专题六 立体几何 第二讲 点，直线，平面之间的位置关系
习题2
1.如图,在正四面体中, 分别是的中点,下面四个结论中不成立的是( )
A. //平面
B. 平面
C.平面平面
D.平面平面
2.下列命题,能得出直线m与平面平行的是( )
A.直线m与平面内所有直线平行
B.直线m与平面内无数条直线平行
C.直线m与平面没有公共点
D.直线m与平面内的一条直线平行
3.如图,在正方体中, 分别为棱的中点,则在平面内与平面平行的直线( )
A.不存在 B.有1条 C.有2条 D.有无数条
4.如图,在多面体中,平面平面,且,则( )
A. 平面
B. 平面
C.
D.平面平面
5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（多项选择题）
6.如图，在三棱锥中，，，，且点P到平面的距离为1，则下列说法正确的是( )
A. B.与所成角的大小为
C. D.
7.如图,已知四棱锥的底面为矩形,平面平面.若点为上一点,且平面,则下列说法正确的是( )
A.
B.平面
C.当时,四棱锥的体积为
D.当时,四棱锥外接球的表面积为
8.如图，三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面
平面BCD, ，，，则球O的表面积为________.
9.如图，在三棱锥中，三条棱OA,OB,OC两两垂直，且,M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的余弦值是______________.
10.图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形,其中.将其沿折起使得与重合,连接,如图2.
(1)证明:图2中的四点共面,且平面平面;
(2)求图2中的四边形的面积.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由题意,知,所以//平面.故结论A成立;易证平面,又,所以平面,平面平面,故结论B,C均成立;点在底面内的射影为的中心,不在中位线上,故结论D不成立.故选D.
2.答案：C
解析：解：A项命题本身说法错误；
B项当直线m在平面α内，m与α不平行；
C项能推出m与α平行．
D项，当直线m在平面α内满足，m与α不平行．
故选C．
3.答案：D
解析：
在上取一点,使得,连接,取的中点,
连接,则,因为分别为的中点,
所以,所以,
所以四点共面,所以在平面内,
平行于的直线均平行于平面,这样的直线有无数条.
4.答案：A
解析：取的中点.连接,如图所示.
则由已知条件易证四边形是平行四边形,
∴.
∵平面平面,
平面平面,
平面平面,
∴,
∴.
又,
∴,
∴四边形是平行四边形,即.
又平面,
∴平面.
故选A.
5.答案：D
解析：对于时, 或与相交，故A错误；
对于时，，故B错误；
对于时，，故C错误；
对于时, ，D正确。
6.答案：ACD
解析：如图，设点P在平面内的射影为D，连接，则，平面.由，知.在中，在中，.又
与互相平分.∴四边形为正方形，..又
平面，平面，，A正确.
为与所成的角由平面得，而，B不正确.在中，.同理可得，C正确.
，D正确.故选ACD.
7.答案：CD
解析：平面平面,平面平面平面,平面.若,则平面,则,这与矛盾,不成立,选项A错误.连接,交于,连接,易知为的中点.若平面,则,平面内过点只能作一条直线与直线垂直,且易证选项B错误.已知为的中点,四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半.取的中点,连接,则,则平面.当时,四棱锥的体积选项C正确.连接,当时,在矩形中,.设四棱锥外接球的球心为,半径为,连接,作为垂足,则.设,则,得,四棱锥外接球的表面积选项D正确.故选CD.
8.答案：
解析：如图，取AB中点O，连接OD.在中，由，，，得，则.又平面平面BCD，且平面平面,平面BCD，则.在中，,，，则.,平面ACD，得.则O为三棱锥的外接球的球心，则外接球的半径，球O的表面积为.故答案为.
9.答案：
解析：不妨设，OA,OB,OC两两垂直，. , 平面OBC, .
设点O到平面ABC的距离为h. ，解得，又M是AB的中点，，OM与平面ABC所成的角的正弦值为，OM与平面ABC所成角的余弦值为.
