应用题专题复习教案
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三角函数型应用题教案
一、三角函数性质型：在解三角函数型应用题时，我们要认真读题，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程，在高考中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题。
1.已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0≤t≤24，单位小时）的函数，记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.49
1
0.51
0.99
1.5
经长期观测y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b.
（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.
【解析】（1）由表中数据，知T=12，ω=.由t=0,y=1.5得A+b=1.5.
由t=3,y=1.0,得b=1.0.所以，A=0.5,b=1.振幅A=，∴y=
(2)由题意知，当y>1时，才可对冲浪者开放.∴>1, >0.
∴2kπ–,即有12k–3由0≤t≤24,故可令k=0,1,2,得0≤t<3或9∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9：00至下午15：00.
2、如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.
(1)求A ，ω的值和M，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
【解析】(1)依题意，有A＝2，＝3.
又T＝，所以ω＝.所以y＝2sinx.
当x＝4时，y＝2sin＝3，所以M(4,3)．
又P(8,0)，所以MP＝＝5.
所以NP＝sinθ，MN＝sin(60°－θ)，
故NP＋MN＝sinθ＋sin(60°－θ)＝(sinθ＋cosθ)＝sin(θ＋60°)．
因为0°<θ<60°，所以，当θ＝30°时，折线段赛道MNP最长．
亦即将∠PMN设计为30°时，折线段赛道MNP最长．
【点评】(1)本题第(2)问求解的关键是：①认真分析问题，把实际问题中折线段赛道MNP的长转化为△MNP的两边MN与NP的边长之和；②选取参数∠PMN＝θ，利用正弦定理表示出MN和NP的值．
(2)在解题中要对限制条件θ∈(0°，60°)给予足够的重视．
3、以一年为一周期调查某商品的出厂价格和它的市场销售价格时发现：
信息1：该商品出厂价格是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的．已知3月份出厂价格最高，为8元，7月份出厂价格最低，为4元．
信息2：该商品在市场销售价格是在8元的基础上，按月份也是随正弦曲线波动的．已知5月份销售价格最高，为10元，9月份销售价格最低，为6元．
(1)根据上述信息1和2，求该商品的出厂价格y1和销售价格y2与月份x之间的函数关系式；
(2)若某经销商每月购进该商品m件，且当月能售完，则在几月份盈利最大？并说明理由．
【解析】 (1)依据信息1、2可知，该商品的出厂价格y1和销售价格y2与月份x之间的关系都满足正弦曲线，
故可设y1＝A1sin(ω1x＋φ1)＋B1，y2＝A2sin(ω2x＋φ2)＋B2，
依题意，得B1＝＝6，A1＝2，T＝2(7－3)＝8，所以ω1＝＝.
将点(3,8)代入函数y1＝2sin(x＋φ1)＋6得，φ1＝－，所以y1＝2sin(x－)＋6.
同理，可得y2＝2sin(x－)＋8.
(2)因为利润函数是
y＝m(y2－y1)＝m[2sin(x－)＋8－2sin(x－)－6]＝m[2－2sin(x)]，
所以当x＝6，即6月份时，利润达到最大．
4、.如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM＝R ，，OB与OM之间的夹角为.
（Ⅰ）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成的函数.
（Ⅱ）若 R＝45 m，求当为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？
其最大值是多少？(精确到0.01m2)
【解】（Ⅰ）由题意可知，点M为的中点，所以.
设OM于BC的交点为F，则，.
.
所以
，.
（Ⅱ）因为，则.
所以当 ，即 时，S有最大值.
.
故当时，矩形ABCD的面积S有最大值838.35m2.
5．宽为的走廊与另一走廊垂直相连，如果长为的细杆能水平地通过拐角，则另一走廊的宽度y至少是多少？
解：细杆与另一走廊一边的夹角为，设另一走廊的宽为
，依题意必存在一个适当的0值使最小。
由
令0得得 当时，，当时，，
当时，，即另一走廊的宽度至少是
6.一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为的四分之一圆弧，，分别与圆弧相切于，两点，∥，∥，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是．
（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点．设，试用表示木棒的长度；
（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．
解：(1)如图，设圆弧所在的圆的圆心为，
过点作垂线，垂足为点，且交或其
延长线与于，并连接，再过点作的
垂线，垂足为．
在 中，因为，，
所以．
因为与圆弧切于点，所以，在，因为，，
所以，，
①若在线段上，则
在 中，，因此
②若在线段的延长线上，则
在 中，，
因此
（2）设，则，
因此．
因为，又，所以恒成立，
因此函数在是减函数，所以，
即．
答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为．
7．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；
②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短
【解析】（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故
，又OP＝，
所以，
所求函数关系式为
②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=
所求函数关系式为
（Ⅱ）选择函数模型①，
令0 得sin ，因为，所以=，
当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处。
二、正余弦定理型：解斜三角形应用题的一般步骤是
①分析：准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方向角、方位角等，必要时，画出示意图，化实际问题为数学问题；
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；
④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
解斜三角形应用题常有以下几种情形：
①实际问题经抽象概括后，已知与未知量全部集中在一个三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之；
②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解；
③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形，需连续使用正弦定理或余弦定理．
运用正弦定理和余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件和待求式子的特点，恰当地选择定理．运用正弦定理一般是将边转化为角，而条件中给出三边关系的往往考虑用余弦定理求解．
8.有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现要把倾斜角改为30°，则坡底需伸长 50(－) 米．
【解析】 坡的倾斜角即为坡度，依题意知，该坡的高度不变，即仍为50，当坡的倾斜角变为30°时，坡底的长度为50，所以坡度改后，坡底伸长了50(－)米．
9.在200米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
【解析】画出示意图(如图)，由题意可知，∠DAC＝60°，∠OAC＝∠DAB＝30°，
在△AOC中，AO＝200，所以OC＝，而AD＝OC＝，
在△ABD中，BD＝×＝，
因此塔高为200－＝(米)，故选A.
10．在海岛A上一座海拔1千米的，山顶设有一个观测站P（观测站的高度忽略不计），上午11时，测得一轮船在该岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到上午11时10分，测得此轮船在该岛北偏西60°，俯角为60°的C处（此轮船沿直线行驶），
（1）求轮船的航行速度是每小时多少千米？
（2）又经过一段时间后，轮船按原航线继续行驶到达海岛的正西方向的D处，问此时轮船距岛A有多远？
【解析】（1）在中，．在
在，．
则船的航行速度为（千米/时）．
（2），
=–．
由正弦定理得．。
11.在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.,问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？
【解析】 设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设船速为v，人追上船所用
时间为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间
为，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.
由余弦是理得
整理得.
要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且
解得.
故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km/h时, 人可以追上小船.
12．。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
【解析】（1）为使小艇航行距离最短，理想化的航行路线为OT，小艇到达T位置时轮船的航行位移即，，从而（海里/时）
讨论：（1）若轮船与小艇在A、T之间G位置相遇时，根据小艇的速度限制，有OG若轮船与小艇在H处相遇时，在直角三角形OHT中运用勾股定理有：
，
从而
所以当时，，
也就是说，当小艇以30海里每小时的速度，沿北偏东方向行走能以最短的时间遇到轮船。
法二（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，
则由余弦定理得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC
即：OC2 =（vt）2=400+900t2﹣1200tcos600=900t2﹣600t+400=
当t=时，取得最小值，此时，v=30
（2）要用时最小，则首先速度最高，即为：30海里/小时，则由（1）可得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC即：（30t）2=400+900t2﹣1200tcos600解得：t=，此时∠BOD=30°
此时，在△OAB中，OA=OB=AB=20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
法三(2)而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，O C =，
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，
所以，解得，
从而值，且最小值为，于是
当取得最小值，且最小值为。
此时，在中，，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。
13. 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
14.在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解: （I）如图，AB=40，AC=10，
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为（海里/小时）.
（II） 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1= AB=40,
x2=ACcos,y2=ACsin
所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.
又点E（0，-55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
15、为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图．要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米．为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC的长度为多少米？
【解析】设BC＝a(a＞1)，AB＝c，AC＝b，b－c＝，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos60°，
将c＝b－代入得：(b－)2＝a2＋b2－ab，
化简得b(a－1)＝a2－，因为a＞1，所以a－1＞0，
所以b＝＝
＝(a－1)＋＋2≥＋2.当且仅当a－1＝时取“＝”号，
即a＝1＋时，b有最小值2＋，
答：AC最短为(2＋)米，此时BC长为(1＋)米．
16、如图，有两条相交成60°的直线xx′，yy′，其交点为O，甲、乙两辆汽车分别在xx′、yy′上行驶，起初甲离O点30 km，乙离O点10 km，后来两车均以60 km/h的速度行驶，且甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行驶．求：
(1)起初两车的距离是多少？
(2)t小时后两车的距离是多少？
(3)何时两车的距离最短？
【解析】(1)设甲、乙两车最初的位置为A、B，
则|AB|2＝|OA|2＋|OB|2－2|OA|·|OB|cos60°＝700，
故|AB|＝10 km.
(2)设甲、乙两车t小时后的位置分别为P、Q，
则|AP|＝60t，|BQ|＝60t.
当0≤t≤时，|PQ|2＝(30－60t)2＋(10＋60t)2－2(30－60t)(10＋60t)cos60°；
当t>时，|PQ|2＝(60t－30)2＋(10＋60t)2－2(60t－30)(10＋60t)cos120°.
上面两式可统一为：|PQ|2＝10800t2－3600t＋700，即|PQ|＝10.
(3)因为|PQ|＝10＝10，
故当t＝时，即在第10分钟末时，两车距离最短．
17、某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。
该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d
（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的
实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？
[解析] （1），同理：，。
AD—AB=DB，故得，解得：。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知，得，
，（当且仅当时，取等号）
故当时，最大。
因为，则，所以当时，-最大。
故所求的是m。
数列型应用题教案
数列作为特殊的函数，在高中数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题广泛而多样，如：增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，注意其间的递推关系，建立出等差、等比、或递推数列的模型．
一、等差数列型
1. 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.
解: 设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为，征地费用为元，
楼层建筑费用为[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n－2）] 元，
（元）
当且仅当 , n=20（层）时，总费用y最少.
故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时, 最少总费用为1000A元.
2.某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元.
（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？
（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？
解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f(n),则
f(n)=50n–［12n+×4］–72=–2n2+40n–72
(1)获纯利润就是要求f(n)>0,∴–2n2+40n–72>0，解得2（2）①年平均利润==40–2(n+)≤16.当且仅当n=6时取等号.故此方案先获利6×16+48=144（万美元），
此时n=6,②f(n)=–2(n–10)2+128.
当n=10时，f(n)|max=128.故第②种方案共获利128+16=144（万美元）.
故比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案.
二、等比数列型
3. 市场上某种进口轿车的售价36万元，此处一辆轿车一年的养路费、汽油费，年检费、驾驶工资等约需6万元，同时在使用过程中年折旧费为10%，（就是说这辆车每年减少它当年价值的10%）大约使用多少年后，花费在该车上的养路费、汽油费、年检费、驾驶工资等费用和折旧费之和就达到售价36万元（精确到1年）
解：设使用x年后，花费在该车上的各种费用和折旧费之和为36万元，依题意，
即
化简得，估算得x≈4，使用4年后，花费在该车上费用之和达36万元。
4．随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注。已知2010年1月Q型车的销量为辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1％的比率增长，而R型车前n个月的销售总量Tn大致满足关系式：．
（1）求Q型车前n个月的销售总量Sn的表达式；
（2）比较两款车前n个月的销售总量Sn与Tn的大小关系；
（3）试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20％，并说明理由．
（参考数据 ）
解：（1）Q型车每月的销售量{}足以首项a1 = a，公比q = 1+1％= 1．01的等比数列．．．．．．
前n个月的销售总量
（2）
又
（3）记Q、R两款车第n个月的销量分别为和，则
当n≥2时，
当n≥2时，若
n≥10,即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%．
5．某人计划年初向银行贷款10万元用于买房．他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4％，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多少元（精确到1元）？
解．如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值，与这个人还款的价值总额应该相等．则我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间（即贷款全部付清时）去计算．
10万元，在10年后（即贷款全部付清时）的价值为元．
设每年还款x元．则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；
第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；……；
第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为元．于是：
105×(1+4％)10= x(1+4％)9+x(1＋4％)8＋x(1＋4％)7+…+x
由等比数列求和公式可得：．其中
所以，
6.为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：
贷款期 (年数)
公积金贷款 月利率(‰)
商业性贷款 月利率(‰)
……
11
12
13
14
15
……
……
4.365
4.455
4.545
4.635
4.725
……
……
5.025
5.025
5.025
5.025
5.025
……
汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问： (1)汪先生家每月应还款多少元? (2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少? (参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)
解 设月利率为r，每月还款数为a元，总贷款数为A元，还款期限为n月
第1月末欠款数 A(1＋r)－a 第2月末欠款数 [A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a方
第3月末欠款数 [A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a＝A(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a
……
第n月末欠款数 得：
对于12年期的10万元贷款，n＝144，r＝4.455‰∴
对于15年期的15万元贷款，n＝180，r＝5.025‰
∴
由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元．
(2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款
其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰
∴X＝41669.53
再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元．
需要提及的是，本题的计算如果不许用计算器，就要用到二项展开式进行估算。
三、递推数列型
7．某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%．从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠．
（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？
（Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？
解：设全县面积为1，记2000年底的全县绿地面积占总面积的百分比为，经过n年后全县绿地面积占总面积的百分比为，由题可知：，
所以，当时，，两式作差得：
又，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．
所以，
由上式可知：对于任意，均有．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%．
（Ⅱ）令，得，
由指数函数的性质可知：随的增大而单调递减，因此，我们只需从开始验证，直到找到第一个使得的自然数即为所求．
验证可知：当时，均有，而当时，，
由指数函数的单调性可知：当时，均有．
所以，从2000年底开始，5年后，即2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%．
点评：（Ⅱ）中，也可通过估值的方法来确定的值．
8. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
解 设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，……，每年新增汽车万辆，则，
所以，当时，，两式相减得：
（1）显然，若，则，即，
此时
（2）若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.
