二次函数压轴题系列 精讲二 （ppt版 +精讲+精练）（共45张PPT）

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二次函数压轴题系列 精讲二
一、 双基目标
1、纵观全国各地区历年的出题动向来看，
二次函数压轴题的出题样式大致分成三类；
①传统型；②创新型；③双抛物线型相关.
每个大类下边又分若干具体类型.
2、本节学习传统型中——直角问题、45°角问题、相等角问题
二、能力目标
通过对二次函数压轴题方法的系统剖析，训练.达到强化、深化学生运用初中数学知识、方法、思想、模型等的综合分析、解决问题的能力目标.
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
专题四 直角问题
【解题模型简介】
两直线垂直，k1×K2=-1
（适用于定点处为直角）
【例1】（2020 通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【例2】（2021贵州毕节）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．
（1）填空：点A的坐标为 　 　，点D的坐标为 　 　，抛物线的解析式为 　 　；
（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为 ，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【例3】（2020江苏宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
【例4】（2020广元）如图，直线y=-2x+10分别与x轴，y轴交于点A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为，求点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．
专题五 45°角的问题
【解题模型简介】
如右图，两直线相交，夹角为θ，则
【例5】（2020山西）综合与探究
如图，抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．
【例6】（2020内蒙）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接．
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求证：：
（3）点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，连接，线段的延长线与线段交于点G．当时，是否存在点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
专题六 角相等（倍数）的问题
【例7】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（3，0），直线y=-x+3恰好经过B，C两点
（1）写出点C的坐标；
（2）求出抛物线y=x2+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．
【例8】（2020四川内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当△BCD的面积为3时，求点D的坐标；
（3）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE中的某个角等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【例9】（2020辽宁营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
【变式训练】（2020龙江）如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(-1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使∠PAB=∠ABC，若存在请直接写出点P坐标．若不存在，请说明理由．
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2021-2022学年九年级中考复习专题系列
二次函数压轴题系列 精讲二
一、 双基目标
1、纵观全国各地区历年的出题动向来看，
二次函数压轴题的出题样式
大致分成三类；
①传统型；②创新型；③双抛物线型相关.
每个大类下边又分若干具体类型.
2、本节学习传统型中——直角问题、45°角问题、相等角问题
二、能力目标
通过对二次函数压轴题方法的系统剖析，训练.达到强化、深化学生运用初中数学知识、方法、思想、模型等的综合分析、解决问题的能力目标.
专题四 直角问题
y=2x-3
y=- x+2
“直角类“压轴题解题模型总结
三垂直模型
1、两直线垂直，k1×K2=-1（适用于定点处为直角）
2、动点处为直角，常常构造“一线三直角”模型，借助相似解题。
（2020 通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），由三角形的面积公式求得
△MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，
进而得P点的坐标；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），
则MN＝﹣m2+4m+12，
∴△MDB的面积
-3m2+12m+36
∵a=-3＜0，∴当m=-12/-6=2时，S△NDB最大.
此时P为（2,0）
将x=2代入抛物线及直线DB得y=12或-4
∴M为（2,12），N为（2，-4）
典例精讲
（3）分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点．分别得出Q点的坐标．
如图1，∵∠QMN=90°，∴Q（0,12）.
如图2，∵∠QNM=90°，
∴Q（0,-4）.
如图3，当∠NQM=90°，构造“三垂直模型”，由△MEQ∽△QFN
从而求出Q（0，4+√55）或（0，4-√55）.
（2021贵州毕节）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．
（1）填空：点A的坐标为 　 　，点D的坐标为 　 　，抛物线的解析式为 　 　；
（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为 ，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由对称轴为直线x＝2求出b的值，再将点B（3，0）代入
y＝x2+bx+c即可求出函数的解析式；
故答案为（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3；
典例精讲
（2）解：因为y最小值为 ，可令y= ,求出对应的x的值
（如图）.
当 y= 时，
(1)当x＞2时，m2﹣4m+3＝ ,解得：m= 或
∵m≤x
∴m= 时符合题意.
(2)当x＜2时，（m+2）2﹣4（m+2）+3＝ ,解得：m=
∵m+2＜2
∴m=- 时符合题意.