10.答案：(1)由已知得,所以,
故确定一个平面,从而四点共面.
由已知得,故平面.
又平面,所以平面平面.
(2)如图,取的中点,连接.
因为平面,
所以平面,故.
由已知,四边形是菱形,且得,故平面.
因此.
在中,,故.
所以四边形的面积为4.(共48张PPT)
专题六 立体几何
第二讲 点，直线，平面之间的位置关系
高考考点 考点解读
与空间位置关系有关的命题真假的判断 1.多以命题的形式出现，判断命题的真假
2.考查空间几何体中点、线、面的位置关系
（一）考点解读
高考考点 考点解读
证明平行关系 1.以多面体为命题背景，证明线线平行、线面平行、面面平行
2.以三视图的形式给出几何体，判断或证明平行关系，考查平行的判定及性质
（一）考点解读
高考考点 考点解读
证明垂直关系 1.以多面体为命题背景，证明线线垂直、线面垂直、面面垂直
2.考查垂直关系的判定定理与性质定理
（一）考点解读
（二）核心知识整合
考点1：线面平行与垂直的判定与性质
[典型例题]
B
[解析]
[解析]
[典型例题]
B
[解析]
[解析]
『规律总结』
『规律总结』
『规律总结』
『规律总结』
[跟踪训练]
A
[解析]
[跟踪训练]
C
[解析]
[解析]
考点2：面面平行与垂直的判定与性质
[典型例题]
B
[解析]
[典型例题]
A
[解析]
『规律总结』
『规律总结』
[跟踪训练]
D
[解析]
[跟踪训练]
C
[解析]
考点3：平行和垂直关系综合应用
[典型例题]
C
[解析]
[解析]
[典型例题]
B
[解析]
『规律总结』
『规律总结』
『规律总结』
[跟踪训练]
B
[解析]
[跟踪训练]
B
[解析]
Thanks专题六 立体几何
第二讲 点，直线，平面之间的位置关系
（一）考点解读
高考考点 考点解读
与空间位置关系有关的命题真假的判断 1.多以命题的形式出现，判断命题的真假2.考查空间几何体中点、线、面的位置关系
证明平行关系 1.以多面体为命题背景，证明线线平行、线面平行、面面平行2.以三视图的形式给出几何体，判断或证明平行关系，考查平行的判定及性质
证明垂直关系 1.以多面体为命题背景，证明线线垂直、线面垂直、面面垂直2.考查垂直关系的判定定理与性质定理
（二）核心知识整合
考点1：线面平行与垂直的判定与性质
定理名称 文字语言 图形语言 符号语言
线面平行的判定定理 平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行
线面平行的性质定理 一直线与一个平面平行，则过这条直线的任何一个平面与此平面的交线与该直线平行
线面垂直的判定定理 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
线面垂直的性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行
[典型例题]
1.如图，在正方体中，点M在线段(不包含端点)上运动，则下列判断中正确的是( )
①平面；
②异面直线与所成角的取值范围是；
③平面恒成立；
④三棱锥的体积不是定值.
A.①③ B.①② C.①②③ D.②④
[答案]：B
[解析] 在正方体中，连接，如图，
因对角面是矩形，则，而平面，平面，于是得平面，同理，平面，
而，平面，因此，平面平面，又平面，故有平面，①正确；
因，即异面直线与所成角即为与所成角，而是正三角形，
点M在线段(不包含端点)上运动时，与所成角范围为，②正确；
当M为的中点时，直线过点C，，即此时AC与不垂直，平面不恒成立，③错误；
因为平面，则，即三棱锥的体积是定值，④错误.
故选：B.
2.如图，在圆柱中，正三棱柱的所有顶点分别在圆柱的上、下底面的圆周上，F为上一点，，E为BC的中点，则下列关系正确的是( )
①平面；②平面；③平面；④平面.
