专题五 数列
第一讲 等差数列、等比数列
（一）考点解读
高考考点 考点解读
等差（比）数列的基本运算 1.在等差（比）数列中，这五个量中已知其中的三个量，求另外两个量2.考查等差（比）数列的通项公式，前n项和公式，考查方程的思想以及运算能力
等差（比）数列的判断与证明 1.以递推数列为载休，考查等差（比）数列的定义或等差（比）中项2.以递堆数列为命题背景考查等差（比）数列的证明方法
等差（比）数列的性质 1.等差（比）数列项或和的一些简单性质的应用2.常与数列的项或前n项和结合考查等差（比）数列的性质
（二）核心知识整合
考点1：等差（比）数列的基本运算
1.等差数列
(1)等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)等差数列前n项和公式：Sn＝＝na1＋d．
(3)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2).
2.等比数列
(1)等比数列通项公式：an＝a1qn－1.
(2)等比数列前n项和公式：Sn＝.
(3)等比中项公式：a＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2)
3.数列{an}的前n项和Sn与通项an之间的关系
an＝
4.重要结论
通项公式的推广：
等差数列中，an＝am＋(n－m)d；
等比数列中，an＝am·qn－m .
[典型例题]
1.已知等差数列的前n项和为，且.定义数列如下：是使不等式成立的所有n中的最小值，则的值为( )
A.25 B.50 C.75 D.100
[答案]：B
[解析] 因为等差数列的前n项和为，且，所以.因为，即，解得，当时，，即，则，所以.
故选B.
2.在等差数列中，，，则数列的公差为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[答案]：B
[解析] 设等差数列的公差为d，则解得.
故选B.
『规律总结』
在等差(比)数列问题中最基本的量是首项a1和公差d(公比q)，在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组，从而求出这两个量，那么其他问题也就会迎刃而解，这就是解决等差、等比数列问题的基本量的方法，这其中蕴含着方程思想的运用．
提醒：应用等比数列前n项和公式时，务必注意公比q的取值范围．
[跟踪训练]
1.已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为( )
A.12 B.18 C.24 D.32
[答案]：C
[解析] 设正项等比数列的公比为，则，，令，，则，当且仅当时取等号，则的最小值为24.
故选C.
2.已知数列的首项，前n项和为，且满足，则满足的n的最大值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
[答案]：C
[解析] 因为，所以，两式相减，得.又，，所以是首项为1，公比为的等比数列，，即，则n的最大值为9.
故选C.
考点2：等差（比）数列的判断与证明
1．若{an}，{bn}均是等差数列，Sn是{an}的前n项和，则{man＋kbn}，{}仍为等差数列，其中m，k为常数．
2．若{an}，{bn}均是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{manbn}(m为常数)，{a}，{}仍为等比数列．
3．公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2－a1，a3－a2，a4－a3，…成等比数列，且公比为＝＝q．
4．(1)等比数列(q≠－1)中连续k项的和成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，其公比为qk．
(2)等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，公差为k2d．
5．若A2n－1，B2n－1分别为等差数列{an}，{bn}的前2n－1项的和，则＝．
[典型例题]
1.已知数列为等差数列，，，以表示的前n项和，则使得取到最小值的n是( )
A.37或38 B.38 C.37 D.36或37
[答案]：D
[解析] 设的公差为d.由题意得，，则①，，则②.联立①②得，..故当或37时，取到最小值.故选D.
2.已知数列满足.若,且数列是递增数列,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]：A
[解析] 数列满足,则数列是等比数列,且首项为,公比为2,,数列是递增数列,,可得,又,解得.综上,的取值范围是.故选A.
『规律总结』
判断或证明数列是否为等差或等比数列，一般是依据等差数列、等比数列的定义，或利用等差中项、等比中项进行判断．
提醒：利用a＝an＋1·an－1(n≥2)来证明数列{an}为等比数列时，要注意数列中的各项均不为0．
[跟踪训练]
1.设数列为等差数列,其前项和为,已知和是方程的两个根.若对任意都有成立,则的值为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
[答案]：B
[解析] 和是方程的两个根,
.
设等差数列的公差为对任意都有成立,
即是前项和的最大值,.
