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专题六 立体几何
第三讲 利用空间向量证明平行与垂直关系
高考考点 考点解读
利用空间向量证明平行与垂直关系 1.建立空间直角坐标系，利用向量的知识证明平行与垂直
2.考查向量的数量积与向量垂直的关系以及建立空间直角坐标系的方法
（一）考点解读
高考考点 考点解读
利用空间向量求线线角、线面角、面面角 以具体几何体为命题背景，直接求角或已知角求相关量
（一）考点解读
高考考点 考点解读
利用空间向量解决采索性问题或其他问题 1.常借助空间直角坐标系，设点的坐标探求点的存在问题
2.常利用空间向量的关系，设某一个参数，利用向量运算探究平行、垂直问题
（一）考点解读
（二）核心知识整合
考点1：利用向量方法证明平行与垂直
[典型例题]
C
[解析]
[典型例题]
A
[解析]
『规律总结』
『规律总结』
[跟踪训练]
A
[解析]
[跟踪训练]
C
[解析]
考点2：向量法求线线角、线面角、面面角
[典型例题]
A
[解析]
[典型例题]
C
[解析]
[解析]
『规律总结』
『规律总结』
『规律总结』
[跟踪训练]
D
[解析]
[跟踪训练]
D
[解析]
考点3：利用空间向量巧解探索性问题
[典型例题]
[解析]
[解析]
[典型例题]
[解析]
[解析]
[解析]
[解析]
『规律总结』
『提醒』
[跟踪训练]
[解析]
[解析]
[解析]
[跟踪训练]
[解析]
[解析]
[解析]
Thanks专题六 立体几何 第三讲利用空间向量证明平行与垂直关系
习题1
1.如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
2.如图，在直三棱柱中，，，，.若在线段AB上存在点D，使得平面，则点D满足( )
A. B. C. D.
3.如图,点为矩形所在平面外一点,平面为线段的中点,,则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
4.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.已知直线l经过点和点，则直线l的单位方向向量为( )
A. B. C. D.
（多项选择题）
6.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，则下列结论正确的有( )
A. B.
C.是平面ABCD的一个法向量 D.
7.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有( )
A.AD与BC所成的角为30°
B.AC与BD所成的角为90°
C.BC与面ACD所成角的正弦值为
D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是
8.在棱长为2的正方体中，M,N分别是的中点，则直线MN与平面ABCD所成的角的余弦值为__________.
9.正方形中,E是的中点,求BE与平面所成角的正弦值____.
10.如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点.
（1）证明：平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，
则根据题意可得，，，，
所以，，
设异面直线AB与CM所成角为，
则.
故选：C.
2.答案：B
解析：，，，，，在直三棱柱中，AC,BC,两两垂直.以C为原点，CA,CB,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.设点，则，设平面的一个法向量为，则即令，则.若平面，则，易得，所以①.由D在AB上，得，即②，由①②可得，，即D为AB的中点，故.
3.答案：B
解析：如图,以为原点,分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,.
设平面的一个法向量为,则即
令,则.
点到平面的距离.
4.答案：D
解析：设的中点为,连接,则由题意知平面,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设侧棱长为,则,则.
所以.
5.答案：D
解析：由题意得，直线l的一个方向向量为，
则，
因此直线l的单位方向向量为，故选D.
6.答案：ABC
解析：，，，A对；
，，，B对；
，，，平面ABCD，
是平面ABCD的一个法向量，C对；
，设，即方程组无解，D错.
故选ABC.
7.答案：BD
解析：取BD的中点O，连接AO，CO，
正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，
以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，，，，.
，
异面直线AD与BC所成的角为60°，故A错误；
，，故B正确；
设平面ACD的法向量为，
则取，得，，
，
设BC与面ACD所成角为，
则，故C错误；
易知平面BCD的一个法向量为，
设平面ABC的法向量为，
则取，
得，，，设两个平面的夹角为，则，
，，
平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是，故D正确.故选BD.
8.答案：
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，平面ABCD的一个法向量为,所以，设直线MN与平面ABCD所成的角为，则，所以.
9.答案：
解析：以D为原点，建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,
则,,,
所以,,.
设平面的法向量为,
则即
令,则,所以.
设直线BE与平面所成的角为，
则.
10.答案：(1)证明过程见解析.
(2)PC与平面PAM所成角的正弦值为.
解析：(1)证明：因为，O为AC的中点，所以，且.
连接OB.
因为，所以为等腰直角三角形，且，.
由知.
由，，知平面ABC.
（2）如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意得，，，，，
.易得平面PAC的一个法向量为.
设，则.
设平面PAM的法向量为.
由，，
得
可取，
所以.
由已知可得，
所以，
解得（舍去）或，
所以.
又，所以.
