x)
{x∈I|p(x)}
具有性质p(x)
(1) 列举法通常适用于有限集，其优点是可以明确集合中的具体元素及元素的个数．对具有特殊规律的无限集，也可以用列举法．但必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号．
(2)描述法是用集合中元素的特征性质来表示集合，它的一般表示方法是在大括号内竖线左边写上代表元素的字母，竖线的右边是只有集合内的元素才具备的特征性质．
[例1] 用列举法表示下列集合：
(1)小于7的所有正偶数组成的集合；
(2)方程x2＝x的解集．
[思路点拨] (1)中要明确小于7的所有正偶数都有哪些；(2)中要明确方程x2＝x的实数根有哪些．
[精解详析] (1)设小于7的所有正偶数组成的集合为A，又小于7的所有正偶数是2,4,6，故A＝{2,4,6}．
(2)设方程x2＝x的解集为B，解方程x2＝x，得x＝0,1，则B＝{0,1}．
[一点通] 用列举法表示集合时，应明确集合中的元素所满足的特征，然后把集合中的元素一一列举出来，写在“{ }”内，即表示了这个集合，其中“{ }”具有“所有”“整体”的含义．
1．集合A＝{(1,2)，(0,3)}中共有________个元素．
答案：2
2．用列举法表示集合A＝{x|－2答案：{－1,0,1,2}
3．用列举法表示下列集合：
(1)M＝{x|(x－2)2(x－3)＝0}；
(2)P＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
(3)Q＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．
[例2] 用描述法表示下列集合：
(1)正奇数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
[思路点拨] 用描述法表示集合时要先确定集合中元素的特征，再给出其满足的性质．
[精解详析] (1){x|x＝2n－1，n∈N＋}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
[一点通]
(1)用特征描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集，还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一对有序数对来表示．
(2)描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围，如(1)、(2)小题．
4．已知A＝{x|3－3x>0}，则有 ( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1 A
解析：A＝{x|3－3x>0}＝{x|x<1}，∴0∈A.
答案：C
5．集合{2,4,6,8,10,12}用描述法表示为________．
答案：{x|x＝2n，n∈N＋，且n≤6}
[思路点拨] 先明确集合中元素的特点，再选择适当的方法来表示．
[一点通] 寻找适当的方法来表示集合时，应该“先定元，再定性”．一般情况下，元素个数无限的集合不宜采用列举法，因为不能将元素一一列举出来，而描述法既适合元素个数无限的集合，也适合元素个数有限的集合．
7．用适当的方法表示下列集合：
(1)集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
8．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程x2－x－2＝0的解集；
(2)大于1且小于5的所有整数构成的集合．
解：(1)设方程x2－x－2＝0的实数根为x，则x满足条件x2－x－2＝0，因此用描述法表示为{x∈R|x2－x－2＝0}．方程x2－x－2＝0有两个不相等的实数根，为－1和2，故用列举法表示为{－1,2}． (2)设大于1且小于5的整数为x，则x满足条件x∈Z，且13.3
幂
函
数
把握热点考向
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第三章
基本初等函数(Ⅰ)
考点一
考点二
理解教材新知
知识点一
知识点二
考点三
问题1：函数y＝2x，y＝x3是指数函数吗？
提示：y＝2x是指数函数，而y＝x3不是指数函数．
问题2：函数y＝x3中自变量有什么特点？
提示：自变量在底数的位置．
问题3：再举出几个这样的函数．
提示：y＝x2，y＝x，y＝x－1.
形如 的函数称为幂函数，其中 为常数.
y＝xα(α∈R)
α
在同一坐标系下，作出幂函数 y＝x，y＝x ，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象，如图所示：
问题1：在第一象限，图象有何特点？
提示：都过点(1，1)，只有y＝x－1随x增大而减小，但不与x轴相交，其他的都随x增大而增大．
问题2：这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇
非奇非偶
奇
偶
奇
函数
性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
单调性 x∈[0，＋∞) 时， x∈(0，＋∞) 时，
x∈(－∞，0] 时， x∈(－∞，0) 时，
公共点 (1，1)
增
增
减
增
增
减
减
(1)幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数；而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．
(2)幂函数的指数的变化规律：
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小．
[例1] 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时， f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
[思路点拨] 首先根据幂函数的定义确定幂的系数为1，其次根据性质确定m的值，进而得解．
[精解详析] 根据幂函数定义得
m2－m－1＝1, 解得m＝2 或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x3，在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．
故f(x)＝x3.