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）解：如图，若∠CPA=90°，作CE⊥DP，连接AF。
∵∠CPA=90°，∴∠CPE+∠APF=90°
又∵∠ECP+∠CPE=90°，∴∠ECP=∠APF，
又∵∠CEP=∠AFP=90°，∴△CEP∽△PFA
∴EP：AF=CE：PF.
设P(2,n），则CE=2，EP=3-n，PF=n，AF=1
∴3-n:1=2:n。解得：n=2或1
∴P（2,2）或（2,1）
典例精讲
（2020江苏宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
【分析】（1）
方法一：由于二次函数的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，把A，B两点坐标代入y＝ax2+bx+3，计算出a的值即可求出抛物线解析式，由对称轴公式求出E点坐标.
方法二：也可以考虑重新将解析式设为y=a(x-x1)(x-x2),然后将C（0,3）代入得即可求出a，列出解析式.
∴E（4，﹣1）．
典例精讲
斜率，亦称"角系数"，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度。一条直线与某平面直角坐标系横轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。 如果直线与x轴垂直，直角的正切值无穷大，故此直线不存在斜率。 当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b(斜截式)，k即该函数图像(直线)的斜率。
题前点睛
【分析】方法一：由线段垂直平分线的性质可得出CB＝CD，设D（4，m），由勾股定理可得42+（m﹣3）2＝62+32．解方程可得出答案；
方法二：也可依据斜率K的关系，首先表示出直线BD的K值，然后利用负倒数关系，表示出CG的k值，表达出CG的表达式，最后依据“中点坐标公式”找到点G的坐标，最后代入求出D点坐标.
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
解：如图，设点D坐标为（4，m),∵B为（6，0），∴点G的坐标为（5， ).
另外直线BD的 ,∴直线CG的k值为 .∴直线CG为： ,
将G（5， ）代入得， ，化简解之得，
题后反思：
本题涉及到垂直平分线的问题，主要考虑用两种计算模型。
方法一：代数模型，利用方程解答；
方法二：借助两垂线间“斜率互为负倒数“关系，结合”中点坐标公式”解答.
两种方法依据问题的特点可以灵活选用较为简单的一种解决.
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，
连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
（3）设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P（n， ﹣2n+3），
则Q（ ），设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则
nk+3．解得k＝ ，求出M（4，n﹣5﹣ ），
ME＝n﹣4﹣ ．由面积公式可求出n的值．则可得出答案．
解得n＝10或n＝﹣6，
当n＝10时，P（10，8），当n＝﹣6时，P（﹣6，24）．
综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．
（2020广元）如图，直线y=-2x+10分别与x轴，y轴交于点A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为 ，求点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．
跟踪练习
【分析】
（1）由直线解析式求出A、B坐标，然后得出C点坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）过点D作DE⊥x轴，交直线AB于点E，设D（m，m2-6m+5)，利用S△ABD= =
得出方程，解出m值即可；
【答案】点D的坐标为（2，-3）；
（3）如图，分点A是直角顶点和点B是直角顶点，结合图像，
方法一：表示出△ABP三边长度，利用勾股定理得出方程，求解即可.
方法二：根据两垂线K值“互为负倒数”的关系分别求出直线BP，AP的解析式，
联立二次函数解析式，求其公共解.即可求出交点P的坐标.
最后依据P的横坐标求出其距对称轴的距离.
专题五 45°角问题
“夹角类“压轴题解题模型总结
如下图，两直线相交，夹角为θ，则
（2020山西）综合与探究
如图，抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．
典例精讲
【分析】（1）令y＝0，便可由抛物线的解析式求得A、B点坐标，用待定系数法求得直线AD的解析式；
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．
PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
【分析】（2）设P（m， m2﹣m﹣3），用m表示N点坐标，分两种情况：PM＝3MN；PM=3PN．分别列出m的方程进行解答便可；
解：（2）如图1，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为
P（m，m2﹣m﹣3），N（m， m﹣1），
∴PM＝﹣ m2+m+3，MN＝ m+1，NP＝﹣ m2+ m+2，
分两种情况：①解得，m＝0，或m＝﹣2（舍），∴P（0，-3）；
②解得，m＝3，或m＝﹣2（舍），∴
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．
（3）分两种情况，Q点在y轴正半轴上时；Q点在y轴负半轴上时．
分别解决问题．
方法一：如图，作Q1H⊥AD，连接CD.