（i）若，则对于任意正整数，均有，
所以，，此时，
（ii）当时，，则对于任意正整数，均有，所以，，由，得
，
要使对于任意正整数，均有恒成立，即
对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 , 得,
上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，.
9.某县为了贯彻落实党中央国务院关于农村医疗保险(简称“医保”)政策，制定了如下实施方案：2009年底通过农民个人投保和政府财政投入，共集资1000万元作为全县农村医保基金，从2010年起，每年报销农民的医保费都为上一年底医保基金余额的10%，并且每年底县财政再向医保基金注资m万元(m为正常数).
（Ⅰ）以2009年为第一年，求第n年底该县农村医保基金有多少万元？
（Ⅱ）根据该县农村人口数量和财政状况，县政府决定每年年底的医保基金要逐年增加，同时不超过1500万元，求每年新增医保基金m(单位：万元)应控制在什么范围内.
【解】（Ⅰ）设第n年底该县农村医保基金为an万元，则
，，即.
于是. 所以，
即.
故第n年底该县农村医保基金有万元.
（Ⅱ）若每年年底的医保基金逐年增加，则数列单调递增.
因为是减函数，则1000－10m＜0时，即m＞100.
又恒成立，则.
即10m≤1500，所以m≤150.
故每年新增医保基金m的控制范围是(100，150].
四、双数列型
10．现有流量均为300的两条河流A、B会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2和0.2．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100的水量，即从A股流入B股100水，经混合后，又从B股流入A股100水并混合．问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01（不考虑泥沙沉淀）？
解：分别用来表示河水在流经第n个观测点时，A水流和B水流的含沙量．
则＝2，＝0.2，且
．（＊）
由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列．
由（＊）可得：
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．所以，．
由题，令< 0.01，得．所以，．
由得，所以，．
即从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01．
11．为加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车，今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动车型车每年比上一年多投入辆。
（1）求经过年，该市被更换的公交车总数；
（2）若该市计划7年内完成全部更换，求的最小值。
【解】（1）设分别为第年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，
是首项为128，公比为1+50%=的等比数列，是首项为400，公差为的等差数列，
的前项和的前项和
所以经过年，该市更换的公交车总数为：
（2）若计划7年内完成全部更换，
所以所以
即，所以，又，所以的最小值为147。
12. 甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在、两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从、两个喷雾器中分别取1千克的药水，将中取得的倒入中，中取得的倒入中，这样操作进行了次后，喷雾器中药水的浓度为%，喷雾器中药水的浓度为%．
（Ⅰ）证明是一个常数；
（Ⅱ）求与的关系式；
（Ⅲ）求的表达式．
解：（1）开始时，中含有1012%＝1.2千克的农药，中含有106%＝0.6千克的农药，次操作后，中含有10%＝0.1千克的农药，中含有10%＝0.1千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而有，所以＝18（常数）
（2）第次操作后，中10千克药水中农药的重量具有关系式：，
由（1）知，代入化简得①
(3)令，利用待定系数法可求出＝－9，
所以，可知数列是以为首项，为公比的等比数列，---10分
由①，
由等比数列的通项公式知：
，所以．
五、创新型数列问题
13.汉诺塔问题是指有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等的碟片。按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上：
（1）每次只能移动l个碟片；
（2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面。
如图所示，将B杆上所有碟片移到A杆上，C杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将B杆子上的个碟片移动到A杆上最少需要移动次．
（1）写出的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设,数列的前项和为，证明
解：（Ⅰ），，，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）推测数列的通项公式为.
下面用数学归纳法证明如下：
①当时，从B杆移到A杆上只有一种方法,即，这时成立；
②假设当时，成立.
则当时，将B杆上的个碟片看做由个碟片和最底层1张碟片组成的，由假设可知，将B杆上的个碟片移到C杆上有种方法，再将最底层1张碟片移到A杆上有1种移法，最后将C杆上的个碟片移到A杆上(此时底层有一张最大的碟片)又有种移动方法，故从B杆上的个碟片移到A杆上共有
种移动方法.
所以当时成立.
由①②可知数列的通项公式是.
（说明：也可由递推式，构造等比数列求解）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，
所以=.
= =++…+=.
因为函数在区间上是增函数，
.又，.所以．
14．在一条笔直的工艺流水线上有个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为，，，，每个工作台上有若干名工人．现要在流水线上建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．
（Ⅰ）若，每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（Ⅱ）若，工作台从左到右的人数依次为，，，，，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．
解 设供应站坐标为，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为．
（Ⅰ）．
当时，在区间上是减函数；
当时，在区间上是增函数．
所以，必须位于区间内，此时，当且仅当时，式取最小值，且，即供应站的位置为．
（Ⅱ）由题设知，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为
．
类似于（Ⅰ）的讨论知，，且有
所以，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，在区间上是常数．故供应站位置位于区间上任意一点时，均能使函数取得最小值，且最小值为．
解析几何型应用题教案
建构解析几何型的应用性问题：要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化；要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答.
1.某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如下图所示）.已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工.
解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy，设M（x，y）是沿AP、BP运土同样远的点，则
|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，
∴|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=50.
在△PAB中，由余弦定理得
|AB|2=|PA|2+|PB|2－2|PA||PB|cos60°=17500，且50＜|AB|.由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为－=1（a＞0，b＞0）.
∵解之得.
∴M点轨迹是－=1（x≥25）在半圆内的一段双曲线弧.于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工.
2.A、B、C是我方三个炮兵阵地,A在B的正东,相距6千米,C在B的北偏西相距4千米,P为敌炮阵地,某时刻,A发现P处的某种信号,由于B、C两地比A地距P地远,因此4秒后,B、C才同时发现这一信号(设该信号的传播速度为1千米/秒)
建立适当的坐标系,确定P的位置(即求出P的坐标);
A若炮击P地,求炮击的方向.
解：如下图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则
B（－3，0）、A（3，0）、C（－5，2）.
因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上.
因为kBC=－，BC中点D（－4，），
所以直线PD的方程为y－=（x+4）. ①
又|PB|－|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上.
设P（x，y），则双曲线方程为
－=1（x≥0）. ②
联立①②，得x=8，y=5，
所以P（8，5）.因此kPA==.故炮击的方位角为北偏东30°.
3. 某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验。如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区，其中线段关于坐标轴或原点对称，线段的方程为，过有一条航道。有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点处测得该船发出的汽笛声的时刻总晚（设海面上声速为）。若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船的体积）
（I）问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么？
（II）这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由。
解：设轮船所在的位置为，由题意可得。，
故点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支。
设点的轨迹方程为 则
兴趣小组观察到轮船的当前航线所在的曲线方程是（
（II）这艘船能由海上安全驶入内陆海湾。
设直线的方程为。
当时，设与双曲线右支、直线分别交于点，
则 ，
点在点的左侧，船不可能进入暗礁区。
当时，设与双曲线右支、直线分别交于点，
则，
在点的右侧，船不可能进入暗礁区。
综上，在轴上方，船不可能进入暗礁区，由对称性可知，船能由海上安全驶入内陆海湾。
4.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m，若不考虑水下深度，该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么?
解：如下图，建立直角坐标系，设抛物线方程为y=ax2，则A（10，－2）在抛物线上，
∴－2=ax2，a=－，方程即为y=－x2让货船沿正中央航行.
∵船宽16 m，而当x=8时，y=－·82=1.28 m，
∴船体在x=±8之间通过.由B（8，－1.28），
∴B点离水面高度为6+（－1.28）=4.72（m），而船体水面高度为5 m，
∴无法直接通过.又5－4.72=0.28（m），0.28÷0.04=7，而150×7=1050（t），
∴要用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降.
5.下图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12 m，镜深2 m，
（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；
（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度.
解：（1）如下图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径.
由已知，得A点坐标是（2，6），
设抛物线方程为y2=2px（p＞0），
则36=2p×2，p=9.
所以所求抛物线的标准方程是y2=18x，焦点坐标是F（，0）.
（2）∵盛水的容器在焦点处，∴A、F两点间的距离即为每根铁筋长.
|AF|==（或|AF|=+2=）.
故每根铁筋的长度是6.5 m.
6. 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域．
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．
【解析】（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标
为.当≥2时，由题意知
当
，
因而其方程为
故考察区域边界曲线（如图）的方程为
（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为
7．如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20 m，要求通行车辆限高5 m，隧道全长2.5 km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．
（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h和拱宽l？
（已知：椭圆+=1的面积公式为S=，柱体体积为底面积乘以高.）
（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的倍，试确定M、N的位置以及的值，使总造价最少.
解：如下图建立直角坐标系，则点P（10， 2），
椭圆方程为+=1.将b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程，得a=，此时l=2a=,
因此隧道的拱宽约为 m.
（2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭
圆的面积最小即可．
由椭圆方程+=1，得+=1.因为+≥，即ab≥40，
所以半椭圆面积S=≥.
当S取最小值时，有==，得a=10，b=.
此时l=2a=20， h=b+3=+3
故当拱高为(+3)m、拱宽为20m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小
（3）根据题意设
设
则
令，，
且时，
∴时，取最小值，此时,代入椭圆方程得
∴
8．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.
（Ⅰ）用x，y表示混合食物成本c元；
（Ⅱ）确定x，y，z的值，使成本最低．
讲解：（Ⅰ）由题，，又，所以，．
（Ⅱ）由得，，所以，
所以，
当且仅当时等号成立．
所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为850元．
点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域上使得最大的点．不难发现，应在点M（50，20）处取得．
9. 某人上午7时乘摩托艇以匀速V千米/小时（4≤V≤20）从A港出发前往50千米处的B港，然后乘汽车以匀速W千米/小时（30≤W≤100）自B港向300千米处的C市驶去，在同一天的16时至21时到达C市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x小时、y小时，若所需经费元，那么V、W分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.
解: 由于又,
则z最大时P最小.
作出可行域，可知过点（10，4）时, z有最大值38，∴P有最小值93，这时V=12.5，W=30.
10.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm
（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？
（2）某广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
P
解：设馐盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得
（1）
所以当时，S取得最大值.
（2）
由（舍）或x=20.
当时，
所以当x=20时，V取得极大值，也是最小值.
此时装盒的高与底面边长的比值为
函数型应用题教案
建构函数模型的应用性问题：一般先从建立函数的解析式入手，是二次型还是指数函数型还是对数函数型，通过研究函数的性质获得解答．因此，这类问题的难点一般有两个：一是解析式的建立，二是数学知识的灵活应用．
1．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
讲解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车．
（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：
．
整理得：．
所以，当时，最大，最大值为307050．即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元．
2. 中国跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为如下图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.
在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距水面高度为5 m或5 m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.
（1）求这条抛物线的解析式.
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.
（3）要使此次跳水不至于失误，该运动员按（1）中抛物线运行，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多少？
解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.
由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）、（2，－10），且顶点A的纵坐标为，所以有
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴－＞0.又∵抛物线开口向下，∴a＜0.∴b＞0，后一组解舍去.
∴a=－，b=，c=0. ∴抛物线的解析式为y=－x2+x.
（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3m时，即x=3－2=时，
y=（－）×（）2+×=－，
∴此时运动员距水面的高为10－=＜5.因此，此次跳水会出现失误.
（3）当运动员在x轴上方，即y＞0的区域内完成动作并做好入水姿势时，当然不会失误，但很难做到.
∴当y＜0时，要使跳水不出现失误，则应有|y|≤10－5，即－y≤5.∴有x2－x≤5，
解得2－≤x≤2+.
∴运动员此时距池边的距离至多为2+2+=4+m.
3．某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)．
已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元．
（Ⅰ）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；
（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？
解 （Ⅰ）设该店的月利润为S元，有职工m名．则
．
又由图可知：．
所以，
由已知，当时，，即
解得．即此时该店有50名职工．
（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则月利润
当时，求得时，S取最大值7800元．
当时，求得时，S取最大值6900元．
综上，当时，S有最大值7800元．
设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有．解得．
所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元．
4．某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P与日产量x（件）之间大体满足关系：
．
注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．
已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量．
（Ⅰ）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；
（Ⅱ）当日产量为多少时，可获得最大利润？
解：（Ⅰ）当时，，所以，每天的盈利额．
当时，，所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件．故，每天的盈利额
综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，每天的盈利额为0．
当时，．令，则．故
．（等号当且仅当，即时成立）．所以
（1）当时，（等号当且仅当时成立）．
（2） 当时，由得，易证函数在上单调递增（证明过程略）． 所以，．所以，
．
即．（等号当且仅当时取得）
综上，若，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润．
5.运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v千米/小时、2v千米/小时、10v千米/小时，每千米的运费分别为a元、b元、c元.且b＜a＜c,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.（题中字母均为正的已知量）
解：设运输路程为S（千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为y1(元)、y2(元)、y3(元).则由题意，
,
由a>b,各字母均为正值，所以y1–y2>0，即y20,由c>b及每字母都是正值，得c>b+.所以，当c>b+时y26．在铁路线上AB=100千米，工厂C到A的距离CA=20千米，要在AB上某一点D处向C修一条公路，已知铁路每吨公理与公路每吨公里的运费之比为3：5。为了使从供应站B→D→C的运费最省，D点距A多少千米？
解：设DA=x，则BD=100-x，
（由题意，每吨公里，铁路运费：公路运费=3：5→设3a：5a）
每吨公里：铁路BD的运费为3a，公路DC的运费为5a
则由B—D—C的运费
令 （△）
即，两边平方
即∵△≥0，得u≥80，
当u=80，由（△）式 x=15，
∴当D距A，15公里时，B—D—C的运费最省。
7. 为处理含有其种杂质的污水要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出设箱底的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与ab成反比，现有制箱材料60平方米。
问当a、b各为多少时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小，（A、B孔面积忽略不计）
解：依题意有2ab+2a+4b=60，ab+a+2b=30，a+2b=30-ab，但
即，设，
∴，∴，
依题意：应该，当时，即ab=18时。
也即当a=2b时，ab取得最大值为18，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小，此时a=6米，b=3米。
8.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时, 要耗油(． 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17．5升． (2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)=()·,
h＇(x)=(0＜x≤120)，令h＇(x)=0，得x=80． 当x∈(0,80)时，h＇(x)＜0,h(x)是减函数; 当x∈(80,120)时，h＇(x)＞0,h(x)是增函数． ∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11．25． 因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值． 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11．25升． 9. 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员人（140<<420，且为偶数），每人每年可创利万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
解 设裁员人，可获得的经济效益为万元,则
=
依题意 ≥∴0<≤.又140<<420, 70<<210.