[一点通] 幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．
答案：①④
2．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1.m为何值时， f(x)
是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？
[思路点拨] 利用幂函数的图象与指数的变化规律解决．
[答案] B
3．幂函数y＝xα(α∈R)的图象一定不经过 ( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
解析：幂函数的形式决定了：当x>0时，y不可能为负.
∴图象不可能经过第四象限．
答案：A
分别作出它们的图象，如图所示．
由图象知，
当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，
f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0，1)时，f(x)[思路点拨] 由单调性可知p－3<0.由图象关于y轴对称可知p－3为偶数，又p∈N＋，故可确定p的值，再利用单调性解关于a的不等式，求a的范围．
[精解详析] ∵函数y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数，
∴p－3<0，即p<3.? (2分)
又∵p∈N＋，∴p＝1或2.? (3分)
∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，
∴p－3是偶数，∴p＝1，即y＝x－2，? (6分)
[一点通] 由f(x1)解析：先判断在(0，＋∞)上的单调性，再利用奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数单调性相反判断在(－∞，0)上的单调性．
答案：C
答案：A
简单幂函数的性质：
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．(共42张PPT)
3.2
对数与对数函数
3.2.2
对
数
函
数
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第三章
基本初等函数(Ⅰ)
考点一
考点二
理解教材新知
知识点一
知识点二
考点三
在前面我们讲过了指数函数：y＝ax(a>0，且a≠1).
问题1：将指数式化成对数式得到什么？
提示：x＝logay.
问题2：在上述关系中，以y代替x，以x代替y得到什么关系？
提示：y＝logax.
对数函数的概念
函数 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 .
y＝logax(a＞0，且a≠1)
x
(0，＋∞)
提示：
问题2：两图象与x轴交点坐标是什么？
提示：交点坐标为(1，0)．
问题3：两函数单调性如何？
问题4：函数y＝2x与y＝log2x的图象有什么关系？定义域、值域有什么关系？
提示：图象关于直线y＝x对称，定义域和值域互换．
图像
性
质 定义域：
值域：
过点 ，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是
(0，＋∞)
R
(1，0)
增函数
减函数
a＞1 0＜a＜1
对数函数的图象与性质
[思路点拨] 求与对数有关的函数的定义域，除考虑使根式、分式有意义外，还要考虑使对数有意义，即真数大于零，底数大于零且不等于1.
[一点通] 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，与对数函数有关的定义域问题的求解要注意对数的定义.若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
答案：A
答案：B
[例2] 作出函数y＝lg|x|的图象，由图象判断其奇偶性，并求出f(x)>0的解集．
[思路点拨] 先去掉绝对值符号，画出y轴右边的图，再由对称性作出另一部分，最后结合图象求解集．
[一点通]
(1)作函数图象的基本方法是列表描点法．另外，对形如y＝f(|x|)的函数可先作出y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，再作关于y轴对称的图象，即可得到y＝f(|x|)的对于函数．y＝|f(x)|，可先作出y＝f(x)的图象，然后x轴上方的不动，下方的关于x轴翻折上去即可得到y＝|f(x)|的图象．
(2)如果只需要作出函数的大致图象，可采用图象变换的方法．
4．函数y＝|lg(x－1)|的图象是 ( )
答案：C
答案：A
[例3] (12分)比较下列各组数的大小：
(1)log2π与log20.9；
(2)log20.3与log0.20.3；
(3)log0.76，0.76与60.7；
(4)log20.4，log30.4.
[思路点拨] 观察各组数的特征，利用对数单调性比较大小．
[精解详析] (1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，π>0.9，所以log2π>log20.9.? (3分)
(2)因为log20.3log0.21＝0，
所以log20.3(3)因为60.7>60＝1，0<0.76<0.70＝1，
又log0.760.76>log0.76.? (9分)
(4)底数不同，但真数相同，根据y
＝logax的图象在a>1，0图象越靠近x轴，如图所示，知log30.4>log20.4.? (12分)
[一点通] 利用函数的单调性可进行对数大小的比较，常用的方法有：
(1)同底数的两个对数值的大小比较，由对数函数的单调性比较；
(2)底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常用引入中间变量法比较，通常取中间量为－1，0，1等．
(3)底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常用数形结合思想来解决；也可用换底公式化为同底，再进行比较．
6．若a＝log0.23，b＝log0.2e，c＝log0.20.3，则 ( )
A．a>b>c B．aC．a>c>b D．c>a>b
解析：∵0.3b>a.