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.专题六 立体几何
第三讲 利用空间向量证明平行与垂直关系
（一）考点解读
高考考点 考点解读
利用空间向量证明平行与垂直关系 1.建立空间直角坐标系，利用向量的知识证明平行与垂直2.考查向量的数量积与向量垂直的关系以及建立空间直角坐标系的方法
利用空间向量求线线角、线面角、面面角 以具体几何体为命题背景，直接求角或已知角求相关量
利用空间向量解决采索性问题或其他问题 1.常借助空间直角坐标系，设点的坐标探求点的存在问题2.常利用空间向量的关系，设某一个参数，利用向量运算探究平行、垂直问题
（二）核心知识整合
考点1：利用向量方法证明平行与垂直
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)．
(1)线线平行
l∥m a∥b a＝kb a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2．
(2)线线垂直
l⊥m a⊥b a·b＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
(3)线面平行
l∥α a⊥μ a·μ＝0 a1a3＋b1b3＋c1c3＝0．
(4)线面垂直
l⊥α a∥μ a＝kμ a1＝ka3，b1＝kb3，c＝kc3．
(5)面面平行
α∥β μ∥v μ＝kv a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4．
(6)面面垂直
α⊥β μ⊥v μ·v＝0 a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.
[典型例题]
1.已知直线l的方向向量是，平面的法向量是，则l与的位置关系是( )
A. B. C.或 D.l与相交但不垂直
[答案]：C
[解析] 直线的方向向量是，平面的法向量是，，，l与的位置关系为或.故选C.
2.已知平面内两向量,若为平面的法向量且，则的值分别为( )
A. B. C.1，2 D.
[答案]：A
[解析] .由为平面的法向量,得,即,解得.故选A.
『规律总结』
利用空间向量证明平行与垂直的方法与步骤
(1)坐标运算法：一般步骤：①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；
②建立空间图形与空间向量之间的关系，用向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；
③通过空间向量的运算研究平行、垂直关系；
④根据运算结果解释相关问题．
(2)基向量运算法：一般步骤：①选基向量，要尽量选用三个不共面的且夹角最好为90°(其次为60°或120°)、模长或其关系已知的向理为基向量；
②将相关向量用基向量表示；
③将证明问题转化为向量的运算；
④根据运算结果得结论．
[跟踪训练]
1.已知分别为直线的方向向量，则( )
A. ，但与不垂直
B. ，但与不垂直
C. ，但与不垂直
D. 两两互相垂直
[答案]：A
[解析] 因为，，，所以，a与c不垂直，，即，但与不垂直.故选A.
2.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，，，M在EF上，且平面BDE，则点M的坐标为( )
A. B. C. D.
[答案]：C
[解析] 连接OE.设点M的坐标为，因为，所以，
又，，所以，，
因为平面BDE，所以，所以
所以M点的坐标为.故选C.
考点2：向量法求线线角、线面角、面面角
1.向量法求空间角
（1）异面直线所成的角：设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角满足cos θ＝．
(2) 线面角
设l是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角满足sin θ＝．
(3)二面角
①如图(ⅰ)，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
②如图(ⅱ)(ⅲ)，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉.
(4)点到平面的距离的向量求法
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝．
2.模、夹角和距离公式
(1) 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝，cos〈a，b〉＝＝．
(2) 距离公式1
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则||＝
[典型例题]
1.已知空间四个点,,,,则直线与平面所成的角为()
A. B. C. D.
[答案]：A
[解析] 设平面的一个法向量为，
，，
由，及，得，
令，得，，，又，
设与平面所成的角为，
则，.故A正确.
2.在直棱柱中，，，，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
[答案]：C
[解析] 以C为坐标原点,射线的方向为x轴的正方向,射线的方向为y轴的正方向,射线的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系.由题可知.于是.设为平面的法向量,则即令,可得.设直线与平面所成的角为α,则.
故C正确.
『规律总结』
1．利用空间向量求空间角的一般步骤
(1)建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标．
(3)结合公式进行论证、计算．
(4)转化为几何结论．
2．利用空间向量求线线角、线面角的思路
(1)异面直线所成的角θ，可以通过两直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|．
(2)直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|．
3．利用空间向量求二面角的思路
二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角．
4．利用空间向量求点到平面距离的方法
如图，设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝．
[跟踪训练]
1.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析] 以D为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则,所以,
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选D.
2.如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
[答案]：D
[解析] 连，相交于点，连、，因为为的中点，为的中点，有，可得为异面直线与所成的角，不妨设，可得，，因为，为的中点，所以，．故选D.
考点3：利用空间向量巧解探索性问题
空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．
[典型例题]
1.如图，在梯形中，，，四边形为矩形，平面平面
(1)求证：；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值.
[解析] (1)证明：因为平面平面，平面平面，
又因为矩形，，平面，
平面，.
(2)解：取中点H，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，，，，，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
即直线与平面所成角的正弦值为.
2.如图，且，，且，，且，，平面ABCD，.
（1）求二面角的余弦值；
（2）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为，求线段DP的长.
[解析] 因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，
所以，，又，
故以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由且，且，且，可知，
各点坐标为，，，，
(1)易知，，设平面EBC的法向量为，
则由，可得，
故平面EBC的一个法向量为.
设平面FBC的法向量为，
则由，可得，
故平面FBC的一个法向量为
因为且显然二面角为锐角.
故二面角的余弦值为；
(2)因为点P在线段DG上，故可设点P坐标为，其中，
于是，
易知平面ADGE的一个法向量为，
因为直线BP与平面ADGE所成的角为，
所以，
解得，所以线段DP的长为.