(1)当0<≤,即70<≤140时， , 取到最大值;
(2)当>,即140<<210时， , 取到最大值;
综上所述，当70<≤140时，应裁员人；当140<<210时，应裁员人.
10.有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)= +［g(0)- ］·e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始质量分数.
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
（2）求证：当g(0)< 时，湖泊的污染程度将越来越严重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？
解（1）∵g(t)为常数, 有g(0)-=0, ∴g(0)= .
(2) 我们易证得0g(t1)-g(t2)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］,
∵g(0)·<0,t1e,∴g(t1)故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.
(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)·e,设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?
∴=e，∴t= ln20，
故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.
11. 如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。
（Ⅰ）写出的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。
解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，
故.
（II）由(I)知，当时，
当时，
故。
(1)当时，是关于的减函数.故当时，。
(2) 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，。
优选法与试验设计复习教案
考点解析：
考点1 什么叫做优选法
一．什么叫做优选法
1. 如果影响试验的某个因素（记为）处于某种状态(记为)时，试验结果最好，那么这种状态（）就是这个因素（）的 最佳点 .
2. 对试验中相关因素的最佳点的选择问题，称为 优选问题 .3. 利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点，从而解决优选问题的科学试验方法，称为 优选法 .
4. 优选法是一种旨在 提高效率 . 在科学试验和生产工艺条件选择中，它可用以合理安排试验，以较少的试验次数找到合理的配方、合适的工艺条件等.它所依据的是 数学上寻找函数极值（极大或极小）点 的较快的计算方法.
5. 在进行合理的试验安排中，对试验情况的考虑及试验次数的计数，常常用 等计数方法和原理.
例1、下列各问题中，不属于优选问题的是（ ）
用热水器洗澡时，把开关调到“合适”的位置 举重运动员在比赛时，选第一次抓住的重量
足球比赛中，上下半场交换场地 营养师在调配饮料时，选取合适的“配方”
考点2．单峰函数
1. 函数在区间上只有唯一的最大值点(或最小值点)，而在最大值点(或最小值点) 的左侧，函数单调增加(减少)；在的右侧，函数单调减少(增加)，则称这个函数为区间上的 单峰函数 ，其中点叫做最大值(或最小值)点 ，最大值(或最小值)称为 最值 .
2. 单峰函数 可以是 连续函数，也 可以不是 连续函数.
3. 如果函数在区间上有唯一的极值点，则在区间上 是 单峰函数.
4. 如果函数在区间上是单调函数，则在区间上是单峰函数。
5. 若函数在区间上是单峰函数，是最佳点，如果在区间上任取，如果在试验中效果较好的点是，则必有和在的 同侧 ，若以为分界点，含点的区间范围是函数的一个 存优范围 .
例1、下列函数中：
①；②;③;④
其中单峰函数是 .
变式训练： 关于单峰函数，有下列说法：
①在区间上的单峰函数就是只有一个极大值点的函数；
②在区间上的单调函数不是单峰函数；
③区间上的单峰函数可以是不连续函数.
其中正确的有 .
考点3 黄金分割法： b
1、 黄金分割常数用表示，其值 ，其近似值是 .
2、 利用黄金分割常数确定试点的方法叫做 ，又叫 .
3、 利用黄金分割法寻找最佳点，为了合理地选取实验点，需要注意两点：
①每次要进行比较的两个试验点，应关于 存优范围的中心对称 .
②每次舍去的区间长与舍去前的区间长的比例数大约是 0.618 .
4、在因素范围内选两点各做一次试验
第一试点 第二试点
第n试点，即“加两头，减中间”
5、n次试验后的精度为
用0.618法确定试点时，从第二次试验开始每次试验都把存优范围缩小为原来的0.618，所以
当精度。
例1、下列关于黄金分割常数的说法中：
①；②；③；④方程的根是.
其中正确的是 .
例2、若试验的因素范围是，用黄金分割法来确定试验点，则第一个试验点是（ ）
例3、配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10mL到110mL之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量是（ ）
35mL 40.9mL 33.6mL 86.4mL
例4、用0.618法确定试点，则经过5次试验后，存优范围缩小为原来的（ ）
三、达标训练
1. 用0.618法选取试点，试验区间为，若第一个试点处的结果比处好，且，则第三个试点应选取在 .
2. 若某实验的因素范围是，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量.分别以表示第次试验的加入量（结果都取整数）
（1） ；
（2）若干次试验后的存优范围包含在区间内，则 .
3. 用黄金分割法对某试验进行优选，要达到精度0.1的要求需要 次试验. （）
4. 用0.618法进行优选法时，若某次存优范围上的一个好点是，则的值为 .
考点4 分数法
0.618法不能用于一切优选问题，如某些问题的试验范围是由不连续的点组成，试点只能取某些特定数，此时一般用 分数法 进行优选问题.
分数法的基本思想是 渐进分数近似代替 来确定第一个试验点的值，后续试点都可以用“加两头，减中间 ”的方法来确定.
连分数：的根，即
写成
斐波那契数列的前两项为 1,1 ，从第三项起，每一项是其相邻的前两项的和，即： ，其通项公式是 .
如：试验范围为13格，则代替0.618。 小+大—中（加两头，减中间）
用分数法安排试点时，若可能的试点总数正好是某一个 ，则前两个试点放在因素范围的 和 位置上.若可能的试点总数大于某一个 ，而小于 ，先分析能否减少试点数，把所有可能的试点数减少为 ；如果不能减少，则采取试点范围之外，虚设几个试点，凑成 个试点.
在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过次试验保证从
个试点中找出最佳点.
6、精度：用分数法做k次试验，用代替0.618，其精度为
例1、 . 变式1：若，则 .
例2、在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为 等七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优选试验时，依次将电阻值从小到大安排序号，则第一个试点值的电阻是（ ）
例3、某试验因素对应的目标函数是单峰函数，若用分数法需要从20个试验点中找到最佳点，则需要做试验的次数是 次.
三、达标训练
1. 下列关于分数法的叙述中：
①分数法是用分数值近似代替黄金分割法常数，分数法与0.618法并无其他不同；
②分数法在第一个试点确定后，后续试点都可以用“加两头，减中间”的方法来确定；
③在目标函数为单峰的情形，通过次试验，最多能从个试点中保证找出最佳点；
④在目标函数为单峰的情形，只有安排分数法安排试验，才能通过次试验，保证从个试点中找出最佳点.
其中正确的叙述有 .
2. 配置某种饮料，需要加入某种配料.经验表明，加入量超过120ml肯定不好，用120ml的锥形量杯加入量，该量杯的量程分为12格，每格代表10ml，若用分数法安排各试验点的测试，则第二次的试点值是 ml.
考点5 对分法：
1. 试验时对每个试点都取在因素范围的中点，将因素范围对分为两半，这种方法称为 .
2. 从试验的效果来看，对分法比0.618法的效果 ，每次可以去掉 存优区间.
但并不是所有的试验都可以用对分法，如果每做一次试验，根据结果可以决定下个试点的存优范围 ，就可以用对分法.
3. 对分法的操作步骤： 第一次在试验因素范围的 （）处做，然后根据试验结果判断下次试验的方向，若试验结果表明取小了，那么存优范围是 ；若试验结果表明取大了，那么存优范围是 .
4. 用对分法寻找最佳点时，次试验后的精度为 .
例1、有一条1000m长的输电线路出现了故障，在线路的开始端处有电，在末端处没有电，现
在用对分法检查故障所在位置，则第二次检查点在（ ）
500m处 250m处 750m处 250m或750m处
例2、用对分法进行试验时，3次试验后的精度为 .
三、达标训练
1. 蒸馒头的问题里，当放碱太少时，馒头不好吃，碱放多了也不好吃，要找到合适的放碱量，则采用（ ）好些.
黄金分割法 分数法 对分法 盲人爬山法
2. 用对分法寻找最佳点时，达到精度为0.01的要求需要 次试验. （）
考点6 盲人爬山法:
盲人爬山法是一种 小步调整策略 的优选法，其依据的原理就是 单峰函数的最佳点与好点在差点的同侧 .
盲人爬山法的操作步骤：
先找一个起点(可以根据经验或估计)，在点做试验后可以向该因素的减少方向找一点做试验，如果好，就继续减少 ；如果不好，就往因素的增方向找一个试点C 做试验，这样一步一步地提高.如果增加到点，再增加点时反而坏了，这时可以从点减少增加的步长，如果还是没有点好，则 就是该因素的最佳点.
3. 盲人爬山法的效果与 起点， 关系很大，另外， 每步间隔的大小 对试验效果关系也很大，在实践中往往采用 两头小，中间大 的办法.其特点：可用在某些可变因素要调到某点，必须经过由小到大或由大到小的连续过程的问题上。
例1、关于盲人爬山法，下列说法中，不正确的是（ ）
盲人爬山法是一种采用小步调整策略的优选法
盲人爬山法的原理就是单峰函数的最佳点与好点在差点的同侧
盲人爬山法应用于某些可变因素要调到某点，必须经过由小到大或由大到小的连续过程的问题上
盲人爬山法在实践中往往采取“两头大，中间小”，即先在各方向上用大步试探开始
例2、小明家安装了太阳能热水器，水管水温最高时可达，安装技术员小刘告诉小明，在使用过程中，先不要直接打开开关，站在淋浴头下洗，这样容易烫伤，最好先根据个人情况调试好开关（开关从左往右表示水温依次加高）至合适的水温，再去冲洗.这种寻找“合适”水温的方法是（ ）
黄金分割法 分数法 对分法 盲人爬山法
考点7 分批试验法
分批试验法是为了 缩短试验总时间，加快试验进度 而采用的方法，即把全部试验分 分几批做 ，一批同时安排 几个试验 ，同时进行比较，一批一批做下去，直到找出最佳点.分批试验法可分为 均分分批试验法 和 比例分割分批试验法 两种.
在均匀分批试验法中，假设每批做个试验.首先个均分点把试验范围均分为 2n＋1 份，若是好点，则存优范围是 .再将均分为 2n＋2 份，即将个试验点均匀地安排在 xi两侧 ，在未做过试验的 个分点上再做试验.如此反复，就能找到最佳点.用这个方法，第一批试验后存优范围为原来的 ，以后每批试验后，存优范围都为前次留下的 .
在比例分割分批试验法中，假设每批做个试验.
每批试验个数
试验范围等分数
第一批试验点
图示
2
7
3，4
22
4
17
5，6，11，12
444
6
31
7，8，15，16，23，24
6666
二、典例解析
例1、（1）对试验范围是的单因素进行均分分批试验法，若第一次做2个试验，则这两个试验点的值分别是（ ） 2，5 2，4 3，4 4，5
变式1：对试验范围是的单因素进行均分分批试验法，若第一次做2个试验，则这两个试验点的值分别是（ ） 3，5 4，7 4，6 5，6
变式2：某优选试验中需要用均分分批试验法来寻找最佳点，已知试验范围是，若准备每批做3个试验，则第一批试验点的值应该是 .
（2）用均分分批试验法在试验范围内安排2个试验点，通过试验结果表明有一个是好点，则试验后的存优范围是原来的（ ）
变式1：某优选试验中需要用均分分批试验法来寻找最佳点，已知试验范围是，若准备每批做4个试验，第一批试验后的存优范围是原来的 ，第二批试验后的存优范围是上一批试验后存优范围的 .
例2、（1）对试验范围是的单因素进行比例分割分批试验法，若第一次做2个试验，则这两个试验点的值分别是（ ） 2，5 2，3 3，4 4，5
变式1：对试验范围是的单因素进行比例分割分批试验法，若第一次做4个试验，则这四个试验点的值分别是（ ） 3，4，5，6 9，10，13，14 7，8，11，12 15，16，17，18
（2）用比例分割分批试验法在试验范围内安排2个试验点：5，6，通过试验结果表明有一个是好点，则试验后的存优范围是原来的（ ）
考点8 多因素优选问题
1．在优选问题中，影响试验结果的因素不只一个，而是有多个因素，这就是多因素优选问题 .
双因素问题是最常见的多因素问题，处理双因素问题，一般采用 降维法 来解决.
2. 对于双因素的降维法，一般是先固定一个因素 ，对另一个因素进行优选，然后 固定第二个因素 ，再对 第一个因素进行优选 进行优选，依次继续，直到找到最佳点.
