2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册第四章 对数运算与对数函数 章末综合复习测评卷（word含答案）

第四章 对数运算与对数函数 期末综合复习测评卷
一、单选题
1．计算的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
5．设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
6．若，则x的取值范围是
A． B．
C． D．
7．在同一直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域为，，若存在实数，，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知定义在上的偶函数在上单调递减，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知为定义在R上的偶函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（ ）
A．
B．函数在定义域上是周期为2的函数
C．直线与函数的图象有2个交点
D．函数的值域为
12．对于函数定义域中任意的，有如下结论，当时，上述结论中正确结论的序号是（ ）
A． B．
C．＞0 D．
三、填空题
13．函数在区间[1，2]上的最大值为______．
14．已知函数，则_______．
15．关于函数的下列命题：
①函数的图象关于y轴对称；
②函数的最小值为；
③当时，是增函数；当时，是减函数；
④在上是增函数；
⑤无最大值，也无最小值．
其中正确命题的序号是_________．
16．已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是______.
四、解答题
17．已知函数（），记．
（1）解不等式；
（2）设k为实数，若存在实数时，使得成立，求k的取值范围．
18．已知在函数的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标依次为t，，，其中.
（1）设的面积为S，求S关于t的解析式；
（2）判断函数的单调性；
（3）求的最大值.
19．已知函数的表达式为
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最小值为，求实数a的值．
20．已知函数是偶函数，且当时，（，且）.
（1）求当时，的解析式；
（2）若在区间上恒有，求的取值范围.
21．已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）．
（1）求实数m的值，并写出区间D；
（2）若底数a满足，试判断函数在定义域D内的单调性，并说明理由；
（3）当（，a是底数）时，函数值组成的集合为，求实数a、b的值．
22．已知函数.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）设，函数.
（i）若，证明：；
（ii）若，求的最大值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【分析】
由对数的换底公式和对数的运算性质化简求值.
【解析】.
故选：D.
2．B
【分析】
由对数函数性质得，然后用换底公式计算得其范围后可得结论．
【解析】因为，，,
所以，，
所以，所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查对数函数的性质，考查换底公式、对数的运算，掌握不等式的性质是解题关键．
3．A
【分析】
将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【解析】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】
本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
4．C
【分析】
将代入函数结合求得即可得解.
【解析】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
5．D
【分析】
根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
6．B
【分析】
根据对数概念转化对数方程，结合限制条件列不等式组，解得结果.
【解析】且
故选：B
【点睛】
本题考查对数方程、对数概念，考查基本分析化简求解能力，属基础题.
7．C
【分析】
分和两种情况分析这两个函数的单调性，进而得出结论.
【解析】当时，函数在上单调递减且是曲线，向下平移一个单位长度得，排除A，B，C，D，没有符合题意的;
当时，函数在上单调递增且是曲线，向下平移一个单位长度得，排除B，当时，，排除D.
此时，函数（且）在上单调递增，排除A.
故选：C.
【点睛】
本题考查指数型函数和对数函数图象的识别，要注意对底数的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于基础题.
8．D
【分析】
由已知求得函数定义域，得到函数的解析式，然后化简，
得，最后换元后利用配方法求得函数最值求解
【解析】的定义域为，由，解得，
的定义域为，
，
令，，，则,
当时为增函数 ,，，
存在实数, 使得，
即，解得
故选：D
【点睛】
本题考查不等式的有解问题，化简得①，第一个难点在于通过令，把①换元为
第二个难点在于通过换元把题目的条件转化成式子来进行求解，属于难题
9．AD
【分析】
先利用基本函数的单调性判定函数的单调性，进而判定、的取值范围，再利用函数和的单调性及判定和的大小，再利用指数函数和对数函数的图象的对称性判定.
【解析】因为、、在其定义域内都是增函数，
所以、在其定义域内都是增函数.
因为，，
且，所以，
又，，
且，所以，
所以，即选项A错误；
因为，函数、在其定义域内均为增函数，
所以，
所以，
即选项B正确，选项D错误；
令，，
则，，
由于，的图象都和直线相交（如图所示），
且函数和函数的图象关于直线对称，
直线和直线的交点为，
所以，即，即选项C正确.