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
[答案]：B
[解析] 对于①，为的重心，，，又，，又平面，平面，平面，①正确；
对于②，由①知：，又，与相交，又平面，与平面相交，②错误；
对于③，为等边三角形，为中点，，由①知，，平面，平面，；又，平面，平面，③正确；
对于④，由①知：，又为等边三角形，，异面直线与AB所成角为，即与AB不垂直，
平面不成立，④错误.
故选：B.
『规律总结』
1.判断与空间位置关系有关的命题真假的两大方法
(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．
(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定，进行肯定或否定．
2.立体几何中证明平行关系的常用方法
(1)证明线线平行的常用方法
①利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行．
②利用平行四边形进行转换．
③利用三角形中位线定理证明．
④利用线面平行、面面平行的性质定理证明．
(2)证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行．
2 利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行．
3.立体几何中证明垂直关系的常用方法
(1)证明线线垂直的常用方法
①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直．
②利用勾股定理逆定理．
③利用线面垂直的性质， 即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可．
(2)证明线面垂直的常用方法
①利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直．
②利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直．
3 利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等．
[跟踪训练]
1.如图，已知正方体，分别是，的中点，则( )
A.直线与直线垂直，直线平面
B.直线与直线平行，直线平面
C.直线与直线相交，直线平面
D.直线与直线异面，直线平面
[答案]：A
[解析] 本题考查空间的线线关系与线面关系.易知平面，故，排除B，C项；连接，可知，所以平面ABCD，A项正确；因为AB不垂直于平面，，所以直线MN不垂直于平面，D项错误.
故选A.
2.在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
[答案]：C
[解析] ∵在正四面体中，分别是的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，故正确；
∵，是中点，
∴，，∵，∴平面，
∵，∴平面，故正确；
∵平面，平面，∴平面平面，
∵平面平面 ，且与平面不垂直，∴平面与平面不垂直，故错误；∵平面，且平面，
∴平面平面，故D正确,故选C．
考点2：面面平行与垂直的判定与性质
定理名称 文字语言 图形语言 符号语言
面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行
面面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
面面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
[典型例题]
1.设为两个平面,则的充要条件是( )
A.内有无数条直线与平行
B.内有两条相交直线与平行
C.平行于同一条直线
D.垂直于同一平面
[答案]：B
[解析] 对于A,内有无数条直线与平行,当这无数条直线互相平行时,与可能相交,所以A不正确;对于B,根据两平面平行的判定定理与性质知,B正确;对于C,平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行,所以C不正确;对于D,垂直于同一平面的两个平面可能相交,也可能平行,如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面,但它们是相交的,所以D不正确.综上可知选B.
2.如图,设分别是长方体的棱的中点,则平面与平面的位置关系是( )
A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不确定
[答案]：A
[解析] 和分别是和的中点，.
又平面平面平面.
又和E分别是和AB的中点，，且，
四边形是平行四边形，.又平面，
平面平面平面，
平面平面平面.
故A正确.
『规律总结』
1.证明面面平行的方法
证明面面平行，依据判定定，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．
2.证明面面垂直的方法
证明面面垂直常用面面垂直的判定定，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决．
[跟踪训练]
1.如图, 是O的直径, 垂直O所在的平面, 是圆周上不同于,的任意一点, ,分别为, 的中点,则下列结论正确的是 ( )
A.
B. 与所成的角为
C. 平面
D.平面平面
[答案]：D
[解析] 依题意, ,又直线与相交,因此, 与不平行;注意到,因此与所成的角是; 注意到直线与不垂直,因此与平面不垂直;由于,,因此平面.又平面,所以平面平面.综上所述,故选D.
2.如图,在三棱锥中，，平面平面.① ;② ;③平面平面;④平面平面.以上结论中正确的个数有( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[答案]：C
[解析] ∵平面平面,平面平面，∴平面.
又平面，∴ ，故①正确.
∵平面，∴平面平面，故③正确.
∵.
∴平面.又平面，
∴平面平面，故④正确.综上，①③④正确，选C.