3. 处理双因素问题的常见优选方法有 纵横对折法 ，平行线法 ，从好点出发法 , 双因素盲人爬山法 .
一、纵横对折法
以横坐标表示因素Ⅰ，纵坐标表示因素Ⅱ，因素Ⅰ与因素Ⅱ的试验范围分别为，。
（1）将因素Ⅰ固定在中点 处,对因素Ⅱ进行优选，得最佳点，又将因素Ⅱ固定在
处，对因素Ⅰ进行优选，得到最佳 因素Ⅱ
点，比较和的试验结果，
若比好，则沿坏点所在的
线，丢弃不包括好点所在的半个 因素Ⅰ
平面区域。因素Ⅰ的新范围为。
（2）取中点，对因素Ⅱ优先得最佳点。若比好，则沿坏点所在的线丢弃。
（3）n次优选后存优范围变为原来的
二. 从好点出发法：
每次对一个因素的固定点不一定取中点，如果先将因素Ⅰ固定在原生产点(或黄金分割点)c1处，对因素Ⅱ进行单因素优选，得到最佳点A1(c1，c2)；再将因素Ⅱ固定在c2处，对因素Ⅰ进行单因素优选，得到最佳点B1(d1，c2),再将因素Ⅰ固定在d1处，对因素Ⅱ进行单因素优选，得到最佳点A2(d1，d2)，如此继续下去，不断缩小存优区域，就能找到所需要的最佳点，这个方法称为从好点出发法.
其特点就是：对某一因素进行优选试验时，另一因素固定在上次试验结果的好点上 （除第一次外）.
三. 平行线法
（1）平行线法用于双因素问题中，若一个因素不容易调整，而另一个因素容易调整的情形;
（2）步骤：
①先将 不容易调整因素 （记为因素Ⅱ，并用纵坐标表示）固定在因素范围的 0.618 处，
用 对另一个因素（记为因素Ⅰ，并用横坐标表示）进行优选，得到最值点;
②然后再将不容易调整因素 固定在其因素范围的 0.382 处，再用单因素法对 因素Ⅰ进行优选，得到最值点.
③若点比点好，则去掉 ；若点比点差，则去掉 .
④然后按 优选 法找出因素Ⅱ的第三好点，对因素Ⅰ进行单因素优选，，如此
继续下去，直到找到满意的结果为止.
其特点：每次试验都是在相互平行的直线上做.
四. 双因素盲人爬山法
在试验范围区域上从某点出发，向 向前后左右 四个方向前进一步，
如向右前进一步，若得到的点要好，再 向右 前进一步，若不好，
则改变前进方向，若在某处的四个方向的点都不比好，就认为这
个双因素单峰问题的最佳点是 .例1、右图是一个纵横对折法某次试验后得到两个因素Ⅱ
试验点,，比较试验结果表明比好， 40
则存优范围（Ⅰ，Ⅱ分别表示两个因素）
是 . 30
20 因素Ⅰ
10 15 30
例2、右图是某双因素试验结果图，则这种方法应该是（ ）
纵横对折法 因素Ⅱ
从好点出发法 1
平行线法
盲人爬山法 0.618
0.382
0 1 因素Ⅰ
三、达标训练
1. 下列四个优选方法中，哪一个方法不是用于双因素优选法（ ）
纵横对折法 对分法 平行线法 盲人爬山法
某一平行线法优选问题中的图如下图所示，则图中 , .
因素Ⅰ
1
0.618
0 1 因素Ⅱ
第二讲 试验设计初步
在试验中变化的因素用A，B，C，…表示，因素在试验中所取的不同状态称为水平，因素A的r个不同的水平用A1，A2，…，Ar表示.
1. 正交表
记号L4(23)的含意.符号“L”表示正交表，L右下角的数字4表示这张正交表有4行，它意味着需要做4次试验.括号里的指数3表示这张正交表有3列，每列中的数字代表试验因素，每列仅可放一个因素，它意味着最多可安排3个因素.括号内的数字2表示表的主要部分只有两种数字——1和2，它们分别是因素的1水平和2水平的代号，因此L4(23)是一张2水平的正交表.
常用的正交表有二水平正交表L4(23)，L8(27)，L12(211)，L16(215)；三水平正交表L9(34)，L27(213)；四水平正交表L16(45).
2. 试验结果的分析
(1) 直接对比法：从试验结果中直接找到最优组合.
(2) 直观分析法： 用Kpq表示L4(23)表中对应第q列中水平p的试验结果之和，kpq表示Kpq的平均值，即
用表示表中对应q列中水平p的试验结果之和，表的平均值
记可以通过的大小来确定因素对试验结果影响的主次，找出影响试验结果的主要因素。大的为主要因素。
例1 某农场希望知道某个玉米品种的高产栽培条件.研究人员选择了3个试验
因素：种植密度、施化肥量、施化肥时间，每个试验因素选3个水平，如表.
(3)按这个安排，需要做9次试验.经过试验，
将试验的结果列在表中.
(4)画产量和因素的关系图.找到最佳组合。
优选法练习
3．用0.618法寻找某实验的最优加入量时，若当前存优范围是[628,774]，好点是718，
则此时要做试验的加入点值是 ( )
A. B．628＋0.618×(774－628) C．628＋774－718 D．2×718－774答案：C
4．某实验因素对应的目标函数是单峰函数，若用分数法需要从20个试验点中找最佳点，
则需要做试验的次数是 ( )
A．6次 B．7次 C．10次 D．20次 答案：B
5．有一条1 000 m长的输电线路出现了故障，在线路的开始端A处有电，在末端B处没
有电，现在用对分法检查故障所在位置，则第二次检查点在 ( )
A．500 m处 B．250 m处 C．750 m处 D．250 m或750 m处 答案：A
5．在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.8 kΩ， 1.2
kΩ，1.8 kΩ，3 kΩ，3.5 kΩ，4 kΩ，5 kΩ等七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进
行优选试验时，依次将电阻值从小到大安排序号，则第1个试点值的电阻是( )
A．0.8 kΩ B．1.8 kΩ C．3 kΩ D．3.5 kΩ答案：B
7．对试验范围是(0,7)，采用分批试验法，第一批取的试验点值是3,4，则这种分批试验法是_____．答案：比例分割分批试验法
8．(2010·湖南高考)已知一种材料的最佳加入量在110 g到210 g之间，若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是________g.答案：148.2
9．若某原始的因素范围是[100,1 100]，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量．分别以an表示第n次试验的加入量(结果都取整数)．
(1)求a1，a2.
(2)若干次试验后的存优范围包含在区间[700,750]内，请写出{an}的前6项．
(3)在条件(2)成立的情况下，写出第6次试验后的存优范围．
解：(1)由黄金分割法知：第一次的加入量为：a1＝100＋0.618×(1 100－100)＝718.
所以a2＝100＋1 100－718＝482.
(2)因为[700,750]包含存优范围，所以最优点在区间[700,750]上．由此知前两次试验结
果中，好点是718，所以此时存优范围取[482,1 100]，所以a3＝482＋1 100－718＝864，
同理可知第三次试验后，好点仍是718，此时存优范围是[482,864]．所以a4＝482＋
864－718＝628.同理可求得a5＝628＋864－718＝774；a6＝628＋774－718＝684.
(3)由(2)知第6次试验前的存优范围是[628,774]，又718是一个好点，第6次试验点
是684，比较可知718是好点，去掉684以下的范围，故
10．用黄金分割法找最佳点的过程中，每次舍去后的存优区间占舍去前的全区间的比例数为（ ）
(A) , (B) (C) (D) .
11．在个试点中，用分数法去找到最佳点只需要的试验次数为
12．若试验范围是，用分数法去找到最佳点，用、、把试验范围分为13格，则试点分别等于（ ）
优选法与实验设计练习
1. 下列结论中正确的是( )
Ａ. 运用0.618法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点
Ｂ. 运用分数法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点
Ｃ. 运用对分法和分数法在确定下一个试点时，都需要比较前两个试点的试验结果
Ｄ. 运用盲人爬山法寻找最佳点，在试验范围内取不同的点作起点，其效果快慢差别不大
2. 下列函数中在[－1，4]上不是单峰函数的是 ( )
A. y= B. y=-2x+3 C. y=sinx D. y=cosx
3. 在应用0.618法确定试点时，n次试验后的精度为( )
A. B. C. D.
4. 在下面优选法中，每次（批）试验后都能将存优范围缩小为相同比例的是( )
A. 0.618法 B. 对分法 C. 均分分批试验法 D. 比例分割分批试验法
5. 如图，用平行线法处理双因素问题时，首先将难以调整的因素Ⅱ固定在0.618处，得到最佳点在A1处，然后再把因素Ⅱ固定在0.382处，得到最佳点A2，若A2处的试验结果比A1处的好，则第三次试验时，将因素Ⅱ固定在 ()
A. 0.764
Ｂ. 0.236
Ｃ. 0.500
Ｄ. 0.309
6. 在配置一定量的某种清洗液时，需要加入某种溶剂，经验表明，加入量大于5 000 ml或小于3 000 ml时，效果肯定不好，用0.618法来确定这种溶剂的最佳加入量，则前两次试验加入的量分别为（ ）
Ａ. 4 500，3 500 Ｂ. 4 382，3 618 Ｃ. 4 236，3 764 Ｄ. 4 618，3 618
7. 利用纵横对折法解决双因素问题时，先将因素Ⅰ固定在试验范围的中点c1处，对因素Ⅱ进行单因素优选得到最佳点A1，同样将因素Ⅱ固定在中点c2，对因素Ⅰ进行单因素优选得到最佳点A2，若A1处的试验结果比A2处的好，则下图中阴影部分能表示好点所在范围的是( )
8. 利用从好点出发法解决双因素问题时，若因素Ⅰ的范围是（），因素Ⅱ的范围是，先固定因素Ⅰ在试验范围的0.618的处，得到最佳点 ，然后将因素Ⅱ固定在，得到最佳点，然后( )
A. 将因素Ⅰ固定在，在范围内优选因素ⅡB. 将因素Ⅰ固定在，在范围内优选因素Ⅱ
C. 将因素Ⅰ固定在，在范围内优选因素Ⅱ D. 将因素Ⅱ固定在，在范围内优选因素Ⅰ
9. 如图，在每批做２个试验的比例分割分批法中，将试验范围7等分，第１批试验先安排在左起第３，４两个点上，若第３个点为好点，则第２批试验应安排在 和 两个点上.
10. 某主妇在学做用一定量的面粉蒸馒头时，按照邻居的建议放了１３克碱后发现馒头发黄且有碱味，决定自己用分数法找出合适的放碱量，则她第１，２次试点的放碱量分别为 克和 克.
11. 在配置某种清洗液时，需要加入某种材料，加入量大于１３０ml或小于10ml均不好，若利用均分分批试验法在(10，130)内优选加入量，每批安排２个试验，则第１批试验加入的量为 ml和 ml.
12. 某农科所培育了一种玉米新品种，为确定该品种的高产栽培条件，科研人员选择了三个试验因素：种植密度、施化肥量、施农药量，分别记为A，B，C，每个试验因素选2个水平，如下表：
A
种植密度（株/亩）
B
施化肥量（kg/亩）
C
施农药量（kg/亩）
1
4000
50
20
2
3500
40
10
用正交试验设计安排试验，选择适合试验要求的正交表L4(23)，按照正交表安排，需做４次试验，试验安排及结果如下表：
A种植密度
（株/亩）
B施化肥量
（kg/亩）
C施农药量
（kg/亩）
试验结果
亩产量（kg）
1
（4000）
（50）
（20）
520
2
（4000）
（40）
（10）
480
3
（3500）
（50）
（10）
430
4
（3500）
（40）
（20）
460
？
？
？
？
？
？
？
？
？
试将表中的“？”处填上数据，并指出影响产量的主要因素及高产栽培的最好条件.
参考答案
1. B 解析：运用0.618法寻找最佳点时，随着试验次数的增加，最佳点被限定在越来越小的范围内，故Ａ错；按照分数法安排试验，通过n次试验保证能从（Fn+1－１）个试点中找出最佳点，故Ｂ正确；运用对分法在确定下一个试点时，只需要比较试验结果与已知标准（或要求)，故Ｃ错；爬山法的效果快慢与起点的关系很大，起点选得好,可以省好多次试验，故Ｄ错.
2. D 解析：函数y=cos x在[－1，4]上既有最大值，也有最小值，故不是单峰函数.
3. C 解析：应用0.618法确定试点时，从第２次试验开始，每次试验都把存优范围缩小为原来的0.618，故n次试验后的精度为.
4. B 解析：对分法每次试验后都能将存优范围缩小为原来的，其余三种方法都是从第２次（批）起，每次（批）试验后将存优范围缩小为相同比例.
5. B 解析：因为A2处的试验结果比A1处的好，所以好点在因素Ⅱ的0~0.618之间，由0.618法，第三次试验时，将因素Ⅱ固定在0.618＋０－0.382＝0.236处.
6. C 解析：x1=3000+0.618×(5000-3000)=4236,x2=3000+5000-4236=3764.
7. D 解析：因为A1处的试验结果比A2处的好，所以存优范围包含点A1.
8. B 解析：由于A2比A1好，故去掉A1右边的平面区域，试验范围缩小为a1≤Ⅰ≤c1，b1≤Ⅱ≤b2.
9. 1 2 解析：第３个点为好点，则存优范围为左端到第４个分点，故第２批安排在没有做过试验的第１，２两个分点上.
10. 8 5 解析：放碱量１，２，…，１２将试验范围分为１３格，故第１试点为x1=0+(13-0)=8，第２试点为x2=0+13-8=5.
11. 50 90 解析：将试验范围分为３份，中间两个分点为50，90.