『规律总结』
解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．
『提醒』
1．在建立空间直角坐标系时，要说明或证明建系的条件．
2．注意异面直线的夹角与方向向量夹角的区别：两条异面直线所成的角是锐角或直角，与它们的方向向量的夹角不一定相等．
3．要区分二面角与两法向量的夹角：求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．
[跟踪训练]
1.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是，的中点，点在线段上，且.
（1）证明：无论取何值，总有；
（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
[解析] (1)以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，
，，
，，
所以无论取何值，.
（2）时，，，.
而平面的法向量，设平面的法向量为，
则，，
设平面与平面所成锐二面角，.
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.
2.如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面,，点在上，且平面.
（1）求的值；
（2）求二面角的正弦值.
[解析] （1）因为在四棱柱中，底面为正方形，平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，故可设，其中，
则、、，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则有，即，
取，得，
因为平面，所以，即，解得，所以，.
（2）易知平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，而，，
则.专题六 立体几何 第三讲 利用空间向量证明平行与垂直关系习题2
1.如图，正方体中，异面直线AC和所成角的大小为( )
A. B. C. D.或
2.如图,在四棱锥中,底面ABCD是直角梯形,,,,,平面ABCD,则二面角的大小为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.如图，在四棱锥中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD为正方形，侧面底面ABCD，若M为平面ABCD上的一个动点，且满足，则点M到直线AB的最大距离为( )
A. B. C. D.
4.已知正方体，则空间中到三条棱AB,,所在直线的距离相等的点有( )
A.0个 B.2个 C.3个 D.无数个
5.如图，在正三棱柱中，，，D是的中点，则AD与平面所成角的正弦值等于( )
A. B. C. D.
（多项选择题）
6.已知四棱柱为正方体,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.向量与向量的夹角是120°
D.正方体的体积为
7.将正方形沿对角线折成直二面角,则下列结论中正确的是( )
A. B.所成角为
C.为等边三角形 D.与平面所成角为
8.在空间直角坐标系中,已知平面过点,及轴上一点,如果平面与平面的夹角为45°,则_____________.
9.如图，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，,D是的中点，点E在棱上，要使平面，则___________.
10.如图，在四棱锥中，平面底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，，，，，Q为PD的中点.
（1）证明：平面PAB.
（2）求二面角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：设正方体的棱长为1，，，
，
异面直线AC和所成角的大小为.
2.答案：C
解析：取BC的中点M，连接DM，由已知可得四边形ADMB为正方形，易得DM,DA,DP两两互相垂直，故以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,
则，，，，，所以，，
设平面PAB的一个法向量为，
则即
令，则，所以.
设平面PBC的一个法向量为,
易得，，
所以即
令，则，所以，
所以.
易知二面角的平面角为钝角，
所以二面角的大小为120°.
故选C
3.答案：B
解析：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.
设，则，.，，整理得，M为为平面ABCD上到点（1,2）的距离为的一个动点，故点M到直线AB的最大距离为.故选B.
4.答案：D
解析：以D为原点，,,的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，连接，并在上任取一点P，易得，所以设，其中.作平面，垂足为E，作，垂足为F，则是点P到直线的距离，易知，所以,所以；同理，点P到直线AB,的距离也是.所以上任意一点到正方体的三条棱AB,，所在直线的距离都相等，所以空间中到正方体的三条棱AB,，，所在直线的距离相等的点有无数个.故选D.
5.答案：B
解析：以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则
取，得.
设AD与平面所成的角为，
则，
所以AD与平面所成角的正弦值为.故选B.
6.答案：ABC
解析：不妨设正方体的棱长为1,以为一组正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则.
因为,所以,,故A正确.因为,所以,故B正确.因为,所以,所以,所以向量与向量的夹角是120°.故C正确.因为,所以,所以,故D错误.故选ABC.
7.答案：ABC
解析：如图,A.取中点为,连接,易知平面,故.
B.以为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,设正方形边长为,则,故.由两向量夹角公式得,故异面直线所成的角为.
C.在直角三角形中,由,得,故为等边三角形.
D.易知即为直线与平面所成的角,易得,故D错误.
8.答案：
解析：易知,,平面的一个法向量为.设平面的法向量为,则,即,即,取,则.
,又.
9.答案：a或
解析：由题意知, .因为平面平面,平面平面,所以平面,所以.若平面，则.建立如图所示的空间直角坐标系,
则.设，则点E的坐标为，则.由，得，解得或，即或.
10.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）如图，取PA的中点N，连接QN，BN.
，N分别是PD，PA的中点，
，且.
，，
，
又，
，，
又，，四边形BCQN为平行四边形，.
又平面PAB，平面PAB，平面PAB.
（2）在（1）中图的基础上，取AD的中点M，连接BM，PM，取AM的中点O，连接BO，PO，如图.设，
由（1）得，
为等边三角形，
，
同理.
平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，
平面ABCD.
以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面ACQ的法向量为，则
取，得是平面ACQ的一个法向量，
又平面PAQ的一个法向量为，
，
由图得二面角的平面角为钝角，
二面角的余弦值为.