故选：AD.
10．ACD
【分析】
先利用函数的奇偶性的定义求出值，再逐一验证具体函数的奇偶性和单调性.
【解析】因为是上的偶函数，
所以，解得，
即在上是偶函数，且在上单调递减.
对于A：因为为偶函数，
且在上单调递减，即选项A正确；
对于B：因为为偶函数，
且在上单调递增，即选项B错误；
对于C：因为为偶函数，
且在上单调递减，即选项C正确；
对于D：因为为偶函数，
且在上单调递减，即选项D正确.
故选：ACD.
11．AD
【分析】
根据已知条件中函数是偶函数且时，有以及时，，画出函数图象，逐一分析四个结论的真假，可得答案.
【解析】当时，有，
时，是周期为2的函数，且为定义在R上的偶函数，
故图象如图
， ，
，故选项A正确.
由图知，所以函数在定义域上不是周期为2的函数，故选项B错误.
由图知直线与函数的图象有1个交点，故选项C错误.
函数的值域为，故选项D正确.
故选：AD.
12．BC
【分析】
由对数的运算性质判断A，B，由对数函数的单调性判断C，由对数的运算结合基本不等式判断D．
【解析】对于A，，即，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，在定义域中单调递增，，故C正确；
对于D，，利用基本不等式知，又，则，故D错误；
故选：BC
【点睛】
关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即，利用对数的运算结合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
13．##
【分析】
首先判断函数的单调性，即可求出函数的最大值；
【解析】解：因为、、在上都为增函数，所以在上单调递增，所以当时取得最大值，即
故答案为：
14．
【分析】
首先计算，从而得到，即可得到答案.
【解析】因为，
所以.
故答案为：
15．①②④
【分析】
对①，根据题意得到函数为偶函数，从而判断①正确；对②，利用基本不等式得到函数的最小值为，从而判断②正确；对③，利用复合函数的单调性即可判断③错误；对④，根据③和偶函数性质即可判断④正确；对⑤，由②可知⑤错误.
【解析】对①，，定义域为，
，
所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确.
对②， ，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为，故②正确.
对③，时，，
令，设任意，
.
当时，，所以为减函数，
当时，，所以为增函数，
所以在为减函数，在为增函数，故③错误.
对④，因为函数在为减函数，在为增函数，
又因为函数为偶函数，
所以在，上是增函数，故④正确.
对⑤，由②知，函数的最小值为，故⑤错误.
故答案为：①②④
16．
【分析】
求出函数在区间上的值域为，由题意可知，由，可得出，由题意知，函数在区间上的值域包含，然后对分、、三种情况分类讨论，求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式（组），解出即可.
【解析】由于函数在上的减函数，则，即，
所以，函数在区间上的值域为.
对于函数，内层函数为，外层函数为.
令，得.
由题意可知，函数在区间上的值域包含.
函数的图象开口向上，对称轴为直线.
（i）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即，
此时，函数在区间上的值域为，
由题意可得，解得，此时，；
（ii）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即，
此时，函数在区间上的值域为，
由题意可得，解得或，此时；
（iii）当时，函数在区间上单调递减，则，，则函数在区间上的值域为，
由题意可得，解得，此时，.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查指数函数与对数函数的综合问题，根据任意性和存在性将问题转化为两个函数值域的包含关系是解题的关键，在处理二次函数的值域问题时，要分析对称轴与区间的位置关系，考查分类讨论思想、化归与转化思想的应用，属于难题.
17．
（1）
（2）
【分析】
（1）把转化为，即，利用单调性即可解得；
（2）存在实数，使得成立，设，转化为，设，，则，利用单调性求出y的范围，即可求出k的范围.