答案：B
答案：C
(1)函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响
①上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a 越大，图象向右越靠近x轴；0②左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
(2)对数函数的单调性与底数的大小有关系，因此讨论对数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与对数函数有关的函数的单调性往往也与底数有关系，其解决依据就是函数单调性的定义．(共34张PPT)
2.2
一次
函数
和二次函数
2.2.1
一次函数的性质与图象
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第二章
函数
考点一
考点二
考点三
已知函数y＝x＋1，y＝2x，y＝－x＋1.
问题1：上述三个函数自变量是什么？其次数是多少？
提示：自变量是x，一次．
问题2：你能作出它们的图象吗？图象有何特点？
提示：能，如图，图象都为直线．
问题3：观察所作图象，试说明上述函数的单调性．
提示：函数y＝x＋1，y＝2x为增函数，函数y＝－x＋1为减函数．
1．一次函数的概念
函数 叫做一次函数，又叫做 函数.它的定义域为 ，值域为 .
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是直线，其中k叫做该直线的 ，b叫做该直线在y轴上的 ．
y＝kx＋b(k≠0)
线性
斜率
截距
R
R
2．一次函数的性质
(1)函数值的改变量Δy＝y2－y1与自变量的改变量Δx＝x2－x1的比值等于常数k.k的大小表示 ．
(2)当 时，一次函数是增函数；当 时，一次函数是减函数．
(3)当 时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当
时，它既不是奇函数也不是偶函数．
(4)直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴的交点为 ，与y轴的交点为 ．
直线与x轴的倾斜程度
k>0
k<0
b＝0
b≠0
(0，b)
(1)注意k≠0这一条件，当k＝0时，函数为y＝b，它不再是一次函数，其函数图象是平行于x轴或与x轴重合的一条直线．
(2)b为任意的常数.特别地，当b＝0时，函数y＝kx(k≠0)为正比例函数．
[例1] 已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，试求m为何值时，
(1)这个函数为正比例函数；
(2)这个函数为一次函数；
(3)函数值y随x的增大而减小．
[思路点拨] 对于函数y＝kx＋b，当k≠0且b＝0时为正比例函数；当k≠0时，为一次函数；当k<0时，函数值y随x的增大而减小．
[一点通] 函数y＝kxa＋b，当a＝1，k≠0时，为一次函数；当a＝1，k≠0，b＝0时，为正比例函数．
答案：①⑤ ①②③⑤
2．已知y＝(α＋1)xα－1＋2是一次函数，则α＝________.
答案：2
[例2] 画出函数y＝3x＋12的图象，利用图象求：
(1)方程3x＋12＝0的解；
(2)不等式3x＋12>0的解集；
(3)当y≤12时，x的取值范围．
[思路点拨] 求出函数图像与x，y轴的交点坐标，画出函数图象，然后根据函数图象，借助数形结合，就可以解决上述问题．
[精解详析] 由函数y＝3x＋12可知，当x＝0时，y＝12，当y＝0时，x＝－4，所以直线y=3x+12与x轴、y轴的交点坐标分别为(－4,0)，(0,12)．
函数图象如图所示：
(1)图像与x轴交点的横坐标是方程3x＋12＝0的解，即x＝－4.
(2)当x>－4时，函数图象位于x轴的上方，所以不等式3x＋12>0的解集为{x|x>－4}．
(3)由图象可知，直线与y轴交点的坐标是
(0,12)，所以y≤12时x的取值范围{x|x≤0}．
[一点通]
(1)作一次函数图象时，常取直线与坐标轴的交点连线．
(2)若图象在x轴的上方，则对应的函数值大于0，反之，则函数值小于0.
3.如果一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限，
那么 ( )
A．k>0，b>0
B．k>0，b<0
C．k<0，b>0
D．k<0，b<0
解析：由图象可以看出：y随x的增大而增大，所以k>0；直线与y轴的交点在负半轴上，所以b<0.