考点3：平行和垂直关系综合应用
1.三种平行关系的转化
2.三种垂直关系的转化
[典型例题]
1.已知正方形ABCD与正方形ABEF所在平面互相垂直，P,Q分别是AC, FB上的动点，R是AB中点，则下列结论正确的是( )
A.若P,Q分别是AC,FB的中点，则PQ与EC是异面直线
B.若P,Q分别是AC,FB的中点，则平面ECA
C.若P,Q分别是AC,FB的中点，则平面平面ABCD
D.
[答案]：C
[解析]
选项 正误 原因
A × 连接AE，EC，由Q是FB的中点及正方形ABEF，得Q是AE中点，P是AC的中点，在中，由中位线定理可得，故PQ与EC非异面直线
B × 当P，Q分别是AC，FB的中点时，P，Q分别在AC，AE上，故平面ECA
C √ 正方形ABCD与ABEF所在平面互相垂直，故平面ABCD，连接RQ，RP，PQ，R，Q分别是AB，FB的中点，故，故平面，平面RPQ，所以平面平面ABCD
D × 假设，由正方形ABCD与ABEF所在平面互相垂直，得平面ABCD，故，，故
平面ABEF，而正方形ABCD与ABEF所在平面互相垂直，故平面ABEF，则过A点有两条直线垂直同一平面，故假设不成立
2.如图，在正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的个数为( )
①平面PQR截正方体表面得五边形；
②平面PQR；
③MN与PQ所成的角为90°；
④平面PQR.
A.1 B.2 C.3 D.4
[答案]：B
[解析] 根据题意可得平面PQR截正方体各棱的中点，得截面为正六边形PFQGRE，如图所示，所以①错误；由图可得平面平面PQR，所以平面PQR，所以②正确，④错误；由题易得，所以MN与PQ所成的角为90°，所以③正确，故选B.
『规律总结』
1．求解平面图形折叠问题的关键和方法
(1)关键：分清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．
(2)方法：把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥，四棱锥等几何体，从而把问题转化到我们熟悉的几何中解决．
2.探索性问题求解的途径和方法
(1)对命题条件探索的三种途径：
①先猜后证，即先观察，尝试给出条件再证明；
②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；
③将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件．
(2)对命题结论的探索方法：
从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，现寻找与条件相容或者矛盾的结论．
[跟踪训练]
1. .如图,在四棱柱中,四边形为平行四边形,E,F分别在线段DB,上,且.若G在线段上,且平面平面,则( )
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析] 四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且,平面平面在上且平面平面.又.故选B.
2.如图，在三棱柱中，M,N分别为棱的中点，过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC,AC于点E,F，则( )
A. B.四边形MNEF为梯形
C.四边形MNEF为平行四边形 D.
[答案]：B
[解析] ∵在平行四边形中，，.又平面ABC,平面ABC，平面ABC.又平面MNEF，平面平面，.显然在中，，四边形MNEF为梯形.故选B.专题六 立体几何第二讲 点，直线，平面之间的位置关系习题1
1.如图，在直三棱柱中，O是与的交点，D是的中点，，给出下列结论.
①AB与是相交直线；
②平面
③平面平面；
④平面
其中正确的结论是( )
A.①② B.③④ C.②③ D.②④
2.在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
3.如图,点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论：
①三棱锥的体积不变；
②平面；
③；
④平面平面.其中正确的结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知互相垂直的平面交于直线.若直线满足,则( )
A. B. C. D.
5.如图,在正方体中,是棱上的动点.下列说法正确的是( )
A.对任意动点,在平面内不存在与平面平行的直线
B.对任意动点,在平面内存在与平面垂直的直线
C.点从运动到的过程中,与平面所成的角逐渐变大
D.点从运动到的过程中,点到平面的距离逐渐变小
（多项选择题）
6.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点．则（ ）
A.