∵C（0，-3），D（4，-3），∴CD⊥y轴.由题意得△Q1ＨＥ∽△ＤＣＥ
∴ＥＨ：Ｑ１Ｈ：Ｑ１Ｅ＝ＥＣ：ＣＤ：ＥＤ
又∵ＥＣ：ＣＤ：ＥＤ＝１：２：√5，∴ＥＨ：Ｑ１Ｈ：Ｑ１Ｅ＝１：２：√5
设EH=x,则Q1H=2x,Q1E=√5x.由勾股定理可求出ED=2√5.∴HD=2√5+x
∵∠HDQ1=45°,∴Q1H=HD.∴Q1H=2√5+x，又∵ＥＨ：Ｑ１Ｈ=1:2
∴x：2√5+x=1:2，∴x=2√5. ∴Q1E=10,∴Q1O=9,∴Q1(0,9)。
然后由类似的方法求出点Q在y轴负半轴的情况。
（3）分两种情况，Q点在y轴正半轴上时；Q点在y轴负半轴上时．分别解决问题．
方法二：如图，令抛物线y=0,可求出A（-2，0），B（6,0）.
又∵D (4,-3)，设直线AD为y=kx+b，将A，D两点代入可求出
y= x-1，∵∠ADQ1=45°,由 ,求出直线Q1D的K值，k=-3或 。其中 可以确定表示的是Q点在y轴负半轴的情况。然后依据K值和D点坐标（4，-3）求出两条QD直线，再令x=0，求出对应的y值。即可得出
题后反思：
本题涉及到45°夹角的问题，主要考虑用两种计算模型。
方法一：构造相似模型，利用勾股定理建立方程解答；
方法二：借助“两直线的夹角公式“关系，结合”一次函数解析式”相关计算方法解答.
其中属第二种方法较为简单.大家要熟练掌握.
（2020内蒙包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线 经过点A，与y轴交于点B，连接OM．
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y=mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D(2,0)，连接DM，求证：∠ADM-∠ACM=45°：
典例精讲
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y=mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D(2,0)，连接DM，求证：∠ADM-∠ACM=45°：
【分析】（1）令抛物线y=0,求出点A（6，0），代入直线AB即可求出b=3
【分析】（2）
【分析】（2）如图，∵∠ADM-∠ACM=∠DMC，∴想证明结论成立，可以利用 ,求出∠CDM=45°即可.其中关键是先分别算出直线CM的K值和DM的K值.
【解析】∵直线AB为 ,∴直线CM的 K值为 ，又∵点D（2,0），M（3，-3），∴tan∠NDM= ∴直线DM的K值为 ，代入上述夹角公式，可得tan∠CMD=1，∴∠CDM=45°.∴∠ADM-∠ACM=45°
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y=mx+n，且与x轴负半轴交于点C，
取点D(2,0)，连接DM，求证：∠ADM-∠ACM=45°：
N
（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF=2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF=4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
专题六 角相等（倍数）问题
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（3，0），直线y=-x+3恰好经过B，C两点。
（1）写出点C的坐标；
（2）求出抛物线y=x2+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．
【分析】（1）令直线y=-x+3中的x=0,求出y=3,∴C（0,3）；
（2）将B，C两点的坐标分别代入抛物线解析式，即可求出b=-4,c=3
∴y=x2-4x+3，∴对称轴为x=2,∵A，B关于对称轴对称，∴A（1，0）；
典例精讲
【分析】（3）若使∠APD=∠ACB（如图），求P点坐标.则可根据通过条件先求出tan∠ACB的值,进而得出tan∠APD，然后即可求出PF的长，从而得出第一个P点坐标，最后再利用对称性求出第二个P点坐标.
【解析】作AE⊥BC，因为B（3，0）.C（0,3），由勾股定理得，BC=3√2.由等面积法可得OC×OA=AE×BC，从而求出AE=√2，∵∠CBA=45°，∴AE=BE=√2，∴CE=2√2.∴tan∠ACB=1/2.∴tan∠APD=1/2，∴PF=2.