答案：B
4．已知一次函数的图象经过点A(－3,4)，B(－1,2)．
(1)求这个一次函数的解析式，并画出图;
(2)求△AOB的面积（O为坐标原点）．
[例3] (12分)已知f(x)为一次函数且满足4f(1－x)－2f(x－1)＝3x＋18，求函数f(x)在[－1,1]上的最大值，并比较f(2 012)和f(2 013)的大小．
[思路点拨] 首先用待定系数法求解析式，再研究其性质．
[一点通] 一次函数的值域或一次函数的最大值、最小值，常利用一次函数的单调性来求解．求一次函数的解析式时，待定系数法是常用的方法．
答案：(6，＋∞)
6．已知一次函数y＝(a＋1)xa2－3＋b是奇函数，且在定义
域R内单调递减，求a，b的值．
解：因为函数是一次函数，所以a2－3＝1，解得a＝±2.又一次函数是减函数，所以a＋1<0，即a＝－2.
因为一次函数是奇函数，其图象过坐标原点，故b＝0.
(1)一次函数y＝kx＋b的图像与y轴的交点为(0，b)，当b>0时，此交点在y轴的正半轴上；当b<0时，此交点在y轴的负半轴上；当b＝0时，此交点为原点．
(2)一次函数y＝kx＋b具有单调性，当k>0时，一次函数是增函数；当k<0时，一次函数为减函数．(共50张PPT)
第一课时
变量与函数的概念
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第二章
函数
知识点一
考点一
考点二
考点三
知识点二
考点四
2.1
函 数
2.1.1
函
数
2.1.1 函数
提示：t是自变量，s是因变量．
问题2：时间t(0≤t≤3)确定后下落的距离s确定吗？
提示：确定．
问题3：对于一个时间t，下落的距离s是否唯一？
提示：唯一．
问题4：时间t和物体下落的距离s有何限制？
提示：0≤t≤3，0≤s≤44.1.
1．函数的定义
设集合A是一个 的数集，对A中的 ，按照确定的法则f，都有 数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作
．函数y＝f(x)也经常写作 ．
非空
任意数x
唯一确定的
y＝f(x)，
x∈A
函数f或函数f(x)
2．函数的定义域与值域
在函数y＝f(x)，x∈A中， 叫做自变量， 取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的 ，记作 ．所有函数值构成的集合 ，
叫做这个函数的值域．
自变量
x
函数值
y＝f(a)或y|x＝a
{y|y＝f(x)
x∈A}
名称 定义 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b}
{x|a{x|a≤x{x|a1．区间定义及表示
设a，b是两个实数，而且a闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
2．无穷区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号
(－∞，
＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
(1) 函数定义的理解
①A是非空数集，②法则f是确定的，③A中每一个x值都有唯一的y值与之对应．
(2) 函数符号y＝f(x)表示y是x的函数.符号“f”可以看做对x施加的某种法则(或运算).它可以是解析式，也可以是图象或表格．
[思路点拨] 判断一个对应是否是函数，要从以下两个方面着手：①A是非空数集；②A中任意一个数x按照确定的法则f，在B中都有唯一确定的数y与之对应．
[精解详析]
序号 是否是
函数 原因分析
(1) 否 A中元素0在B中无元素与之对应
(2) 是 同时满足任意性和唯一性
(3) 否 A中某些元素如－2在B中无元素与之对应
(4) 否 A中某些元素如4在B中有两个元素与之对应
[一点通] 判断某一对应是否为函数的方法：
判断从集合A到集合B的对应法则是否为函数，一定要以函数概念为准则．要注意对应法则对于A中元素是否有意义，同时要注意特殊值的分析．
答案：D
[思路点拨] 将x分别赋值，代入函数解析式化简即可．
[一点通]
(1)在函数y＝f(x)中，x为自变量，f为对应关系，f(x)是对应关系f下x对应的函数值，所以求函数值时，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)替换后进行计算即可；
(2)求f[f(x)]时，一般应遵循由里到外的原则．
答案：－1
[思路点拨]
[一点通]
(1)当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形 ：
①负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；
②分式中分母不能为0；
③零次幂的底数不为0；
④如果f(x)是由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；
⑤如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．
(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题.注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示(这是与初中的不同之处)．
A．[2,3) B．(3，＋∞)
C．[2,3)∪(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)
答案：C
[思路点拨] 求值域的方法很多：①利用解析式逐个求；②用直接法；③分离常数后，逐步求出；④利用二次函数求．
(4) y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.? (10分)
∵－1≤x≤2，∴0≤x＋1≤3，∴0≤(x＋1)2≤9. (11分)
∴－5≤－(x＋1)2＋4≤4.