12. k11==500,k21==445,R1=55,k12==475,k22==470,R2=5,
k13==490,k23==455,R3=35,
表中的“？”处填上数据如下：
500
475
490
445
470
445
55
5
35
种植密度是主要因素，高产栽培的最好条件是种植密度4000株/亩、施化肥量50kg/亩、施农药量20kg/亩.
所求存优范围是[684,774]．
一、三角函数性质型：在解三角函数型应用题时，我们要认真读题，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程，在高考中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题。
1.已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0≤t≤24，单位小时）的函数，记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.49
1
0.51
0.99
1.5
经长期观测y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b.
（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.
【解析】（1）由表中数据，知T=12，ω=.由t=0,y=1.5得A+b=1.5.
由t=3,y=1.0,得b=1.0.所以，A=0.5,b=1.振幅A=，∴y=
(2)由题意知，当y>1时，才可对冲浪者开放.∴>1, >0.
∴2kπ–,即有12k–3
2、如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.
(1)求A ，ω的值和M，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
【解析】(1)依题意，有A＝2，＝3.
又T＝，所以ω＝.所以y＝2sinx.
当x＝4时，y＝2sin＝3，所以M(4,3)．
又P(8,0)，所以MP＝＝5.
所以NP＝sinθ，MN＝sin(60°－θ)，
故NP＋MN＝sinθ＋sin(60°－θ)＝(sinθ＋cosθ)＝sin(θ＋60°)．
因为0°<θ<60°，所以，当θ＝30°时，折线段赛道MNP最长．
亦即将∠PMN设计为30°时，折线段赛道MNP最长．
【点评】(1)本题第(2)问求解的关键是：①认真分析问题，把实际问题中折线段赛道MNP的长转化为△MNP的两边MN与NP的边长之和；②选取参数∠PMN＝θ，利用正弦定理表示出MN和NP的值．
(2)在解题中要对限制条件θ∈(0°，60°)给予足够的重视．
3、以一年为一周期调查某商品的出厂价格和它的市场销售价格时发现：
信息1：该商品出厂价格是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的．已知3月份出厂价格最高，为8元，7月份出厂价格最低，为4元．
信息2：该商品在市场销售价格是在8元的基础上，按月份也是随正弦曲线波动的．已知5月份销售价格最高，为10元，9月份销售价格最低，为6元．
(1)根据上述信息1和2，求该商品的出厂价格y1和销售价格y2与月份x之间的函数关系式；
(2)若某经销商每月购进该商品m件，且当月能售完，则在几月份盈利最大？并说明理由．
【解析】 (1)依据信息1、2可知，该商品的出厂价格y1和销售价格y2与月份x之间的关系都满足正弦曲线，
故可设y1＝A1sin(ω1x＋φ1)＋B1，y2＝A2sin(ω2x＋φ2)＋B2，
依题意，得B1＝＝6，A1＝2，T＝2(7－3)＝8，所以ω1＝＝.
将点(3,8)代入函数y1＝2sin(x＋φ1)＋6得，φ1＝－，所以y1＝2sin(x－)＋6.
同理，可得y2＝2sin(x－)＋8.
(2)因为利润函数是
y＝m(y2－y1)＝m[2sin(x－)＋8－2sin(x－)－6]＝m[2－2sin(x)]，
所以当x＝6，即6月份时，利润达到最大．
4、.如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM＝R ，，OB与OM之间的夹角为.
（Ⅰ）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成的函数.
（Ⅱ）若 R＝45 m，求当为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？
其最大值是多少？(精确到0.01m2)
【解】（Ⅰ）由题意可知，点M为的中点，所以.
设OM于BC的交点为F，则，.
.
所以
，.
（Ⅱ）因为，则.
所以当 ，即 时，S有最大值.
.
故当时，矩形ABCD的面积S有最大值838.35m2.
5．宽为的走廊与另一走廊垂直相连，如果长为的细杆能水平地通过拐角，则另一走廊的宽度y至少是多少？
解：细杆与另一走廊一边的夹角为，设另一走廊的宽为
，依题意必存在一个适当的0值使最小。
由
令0得得 当时，，当时，，
当时，，即另一走廊的宽度至少是
6.一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为的四分之一圆弧，，分别与圆弧相切于，两点，∥，∥，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是．
（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点．设，试用表示木棒的长度；
（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．
解：(1)如图，设圆弧所在的圆的圆心为，
过点作垂线，垂足为点，且交或其
延长线与于，并连接，再过点作的
垂线，垂足为．
在 中，因为，，
所以．
因为与圆弧切于点，所以，在，因为，，
所以，，
①若在线段上，则
在 中，，因此
②若在线段的延长线上，则
在 中，，
因此
（2）设，则，
因此．
因为，又，所以恒成立，
因此函数在是减函数，所以，
即．
答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为．
7．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；
②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短
【解析】（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故
，又OP＝，
所以，
所求函数关系式为
②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=
所求函数关系式为
（Ⅱ）选择函数模型①，
令0 得sin ，因为，所以=，
当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处。
二、正余弦定理型：解斜三角形应用题的一般步骤是
①分析：准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方向角、方位角等，必要时，画出示意图，化实际问题为数学问题；
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；
④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
解斜三角形应用题常有以下几种情形：
①实际问题经抽象概括后，已知与未知量全部集中在一个三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之；
②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解；
③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形，需连续使用正弦定理或余弦定理．
运用正弦定理和余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件和待求式子的特点，恰当地选择定理．运用正弦定理一般是将边转化为角，而条件中给出三边关系的往往考虑用余弦定理求解．
8.有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现要把倾斜角改为30°，则坡底需伸长 50(－) 米．
【解析】 坡的倾斜角即为坡度，依题意知，该坡的高度不变，即仍为50，当坡的倾斜角变为30°时，坡底的长度为50，所以坡度改后，坡底伸长了50(－)米．
9.在200米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
【解析】画出示意图(如图)，由题意可知，∠DAC＝60°，∠OAC＝∠DAB＝30°，
在△AOC中，AO＝200，所以OC＝，而AD＝OC＝，
在△ABD中，BD＝×＝，
因此塔高为200－＝(米)，故选A.
10．在海岛A上一座海拔1千米的，山顶设有一个观测站P（观测站的高度忽略不计），上午11时，测得一轮船在该岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到上午11时10分，测得此轮船在该岛北偏西60°，俯角为60°的C处（此轮船沿直线行驶），
（1）求轮船的航行速度是每小时多少千米？
（2）又经过一段时间后，轮船按原航线继续行驶到达海岛的正西方向的D处，问此时轮船距岛A有多远？
【解析】（1）在中，．在
在，．
则船的航行速度为（千米/时）．
（2），
=–．
由正弦定理得．。
11.在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.,问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？
【解析】 设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设船速为v，人追上船所用
时间为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间
为，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.
由余弦是理得
整理得.
要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且
解得.
故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km/h时, 人可以追上小船.
12．。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
【解析】（1）为使小艇航行距离最短，理想化的航行路线为OT，小艇到达T位置时轮船的航行位移即，，从而（海里/时）
讨论：（1）若轮船与小艇在A、T之间G位置相遇时，根据小艇的速度限制，有OG
，
从而
所以当时，，
也就是说，当小艇以30海里每小时的速度，沿北偏东方向行走能以最短的时间遇到轮船。
法二（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，
则由余弦定理得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC
即：OC2 =（vt）2=400+900t2﹣1200tcos600=900t2﹣600t+400=
当t=时，取得最小值，此时，v=30
（2）要用时最小，则首先速度最高，即为：30海里/小时，则由（1）可得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC即：（30t）2=400+900t2﹣1200tcos600解得：t=，此时∠BOD=30°
此时，在△OAB中，OA=OB=AB=20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
法三(2)而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，O C =，
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，
所以，解得，
从而值，且最小值为，于是
当取得最小值，且最小值为。
此时，在中，，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。
13. 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
14.在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解: （I）如图，AB=40，AC=10，
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为（海里/小时）.
（II） 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1= AB=40,
x2=ACcos,y2=ACsin
所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.
又点E（0，-55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
15、为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图．要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米．为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC的长度为多少米？
【解析】设BC＝a(a＞1)，AB＝c，AC＝b，b－c＝，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos60°，
将c＝b－代入得：(b－)2＝a2＋b2－ab，
化简得b(a－1)＝a2－，因为a＞1，所以a－1＞0，
所以b＝＝
＝(a－1)＋＋2≥＋2.当且仅当a－1＝时取“＝”号，
即a＝1＋时，b有最小值2＋，
答：AC最短为(2＋)米，此时BC长为(1＋)米．
16、如图，有两条相交成60°的直线xx′，yy′，其交点为O，甲、乙两辆汽车分别在xx′、yy′上行驶，起初甲离O点30 km，乙离O点10 km，后来两车均以60 km/h的速度行驶，且甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行驶．求：
(1)起初两车的距离是多少？
(2)t小时后两车的距离是多少？
(3)何时两车的距离最短？
【解析】(1)设甲、乙两车最初的位置为A、B，
则|AB|2＝|OA|2＋|OB|2－2|OA|·|OB|cos60°＝700，
故|AB|＝10 km.
(2)设甲、乙两车t小时后的位置分别为P、Q，
则|AP|＝60t，|BQ|＝60t.
当0≤t≤时，|PQ|2＝(30－60t)2＋(10＋60t)2－2(30－60t)(10＋60t)cos60°；
当t>时，|PQ|2＝(60t－30)2＋(10＋60t)2－2(60t－30)(10＋60t)cos120°.
上面两式可统一为：|PQ|2＝10800t2－3600t＋700，即|PQ|＝10.
(3)因为|PQ|＝10＝10，
故当t＝时，即在第10分钟末时，两车距离最短．
17、某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。
该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d
（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的
实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？
[解析] （1），同理：，。
AD—AB=DB，故得，解得：。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知，得，
，（当且仅当时，取等号）
故当时，最大。
因为，则，所以当时，-最大。
故所求的是m。
数列型应用题教案
数列作为特殊的函数，在高中数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题广泛而多样，如：增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，注意其间的递推关系，建立出等差、等比、或递推数列的模型．
一、等差数列型
1. 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.
解: 设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为，征地费用为元，
楼层建筑费用为[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n－2）] 元，
（元）
当且仅当 , n=20（层）时，总费用y最少.
故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时, 最少总费用为1000A元.
2.某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元.
（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？
（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？
解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f(n),则
f(n)=50n–［12n+×4］–72=–2n2+40n–72
(1)获纯利润就是要求f(n)>0,∴–2n2+40n–72>0，解得2
此时n=6,②f(n)=–2(n–10)2+128.
当n=10时，f(n)|max=128.故第②种方案共获利128+16=144（万美元）.
故比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案.
二、等比数列型
3. 市场上某种进口轿车的售价36万元，此处一辆轿车一年的养路费、汽油费，年检费、驾驶工资等约需6万元，同时在使用过程中年折旧费为10%，（就是说这辆车每年减少它当年价值的10%）大约使用多少年后，花费在该车上的养路费、汽油费、年检费、驾驶工资等费用和折旧费之和就达到售价36万元（精确到1年）
解：设使用x年后，花费在该车上的各种费用和折旧费之和为36万元，依题意，
即
化简得，估算得x≈4，使用4年后，花费在该车上费用之和达36万元。
4．随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注。已知2010年1月Q型车的销量为辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1％的比率增长，而R型车前n个月的销售总量Tn大致满足关系式：．
（1）求Q型车前n个月的销售总量Sn的表达式；
（2）比较两款车前n个月的销售总量Sn与Tn的大小关系；
（3）试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20％，并说明理由．
（参考数据 ）
解：（1）Q型车每月的销售量{}足以首项a1 = a，公比q = 1+1％= 1．01的等比数列．．．．．．
前n个月的销售总量
（2）
又
（3）记Q、R两款车第n个月的销量分别为和，则
当n≥2时，
当n≥2时，若
n≥10,即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%．
5．某人计划年初向银行贷款10万元用于买房．他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4％，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多少元（精确到1元）？
解．如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值，与这个人还款的价值总额应该相等．则我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间（即贷款全部付清时）去计算．
10万元，在10年后（即贷款全部付清时）的价值为元．
设每年还款x元．则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；
第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；……；
第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为元．于是：
105×(1+4％)10= x(1+4％)9+x(1＋4％)8＋x(1＋4％)7+…+x
由等比数列求和公式可得：．其中
所以，
6.为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：
贷款期 (年数)
公积金贷款 月利率(‰)
商业性贷款 月利率(‰)
……
11
12
13
14
15
……
……
4.365
4.455
4.545
4.635
4.725
……
……
5.025
5.025
5.025
5.025
5.025
……
汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问： (1)汪先生家每月应还款多少元? (2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少? (参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)
解 设月利率为r，每月还款数为a元，总贷款数为A元，还款期限为n月
第1月末欠款数 A(1＋r)－a 第2月末欠款数 [A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a方
第3月末欠款数 [A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a＝A(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a
……
第n月末欠款数 得：
对于12年期的10万元贷款，n＝144，r＝4.455‰∴
对于15年期的15万元贷款，n＝180，r＝5.025‰
∴
由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元．
(2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款
其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰
∴X＝41669.53
再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元．
需要提及的是，本题的计算如果不许用计算器，就要用到二项展开式进行估算。
三、递推数列型
7．某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%．从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠．
（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？
（Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？
解：设全县面积为1，记2000年底的全县绿地面积占总面积的百分比为，经过n年后全县绿地面积占总面积的百分比为，由题可知：，
所以，当时，，两式作差得：
又，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．
所以，
由上式可知：对于任意，均有．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%．
（Ⅱ）令，得，
由指数函数的性质可知：随的增大而单调递减，因此，我们只需从开始验证，直到找到第一个使得的自然数即为所求．
验证可知：当时，均有，而当时，，
由指数函数的单调性可知：当时，均有．
所以，从2000年底开始，5年后，即2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%．
点评：（Ⅱ）中，也可通过估值的方法来确定的值．
8. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
解 设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，……，每年新增汽车万辆，则，
所以，当时，，两式相减得：
（1）显然，若，则，即，
此时
（2）若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.
