2022年春季上海市普通高等学校招生入学统一考试 数学 试卷（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 2022年春季上海市普通高等学校招生入学统一考试 数学 试卷（Word含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 446.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-17 20:11:11 | ||
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文档简介
2022年春季上海市普通高等学校招生入学统一考试
数学 试卷
2022.1
考生注意：
1. 考试时间120分钟，试卷满分150分；
2. 本考试设试卷和答题纸两部分。全卷共4页。选择题部分需用2B铅笔填涂在答题卡上，非选择题部分需要用黑色字迹的水笔或钢笔书写在答题纸上，做在试卷上一律不得分.
一、填空题（本大题满分共54分，其中1~6题各4分，7~12题各5分）
1. 已知复数（其中为虚数单位），则________
2. 已知区间，，则________
3. 求不等式的解集为________
4. 已知角满足：，则________
5. 设有二元一次方程组，若方程组有无穷组解，则的值为________
6. 已知函数，为的反函数，则________
7. 已知有二项式，其展开式的则前的系数为________
8. 在三角形中，，，，则外接圆的半径为________
9. 设由数字1、2、3、4组成上各个位置上数字不能重复的四位数，则大于2134的四位数的个数为________
10. 已知直角三角形，且，为边的中点. 若在边上运动（点可与重合），则的最小值为________
11. 已知双曲线，任取双曲线右支上两个不相同的点，都有成立，则的取值范围是________
12. 已知奇函数在时的解析式为，且关于对称. 设方程的正数解为，则________
二、选择题（本大题满分共20分，每小题各5分）
13. 以下函数的定义域为R的是（ ）
(A). (B). (C). (D).
14. 已知实数满足：，则下列选项正确的是：（ ）
(A). (B).
(C). (D).
15. 如图所示，设上海海关楼的钟楼为正方体，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂. 在0点到12点中时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面的时针出现两两相互垂直的情况的次数为（ ）
(A). 0 (B). 2 (C). 4 (D). 12
16. 设为等比数列，设和分别为的前项和与前项积，则下列命题正确的是：（ ）
(A). 若，则为递增数列 (B). 若，则为递增数列
(C). 若为递增数列，则 (D). 若为递增数列，则
三、解答题（本大题满分共76分，其中17~19题各14分，20题16分，21题18分）
17. （本题共14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
设有底面半径为1的圆柱，为圆柱的母线.
（1）若，设为的中点，求直线与圆柱上底面所成角；
(
A
A
1
O
O
1
)（2）若过的轴截面为正方形，求圆柱的侧面积和体积；
18. （本题共14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
设有无穷数列，记的前项和为，其中.
（1）若为等比数列，且，求；
（2）若为等差数列，且，求公差的取值范围.
19. （本题共14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
(
A
B
C
D
F
E
G
)上海某地区想要设计建造一个自然保护区。如图所示，在一块矩形绿地中（其中为30米，为15米），过道将其分为两个主要区域（分别是边上动点）. 监测区为以为圆心，为半径的四分之一圆，古树区为四边形，且与圆弧相切，记切点为.
（1）若，求的长（结果精确到0.1）；
（2）点在线段上何处时，才能使古树区的面积最大，并求出最大值（结果精确到0.01）.
20. （本题共16分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
椭圆，分别为椭圆的左顶点和下顶点，且直线上有两个不相同的点（是第一象限的点）.
（1）设是椭圆的右焦点，且，求椭圆的标准方程；
（2）若两点的纵坐标分别为2和1，判断：直线与的交点是否在椭圆上，并说明理由；
（3）设直线与直线交椭圆于两点，且关于原点对称，求的最小值.
21. （本题共18分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
在定义域为R的函数上，定义下面两个变换：，，其中.
（1）若，，对进行变换后得到函数，求方程的解；
（2）若，对进行变换后得到函数，解不等式：；
（3）已知定义R上的函数在单调递增，在对函数先作变换再做变换得到函数，对函数先作变换再做变换得到函数，且对于任意，在R上有成立，证明：函数在R上单调递增.
参考答案
一、填空题
1. 2. 3. 4. 5. 4 6. 3
7. 66 8. 9. 17 10. 11. 12. 2
二、选择题
13. (C) 14. (B) 15. (B) 16. (D)
三、解答题
17.（1）；（2），；
18.（1）4；（2）；
19.（1）23.3米；（2）255.14平方米，在距离点米处；
【19详解】
19. （本题共14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
(
A
B
C
D
F
E
G
H
)上海某地区想要设计建造一个自然保护区。如图所示，在一块矩形绿地中（其中为30米，为15米），过道将其分为两个主要区域（分别是边上动点）. 监测区为以为圆心，为半径的四分之一圆，古树区为四边形，且与圆弧相切，记切点为.
（1）若，求的长（结果精确到0.1）；
（2）点在线段上何处时，才能使古树区的面积最大，并求出最大值（结果精确到0.01）.
如图，作，由几何关系可知：
米
设，，
则，且，
，可得，
由梯形面积公式整理得：
设
得到，所以平方米
当且仅当时等号成立. 所以
可知，所以在距离点米处.