∴函数的值域为[－5,4]．? (12分)
[一点通] 求函数值域的方法及注意事项:
求函数值域应首先确定定义域，由定义域及对应法则确定函数的值域．对一些简单的函数，可用观察法直接求解；对于二次函数，常用配方法求值域；对于分式类型的函数，可采用分离常数法求解；对于带根号的函数，常用换元法求值域，要注意换元前后变量的取值范围．
答案：[1，＋∞)
解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，∵f(－1)＝5，
f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，
∴这个函数的值域为{1,2,5}．
(2)函数的定义域为R，∵(x－1)2＋1≥1，
∴这个函数的值域为{y|y≥1}．
(1)对函数相等的理解
①函数有三个要素：定义域、值域、对应关系．函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个 函数才是同一个函数．
②定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数的对应关系不一定相同，如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．
(2)区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合，如{x|a章末
小结
知识整合与阶段检测
核心要点归纳
阶段质量检测
1．关于函数的概念
(1)函数的定义
设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照某种确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．因为函数的值域被定义域和对应法则完全确定，所以确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应法则．
(2)对应法则f可以是解析式、表格、图象，对应函数的三种表示方法——解析法、列表法、图象法．
(3)求定义域的四个准则：①分式中分母不为零；②偶次根式中被开方式非负；③x0中x≠0；④解析式由几个式子构成时，定义域是使各个式子有意义的自变量取值集合的交集．
(4)求函数值域常用的方法有：①配方法；②分离常数法；③图像法；④换元法；⑤单调性法；⑥判别式法等．
(5)分段函数是一个函数，而它的对应法则表现为多个，依据自变量的取值区间来分段．定义域是各取值区间的并集，值域是各段函数值取值区间的并集．
(6)函数的解析式
函数的解析式是函数的一种表示方法.求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．
求函数解析式的主要方法有：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出f(x)．
2．函数的性质
(1)函数的单调性
①设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M A.
如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1＞0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)＞0(＜0)时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增(减)函数．
②如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．
③若函数y＝f(x)在[a，b]上递增，则f(a)、f(b)分别为y＝f(x)在[a，b]上的最小值、最大值；若函数y＝f(x)在[a，b]上递减，则f(a)、f(b)分别为y＝f(x)在[a，b]上的最大值、最小值．
(2)函数的奇偶性
①设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，则这个函数叫做奇(或偶)函数．
②奇偶函数图象特点：
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的对称图形，则这个函数是偶函数．
3．二次函数
二次函数解析式的三种形式：
①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中(－h，k)为顶点；
③两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中(x1,0)，(x2,0)是函数的图象与x轴的两个交点坐标，并且只有抛物线与x轴有交点时才可写出两根式．
(2)研究二次函数的性质，主要包括图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值．
4．函数的应用举例(实际问题的解法)
解决应用问题的一般程序
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识建模型；
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论；
(4)还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的结果．
求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为
5．函数与方程
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根.从图象上来看，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．(共41张PPT)
1.1
集合与集合的表示方法
1.1.1
集
合
的
概
念
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第一章
集合
知识点一
考点一
考点二
考点三
知识点二
知识点三
观察下面的语句：
(1)高一(1)班的全体女生；
(2)方程x2－4＝0的所有实数根；
(3)2012年参加伦敦奥运会的所有代表团；
(4)高一(2)班的所有高个子男生；
(5)某中学里所有较胖的同学．
问题1：上面语句中的女生、实数根、代表团、高个子男生、较胖的同学哪些是确定的？
提示：女生、实数根、代表团．
问题2：以上语句中为什么有的不能确定？
提示：高个子男生、较胖的同学标准无法确定．
1．集合
一般地，把一些能够 对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的 构成的集合(或集)．
确定的不同的
全体
2．元素
构成集合的 叫做这个集合的元素(或成员)．
3．元素与集合的符号表示
4．空集
不含有 的集合叫空集，作 .
每个对象
任何元素
A，B，C，…
a，b，c，…
某中学2012级高一年级20个班构成一集合．
问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合的元素吗？
提示：是这个集合的元素．
问题2：高二(3)班是这个集合的元素吗？为什么？
提示：不是．高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素．
元素与集合的关系
(1)如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作 .
(2)如果a不是集合A的元素，就说a 集合A，记作 .
