上海市2022届高三春季高考真题数学试卷（Word版含答案）

2022届上海市春季高考数学试卷
一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 已知，则
2. 已知，，则
3. 不等式的解集为
4. 已知，则
5. 已知方程组有无穷解，则的值为
6. 已知函数的反函数为，则
7. 在的展开式中，含项的系数为
8. 在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为
9. 已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为
10. 在△ABC中，，，M为AC的中点，P在AB上，则的最小值为
11. 已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点，，满足恒成立，则a的取值范围是
12. 已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、、、，则
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 下列幂函数中，定义域为R的是（ ）
　 A. B. C. D.
14. 已知，下列选项中正确的是（ ）
　 A. B.
C. D.
15. 如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个
时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（ ）次
　 A. B. C. D.
16. 已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（ ）
A. 若，则数列单调递增 B. 若，则数列单调递增
C. 若数列单调递增，则 D. 若数列单调递增，则
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在圆柱中，底面半径为1，为圆柱母线.
（1）若，M为中点，求直线与底面的夹角大小；
（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.
18. 已知数列，，的前n项和为.
（1）若为等比数列，，求；
（2）若为等差数列，公差为d，对任意，均满足，求d的取值范围.
19. 如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
（1）若∠ADE，求EF的长；
（2）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m ）
20. 在椭圆中，直线上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
（1）若∠AFB，求椭圆的标准方程；
（2）若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
（3）已知直线BC与椭圆相交于点P，直线AD与椭圆相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求的最小值.
21. 已知函数，甲变化：；乙变化：，.
（1）若，，经甲变化得到，求方程的解；
（2）若，经乙变化得到，求不等式的解集；
（3）若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增.
参考答案
一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 已知，则
【答案】
2. 已知，，则
【答案】
3. 不等式的解集为
【答案】
4. 已知，则
【答案】
5. 已知方程组有无穷解，则的值为
【答案】
6. 已知函数的反函数为，则
【答案】3
7. 在的展开式中，含项的系数为
【答案】66
8. 在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为
【答案】
9. 已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为
【答案】17
10. 在△ABC中，，，M为AC的中点，P在AB上，则的最小值为
【答案】
11. 已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点，，
满足恒成立，则a的取值范围是
【答案】
12. 已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、、、，则
【答案】2
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 下列幂函数中，定义域为R的是（ ）
　 A. B. C. D.
【答案】C
14. 已知，下列选项中正确的是（ ）
　 A. B.
C. D.
【答案】B
15. 如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个
时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（ ）次
　 A. B. C. D.
【答案】B
16. 已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（ ）
A. 若，则数列单调递增 B. 若，则数列单调递增
C. 若数列单调递增，则 D. 若数列单调递增，则
【答案】D
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在圆柱中，底面半径为1，为圆柱母线.
（1）若，M为中点，求直线与底面的夹角大小；
（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.
【答案】（1）；
（2）侧面积，体积
18. 已知数列，，的前n项和为.
（1）若为等比数列，，求；
（2）若为等差数列，公差为d，对任意，均满足，求d的取值范围.
【答案】（1）4；（2）
19. 如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
（1）若∠ADE，求EF的长；（长度精确到0.1m）
（2）当AE多长时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？（面积精确到0.01m ）
【答案】（1）m；
（2）最大面积为m
20. 在椭圆中，直线上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
（1）若∠AFB，求椭圆的标准方程；
（2）若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
（3）已知直线BC与椭圆相交于点P，直线AD与椭圆相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）交点为，在椭圆上；
（3）6
21. 已知函数，甲变化：；乙变化：，.
（1）若，，经甲变化得到，求方程的解；
（2）若，经乙变化得到，求不等式的解集；
（3）若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增.
【答案】（1）；（2）；（3）证明略