20.（1）；（2）在椭圆上；（3）；
21.（1）；（2）；（3）略；
2022年上海春考 第6页/共4页 2022.1
数学 试卷
2022.1
考生注意：
1. 考试时间120分钟，试卷满分150分；
2. 本考试设试卷和答题纸两部分。全卷共4页。选择题部分需用2B铅笔填涂在答题卡上，非选择题部分需要用黑色字迹的水笔或钢笔书写在答题纸上，做在试卷上一律不得分.
一、填空题（本大题满分共54分，其中1~6题各4分，7~12题各5分）
1. 已知复数（其中为虚数单位），则________
2. 已知区间，，则________
3. 求不等式的解集为________
4. 已知角满足：，则________
5. 设有二元一次方程组，若方程组有无穷组解，则的值为________
6. 已知函数，为的反函数，则________
7. 已知有二项式，其展开式的则前的系数为________
8. 在三角形中，，，，则外接圆的半径为________
9. 设由数字1、2、3、4组成上各个位置上数字不能重复的四位数，则大于2134的四位数的个数为________
10. 已知直角三角形，且，为边的中点. 若在边上运动（点可与重合），则的最小值为________
11. 已知双曲线，任取双曲线右支上两个不相同的点，都有成立，则的取值范围是________
12. 已知奇函数在时的解析式为，且关于对称. 设方程的正数解为，则________
二、选择题（本大题满分共20分，每小题各5分）
13. 以下函数的定义域为R的是（ ）
(A). (B). (C). (D).
14. 已知实数满足：，则下列选项正确的是：（ ）
(A). (B).
(C). (D).
15. 如图所示，设上海海关楼的钟楼为正方体，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂. 在0点到12点中时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面的时针出现两两相互垂直的情况的次数为（ ）
(A). 0 (B). 2 (C). 4 (D). 12
16. 设为等比数列，设和分别为的前项和与前项积，则下列命题正确的是：（ ）
(A). 若，则为递增数列 (B). 若，则为递增数列
(C). 若为递增数列，则 (D). 若为递增数列，则
三、解答题（本大题满分共76分，其中17~19题各14分，20题16分，21题18分）
17. （本题共14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
设有底面半径为1的圆柱，为圆柱的母线.
（1）若，设为的中点，求直线与圆柱上底面所成角；
(
A
A
1
O
O
1
)（2）若过的轴截面为正方形，求圆柱的侧面积和体积；
18. （本题共14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
设有无穷数列，记的前项和为，其中.
（1）若为等比数列，且，求；
（2）若为等差数列，且，求公差的取值范围.
19. （本题共14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
(
A
B
C
D
F
E
G
)上海某地区想要设计建造一个自然保护区。如图所示，在一块矩形绿地中（其中为30米，为15米），过道将其分为两个主要区域（分别是边上动点）. 监测区为以为圆心，为半径的四分之一圆，古树区为四边形，且与圆弧相切，记切点为.
（1）若，求的长（结果精确到0.1）；
（2）点在线段上何处时，才能使古树区的面积最大，并求出最大值（结果精确到0.01）.
20. （本题共16分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
椭圆，分别为椭圆的左顶点和下顶点，且直线上有两个不相同的点（是第一象限的点）.
（1）设是椭圆的右焦点，且，求椭圆的标准方程；
（2）若两点的纵坐标分别为2和1，判断：直线与的交点是否在椭圆上，并说明理由；
（3）设直线与直线交椭圆于两点，且关于原点对称，求的最小值.
21. （本题共18分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
在定义域为R的函数上，定义下面两个变换：，，其中.
（1）若，，对进行变换后得到函数，求方程的解；
（2）若，对进行变换后得到函数，解不等式：；
（3）已知定义R上的函数在单调递增，在对函数先作变换再做变换得到函数，对函数先作变换再做变换得到函数，且对于任意，在R上有成立，证明：函数在R上单调递增.
参考答案
一、填空题
1. 2. 3. 4. 5. 4 6. 3
7. 66 8. 9. 17 10. 11. 12. 2
二、选择题
13. (C) 14. (B) 15. (B) 16. (D)
三、解答题
17.（1）；（2），；
18.（1）4；（2）；
19.（1）23.3米；（2）255.14平方米，在距离点米处；
【19详解】
19. （本题共14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
(
A
B
C
D
F
E
G
H
)上海某地区想要设计建造一个自然保护区。如图所示，在一块矩形绿地中（其中为30米，为15米），过道将其分为两个主要区域（分别是边上动点）. 监测区为以为圆心，为半径的四分之一圆，古树区为四边形，且与圆弧相切，记切点为.
（1）若，求的长（结果精确到0.1）；
（2）点在线段上何处时，才能使古树区的面积最大，并求出最大值（结果精确到0.01）.
如图，作，由几何关系可知：
米
设，，
则，且，
，可得，
由梯形面积公式整理得：
设
得到，所以平方米
当且仅当时等号成立. 所以
可知，所以在距离点米处.
20.（1）；（2）在椭圆上；（3）；
21.（1）；（2）；（3）略；
2022年上海春考 第6页/共4页 2022.1
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