属于
a∈A
不属于
a A
问题1：我们知道你班的学生组成一个集合，试想，你班的每一位学生确定吗？
提示：确定．
问题2：在你班有两位相同的学生吗？
提示：没有．
问题3：你班的学生可数吗？
提示：可数．
问题4：试举一个元素不可数的集合．
提示：自然数集．
1．集合元素的三个特性
特性 意义
确定性 元素与集合的关系是 ，即给定元素a和集合A，a∈A与a A必居其一
互异性 集合中的元素一定是 ，即a∈A且b∈A时，必有a≠b
无序性 集合中的元素是没有顺序的
确定的
不同的
无限集
有限集
3．常用的数集及其记法
常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理
数集 实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R
(1)一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非其中的一部分．例如，对于集合N＋，就是指所有不小于1的整数．
(2)元素与集合之间为从属关系.对任意的元素a与集合A，在“a∈A”与“a A”这两种情况中必有一种且只有一种成立．
[例1] 考察下列每组对象能否组成一个集合.
(1)2012年奥运会所有比赛项目；
(2)2010年上海世博会的所有漂亮展馆；
(3)参加2012年五四青年节联欢晚会的所有同学；
(4)直角坐标系中，接近原点的点．
[思路点拨] 根据本题所列举的元素是否具有确定的属性来判断．
[精解详析] (1)中“所有比赛项目”，(3)“所有同学”，都有确定的“属性”，能组成集合．
(2)中“漂亮展馆” ，没有明确的标准，(4)中“接近原点”，界限不明，都不能组成集合．
综上可知，(1)(3)能组成集合，(2)(4)不能组成集合．
[一点通] 判断一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象．若鉴定对象的客观标准是明确的，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合．
1．具有下列性质的对象能否构成集合？
(1)9以内的正偶数；
(2)年龄较大的学生；
(3)16岁以下的高一学生；
(4)比3大1的负数；
(5)数组1,2,3,1.
解：(2)中 “年龄较大”的标准不明确，即元素不确定，所以不能构成集合．对于(1)(3)(4)(5)，其中的对象都是确定的，可以构成集合．
2．下列对象能否构成集合？若能构成集合，则集合中的
元素是什么？集合中有多少个元素？
(1)所有的直角三角形；
(2)到一个角的两边的距离相等的所有点；
(3)本校高一学生(420名)；
(4)本班第一小组12人中共有5个姓氏，即李、陈、黄、张、王；
(5)book中的字母．
解：每组对象都能构成集合．
(1)集合中的元素是直角三角形，有无数多个．
(2)集合中的元素是点，有无数多个．
(3)集合中的元素是学生，有420个．
(4)集合中的元素是姓氏，有5个．
(5)集合中的元素是字母，有3个.
[思路点拨] 应明确集合的含义，集合的元素是什么．
[答案] (1) ∈ (2)∈ ∈
[一点通] 判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．
答案：B
4．设不等式3－2x<0的解集为M，下列判断关系正确的是 ( )
A．0∈M,2∈M B．0 M,2∈M
C．0∈M,2 M D．0 M,2 M
解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0 M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.
答案：B
[例3] (12分)已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．
[思路点拨] 本题中已知集合A中有两个元素且1∈A，根据集合中元素的特点需分a＝1或a2＝1两种情况，另外还要注意集合中元素的互异性．
[精解详析] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. (4分)
当a＝1时，a＝a2，集合A有一个元素，
∴a≠1. (7分)
当a＝－1时，
集合A含有两个元素1，－1，符合互异性． (10分)
∴a＝－1. (12分)
[一点通] 根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
5．若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一
定不是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：集合中的任何两个元素是不能相同的，所以a，b，c不相等．
答案：D
6．设A是满足x<6的所有自然数组成的集合，若a∈A，且
3a∈A，则a的值为________．
解析：∵a∈A且3a∈A，
∴a<6且3a<6，∴a<2.
又a是自然数，∴a＝0或1.
答案：0或1
(1)判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定.若元素不确定，则不能构成集合．
(2)集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a A，两者必居其一．这也是判断一组对象能否构成集合的依据．
(3)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性．(共38张PPT)
2.4
函数与方程
把握热点考向
应用创新演练
第二章
函数
考点一
考点二
考点三
2.4.1
函
数
的
零
点
理解教材新知
给定一元二次函数y＝x2＋2x－3，其图象如下：
问题1：方程x2＋2x－3＝0的根是什么？
提示：方程的根为－3,1.