∴P（2,2），根据对称性可以发现第二个P点（2，-2）
注意：本题也可以利用△CEA∽△PFA，求出PF得长。从而得到P为（2,2）
（2020四川内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当△BCD的面积为3时，求点D的坐标；
（3）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE中的某个角等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
典例精讲
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据三角形面积公式可求与BC平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求DM的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标；
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当△BCD的面积为3时，求点D的坐标；
（3）分∠DCE＝2∠ABC及∠CDE＝2∠ABC两种情况考虑：
①【点拨】首先画出∠CBF=2∠ABC，然后作出CD//BF，∠DCB=2∠ABC，此时 点D即为所求.
【解析】当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，﹣2），连接BF，则CD∥BF，由点B，F的坐标，利用待定系数法可求出直线BF，CD的解析式，联立直线CD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标；
【答案】点D的坐标为（2，3）；
②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，
连接NP交BC于点Q，由△OCH∽△OBF求出H点坐标，
利用待定系数法求出直线CN的解析式，联立直线BF及直线CN成方程组，
通过解方程组可求出点N的坐标，利用对称的性质可求出点P的坐标，
由点C、P的坐标，利用待定系数法可求出直线CP的解析式，
将直线CP的解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，
解之取其非零值可得出点D的横坐标．依此即可得解．
②【点拨】在①的基础上，作CN⊥BF，再作点N关于直线BC的对称点P，连接CP交只抛物线于点D，（此时∠P=∠CNP=∠CBF=2∠ABC）点D即为所求.
【解析】当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，由△OCH∽△OBF求出H点坐标，利用待定系数法求出直线CN的解析式，联立直线BF及直线CN成方程组，通过解方程组可求出点N的坐标，利用对称的性质可求出点P的坐标，由点C、P的坐标，利用待定系数法可求出直线CP的解析式，将直线CP的解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，解之取其非零值可得出点D的横坐标．依此即可得解．
②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，
连接NP交BC于点Q，由△OCH∽△OBF求出H点坐标，
利用待定系数法求出直线CN的解析式，联立直线BF及直线CN成方程组，
通过解方程组可求出点N的坐标，利用对称的性质可求出点P的坐标，
由点C、P的坐标，利用待定系数法可求出直线CP的解析式，
将直线CP的解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，
解之取其非零值可得出点D的横坐标．依此即可得解．
．
（2020辽宁营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0）,B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
典例精讲
（1）求抛物线的解析由式；
【分析】（1）令y＝ax2+bx﹣3中的x=0,y=-3,∴C（0，-3）.由题意设y＝a（x+3）（x﹣1），将C（0.-3）代入得，a=1.
∴y＝x2+2x﹣3
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【分析】（2）①分点P（P′）在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况，分别求解即可；
【解析】①当点P（P′）在点C的右侧时，若∠PBC＝∠BCO，则BP′//OC，∴XB=XP,由抛物线解析式求出顶点D（﹣1，﹣4），∵C为（0，-3）。
∴可求出直线CD:y＝x﹣3,将x=1代入得y=-2.∴P/(1,-2)
【解析】①当点P在点C的左侧时，若∠PBC＝∠BCO，则△BHC为等腰三角形，设HC=x，则BH=HC=x，OH=3-x，又∵OB=1，在Rt△BOH中，由勾股定理可求出x= ，∴OH=
∴H（0，- ），设BH的解析式为y=mx+n，将B，H坐标代入得，y= x- .联立直线BH和直线CD解析式，解方程组得 ,∴P为（1，-2）或（-5，-8）
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，
连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
【分析】如图，若∠PAB＝∠BCO，tan∠BCO=tanPAB=1/3；据此可求出直线PA解析式,再联立直线PA与抛物线解析式，求出N的坐标.当∠ANM=45°，可依据两直线夹角公式
求出直线MN的k值.再结合N点坐标，即可求出直线MN的解析式，然后联立直线MN和抛物线的解析式。求其公共解，即为M点的坐标.