B. 直线平面
C. 直线与平面所成角的正切值为
D. 点到平面的距离是
7.已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，M为AC的中点，，，且，则( )
A.平面ACD B.平面ABC
C.O到AC的距离为 D.二面角的正切值为
8.如图所示正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面所成的角为_______.
9.如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E.要使平面，则线段_______.
10.四棱锥中，底面为直角梯形，，为的中点，为的中点，平面底面．
（1）证明：平面平而；
（2）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值．
答案以及解析
1.答案：D
解析：本题考查空间线面间的位置关系.对于①，在直三棱柱中，根据异面直线的定义知AB与是异面直线，所以①错误；对于②，的中点为D，且O是与的交点，所以O是的中点，连接OD，则因为平面平面所以平面所以②正确；对于③，因为平面，所以平面AOD与平面相交，所以③错误；对于④，因为在直三棱柱中，，所以四边形是正方形，平面因为所以平面所以④正确，故选D.
2.答案：C
解析：∵在正四面体中，分别是的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，故正确；
∵，是中点，
∴，，
∵，
∴平面，
∵，
∴平面，故正确；
∵平面，平面，
∴平面平面，
∵平面平面 ，且与平面不垂直，
∴平面与平面不垂直，故错误；
∵平面，且平面，
∴平面平面，故D正确,
故选C．
3.答案：C
解析：
对于①，由题意知，从而平面，
故上任意一点到平面的距离均相等，
所以以P为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，故①正确；
对于②，连接，，且相等，由于①知：，
所以面，从而由线面平行的定义可得，故②正确；
对于③，由于平面，所以，
若，则平面，
，则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误；
对于④，连接，由且，
可得面，从而由面面垂直的判定知，故④正确．
故选：C．
4.答案：C
解析：如图所示,正方体中,令平面为平面,平面为平面,则直线为直线.若令直线为直线,直线为直线,则选项B错误;若令直线为直线,直线为直线,则选项A,D错误.故选项C正确.
5.答案：C
解析：因为在平面内,且平行平面,故A错误;连接,平面即平面,又平面与平面相交(不垂直),所以在平面内不存在与平面垂直的直线,故B错误;点到平面的距离不变,点从运动到的过程中,逐渐变小,故与平面所成的角逐渐变大,故C正确;平面即平面,点到平面的距离为定值,故D错误.故选C.
6.答案：ABD
解析：对于A，，，为等腰三角形，又E为的中点，所以，故A正确；
对于B，取AB中点H，连接EH，CH，EF，可知，，所以四边形EHCF是平行四边形，，又平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，故B正确；
对于C，由B知，所以EF与平面所成角的正切值等于HC与平面所成角的正切值，又平面，为所求的线面角，所以，
故C错误；
对于D，设点B到平面的距离为h，利用等体积法知，即，解得，故D正确.
7.答案：AD
解析：设的中心为G，过点G作直线平面ABC，则球心O在l上.由M为AC的中点，得.因为，所以平面BDM，则，所以，所以，所以，，所以，所以，可得平面ACD，所以球心O在直线MB上，因此O与G重合.过M作于H，连接OH，则，从而为二面角的平面角，因为，，所以O到AC的距离为，且.
8.答案：
解析：建立如图所示空间直角坐标系，设D为中点，则，，，为与平面所成的角，
，.
，
.
9.答案：
解析：设，因为平面,平面，
所以.由已知可得，设的斜边上的高为h,
则.由，得，.在中，.由,得,即线段的长为.
10.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)，
所以四边形BCDF是平行四边形，
，
又，，
又因为面面ABCD，面面，
面ABCD，
面PAD，
且面BEF，
所以平面平面PAD.
(2)连接PF，，F为AD中点，，
又平面PAD，平面平面ABCD，
平面平面，
底面ABCD，
又，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，
取平面ABCD的法向量，，，
，
，设平面EBF的法向量，
，令，
，，
设二面角的平面角为，
，
又为钝角，，即二面角的余弦值为.