问题2：函数的图象与x轴的交点是什么？
提示：交点为(－3,0)，(1,0)．
问题3：方程的根与交点的横坐标有什么关系？
提示：相等．
问题4：通过图象观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？
提示：在每一交点两侧函数值符号异号．
1．函数的零点：
如果函数y＝f(x)在实数α处的值 ，即 ，则 叫做这个函数的零点.在坐标系中表示图象与x轴的公共点是 ．
等于零
f(α)＝0
α
(α，0)
2．二次函数的零点与相应二次方程根的关系
判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像
(1)并非所有的函数都有零点，若函数y＝f(x)有零点，则零点一定在函数定义域内．
(2)函数的零点其实就是函数y＝f(x)图像与x轴交点的横坐标，函数的零点不是点，而是一个实数．
(3)若c是函数y＝f(x)的零点，则一定有f(c)＝0.
[例1] 求下列函数的零点：
(1)f(x)＝－x2－2x＋3；
(2)f(x)＝x4－1.
[思路点拨] 根据函数零点与相应方程的根之间的关系知，求函数的零点就是求相应方程的根．
[精解详析] (1)∵f(x)＝－x2－2x＋3
＝－(x＋3)(x－1)，
∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1.
故函数的零点是－3,1.
(2)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，
∴方程x4－1＝0的实数根是－1或1.
故函数的零点是－1,1.
[一点通] 函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：对于不能用求根公式求解的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点．
1．若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax
的零点是________．
解析：∵f(x)＝ax－b的零点是3，
∴f(3)＝0，即3a－b＝0，也就是b＝3a.
∴g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)．
∴g(x)的零点为－1,0.
答案：－1,0
2．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝x3－x2＋x－1；
(2)f(x)＝x4－2x2－3.
[思路点拨] 由y＝f(x)与x轴公共点的个数或方程f(x)＝0的实数根的个数来判断函数零点的个数．
[一点通] 判断函数零点个数的主要方法：
(1)转化为解相应方程，有几个根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)的符号，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点问题．
答案：C
解：(1)由f(x)＝0，得
x2－7x＋12＝0.
Δ＝49－4×12＝1>0，
∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.
∴函数f(x)有两个零点，分别是3,4.
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且ac<0，判断函数零
点的个数．
解：法一：∵ac<0，
∴Δ＝b2－4ac>0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，
所以二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．
[例3] (10分)已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围．
[思路点拨] 根据二次方程根的分布画出相应的函数图象，数形结合建立关于a的不等式组．
[一点通] 解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．
6．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为
________．
答案：(－1,0)
7．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．
（ 1 ）函数是否有零点是针对相应方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．反映在图象上就是函数图象与x轴无交点，如函数y＝1，y＝x2＋1就没有零点．
（ 2 ）判断函数的零点，可利用的结论：
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．(共12张PPT)
第
一
章
集合
章末
小结
知识整合与阶段检测
核心要点归纳
阶段质量检测
1．集合的基本概念
(1)集合的含义：
把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合．
常用数集：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.
(2)元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号∈表示)和不属于(用符号 表示)，如a∈A，a B等．
(3)集合中元素的特征．
①确定性：集合中的元素必须是确定的．任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素.
②互异性：集合中的任意两个元素都是不相同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现．
③无序性：集合与组成它的元素的顺序无关，如集合{1,2,3}与{3,1,2}是同一个集合．
(4)集合的表示法.
集合有四种表示方法：自然语言表示法、列举法、描述法和Venn图法．一般利用列举法和描述法表示集合，它们各有特点．
(2)子集具有以下性质：
①A A，即任何一个集合都是它本身的子集．
②如果A B，B A，那么A＝B.
③如果A B，B C，那么A C.
④如果A?B，B?C，那么A?C.
3．集合的运算
(1)交集：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B.
(2)并集：对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，
(3)补集：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作 UA.
交集 ①A∩A＝A ②A∩ ＝
③(A∩B) A ④(A∩B) B
并集 ①A∪A＝A ②A∪ ＝A
③A (A∪B) ④B (A∪B)
补集 ①A∩ UA＝
②A∪ UA＝U
(4)运算性质：
(5)常用重要结论：
①若A B，B C，则A C；
若A?B，B?C，则A?C.
②A∩B＝A A B；
A∪B＝A A B.