题后反思：
本题涉及到角相等问题和45°夹角的问题，主要计算模型总结如下。
一：角相等问题可以借助构造平行线的方式，构造等腰后利用勾股定理建立方程，三角函数或相似（含全等）三种方法来解答；
二：45°夹角问题最有效地方法就是：借助“两直线的夹角公式“，结合”一次函数解析式”相关计算方法解答.
（2020龙江）如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(-1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使∠PAB=∠ABC，若存在请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）把点AB的坐标代入y=-x2+bx+c即可求解；
（2）分点P在x轴下方和下方两种情况讨论，求解即可．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；
跟踪练习
（2）存在，理由如下：①当点P在x轴下方时，如图，设AP与y轴相交于E，
②当点P在x轴上方时，
如图，设AP与y轴相交于D，
【答案】P1（2,3），P2（4，-5）中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数压轴题系列 精讲二
一、 双基目标
1、纵观全国各地区历年的出题动向来看，
二次函数压轴题的出题样式大致分成三类；
①传统型；②创新型；③双抛物线型相关.
每个大类下边又分若干具体类型.
2、本节学习传统型中——直角问题、45°角问题、相等角问题
二、能力目标
通过对二次函数压轴题方法的系统剖析，训练.达到强化、深化学生运用初中数学知识、方法、思想、模型等的综合分析、解决问题的能力目标.
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
专题四 直角问题
【解题模型简介】
两直线垂直，k1×K2=-1
（适用于定点处为直角）
【例1】（2020 通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），由三角形的面积公式求得△MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，进而得P点的坐标；
（3）分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点．分别得出Q点的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，
解得x＝6，
∴B（6，0），
令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，
∴D（0，﹣6），
∵点C与点D关于x轴对称，
∴C（0，6），
把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），
则MN＝﹣m2+4m+12，
∴△MDB的面积3m2+12m+36═﹣3（m﹣2）2+48，
∴当m＝2时，△MDB的面积最大，
此时，P点的坐标为（2，0）；
（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），
当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；
当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；
当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，
即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，
解得，n＝4，
∴Q（0，4）或（0，4）．
综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4）或（0，4）．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值的应用，待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积计算，分类讨论思想，关键是正确求出函数解析式和分类讨论．
【例2】（2021贵州毕节）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．
（1）填空：点A的坐标为 　 　，点D的坐标为 　 　，抛物线的解析式为 　 　；
（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为 ，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由对称轴为直线x＝2求出b的值，再将点B（3，0）代入y＝x2+bx+c即可求出函数的解析式；
（2）分三种情况求函数在给定范围的最小值：当m+2＜2时，（m+2）2﹣4（m+2）+3＝；当m＞2时，m2﹣4m+3＝；当0≤m≤2时，与题意不符；
（3）求出AC＝，AC的中点为E（，），设P（2，t），因为△PAC是以AC为斜边的直角三角形，则PE＝AC，列出方程即可求出t的值．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x+c，
∵点B（3，0）是抛物线与x轴的交点，
∴9﹣12+c＝0，
∴c＝3，
∴y＝x2﹣4x+3，
令y＝0，x2﹣4x+3＝0，
∴x＝3或x＝1，
∴A（1，0），
∵D是抛物线的顶点，
∴D（2，﹣1），
故答案为（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3；