,
.
当时,,当时,,
若对任意都有成立,则.故选B．
2.在正项等比数列中,.则满足的的最大值为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
[答案]：C
[解析] 设数列的公比为.正项等比数列中,,解得或.又,,,由得,,经检验满足题意.
故选C.
考点3：等差（比）数列的性质
(1)增减性：
①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列．
②等比数列中，若a1>0且q>1或a1<0且00且01，则数列为递减数列．
(2)等差数列{an}中，Sn为前n项和，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等差数列；
等比数列{bn}中，Tn为前n项和．Tn，T2n－Tn，T3n－T2n，…一般仍成等比数列．
[典型例题]
1.设是公差的等差数列，如果那么( )
A.-182 B.-78 C.-148 D.-82
[答案]：D
[解析] .
故选D.
2.记为等比数列的前n项和.若，，则( )
A.7 B.8 C.9 D.10
[答案]：A
[解析] 本题考查等比数列的求和公式与性质应用.设等比数列的公比为q，显然，根据题目条件可得化简可得，即，所以.
故选A.
『规律总结』
1.an－an－1＝d或＝q中注意n的范围限制．
2.公式an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2．
3.证明一个数列是等差或等比数列时，不能直接由数列的前n项和想当然得到数列的通项公式，必须用定义证明．
4.等差数列的单调性只取决于公差d的正负，而等比数列的单调性既要考虑公比q，又要考虑首项a1的正负．
提醒：1．不能忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，注意各项都不为零的条件．
2．不能漏掉等比中项：正数a，b的等比中项是±，不能漏掉－．
3．对等比数列的公比的讨论：应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公式q是否等于1
[跟踪训练]
1.已知等差数列中,，，则满足的最大整数n是( )
A.25 B.26 C.50 D.51
[答案]：A
[解析] 设等差数列的公差为d，由,可得,
，，，又，，，满足的最大整数n是25.故选A.
2.已知等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，则( )
A.-12 B.-4 C.4 D.12
[答案]：C
[解析] 设数列的公比为q，
当时，，则，，，此时，，不成等差数列，不符合题意，舍去；
当时，，，成等差数列，，
即，
即，解得或（舍去）或（舍去），，，，故选C.(共42张PPT)
专题五 数列
第一讲 等差数列、等比数列
高考考点 考点解读
等差（比）数列的基本运算 1.在等差（比）数列中， 这五个量中已知其中的三个量，求另外两个量
2.考查等差（比）数列的通项公式，前n项和公式，考查方程的思想以及运算能力
等差（比）数列的判断与证明 1.以递推数列为载休，考查等差（比）数列的定义或等差（比）中项
2.以递堆数列为命题背景考查等差（比）数列的证明方法
（一）考点解读
高考考点 考点解读
等差（比）数列的性质 1.等差（比）数列项或和的一些简单性质的应用
2.常与数列的项或前n项和结合考查等差（比）数列的性质
（一）考点解读
（二）核心知识整合
考点1：等差（比）数列的基本运算
[典型例题]
B
[解析]
[典型例题]
B
[解析]
『规律总结』
提醒：
[跟踪训练]
C
[解析]
[跟踪训练]
C
[解析]
考点2：等差（比）数列的判断与证明
[典型例题]
D
[解析]
[典型例题]
A
[解析]
[解析]
『规律总结』
提醒：
[跟踪训练]
B
[解析]
[跟踪训练]
C
[解析]
考点3：等差（比）数列的性质
[典型例题]
D
[解析]
[典型例题]
A
[解析]
『规律总结』
提醒：
[跟踪训练]
A
[解析]
[跟踪训练]
C
[解析]
Thanks专题五 数列 第一讲 等差数列、等比数列 习题1
1.已知为等差数列，公差，则( )
A.8 B.12 C.16 D.20
2.若一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知m与2n的等差中项是4，2m与n的等差中项是5，则m与n的等差中项是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
4.已知两个等差数列和的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列，已知，，且满足，则该医院30天入院治疗流感的总人数为( )
A.225 B.255 C.365 D.465
（多项选择题）
6.已知正项数列的前n项和为，若对于任意的m，，都有，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.若该数列的前三项依次为x，，3x，则
D.数列为递减的等差数列
7.在递增的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法中正确的是( )
A. B.数列是等比数列
C. D.数列是公差为2的等差数列
8.设等差数列的前n项和为，若，，，则正整数___________.