（1）
函数，，即，
即，即，解得，
所以的解集为．
（2）
存在实数，使得成立，
即，
设，此函数在上单调递增，可得，
，即，则，
设，，则有，在上单调递增，可得，
即．
18．
（1）（）
（2）减函数
（3）
【分析】
(1)根据图像得到：三角形的面积=梯形的面积梯形的面积梯形的面积，代入点坐标，从而得到面积表达式；（2）根据复合函数单调性的法则，得到结果；（3）由（2）的结论，可知函数在时取到最大值，从而得到的最大值是.
（1）
作出函数的图象如图所示，A，B，C三点的坐标分别为，，，分别过A，B，C三点向x轴作垂线，垂足分别为E，F，N，
则的面积=梯形的面积梯形的面积梯形的面积
，
即（）.
（2）
（）是复合函数，其外层是一个增函数，
当时，内层是一个减函数，故函数（）是一个减函数.
（3）
由（2）的结论，可知函数在时取到最大值，，
故的最大值是.
19．
（1）
（2）
【分析】
（1）根据对数函数的真数大于零列不等式组，解不等式组即可求得函数的定义域；
（2）根据对数的运算法则化简函数的解析式，利用对数函数的单调性，求出函数的最小值，列出关于的方程，解出即可.
（1）
令，
解得，
所以函数的定义域为．
（2）
，令．
当时，，等号当且仅当时成立．
又，所以对数函数在区间上为严格减函数．
因此，当，即时，函数取到最小值．
由题意，可知，解得．
20．
（1）（，且）
（2）
【分析】
（1）设，则，再由函数为偶函数这一条件得到，从而得到结果；（2）对参数分类讨论，时不合题意；当时，因为函数是偶函数故得到只需满足在区间上恒有，构造函数通过分析得知函数在上单调递减，列出不等式解出参数的范围，从而得到结果.
（1）
当时，，又是偶函数，所以.
故当时，（，且）.
（2）
当时，，显然不符合要求.
当时，因为与都是偶函数，
所以只需满足在区间上恒有，即在区间上恒有.
令，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以，即，解得，
此时的取值范围是.
21．（1），；（2）单调递增，理由见解析；（3）．
【分析】
（1）由奇函数的性质，可得，代入函数的解析式，转化为方程在区间上恒成立，进而求解；
（2）令，先求出该函数在定义域内的单调性，然后利用复合函数的单调性，求出的单调性．
（3）首先由，求出、的范围，进而结合（2）中的结论，确定函数的单调性，然后利用函数的单调性确定函数的最值，结合已知，解方程求出，排除的情况，最终确定的值．
【解析】解（1）是奇函数，
对任意，有，即．
化简此式，得．又此方程有无穷多解是区间），
必有，解得．
令解得
所以．
（2）当时，函数上是单调增函数．
理由：令．
易知在上是随增大而增大，在上是随增大而减小，
故在上是随增大而减小
于是，当时，函数上是单调增函数．
（3），
，．
依据（2）可知，当时，函数在上是增函数，
即，解得，（舍去）．
若，则在上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是，的要求．（也可利用函数的变化趋势分析，得出
必有．
因此，所求实数、的值是．
【点睛】
本题主要考查对数函数的单调性和奇偶性、求函数值域、恒成立等知识，以及运算求解能力．在解答过程当中，分析问题的能力、运算的能力、问题转换的能力以及分类讨论的能力都得到了充分的体现，值得同学们体会反思．
22．（1）或（2）（i）证明见解析（ii）
【分析】
（1）对底数分类讨论，根据对数函数的单调性可解得结果；
（2）（i）若，则，令，则，所以，，根据对称轴与区间的中点值之间的关系求出最大值，对最大值配方可证不等式成立；
（ii）若，则，令，则，所以，，分类讨论对称轴可得的最值,比较最值的绝对值与端点值的绝对值的大小可得结果.
【解析】（1）当时，为递减函数，等价于，解得，
当时，为递增函数，等价于，解得，
综上所述：或.
（2）因为，所以为增函数，
（i）若，则，令，则，
所以，，
当，即时，，
当，即时，当时，，
所以.
（ii）若，则，令，则，
所以，，
因为，所以，
当，即时，，，，，此时的最大值为，
当，即时，在上单调递增，，，，
所以此时的最大值为，
综上所述：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页