专题六 立体几何
第一讲 空间几何体的三视图，表面积与体积
（一）考点解读
高考考点 考点解读
空间几何体的表面积与体积的计算 1.考查空间几何体体积、表面积的计算方法2.以空间几何体为命题背景考查空间几何体体积、表面积的计算方法
多面体与球的切、接问题 以球与多面体为背景，考查球的截面性质
（二）核心知识整合
考点1：柱体、锥体、台体、球的表面积与体积
1.棱柱
体积：V棱柱＝Sh．(S为底面积，h为高)
表面积：S棱柱＝2S底面＋S侧面
2．棱锥
体积：V棱锥＝Sh. (S为底面积，h为高)
表面积：S棱锥＝S底面＋S侧面
3．棱台
体积：V棱台＝h(S＋＋S′)(S、S′为底面积，h为高)
表面积：S棱台＝S上底＋S下底＋S侧面
4．圆柱
体积：V圆柱＝πr2h (r为底面半径，h为高)
表面积：S圆柱＝2πrl＋2πr2．(r为底面半径，l为母线长)
5.圆锥
体积：V圆锥＝πr2h(r为底面半径，h为高)
表面积：S圆锥＝πrl＋πr2．(r为底面半径，l为母线长)
6.圆台
体积：V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2)(r、r′为底面半径，h为高)
表面积：S圆台＝π(r＋r′)l＋πr2＋πr′2
7.球
体积：V球＝πR3 (R为球的半径)
表面积：S球＝4πR2
[典型例题]
1.如图8-1-14所示,一个正方体的棱长为2,以相对两个面的中心连线为轴,钻一个直径为1的圆柱形孔,所得几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
[答案]：A
[解析] 所得几何体为正方体中挖去一个圆柱,故表面积应为正方体表面积减去圆柱两底面积再加上圆柱的侧面积.所得几何体的表面积为.
故选A.
2.如图，在直三棱柱中，分别是的中点，则下列说法不正确的是( )
A.直线平面 B.
C. D.三棱锥的体积为
[答案]：D
[解析] 如图，取的中点E，连结，则，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，所以平面，故A正确；由上述可知异面直线MN与所成角即为直线与所成角，又为等腰三角形，所以，所以异面直线MN与所成角为，故B项正确；连接，则，所以，又，所以，且，所以异面直线MN与AB所成角为，所以异面直线MN与AB所成角不等于，故C不正确；三棱锥的体积，故D正确.
『规律总结』
求几何体的表面积与体积问题，熟记公式是关键，应多角度全方位的考虑．
1．给出几何体的形状、几何量求体积或表面积，直接套用公式．
2．用三视图给出几何体，先依据三视图规则想象几何体的形状特征，必要时画出直观图，找出其几何量代入相应公式计算．
3．用直观图给出几何体，先依据线、面位置关系的判定与性质定理讨论分析几何体的形状特征，再求体积或表面积．
4．求几何体的体积常用等积转化的方法，转换原则是其高易求，底面在几何体的某一面上，求不规则几何体的体积，主要用割补法．
[跟踪训练]
1.如图，四边形是正方形，四边形是矩形，平面平面，，，则多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
[答案]：D
[解析] 连接BD，AC，
四边形BDEF为矩形，，
平面平面ABCD，平面平面，平面，
平面ABCD，
又平面ABCD，，
设，则，
又，为等边三角形，，
即，解得，
四边形ABCD为正方形，，
平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
平面BDEF，
多面体ABCDEF体积，
故选D．
2.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析] 本题考查棱台的体积.将正四棱台补成四棱锥，作底面ABCD于点O，交平面于点，则棱台的体积.由题意，，易知，，，而，所以，则 ，，所以棱台的体积.故选D．
考点2：多面体与球
多面体与球切、接问题的求解方法
(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．
(2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．
[典型例题]
1.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析] 如图，是等腰直角三角形，为截面圆的直径，外接球的球心O在截面ABC上的射影为AC的中点D，当P，O，D共线且P，O位于截面ABC同一侧时三棱锥的体积最大，高最大，此时三棱锥的高为PD，，解得.连接OC，设外接球的半径为R，则，，在中，，由勾股定理得，解得.三棱锥的外接球的体积，故选D.
2.已知在三棱锥中，的内切圆圆O的半径为2，平面ABC，且三棱锥的三个侧面与底面所成角都为60°，则该三棱锥的内切球的体积为( )
A. B. C. D.
[答案]：A
[解析] 设三棱锥的内切球的半径为R，过O作于点D，于点E，于点F，则.连接PD，易证，因为三棱锥的三个侧面与底面所成角都为60°，所以，则，.由题意可知三棱锥的内切球的球心在线段PO上，在中，，即，解得.所以该三棱锥的内切球的体积为，故选A.
『规律总结』
(1)正方体的内切球的直径为正方体的棱长．
(2)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．
(3)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
[跟踪训练]
1.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )
A.R B.2R C. D.
[答案]：C
[解析] 设圆锥的高为h，底面半径为r，体积为V，则，所以，所以，，令，得，当时，；当时，，所以当时，圆锥体积最大. 故选C.