（i）若，则对于任意正整数，均有，
所以，，此时，
（ii）当时，，则对于任意正整数，均有，所以，，由，得
，
要使对于任意正整数，均有恒成立，即
对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 , 得,
上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，.
9.某县为了贯彻落实党中央国务院关于农村医疗保险(简称“医保”)政策，制定了如下实施方案：2009年底通过农民个人投保和政府财政投入，共集资1000万元作为全县农村医保基金，从2010年起，每年报销农民的医保费都为上一年底医保基金余额的10%，并且每年底县财政再向医保基金注资m万元(m为正常数).
（Ⅰ）以2009年为第一年，求第n年底该县农村医保基金有多少万元？
（Ⅱ）根据该县农村人口数量和财政状况，县政府决定每年年底的医保基金要逐年增加，同时不超过1500万元，求每年新增医保基金m(单位：万元)应控制在什么范围内.
【解】（Ⅰ）设第n年底该县农村医保基金为an万元，则
，，即.
于是. 所以，
即.
故第n年底该县农村医保基金有万元.
（Ⅱ）若每年年底的医保基金逐年增加，则数列单调递增.
因为是减函数，则1000－10m＜0时，即m＞100.
又恒成立，则.
即10m≤1500，所以m≤150.
故每年新增医保基金m的控制范围是(100，150].
四、双数列型
10．现有流量均为300的两条河流A、B会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2和0.2．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100的水量，即从A股流入B股100水，经混合后，又从B股流入A股100水并混合．问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01（不考虑泥沙沉淀）？
解：分别用来表示河水在流经第n个观测点时，A水流和B水流的含沙量．
则＝2，＝0.2，且
．（＊）
由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列．
由（＊）可得：
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．所以，．
由题，令< 0.01，得．所以，．
由得，所以，．
即从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01．
11．为加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车，今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动车型车每年比上一年多投入辆。
（1）求经过年，该市被更换的公交车总数；
（2）若该市计划7年内完成全部更换，求的最小值。
【解】（1）设分别为第年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，
是首项为128，公比为1+50%=的等比数列，是首项为400，公差为的等差数列，
的前项和的前项和
所以经过年，该市更换的公交车总数为：
（2）若计划7年内完成全部更换，
所以所以
即，所以，又，所以的最小值为147。
12. 甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在、两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从、两个喷雾器中分别取1千克的药水，将中取得的倒入中，中取得的倒入中，这样操作进行了次后，喷雾器中药水的浓度为%，喷雾器中药水的浓度为%．
（Ⅰ）证明是一个常数；
（Ⅱ）求与的关系式；
（Ⅲ）求的表达式．
解：（1）开始时，中含有1012%＝1.2千克的农药，中含有106%＝0.6千克的农药，次操作后，中含有10%＝0.1千克的农药，中含有10%＝0.1千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而有，所以＝18（常数）
（2）第次操作后，中10千克药水中农药的重量具有关系式：，
由（1）知，代入化简得①
(3)令，利用待定系数法可求出＝－9，
所以，可知数列是以为首项，为公比的等比数列，---10分
由①，
由等比数列的通项公式知：
，所以．
五、创新型数列问题
13.汉诺塔问题是指有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等的碟片。按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上：
（1）每次只能移动l个碟片；
（2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面。
如图所示，将B杆上所有碟片移到A杆上，C杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将B杆子上的个碟片移动到A杆上最少需要移动次．
（1）写出的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设,数列的前项和为，证明
解：（Ⅰ），，，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）推测数列的通项公式为.
下面用数学归纳法证明如下：
①当时，从B杆移到A杆上只有一种方法,即，这时成立；
②假设当时，成立.
则当时，将B杆上的个碟片看做由个碟片和最底层1张碟片组成的，由假设可知，将B杆上的个碟片移到C杆上有种方法，再将最底层1张碟片移到A杆上有1种移法，最后将C杆上的个碟片移到A杆上(此时底层有一张最大的碟片)又有种移动方法，故从B杆上的个碟片移到A杆上共有
种移动方法.
所以当时成立.
由①②可知数列的通项公式是.
（说明：也可由递推式，构造等比数列求解）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，
所以=.
= =++…+=.
因为函数在区间上是增函数，
.又，.所以．
14．在一条笔直的工艺流水线上有个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为，，，，每个工作台上有若干名工人．现要在流水线上建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．
（Ⅰ）若，每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（Ⅱ）若，工作台从左到右的人数依次为，，，，，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．
解 设供应站坐标为，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为．
（Ⅰ）．
当时，在区间上是减函数；
当时，在区间上是增函数．
所以，必须位于区间内，此时，当且仅当时，式取最小值，且，即供应站的位置为．
（Ⅱ）由题设知，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为
．
类似于（Ⅰ）的讨论知，，且有
所以，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，在区间上是常数．故供应站位置位于区间上任意一点时，均能使函数取得最小值，且最小值为．
解析几何型应用题教案
建构解析几何型的应用性问题：要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化；要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答.
1.某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如下图所示）.已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工.
解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy，设M（x，y）是沿AP、BP运土同样远的点，则
|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，
∴|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=50.
在△PAB中，由余弦定理得
|AB|2=|PA|2+|PB|2－2|PA||PB|cos60°=17500，且50＜|AB|.由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为－=1（a＞0，b＞0）.
∵解之得.
∴M点轨迹是－=1（x≥25）在半圆内的一段双曲线弧.于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工.
2.A、B、C是我方三个炮兵阵地,A在B的正东,相距6千米,C在B的北偏西相距4千米,P为敌炮阵地,某时刻,A发现P处的某种信号,由于B、C两地比A地距P地远,因此4秒后,B、C才同时发现这一信号(设该信号的传播速度为1千米/秒)
建立适当的坐标系,确定P的位置(即求出P的坐标);
A若炮击P地,求炮击的方向.
解：如下图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则
B（－3，0）、A（3，0）、C（－5，2）.
因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上.
因为kBC=－，BC中点D（－4，），
所以直线PD的方程为y－=（x+4）. ①
又|PB|－|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上.
设P（x，y），则双曲线方程为
－=1（x≥0）. ②
联立①②，得x=8，y=5，
所以P（8，5）.因此kPA==.故炮击的方位角为北偏东30°.
3. 某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验。如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区，其中线段关于坐标轴或原点对称，线段的方程为，过有一条航道。有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点处测得该船发出的汽笛声的时刻总晚（设海面上声速为）。若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船的体积）
（I）问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么？
（II）这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由。
解：设轮船所在的位置为，由题意可得。，
故点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支。
设点的轨迹方程为 则
兴趣小组观察到轮船的当前航线所在的曲线方程是（
（II）这艘船能由海上安全驶入内陆海湾。
设直线的方程为。
当时，设与双曲线右支、直线分别交于点，
则 ，
点在点的左侧，船不可能进入暗礁区。
当时，设与双曲线右支、直线分别交于点，
则，
在点的右侧，船不可能进入暗礁区。
综上，在轴上方，船不可能进入暗礁区，由对称性可知，船能由海上安全驶入内陆海湾。
4.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m，若不考虑水下深度，该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么?
解：如下图，建立直角坐标系，设抛物线方程为y=ax2，则A（10，－2）在抛物线上，
∴－2=ax2，a=－，方程即为y=－x2让货船沿正中央航行.
∵船宽16 m，而当x=8时，y=－·82=1.28 m，
∴船体在x=±8之间通过.由B（8，－1.28），
∴B点离水面高度为6+（－1.28）=4.72（m），而船体水面高度为5 m，
∴无法直接通过.又5－4.72=0.28（m），0.28÷0.04=7，而150×7=1050（t），
∴要用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降.
5.下图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12 m，镜深2 m，
（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；
（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度.
解：（1）如下图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径.
由已知，得A点坐标是（2，6），
设抛物线方程为y2=2px（p＞0），
则36=2p×2，p=9.
所以所求抛物线的标准方程是y2=18x，焦点坐标是F（，0）.
（2）∵盛水的容器在焦点处，∴A、F两点间的距离即为每根铁筋长.
|AF|==（或|AF|=+2=）.
故每根铁筋的长度是6.5 m.
6. 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域．
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．
【解析】（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标
为.当≥2时，由题意知
当
，
因而其方程为
故考察区域边界曲线（如图）的方程为
（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为
7．如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20 m，要求通行车辆限高5 m，隧道全长2.5 km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．
（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h和拱宽l？
（已知：椭圆+=1的面积公式为S=，柱体体积为底面积乘以高.）
（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的倍，试确定M、N的位置以及的值，使总造价最少.
解：如下图建立直角坐标系，则点P（10， 2），
椭圆方程为+=1.将b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程，得a=，此时l=2a=,
因此隧道的拱宽约为 m.
（2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭
圆的面积最小即可．
由椭圆方程+=1，得+=1.因为+≥，即ab≥40，
所以半椭圆面积S=≥.
当S取最小值时，有==，得a=10，b=.
此时l=2a=20， h=b+3=+3
故当拱高为(+3)m、拱宽为20m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小
（3）根据题意设
设
则
令，，
且时，
∴时，取最小值，此时,代入椭圆方程得
∴
8．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.
（Ⅰ）用x，y表示混合食物成本c元；
（Ⅱ）确定x，y，z的值，使成本最低．
讲解：（Ⅰ）由题，，又，所以，．
（Ⅱ）由得，，所以，
所以，
当且仅当时等号成立．
所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为850元．
点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域上使得最大的点．不难发现，应在点M（50，20）处取得．
9. 某人上午7时乘摩托艇以匀速V千米/小时（4≤V≤20）从A港出发前往50千米处的B港，然后乘汽车以匀速W千米/小时（30≤W≤100）自B港向300千米处的C市驶去，在同一天的16时至21时到达C市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x小时、y小时，若所需经费元，那么V、W分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.
解: 由于又,
则z最大时P最小.
作出可行域，可知过点（10，4）时, z有最大值38，∴P有最小值93，这时V=12.5，W=30.
10.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm
（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？
（2）某广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
P
解：设馐盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得
（1）
所以当时，S取得最大值.
（2）
由（舍）或x=20.
当时，
所以当x=20时，V取得极大值，也是最小值.
此时装盒的高与底面边长的比值为
函数型应用题教案
建构函数模型的应用性问题：一般先从建立函数的解析式入手，是二次型还是指数函数型还是对数函数型，通过研究函数的性质获得解答．因此，这类问题的难点一般有两个：一是解析式的建立，二是数学知识的灵活应用．
1．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
讲解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车．
（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：
．
整理得：．
所以，当时，最大，最大值为307050．即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元．
2. 中国跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为如下图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.
在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距水面高度为5 m或5 m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.
（1）求这条抛物线的解析式.
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.
（3）要使此次跳水不至于失误，该运动员按（1）中抛物线运行，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多少？
解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.
由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）、（2，－10），且顶点A的纵坐标为，所以有
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴－＞0.又∵抛物线开口向下，∴a＜0.∴b＞0，后一组解舍去.
∴a=－，b=，c=0. ∴抛物线的解析式为y=－x2+x.
（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3m时，即x=3－2=时，
y=（－）×（）2+×=－，
∴此时运动员距水面的高为10－=＜5.因此，此次跳水会出现失误.
（3）当运动员在x轴上方，即y＞0的区域内完成动作并做好入水姿势时，当然不会失误，但很难做到.
∴当y＜0时，要使跳水不出现失误，则应有|y|≤10－5，即－y≤5.∴有x2－x≤5，
解得2－≤x≤2+.
∴运动员此时距池边的距离至多为2+2+=4+m.
3．某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)．
已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元．
（Ⅰ）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；
（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？
解 （Ⅰ）设该店的月利润为S元，有职工m名．则
．
又由图可知：．
所以，
由已知，当时，，即
解得．即此时该店有50名职工．
（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则月利润
当时，求得时，S取最大值7800元．
当时，求得时，S取最大值6900元．
综上，当时，S有最大值7800元．
设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有．解得．
所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元．
4．某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P与日产量x（件）之间大体满足关系：
．
注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．
已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量．
（Ⅰ）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；
（Ⅱ）当日产量为多少时，可获得最大利润？
解：（Ⅰ）当时，，所以，每天的盈利额．
当时，，所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件．故，每天的盈利额
综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，每天的盈利额为0．
当时，．令，则．故
．（等号当且仅当，即时成立）．所以
（1）当时，（等号当且仅当时成立）．
（2） 当时，由得，易证函数在上单调递增（证明过程略）． 所以，．所以，
．
即．（等号当且仅当时取得）
综上，若，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润．
5.运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v千米/小时、2v千米/小时、10v千米/小时，每千米的运费分别为a元、b元、c元.且b＜a＜c,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.（题中字母均为正的已知量）
解：设运输路程为S（千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为y1(元)、y2(元)、y3(元).则由题意，
,
由a>b,各字母均为正值，所以y1–y2>0，即y2
解：设DA=x，则BD=100-x，
（由题意，每吨公里，铁路运费：公路运费=3：5→设3a：5a）
每吨公里：铁路BD的运费为3a，公路DC的运费为5a
则由B—D—C的运费
令 （△）
即，两边平方
即∵△≥0，得u≥80，
当u=80，由（△）式 x=15，
∴当D距A，15公里时，B—D—C的运费最省。
7. 为处理含有其种杂质的污水要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出设箱底的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与ab成反比，现有制箱材料60平方米。
问当a、b各为多少时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小，（A、B孔面积忽略不计）
解：依题意有2ab+2a+4b=60，ab+a+2b=30，a+2b=30-ab，但
即，设，
∴，∴，
依题意：应该，当时，即ab=18时。
也即当a=2b时，ab取得最大值为18，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小，此时a=6米，b=3米。
8.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时, 要耗油(． 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17．5升． (2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)=()·,
h＇(x)=(0＜x≤120)，令h＇(x)=0，得x=80． 当x∈(0,80)时，h＇(x)＜0,h(x)是减函数; 当x∈(80,120)时，h＇(x)＞0,h(x)是增函数． ∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11．25． 因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值． 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11．25升． 9. 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员人（140<<420，且为偶数），每人每年可创利万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
解 设裁员人，可获得的经济效益为万元,则
=
依题意 ≥∴0<≤.又140<<420, 70<<210.