（2）当m+2＜2时，即m＜0，
此时当x＝m+2时，y有最小值，
则（m+2）2﹣4（m+2）+3＝，
解得m＝，
∴m＝﹣；
当m＞2时，此时当x＝m时，y有最小值，
则m2﹣4m+3＝，
解得m＝或m＝，
∴m＝；
当0≤m≤2时，此时当x＝2时，y有最小值为﹣1，与题意不符；
综上所述：m的值为或﹣；
（3）A（1，0），C（0，3），
∴AC＝，AC的中点为E（，），
设P（2，t），
∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形，
∴PE＝AC，
∴＝，
∴t＝2或t＝1，
∴P（2，2）或P（2，1），
∴使△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为（2，2）或（2，1）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数解析式的求法，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，将直角三角形存在性问题转化为边的关系是解题的关键．
【例3】（2020江苏宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
【分析】（1）根据两点式可直接求得抛物线表达式；
（2）易证△AOC～△COB，从而得出∠BAP＝45°，结合P点在抛物线上，可求P坐标；
（3）设PH与x轴的交点为Q，P（a，）则H（a，），PH＝．．分三种情况讨论：①FP＝FH，易证∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ＝∠BCO，所以tan∠APQ＝tan∠BCO＝2，即AQ＝2PQ，从而可解出P的坐标和PH的长； ②PF＝PH，∠CFA＝∠PFH＝∠PHF＝∠BHQ＝∠FCO，在Rt△ACF中，可求CF长度，进而求出F坐标，直线AF的解析式，联立抛物线解析式可求a；③HF＝HP，由∠AFC＝∠PFH＝∠PHF，易证AP平分∠CAB，过C作CE∥AB交AP于E，则CE＝AE＝，进而求出F坐标，直线AF的解析式，联立抛物线解析式可求a．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）是抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点，且二次项系数a＝，
∴根据抛物线的两点式知，y＝．
（2）根据抛物线表达式可求C（0，2），即OC＝2．
∴＝＝2，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC～△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∴∠QAB＝∠QAC+∠CAO＝∠CBA+45°+∠CAO＝∠ACO+∠CAO+45°＝135°，
∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°，
设P（m，n），且过点P作PD⊥x轴于D，则△ADP是等腰直角三角形，
∴AD＝PD，即m+1＝﹣n，
又∵P在抛物线上，
∴，
联立两式，解得m＝6（﹣1舍去），此时n＝﹣7，
∴点P的坐标是（6，﹣7）．
（3）设PH与x轴的交点为Q，P（a，），
则H（a，），PH＝，
若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ＝∠BCO，
∴tan∠APQ＝tan∠BCO＝2，
∴AQ＝2PQ，
即a+1＝2（），
解得a＝3（﹣1舍去），此时PH＝．
若PF＝PH，过点P作PM⊥y轴于点M．
∴∠PFH＝∠PHF，
∵∠CFA＝∠PFH，∠QHB＝∠PHF，
∴∠CFA＝∠QHB，
又∵∠ACF＝∠BQH＝90°，
∴△ACF～△BQH，
∴CF＝AC＝，
在Rt△CMF中，MF＝1，CM＝，
F（1，），
∴AF：，
联立抛物线解析式，解得x＝（﹣1舍去），此时 PH＝．
若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E，
∵∠CAF+∠CFA＝90°，
∠PAQ+∠HPF＝90°，
∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，
∴∠CAF＝∠PAQ，
即 AP平分∠CAB，
∴CE＝CA＝，
∴E（，2），
∴AE：，
联立抛物线解析式，解得x＝5﹣（﹣1舍去）．
此时 PH＝．
∴当FP＝FH时，PH＝；
当PF＝PH时，PH＝；
当HF＝HP时，PH＝；
【点评】本题考查两点式求抛物线解析式，三角形相似的性质与判定，等腰三角形的性质，锐角正切值，求直线与抛物线交点，分类讨论方法等，在第三小问中，借助几何图形的特征来求解可以有效降低运算量．
【例4】（2020广元）如图，直线y=-2x+10分别与x轴，y轴交于点A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为，求点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．
，直【答案】（1）；（2）（2，-3）；（3）或或.
【解析】
【分析】
（1）由直线解析式求出A、B坐标，然后得出C点坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）过点D作DE⊥x轴，交直线AB于点E，设D（m，），利用S△ABD==得出方程，解出m值即可；
（3）分点A是直角顶点和点B是直角顶点，结合图像，表示出△ABP三边长度，利用勾股定理得出方程，求解即可.