2.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且，则此棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
[答案]：A
[解析] 在直角三角形中,,所以;同理,.
过点作的垂线交于点,连接,
因为,故,故平面,且为等腰三角形.
因为,故,
则的面积为,
则三棱锥的体积为.故选A.专题六 立体几何 第一讲 空间几何体的三视图，表面积与体积习题1
1.如图，棱长为1的正方体木块，平面过点D且平行于平面，则该木块在平面内的正投影面积是（ ）
A. B. C. D.1
2.已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，，，，过B作平面ABC的垂线BQ，且,，P与Q都在平面ABC的同侧，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
3.已知直三棱柱的各棱长都相等，三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为28π，则该三棱柱的体积为( )
A.6 B.18 C. D.
4.在直三棱柱中，，，，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
5.已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
（多项选择题）
6.如图，正方体的棱长为1，则以下说法正确的是( )
A.直线BC与平面所成的角等于 B.点C到面的距离为
C.两条异面直线和所成的角为 D.三棱柱的外接球的半径为
7.如图，已知四棱台的上、下底面均为正方形，其中，，，则下列说法正确的是( )
A.该四棱台的高为 B.
C.该四棱台的表面积为26 D.该四棱台外接球的表面积为
8.圆柱的母线长为4cm，底面半径为2cm，则体积为_____________
9.已知四面体是球的内接四面体，且是球的一条直径，则四面体体积的最大值为______.
10.如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，侧面PCD是等边三角形且与底面ABCD垂直，，E、F分别为AB、PC的点，且，.
（1）证明：直线平面PAD；
（2）若，求三棱锥的体积.
答案以及解析
1.答案：A
解析：平面过点D且平行于平面，则该木块在平面内的正投影面积即为在平面的正投影面积.连接与交于点M，连接，过点B作于点H，连接.平面，又平面，.
又，平面，点B在平面的投影为H，即在平面的投影分别为，同理可得该木块在平面的投影为以为边长的正六边形在四边形中，，，，则，，在中，，则正六边形的面积为.该木块在平面内的正投影面积为.
2.答案：B
解析：根据题意可将三棱锥放入如图所示的正方体，P为线段DE的中点，则，故球O的球心为PB的中点，故球O的表面积为.
3.答案：B
解析：本题考查三棱柱的外接球,考查空间想象能力.
设球O的半径为r,则,则,设三棱柱的棱长为a,则,则..
4.答案：A
解析：由题意，球的半径为底面三角形内切圆的半径，
∵底面三角形的边长分别为6、8、10，∴底面三角形为直角三角形，
，又∵，，
∴该三棱柱内能放置的最大球半径为2，此时.
故选：A.
5.答案：A
解析：本题考查三棱锥和球.设AB的中点是，可知，又，则三棱锥的高是，故体积是.
6.答案：ABD
解析：正方体的棱长为1，对于A，直线BC与平面所成的角为，故A正确；对于B，点C到面的距离为长度的一半，即距离为，故B正确；对于C，连接AC，因为，所以异面直线和所成的角即直线和所成的角，又是等边三角形，所以异面直线和所成的角为，故C错误；对于D，三棱柱的外接球就是正方体的外接球，正方体的外接球半径，故D正确.故选ABD.
7.答案：AD
解析：如图，将该四棱台补形为四棱锥，连接AC，BD相交于点O，连接，相交于点，连接SO，则SO过点，且平面ABCD，为该四棱台的高.，，，，由四边形ABCD为正方形且可得，则，，，，故选项A正确；，，，故选项B不正确；梯形的高为，故该四棱台的表面积为，故选项C不正确；该四棱台的上、下底面都是正方形，因此该四棱台外接球的球心在直线上，连接，在中，由，可得，又，，该四棱台外接球的球心为O，球的半径，外接球的表面积，故选项D正确.故选AD.
8.答案：
解析：因为圆柱的母线长为4cm，底面半径为2cm，所以体积为.故答案为：.
9.答案：
解析：因为是球的一条直径，所以，因为，所以，其球的半径为，，要使四面体的体积最大，当且仅当点到面的距离最大，最大距离为，所以故答案为：
10.答案：（1）见解析
（2）
解析：解：（1）证明：在PD上取点M使得，连结FM，MA（如图）
因为，，所以，，
且，所以四边形AEFM是平行四边形，
所以，
又平面PAD，平面PAD，
所以直线平面PAD
（2）取CD中点O，连结PO，因为侧面PCD与底面ABCD垂直，CD为两个面的交线，
所以平面ABCD，
又因为，所以F到面ABCD的距离等于
所以专题六 立体几何 第一讲 空间几何体的三视图，表面积与体积 习题2
1.《九章算术》中，将两底面为直角三角形的正柱体，亦即长方体的斜截平分体，称为堑堵. 今有如图所示的堑堵形状容器装满水，当水量使用了一半时，水面高度占AB的( )
A． B． C． D．
2.已知圆锥的底面半径为1，高为，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上、下两部分，则上、下两部分的体积比为( )
A.1:7 B.1:4 C.1:2 D.1:8
3.若圆台下底面半径为4，上底面半径为1，母线长为，则其体积为( )
A. B. C. D.
4.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为( )
A.80 B.240 C.320 D.640
5.在三棱锥中，平面平面ABC，，，，当直线PB与平面ABC所成的角最大时，该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
（多项选择题）
6.已知正方体过对角线作平面 交棱于点E，交棱于点F，下列正确的是( )
A.平面 分正方体所得两部分的体积相等 B.四边形一定是平行四边形
C.平面 与平面不可能垂直 D.四边形的面积有最大值
7.已知在三棱锥中，，，则下列说法正确的是( )
A.