(1)当0<≤,即70<≤140时， , 取到最大值;
(2)当>,即140<<210时， , 取到最大值;
综上所述，当70<≤140时，应裁员人；当140<<210时，应裁员人.
10.有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)= +［g(0)- ］·e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始质量分数.
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
（2）求证：当g(0)< 时，湖泊的污染程度将越来越严重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？
解（1）∵g(t)为常数, 有g(0)-=0, ∴g(0)= .
(2) 我们易证得0
∵g(0)·<0,t1
(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)·e,设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?
∴=e，∴t= ln20，
故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.
11. 如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。
（Ⅰ）写出的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。
解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，
故.
（II）由(I)知，当时，
当时，
故。
(1)当时，是关于的减函数.故当时，。
(2) 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，。
优选法与试验设计复习教案
考点解析：
考点1 什么叫做优选法
一．什么叫做优选法
1. 如果影响试验的某个因素（记为）处于某种状态(记为)时，试验结果最好，那么这种状态（）就是这个因素（）的 最佳点 .
2. 对试验中相关因素的最佳点的选择问题，称为 优选问题 .3. 利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点，从而解决优选问题的科学试验方法，称为 优选法 .
4. 优选法是一种旨在 提高效率 . 在科学试验和生产工艺条件选择中，它可用以合理安排试验，以较少的试验次数找到合理的配方、合适的工艺条件等.它所依据的是 数学上寻找函数极值（极大或极小）点 的较快的计算方法.
5. 在进行合理的试验安排中，对试验情况的考虑及试验次数的计数，常常用 等计数方法和原理.
例1、下列各问题中，不属于优选问题的是（ ）
用热水器洗澡时，把开关调到“合适”的位置 举重运动员在比赛时，选第一次抓住的重量
足球比赛中，上下半场交换场地 营养师在调配饮料时，选取合适的“配方”
考点2．单峰函数
1. 函数在区间上只有唯一的最大值点(或最小值点)，而在最大值点(或最小值点) 的左侧，函数单调增加(减少)；在的右侧，函数单调减少(增加)，则称这个函数为区间上的 单峰函数 ，其中点叫做最大值(或最小值)点 ，最大值(或最小值)称为 最值 .
2. 单峰函数 可以是 连续函数，也 可以不是 连续函数.
3. 如果函数在区间上有唯一的极值点，则在区间上 是 单峰函数.
4. 如果函数在区间上是单调函数，则在区间上是单峰函数。
5. 若函数在区间上是单峰函数，是最佳点，如果在区间上任取，如果在试验中效果较好的点是，则必有和在的 同侧 ，若以为分界点，含点的区间范围是函数的一个 存优范围 .
例1、下列函数中：
①；②;③;④
其中单峰函数是 .
变式训练： 关于单峰函数，有下列说法：
①在区间上的单峰函数就是只有一个极大值点的函数；
②在区间上的单调函数不是单峰函数；
③区间上的单峰函数可以是不连续函数.
其中正确的有 .
考点3 黄金分割法： b
1、 黄金分割常数用表示，其值 ，其近似值是 .
2、 利用黄金分割常数确定试点的方法叫做 ，又叫 .
3、 利用黄金分割法寻找最佳点，为了合理地选取实验点，需要注意两点：
①每次要进行比较的两个试验点，应关于 存优范围的中心对称 .
②每次舍去的区间长与舍去前的区间长的比例数大约是 0.618 .
4、在因素范围内选两点各做一次试验
第一试点 第二试点
第n试点，即“加两头，减中间”
5、n次试验后的精度为
用0.618法确定试点时，从第二次试验开始每次试验都把存优范围缩小为原来的0.618，所以
当精度。
例1、下列关于黄金分割常数的说法中：
①；②；③；④方程的根是.
其中正确的是 .
例2、若试验的因素范围是，用黄金分割法来确定试验点，则第一个试验点是（ ）
例3、配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10mL到110mL之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量是（ ）
35mL 40.9mL 33.6mL 86.4mL
例4、用0.618法确定试点，则经过5次试验后，存优范围缩小为原来的（ ）
三、达标训练
1. 用0.618法选取试点，试验区间为，若第一个试点处的结果比处好，且，则第三个试点应选取在 .
2. 若某实验的因素范围是，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量.分别以表示第次试验的加入量（结果都取整数）
（1） ；
（2）若干次试验后的存优范围包含在区间内，则 .
3. 用黄金分割法对某试验进行优选，要达到精度0.1的要求需要 次试验. （）
4. 用0.618法进行优选法时，若某次存优范围上的一个好点是，则的值为 .
考点4 分数法
0.618法不能用于一切优选问题，如某些问题的试验范围是由不连续的点组成，试点只能取某些特定数，此时一般用 分数法 进行优选问题.
分数法的基本思想是 渐进分数近似代替 来确定第一个试验点的值，后续试点都可以用“加两头，减中间 ”的方法来确定.
连分数：的根，即
写成
斐波那契数列的前两项为 1,1 ，从第三项起，每一项是其相邻的前两项的和，即： ，其通项公式是 .
如：试验范围为13格，则代替0.618。 小+大—中（加两头，减中间）
用分数法安排试点时，若可能的试点总数正好是某一个 ，则前两个试点放在因素范围的 和 位置上.若可能的试点总数大于某一个 ，而小于 ，先分析能否减少试点数，把所有可能的试点数减少为 ；如果不能减少，则采取试点范围之外，虚设几个试点，凑成 个试点.
在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过次试验保证从
个试点中找出最佳点.
6、精度：用分数法做k次试验，用代替0.618，其精度为
例1、 . 变式1：若，则 .
例2、在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为 等七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优选试验时，依次将电阻值从小到大安排序号，则第一个试点值的电阻是（ ）
例3、某试验因素对应的目标函数是单峰函数，若用分数法需要从20个试验点中找到最佳点，则需要做试验的次数是 次.
三、达标训练
1. 下列关于分数法的叙述中：
①分数法是用分数值近似代替黄金分割法常数，分数法与0.618法并无其他不同；
②分数法在第一个试点确定后，后续试点都可以用“加两头，减中间”的方法来确定；
③在目标函数为单峰的情形，通过次试验，最多能从个试点中保证找出最佳点；
④在目标函数为单峰的情形，只有安排分数法安排试验，才能通过次试验，保证从个试点中找出最佳点.
其中正确的叙述有 .
2. 配置某种饮料，需要加入某种配料.经验表明，加入量超过120ml肯定不好，用120ml的锥形量杯加入量，该量杯的量程分为12格，每格代表10ml，若用分数法安排各试验点的测试，则第二次的试点值是 ml.
考点5 对分法：
1. 试验时对每个试点都取在因素范围的中点，将因素范围对分为两半，这种方法称为 .
2. 从试验的效果来看，对分法比0.618法的效果 ，每次可以去掉 存优区间.
但并不是所有的试验都可以用对分法，如果每做一次试验，根据结果可以决定下个试点的存优范围 ，就可以用对分法.
3. 对分法的操作步骤： 第一次在试验因素范围的 （）处做，然后根据试验结果判断下次试验的方向，若试验结果表明取小了，那么存优范围是 ；若试验结果表明取大了，那么存优范围是 .
4. 用对分法寻找最佳点时，次试验后的精度为 .
例1、有一条1000m长的输电线路出现了故障，在线路的开始端处有电，在末端处没有电，现
在用对分法检查故障所在位置，则第二次检查点在（ ）
500m处 250m处 750m处 250m或750m处
例2、用对分法进行试验时，3次试验后的精度为 .
三、达标训练
1. 蒸馒头的问题里，当放碱太少时，馒头不好吃，碱放多了也不好吃，要找到合适的放碱量，则采用（ ）好些.
黄金分割法 分数法 对分法 盲人爬山法
2. 用对分法寻找最佳点时，达到精度为0.01的要求需要 次试验. （）
考点6 盲人爬山法:
盲人爬山法是一种 小步调整策略 的优选法，其依据的原理就是 单峰函数的最佳点与好点在差点的同侧 .
盲人爬山法的操作步骤：
先找一个起点(可以根据经验或估计)，在点做试验后可以向该因素的减少方向找一点做试验，如果好，就继续减少 ；如果不好，就往因素的增方向找一个试点C 做试验，这样一步一步地提高.如果增加到点，再增加点时反而坏了，这时可以从点减少增加的步长，如果还是没有点好，则 就是该因素的最佳点.
3. 盲人爬山法的效果与 起点， 关系很大，另外， 每步间隔的大小 对试验效果关系也很大，在实践中往往采用 两头小，中间大 的办法.其特点：可用在某些可变因素要调到某点，必须经过由小到大或由大到小的连续过程的问题上。
例1、关于盲人爬山法，下列说法中，不正确的是（ ）
盲人爬山法是一种采用小步调整策略的优选法
盲人爬山法的原理就是单峰函数的最佳点与好点在差点的同侧
盲人爬山法应用于某些可变因素要调到某点，必须经过由小到大或由大到小的连续过程的问题上
盲人爬山法在实践中往往采取“两头大，中间小”，即先在各方向上用大步试探开始
例2、小明家安装了太阳能热水器，水管水温最高时可达，安装技术员小刘告诉小明，在使用过程中，先不要直接打开开关，站在淋浴头下洗，这样容易烫伤，最好先根据个人情况调试好开关（开关从左往右表示水温依次加高）至合适的水温，再去冲洗.这种寻找“合适”水温的方法是（ ）
黄金分割法 分数法 对分法 盲人爬山法
考点7 分批试验法
分批试验法是为了 缩短试验总时间，加快试验进度 而采用的方法，即把全部试验分 分几批做 ，一批同时安排 几个试验 ，同时进行比较，一批一批做下去，直到找出最佳点.分批试验法可分为 均分分批试验法 和 比例分割分批试验法 两种.
在均匀分批试验法中，假设每批做个试验.首先个均分点把试验范围均分为 2n＋1 份，若是好点，则存优范围是 .再将均分为 2n＋2 份，即将个试验点均匀地安排在 xi两侧 ，在未做过试验的 个分点上再做试验.如此反复，就能找到最佳点.用这个方法，第一批试验后存优范围为原来的 ，以后每批试验后，存优范围都为前次留下的 .
在比例分割分批试验法中，假设每批做个试验.
每批试验个数
试验范围等分数
第一批试验点
图示
2
7
3，4
22
4
17
5，6，11，12
444
6
31
7，8，15，16，23，24
6666
二、典例解析
例1、（1）对试验范围是的单因素进行均分分批试验法，若第一次做2个试验，则这两个试验点的值分别是（ ） 2，5 2，4 3，4 4，5
变式1：对试验范围是的单因素进行均分分批试验法，若第一次做2个试验，则这两个试验点的值分别是（ ） 3，5 4，7 4，6 5，6
变式2：某优选试验中需要用均分分批试验法来寻找最佳点，已知试验范围是，若准备每批做3个试验，则第一批试验点的值应该是 .
（2）用均分分批试验法在试验范围内安排2个试验点，通过试验结果表明有一个是好点，则试验后的存优范围是原来的（ ）
变式1：某优选试验中需要用均分分批试验法来寻找最佳点，已知试验范围是，若准备每批做4个试验，第一批试验后的存优范围是原来的 ，第二批试验后的存优范围是上一批试验后存优范围的 .
例2、（1）对试验范围是的单因素进行比例分割分批试验法，若第一次做2个试验，则这两个试验点的值分别是（ ） 2，5 2，3 3，4 4，5
变式1：对试验范围是的单因素进行比例分割分批试验法，若第一次做4个试验，则这四个试验点的值分别是（ ） 3，4，5，6 9，10，13，14 7，8，11，12 15，16，17，18
（2）用比例分割分批试验法在试验范围内安排2个试验点：5，6，通过试验结果表明有一个是好点，则试验后的存优范围是原来的（ ）
考点8 多因素优选问题
1．在优选问题中，影响试验结果的因素不只一个，而是有多个因素，这就是多因素优选问题 .
双因素问题是最常见的多因素问题，处理双因素问题，一般采用 降维法 来解决.
2. 对于双因素的降维法，一般是先固定一个因素 ，对另一个因素进行优选，然后 固定第二个因素 ，再对 第一个因素进行优选 进行优选，依次继续，直到找到最佳点.
3. 处理双因素问题的常见优选方法有 纵横对折法 ，平行线法 ，从好点出发法 , 双因素盲人爬山法 .