【详解】解：（1）直线中，
令x=0，则y=10，令y=0，则x=5，
∴A（5，0），B（0，10），
∵点C是OB中点，
∴C（0，5），将A和C代入抛物线中，
，解得：，
∴抛物线表达式为：；
（2）联立：，
解得：或，
∴直线AB与抛物线交于点（-1，12）和（5，0），
∵点D是直线AB下方抛物线上的一点， 设D（m，），
∴-1＜m＜5，
过点D作DE⊥x轴，交直线AB于点E，
∴E（m，-2m+10），
∴DE==，
∴S△ABD===，
解得：m=2，
∴点D的坐标为（2，-3）；
（3）抛物线表达式为：，
∵△APB是以AB为直角边的直角三角形，
设点P（n，），∵A（5，0），B（0，10），
∴AP2=，BP2=，AB2=125，
当点A为直角顶点时，
BP2= AB2+ AP2，
解得：n=或5（舍），
当点B为直角顶点时，
AP2= AB2+ BP2，
解得：n=或，
而抛物线对称轴为直线x=3，
则3-=，-3=，3-=，
综上：点P到抛物线对称轴的距离为：或或.
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数图象上坐标点的特征，待定系数法求二次函数解析式，三角形面积的铅垂高表示法，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的判定与性质等重要知识点，综合性强，难度较大．
专题五 45°角的问题
【解题模型简介】
如右图，两直线相交，夹角为θ，则
【例5】（2020山西）综合与探究
如图，抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．
【分析】（1）令y＝0，便可由抛物线的解析式求得A、B点坐标，用待定系数法求得直线AD的解析式；
（2）设P（m，m2﹣m﹣3），用m表示N点坐标，分两种情况：PM＝3MN；PM＝3PN．分别列出m的方程进行解答便可；
（3）分两种情况，Q点在y轴正半轴上时；Q点在y轴负半轴上时．分别解决问题．
【解答】解：（1）令y＝0，得y＝x2﹣x﹣3＝0，
解得，x＝﹣2，或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），则
，
解得，，
∴直线l的解析式为；
（2）如图1，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为
P（m，m2﹣m﹣3），N（m，m﹣1），
∴PM＝﹣m2+m+3，MN＝m+1，NP＝﹣m2+m+2，
分两种情况：
①当PM＝3MN时，得﹣m2+m+3＝3（m+1），
解得，m＝0，或m＝﹣2（舍），
∴P（0，﹣3）；
②当PM＝3NP时，得﹣m2+m+3＝3（﹣m2+m+2），
解得，m＝3，或m＝﹣2（舍），
∴P（3，﹣）；
∴当点N是线段PM的三等分点时，点P的坐标为（3，﹣）或（0，﹣3）；
（3）∵直线l：与y轴交于点E，
∴点E的坐标为（0，﹣1），
分两种情况：①如图2，当点Q在y轴的正半轴上时，记为点Q1，
过Q1作Q1H⊥AD于点H，则∠Q1HE＝∠AOE＝90°，
∵∠Q1EH＝∠AEO，
∴△Q1EH∽△AEO，
∴，即
∴Q1H＝2HE，
∵∠Q1DH＝45°，∠Q1HD＝90°，
∴Q1H＝DH，
∴DH＝2EH，
∴HE＝ED，
连接CD，
∵C（0，﹣3），D（4，﹣3），
∴CD⊥y轴，
∴ED＝，
∴，，
∴，
∴Q1O＝Q1E﹣OE＝9，
∴Q1（0，9）；
②如图3，当点Q在y轴的负半轴上时，记为点Q2，过Q2作Q2G⊥AD于G，则∠Q2GE＝∠AOE＝90°，
∵∠Q2EG＝∠AEO，
∴△Q2GE∽△AOE，
∴，即，
∴Q2G＝2EG，
∵∠Q2DG＝45°，∠Q2GD＝90°，
∴∠DQ2G＝∠Q2DG＝45°，
∴DG＝Q2G＝2EG，
∴ED＝EG+DG＝3EG，
由①可知，ED＝2，
∴3EG＝2，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
综上，点Q的坐标为（0，9）或（0，﹣）．
【例6】（2020内蒙）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接．
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求证：：
（3）点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，连接，线段的延长线与线段交于点G．当时，是否存在点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）b=3，M（3，-3）；（2）详见解析；（3）点E的坐标为（，）.