9.在等比数列中，，则________________.
10.设为等差数列，为数列的前n项和，已知，，为数列的前n项和.
（1）求；
（2）求及的最小值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：，即，解得,.
2.答案：C
解析：由题意，得，则.又，故，则.
3.答案：D
解析：由题意，得，，则，所以，所以m与n的等差中项是.
4.答案：C
解析：由题意，可得，则，验证知，当，2，4，8时，为整数，即使得为整数的正整数n的个数是4，故选C.
5.答案：B
解析：当n为奇数时，；当n为偶数时，，所以，，，…，是以2为首项，2为公差的等差数列，所以.
6.答案：AC
解析：令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A正确；，所以，故B错误；根据等差数列的性质得，所以，，故，故C正确；，因为，所以是递增的等差数列，故D错误.故选AC.
7.答案：BC
解析：由题意，得，，又等比数列是递增数列，所以，，所以，，故A错误；因为，所以，所以，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故B正确；，故C正确；因为，所以数列是公差为的等差数列，故D错误.故选BC.
8.答案：13
解析：由题意，得.又，解得.
9.答案：
解析：设等比数列的公比为q，
则，
又，
故.
10.答案：（1）设数列的公差为d.
依题意有解得
.
（2）由（1）知，.设，
则，
数列是公差为的等差数列，首项.
又为数列的前n项和，
.
当或时，.专题五 数列 第一讲 等差数列、等比数列 习题2
1.冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列，已知，，且满足，则该医院30天入院治疗流感的总人数为( )
A.225 B.255 C.365 D.465
2.在等差数列中，，则( )
A.5 B.8 C.10 D.15
3.已知数列为等差数列，其前n项和为，，则( )
A.110 B.55 C.50 D.45
4.已知数列是等比数列,若,且公比,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列中，，，前n项和，则( )
A.9 B.8 C.7 D.6
（多项选择题）
6.下列关于等差数列的命题中，正确的有( )
A.若a，b，c成等差数列，则，，一定成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则，，一定成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列
7.已知数列满足，，则下列结论正确的是( )
A.为等比数列 B.的通项公式为
C.为递增数列 D.的前n项和
8.若正项数列的前n项和为，且，定义数列对于正整数m,是使不等式成立的n的最小值，则的前10项和为____________.
9.记为等差数列的前n项和，，则___________.
10.已知为等差数列,前项和为,是首项为的等比数列,且公比大于,,,.
(1)求和的通项公式;
(2)求数列的前项和.
答案以及解析
1.答案：B
解析：当n为奇数时，；当n为偶数时，，所以，，，…，是以2为首项，2为公差的等差数列，所以.
2.答案：C
解析：在等差数列中，，所以.
3.答案：B
解析：设等差数列的公差为d，因为，所以.
4.答案：C
解析：因为数列是等比数列,所以,所以.又,所以,所以.故选C.
5.答案：D
解析：由等比数列前n项和公式，知，，故选D.
6.答案：BCD
解析：对于A，取，，，可得，，，显然，，不成等差数列，故A错误；对于B，取，可得，故B正确；对于C，因为a，b，c成等差数列，所以，所以，即，，成等差数列，故C正确；对于D，若，则，故D正确.故选BCD.
7.答案：AD
解析：，，又，是以4为首项，2为公比的等比数列，即，，，为递减数列，的前n项和.故选AD.
8.答案：1033
解析：当时，，解得.
当时，
整理，得.由题意得，
，故为等差数列，且.
令，则，且，，.
的前10项和为.
9.答案：4
解析：因，所以，即，
所以．
10.答案：(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.
由已知,得,而,
所以.又因为,
解得.所以, .
由,可得①.
由,可得②,
联立①②,解得,,由此可得.
所以,数列的通项公式为,数列的通项公式为.
(2)设数列的前项和为,由,
有,
,
上述两式相减,得
.
得.
所以,数列的前项和为.