一、纵横对折法
以横坐标表示因素Ⅰ，纵坐标表示因素Ⅱ，因素Ⅰ与因素Ⅱ的试验范围分别为，。
（1）将因素Ⅰ固定在中点 处,对因素Ⅱ进行优选，得最佳点，又将因素Ⅱ固定在
处，对因素Ⅰ进行优选，得到最佳 因素Ⅱ
点，比较和的试验结果，
若比好，则沿坏点所在的
线，丢弃不包括好点所在的半个 因素Ⅰ
平面区域。因素Ⅰ的新范围为。
（2）取中点，对因素Ⅱ优先得最佳点。若比好，则沿坏点所在的线丢弃。
（3）n次优选后存优范围变为原来的
二. 从好点出发法：
每次对一个因素的固定点不一定取中点，如果先将因素Ⅰ固定在原生产点(或黄金分割点)c1处，对因素Ⅱ进行单因素优选，得到最佳点A1(c1，c2)；再将因素Ⅱ固定在c2处，对因素Ⅰ进行单因素优选，得到最佳点B1(d1，c2),再将因素Ⅰ固定在d1处，对因素Ⅱ进行单因素优选，得到最佳点A2(d1，d2)，如此继续下去，不断缩小存优区域，就能找到所需要的最佳点，这个方法称为从好点出发法.
其特点就是：对某一因素进行优选试验时，另一因素固定在上次试验结果的好点上 （除第一次外）.
三. 平行线法
（1）平行线法用于双因素问题中，若一个因素不容易调整，而另一个因素容易调整的情形;
（2）步骤：
①先将 不容易调整因素 （记为因素Ⅱ，并用纵坐标表示）固定在因素范围的 0.618 处，
用 对另一个因素（记为因素Ⅰ，并用横坐标表示）进行优选，得到最值点;
②然后再将不容易调整因素 固定在其因素范围的 0.382 处，再用单因素法对 因素Ⅰ进行优选，得到最值点.
③若点比点好，则去掉 ；若点比点差，则去掉 .
④然后按 优选 法找出因素Ⅱ的第三好点，对因素Ⅰ进行单因素优选，，如此
继续下去，直到找到满意的结果为止.
其特点：每次试验都是在相互平行的直线上做.
四. 双因素盲人爬山法
在试验范围区域上从某点出发，向 向前后左右 四个方向前进一步，
如向右前进一步，若得到的点要好，再 向右 前进一步，若不好，
则改变前进方向，若在某处的四个方向的点都不比好，就认为这
个双因素单峰问题的最佳点是 .例1、右图是一个纵横对折法某次试验后得到两个因素Ⅱ
试验点,，比较试验结果表明比好， 40
则存优范围（Ⅰ，Ⅱ分别表示两个因素）
是 . 30
20 因素Ⅰ
10 15 30
例2、右图是某双因素试验结果图，则这种方法应该是（ ）
纵横对折法 因素Ⅱ
从好点出发法 1
平行线法
盲人爬山法 0.618
0.382
0 1 因素Ⅰ
三、达标训练
1. 下列四个优选方法中，哪一个方法不是用于双因素优选法（ ）
纵横对折法 对分法 平行线法 盲人爬山法
某一平行线法优选问题中的图如下图所示，则图中 , .
因素Ⅰ
1
0.618
0 1 因素Ⅱ
第二讲 试验设计初步
在试验中变化的因素用A，B，C，…表示，因素在试验中所取的不同状态称为水平，因素A的r个不同的水平用A1，A2，…，Ar表示.
1. 正交表
记号L4(23)的含意.符号“L”表示正交表，L右下角的数字4表示这张正交表有4行，它意味着需要做4次试验.括号里的指数3表示这张正交表有3列，每列中的数字代表试验因素，每列仅可放一个因素，它意味着最多可安排3个因素.括号内的数字2表示表的主要部分只有两种数字——1和2，它们分别是因素的1水平和2水平的代号，因此L4(23)是一张2水平的正交表.
常用的正交表有二水平正交表L4(23)，L8(27)，L12(211)，L16(215)；三水平正交表L9(34)，L27(213)；四水平正交表L16(45).
2. 试验结果的分析
(1) 直接对比法：从试验结果中直接找到最优组合.
(2) 直观分析法： 用Kpq表示L4(23)表中对应第q列中水平p的试验结果之和，kpq表示Kpq的平均值，即
用表示表中对应q列中水平p的试验结果之和，表的平均值
记可以通过的大小来确定因素对试验结果影响的主次，找出影响试验结果的主要因素。大的为主要因素。
例1 某农场希望知道某个玉米品种的高产栽培条件.研究人员选择了3个试验
因素：种植密度、施化肥量、施化肥时间，每个试验因素选3个水平，如表.
(3)按这个安排，需要做9次试验.经过试验，
将试验的结果列在表中.
(4)画产量和因素的关系图.找到最佳组合。
优选法练习
3．用0.618法寻找某实验的最优加入量时，若当前存优范围是[628,774]，好点是718，
则此时要做试验的加入点值是 ( )
A. B．628＋0.618×(774－628) C．628＋774－718 D．2×718－774答案：C
4．某实验因素对应的目标函数是单峰函数，若用分数法需要从20个试验点中找最佳点，
则需要做试验的次数是 ( )
A．6次 B．7次 C．10次 D．20次 答案：B
5．有一条1 000 m长的输电线路出现了故障，在线路的开始端A处有电，在末端B处没
有电，现在用对分法检查故障所在位置，则第二次检查点在 ( )
A．500 m处 B．250 m处 C．750 m处 D．250 m或750 m处 答案：A
5．在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.8 kΩ， 1.2
kΩ，1.8 kΩ，3 kΩ，3.5 kΩ，4 kΩ，5 kΩ等七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进
行优选试验时，依次将电阻值从小到大安排序号，则第1个试点值的电阻是( )
A．0.8 kΩ B．1.8 kΩ C．3 kΩ D．3.5 kΩ答案：B
7．对试验范围是(0,7)，采用分批试验法，第一批取的试验点值是3,4，则这种分批试验法是_____．答案：比例分割分批试验法
8．(2010·湖南高考)已知一种材料的最佳加入量在110 g到210 g之间，若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是________g.答案：148.2
9．若某原始的因素范围是[100,1 100]，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量．分别以an表示第n次试验的加入量(结果都取整数)．
(1)求a1，a2.
(2)若干次试验后的存优范围包含在区间[700,750]内，请写出{an}的前6项．
(3)在条件(2)成立的情况下，写出第6次试验后的存优范围．
解：(1)由黄金分割法知：第一次的加入量为：a1＝100＋0.618×(1 100－100)＝718.
所以a2＝100＋1 100－718＝482.
(2)因为[700,750]包含存优范围，所以最优点在区间[700,750]上．由此知前两次试验结
果中，好点是718，所以此时存优范围取[482,1 100]，所以a3＝482＋1 100－718＝864，
同理可知第三次试验后，好点仍是718，此时存优范围是[482,864]．所以a4＝482＋
864－718＝628.同理可求得a5＝628＋864－718＝774；a6＝628＋774－718＝684.
(3)由(2)知第6次试验前的存优范围是[628,774]，又718是一个好点，第6次试验点
是684，比较可知718是好点，去掉684以下的范围，故
10．用黄金分割法找最佳点的过程中，每次舍去后的存优区间占舍去前的全区间的比例数为（ ）
(A) , (B) (C) (D) .
11．在个试点中，用分数法去找到最佳点只需要的试验次数为
12．若试验范围是，用分数法去找到最佳点，用、、把试验范围分为13格，则试点分别等于（ ）
优选法与实验设计练习
1. 下列结论中正确的是( )
Ａ. 运用0.618法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点
Ｂ. 运用分数法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点
Ｃ. 运用对分法和分数法在确定下一个试点时，都需要比较前两个试点的试验结果
Ｄ. 运用盲人爬山法寻找最佳点，在试验范围内取不同的点作起点，其效果快慢差别不大
2. 下列函数中在[－1，4]上不是单峰函数的是 ( )
A. y= B. y=-2x+3 C. y=sinx D. y=cosx
3. 在应用0.618法确定试点时，n次试验后的精度为( )
A. B. C. D.
4. 在下面优选法中，每次（批）试验后都能将存优范围缩小为相同比例的是( )
A. 0.618法 B. 对分法 C. 均分分批试验法 D. 比例分割分批试验法
5. 如图，用平行线法处理双因素问题时，首先将难以调整的因素Ⅱ固定在0.618处，得到最佳点在A1处，然后再把因素Ⅱ固定在0.382处，得到最佳点A2，若A2处的试验结果比A1处的好，则第三次试验时，将因素Ⅱ固定在 ()
A. 0.764
Ｂ. 0.236
Ｃ. 0.500
Ｄ. 0.309
6. 在配置一定量的某种清洗液时，需要加入某种溶剂，经验表明，加入量大于5 000 ml或小于3 000 ml时，效果肯定不好，用0.618法来确定这种溶剂的最佳加入量，则前两次试验加入的量分别为（ ）
Ａ. 4 500，3 500 Ｂ. 4 382，3 618 Ｃ. 4 236，3 764 Ｄ. 4 618，3 618
7. 利用纵横对折法解决双因素问题时，先将因素Ⅰ固定在试验范围的中点c1处，对因素Ⅱ进行单因素优选得到最佳点A1，同样将因素Ⅱ固定在中点c2，对因素Ⅰ进行单因素优选得到最佳点A2，若A1处的试验结果比A2处的好，则下图中阴影部分能表示好点所在范围的是( )
8. 利用从好点出发法解决双因素问题时，若因素Ⅰ的范围是（），因素Ⅱ的范围是，先固定因素Ⅰ在试验范围的0.618的处，得到最佳点 ，然后将因素Ⅱ固定在，得到最佳点，然后( )
A. 将因素Ⅰ固定在，在范围内优选因素ⅡB. 将因素Ⅰ固定在，在范围内优选因素Ⅱ
C. 将因素Ⅰ固定在，在范围内优选因素Ⅱ D. 将因素Ⅱ固定在，在范围内优选因素Ⅰ
9. 如图，在每批做２个试验的比例分割分批法中，将试验范围7等分，第１批试验先安排在左起第３，４两个点上，若第３个点为好点，则第２批试验应安排在 和 两个点上.
10. 某主妇在学做用一定量的面粉蒸馒头时，按照邻居的建议放了１３克碱后发现馒头发黄且有碱味，决定自己用分数法找出合适的放碱量，则她第１，２次试点的放碱量分别为 克和 克.
11. 在配置某种清洗液时，需要加入某种材料，加入量大于１３０ml或小于10ml均不好，若利用均分分批试验法在(10，130)内优选加入量，每批安排２个试验，则第１批试验加入的量为 ml和 ml.
12. 某农科所培育了一种玉米新品种，为确定该品种的高产栽培条件，科研人员选择了三个试验因素：种植密度、施化肥量、施农药量，分别记为A，B，C，每个试验因素选2个水平，如下表：
A
种植密度（株/亩）
B
施化肥量（kg/亩）
C
施农药量（kg/亩）
1
4000
50
20
2
3500
40
10
用正交试验设计安排试验，选择适合试验要求的正交表L4(23)，按照正交表安排，需做４次试验，试验安排及结果如下表：
A种植密度
（株/亩）
B施化肥量
（kg/亩）
C施农药量
（kg/亩）
试验结果
亩产量（kg）
1
（4000）
（50）
（20）
520
2
（4000）
（40）
（10）
480
3
（3500）
（50）
（10）
430
4
（3500）
（40）
（20）
460
？
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？
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？
？
？
？
？
试将表中的“？”处填上数据，并指出影响产量的主要因素及高产栽培的最好条件.
参考答案
1. B 解析：运用0.618法寻找最佳点时，随着试验次数的增加，最佳点被限定在越来越小的范围内，故Ａ错；按照分数法安排试验，通过n次试验保证能从（Fn+1－１）个试点中找出最佳点，故Ｂ正确；运用对分法在确定下一个试点时，只需要比较试验结果与已知标准（或要求)，故Ｃ错；爬山法的效果快慢与起点的关系很大，起点选得好,可以省好多次试验，故Ｄ错.
2. D 解析：函数y=cos x在[－1，4]上既有最大值，也有最小值，故不是单峰函数.
3. C 解析：应用0.618法确定试点时，从第２次试验开始，每次试验都把存优范围缩小为原来的0.618，故n次试验后的精度为.
4. B 解析：对分法每次试验后都能将存优范围缩小为原来的，其余三种方法都是从第２次（批）起，每次（批）试验后将存优范围缩小为相同比例.
5. B 解析：因为A2处的试验结果比A1处的好，所以好点在因素Ⅱ的0~0.618之间，由0.618法，第三次试验时，将因素Ⅱ固定在0.618＋０－0.382＝0.236处.
6. C 解析：x1=3000+0.618×(5000-3000)=4236,x2=3000+5000-4236=3764.
7. D 解析：因为A1处的试验结果比A2处的好，所以存优范围包含点A1.
8. B 解析：由于A2比A1好，故去掉A1右边的平面区域，试验范围缩小为a1≤Ⅰ≤c1，b1≤Ⅱ≤b2.
9. 1 2 解析：第３个点为好点，则存优范围为左端到第４个分点，故第２批安排在没有做过试验的第１，２两个分点上.
10. 8 5 解析：放碱量１，２，…，１２将试验范围分为１３格，故第１试点为x1=0+(13-0)=8，第２试点为x2=0+13-8=5.
11. 50 90 解析：将试验范围分为３份，中间两个分点为50，90.
12. k11==500,k21==445,R1=55,k12==475,k22==470,R2=5,
k13==490,k23==455,R3=35,
表中的“？”处填上数据如下：
500
475
490
445
470
445
55
5
35
种植密度是主要因素，高产栽培的最好条件是种植密度4000株/亩、施化肥量50kg/亩、施农药量20kg/亩.
所求存优范围是[684,774]．
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