初中数学北师大九年级下学期第三章 圆：与圆有关的三角形相似几种模型（含答案）

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初中数学北师大九年级下学期第三章圆：不得不说的与圆有关的三角形相似几种模型
圆几乎是中考数学必考的压轴题型之一，因为与圆结合的图形形状有很多，比如三角形、四边形等基本图形。可见其综合性、灵活性非常高，值得我们深入细致的去学习和研究。今天我们再以三角形与圆相结合的题型，来进一步学习和探讨圆中有关三角形相似的问题。
我们知道在圆中随便相连就可以形成很多三角形，而圆是轴对称图形，有无数条对称轴，这就造成了圆的一些特殊性质，比如：
直径所对的圆周角为直角；
平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦；
圆的切线与过该点的半径垂直等。
因此，圆中有非常多的直角三角形，且圆中三角形的相似一般是直角三角形的相似。
这些相似包括：A字相似（平行、不平行）；8字相似（平行、不平行）、摄影相似、母子相似等。
只有熟悉并熟练掌握了圆中有关三角形的相似模型，才能在考试中快速制胜！
一、A字相似：包含平行与不平行两种
A字相似在圆中通常表现为直角三角形相似的形式：
例1、如图，在RT△OAB中，∠OAB=90 ，以OA为半径的⊙O交BO于点C，交BO延长线于点D。在⊙O上取一点E，且弧AE = 弧AC，延长DE与BA交于点F
求证：△BDF是直角三角形
连接AC，AC=，OC=2BC，求AF的长。
解：（1）证明：∵弧AE = 弧AC
∴∠BDE=∠BOE=∠BOA
又∠OAB=90 ，∠B = ∠B
∴∠F = ∠OAB=90
即△BDF是直角三角形
（2）连接EC，交OA于点H
那么有OA⊥EC于点H
∴△OHC ∽ △OAB
设AH = a ，圆半径为r，那么有
∴OH =2a 3a = r
利用勾股定理得：
即； 解得a=
∴AF = EH = CH =
例2、ABCD为圆O的内接四边形，BA、CD的延长线交于E点，求证：△EAD ∽△ECB.
证明：∵∠EAD + ∠DAB =180
∠C + ∠DAB =180
∴∠C = ∠EAD
又∠E = ∠E
∴△EAD ∽△ECB
二、八字相似：包含平行与不平行（蝴蝶型）两种
例3、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：△BCF∽△DPF； （2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．
解：（1）证明：∵∠1=∠D又∵∠C=∠P ∴△BCF∽△DPF；
（2）解：连接AC∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°
又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，又∵sin∠P=，
∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．
例4、如图，在中，是高，的外接圆直径交边于点，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的是____________．（只填写序号）
答案：③④
母子相似
母子相似在圆中通常表现为摄影相似
例5、如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，BC＝BD，连接CD交⊙O于点E，∠BCD＝∠DBE．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）过点E作EF⊥AB于F，交BC于G，已知DE＝2，EG＝3，求BG的长．
解：（1）证明：如图1，连接AE，则∠A＝∠C，
∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，
∴∠A+∠ABE＝90°，
∵∠C＝∠DBE，
∴∠ABE+∠DBE＝90°，即∠ABD＝90°，
∴BD是⊙O的切线
（2）解：如图2，延长EF交⊙O于H，
∵EF⊥AB，AB是直径，
∴，∴∠ECB＝∠BEH，
∵∠EBC＝∠GBE，∴△EBC∽△GBE，
∴，
∵BC＝BD，∴∠D＝∠C，
∵∠C＝∠DBE，∴∠D＝∠DBE，
∴BE＝DE＝2，
又∠AFE＝∠ABD＝90°，
∴BD∥EF，∴∠D＝∠CEF，
∴∠C＝∠CEF，∴CG＝GE＝3，
∴BC＝BG+CG＝BG+3，
∴，
∴BG＝﹣8（舍）或BG＝5，
即BG的长为5．
例6、如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE=∠A．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sinB=，⊙O的半径为r，求△EHG的面积（用含r的代数式表示）．
解：（1）证明：连接OE，∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，
∴∠BGF=∠C=90°，∴FG∥AC，∴∠OFG=∠A，
∴∠OFE=∠OFG，
∴∠OFE=∠EFG，∵OE=OF，∴∠OFE=∠OEF，∴∠OEF=∠EFG，
∴OE∥FG，∴OE⊥BC，∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵在Rt△OBE中，sinB=，⊙O的半径为r，∴OB=r，BE=r，
∴BF=OB+OF=r，∴FG=BF sinB=r，
∴BG==r，∴EG=BG﹣BE=r，
∴S△FGE=EG FG=r2，EG：FG=1：2，
∵BC是切线，∴∠GEH=∠EFG，∵∠EGH=∠FGE，∴△EGH∽△FGE，
∴=（）2=，∴S△EHG=S△FGE=r2．
其他相似：主要是与切点有关的相似
例7、已知：如图24 19，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF是过点C的⊙O的切线，AD⊥EF于点D.
(1)求证：∠BAC＝∠CAD；
(2)若∠B＝30°，AB＝12，求的长．
解：(1)证明：如图D93，连接OC，
图D93
∵EF是过点C的⊙O的切线，
∴∠ACD = ∠ABC
又∵AD⊥EF，AB是⊙O的直径
∴∠ACB＝∠ADC = 90°.
∴△ACD = △ABC ∴∠BAC＝∠CAD；
(2)解：∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°.
又∵∠AOC是△BOC的外角，
∴∠AOC＝∠B＋∠OCB＝60°.
∵AB＝12，∴半径OA＝AB＝6.
∴的长为l＝＝2π.
例8、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径
的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6．
（1）求边AD、BC的长；
（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形
与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，
在Rt△DFC中，DF=AB=8，FC=BC﹣AD=6，∴DC2=62+82=100，即DC=10．（1分）
设AD=x，则DE=AD=x，EC=BC=x+6，∴x+（x+6）=10．∴x=2．
∴AD=2，BC=2+6=8．（4分）方法2：连OD、OE、OC，
由切线长定理可知∠DOC=90°，AD=DE，CB=CE，设AD=x，则BC=x+6，
由射影定理可得：OE2=DE EC．（2分）即：x（x+6）=16，
解得x1=2，x2=﹣8，（舍去）∴AD=2，BC=2+6=8．（4分）
（2）存在符合条件的P点．
设AP=y，则BP=8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：
①△ADP∽△BCP时，∴y=；（6分）
②△ADP∽△BPC时，∴y=4．（7分）
故存在符合条件的点P，此时AP=或4．（8分）
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