B.二面角是锐角
C.三棱锥的体积为1
D.三棱锥的外接球的表面积为
8.球O为正方体的内切球，平面截球O的截面面积为π，则球的表面积为____________.
9.在直三棱柱中，是等腰直角三角形，且.若该三棱柱的外接球半径是2，则三棱锥体积的最大值为___________.
10.如图，在三棱锥中，底面，△ABC是边长为2的正三角形，侧棱与底面所成的角为．
(1) 求三棱锥的体积V；
(2) 若D为的中点，求异面直线与所成角的大小．
答案以及解析
1.答案：C
解析：水的一半就是体积的一半，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，底面积变为一半，底面是等腰直角三角形，所以边长变为的，所以水面高度占AB的，故选C.
2.答案：A
解析：根据题意得上、下两部分的体积比为.故选A.
3.答案：B
解析：圆台下底面半径，上底面半径，母线长，则圆台的高.所以圆台的体积.故选B.
4.答案：B
解析：作出一个侧面等腰梯形的高，也是棱台的斜高，如图，则由等腰梯形的性质,得斜高所以棱台的侧面积为.故选B.
5.答案：D
解析：在平面PAC中，过P作于D，连接BD，因为平面平面ABC，且平面平面，所以平面ABC，则为直线PB与平面ABC所成的角.因为，所以，所以.设，因为，所以，所以.在中，，所以，当，即时，取得最大值，此时取得最大值，，，点D在CA延长线上.设三棱锥外接球的球心为O，的外心为，如图，连接，，，则，又，所以三棱锥外接球的半径，所以所求外接球的表面积为.故选D.
6.答案：ABD
解析：本题考查正方体的性质、空间直线与平面间的位置关系.如图，设正方体的棱长为1，则对角线，易知由正方体的对称性可知，平面 分正方体所得两部分的体积相等，A正确；由题知平面平面且平面，平面所以.同理可证所以四边形为平行四边形，B正确；连接则当E，F分别为的中点时，所以又，所以四边形为菱形，所以因为平面且所以，C错误；因为四边形为平行四边形，所以，所以要使四边形的面积最大，则需的面积最大，因为(定值)，所以需使点E到直线的距离最大，即当点E与点A重合(或点)，点F与点(或点C)重合时，四边形有最大值，D正确，故选ABD.
7.答案：ABD
解析：本题考查空间线面的位置关系、球的切接问题、余弦定理.取的中点分别为E，F，连接，取的中点为T，则由题可知
，故由线面垂直的判定定理得平面，所以，从而选项A正确；又，故由勾股定理可知由余弦定理可知，所以二面角的平面角为锐角，故选项B正确；由，可知三棱锥的体积，故选项C不正确；由对称性可知，即点T为三棱锥外接球的球心半径，从而三棱锥的外接球的表面积，故选项D正确，故选ABD.
8.答案：6π
解析：设内切球半径为R，则正方体棱长为2R，如图，
平面截球O所得圆为正的内切圆，而截面圆半径为1，在正中，，故内切球的表面积为.故答案为：6π.
9.答案：
解析：如图，由题意可知三棱柱的外接球的直径为AC，则，即，从而.三棱锥的体积为设，则.由，得；由，得.故.
10.答案：(1) 底面，
为侧棱与底面所成的角，即，
.
又，
故，
即三棱锥的体积为；
(2) 取中点E，连结，，则，
就是异面直线与所成的角(或其补角)，
，.
因为底面，底面.
在直角三角形中，，
所以，
所以异面直线与所成角的大小为．(共32张PPT)
专题六 立体几何
第一讲 空间几何体的三视图，表面积与体积
高考考点
考点解读
空间几何体的表面积与体积的计算
1.以三视图为命题背景，考查空间几何体体积、表面积的计算方法
2.以空间几何体为命题背景考查空间几何体体积、表面积的计算方法
（一）考点解读
高考考点
考点解读
多面体与球的切、接问题 以球与多面体为背景，考查球的截面性质
（一）考点解读
考点1：柱体、锥体、台体、球的表面积与体积
[典型例题]
A
[解析]
[典型例题]
D
[解析]
『规律总结』
『规律总结』
[跟踪训练]
D
[解析]
[解析]
[跟踪训练]
D
[解析]
[解析]
考点2：多面体与球
[典型例题]
D
[解析]
[解析]
[典型例题]
A
[解析]
[解析]
『规律总结』
[跟踪训练]
C
[解析]
[跟踪训练]
A
[解析]
Thanks