【解析】
【分析】
（1）将配方后可得顶点M的坐标，利用求出点A的坐标后代入即可求出b的值；
方法一：先求出平移后的直线CM的解析式为y=-x，过点D作DH⊥直线y=-x，得到直线DH的解析式为y=2x-4，根据求出交点H（1，-2），分别求得DH=，DM=，根据sin∠DMH=得到∠DMH=45°，再利用外角与内角的关系得到结论；
（3）过点G作GP⊥x轴，过点E作EQ⊥x轴，先求出AB=，根据得到∠BAO=∠AFE，设GF=4a，则AE=EF=3a，证明△AEQ∽△ABO，求得AQ=a，AF=a，再证△FGP∽△AEQ，得到FP=a，OP=PG=，由此得到+a+a=6，求出a得到AQ=，将x=代入中，得y=，即可得到点E坐标.
【详解】（1）∵=，
∴顶点M的坐标为（3，-3）.
令中y=0，得x1=0，x2=6，
∴A（6,0），
将点A的坐标代入中，得-3+b=0，
∴b=3；
（2）∵由平移得来，
∴m=-，
∵过点M(3，-3),
∴，解得n=，
∴平移后的直线CM的解析式为y=-x.
过点D作DH⊥直线y=-x，
∴设直线DH的解析式为y=2x+k，将点D（2,0）的坐标代入，得4+k=0，
∴k=-4，
∴直线DH的解析式为y=2x-4.
解方程组，得，
∴H（1，-2）.
∵D(2，0)，H(1，-2)，
∴DH=，
∵M(3，-3)，D（2,0）,
∴DM=，
∴sin∠DMH=，
∴∠DMH=45°，
∵∠ACM+∠DMH=∠ADM，
∴；
（3）存在点E，
过点G作GP⊥x轴，过点E作EQ⊥x轴，
∵A(6，0)，B（0,3）,
∴AB=.
∵，∠BEF=∠BAO+∠AFE，
∴∠BAO=∠AFE，
∴AE=EF，
∵，
∴，
设GF=4a，则AE=EF=3a，
∵EQ⊥x轴，
∴EQ∥OB，
∴△AEQ∽△ABO，
∴，
∴，
∴AQ=a，
∴AF=a.
∵∠AFE=∠PFG，
∴△FGP∽△AEQ，
∴,
∴FP=a，
∴OP=PG=，
∴+a+a=6,
解得a=，
∴AQ=,
∴OQ=，
将x=代入中，得y=，
【答案】当时，存在点E，使得，此时点E的坐标为（，）.
【点睛】此题考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数平移的性质，两个一次函数交点坐标与方程组的关系，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质定理，是一道抛物线的综合题，较难.
【例7】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（3，0），直线y=-x+3恰好经过B，C两点
（1）写出点C的坐标；
（2）求出抛物线y=x2+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．
解∶（1）y=-x＋3与y轴交于点C，故C（0，3）.
（2）.抛物线y=x +bx+c过点B，C，
9+3b＋c=0 c=3 解得b=-4,C=3
∴抛物线的解析式为y=x -4x+3，
∴对称轴为x = 2 点A（1，0）.
（3）由y=x -4x+3，可得D（2，-1），A（1，0），
.:OB=3,OC=3,0A=1,AB=2, 可得△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°,CB=3√2. 如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴AF=AB=1
过点A作AE⊥BC于点E. ∴∠AEB= 90°
可得BE=AE=√2，CE=2√2.
在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°
∠ACE=∠APF, ∴△AEC～△AFP
∴=，解得PF=2.
或者直接证明△ABC～△ADP得出PD=3，再得PF=2.
点P在抛物线的对称轴上，点P的坐标为（2.2）或（2，-2）
【例8】（2020四川内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当△BCD的面积为3时，求点D的坐标；
（3）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE中的某个角等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据三角形面积公式可求与BC平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求DM的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标；
（3）分∠DCE＝2∠ABC及∠CDE＝2∠ABC两种情况考虑：①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，﹣2），连接BF，则CD∥BF，由点B，F的坐标，利用待定系数法可求出直线BF，CD的解析式，联立直线CD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标；②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，由△OCH∽△OBF求出H点坐标，利用待定系数法求出直线CN的解析式，联立直线BF及直线CN成方程组，通过解方程组可求出点N的坐标，利用对称的性质可求出点P的坐标，由点C、P的坐标，利用待定系数法可求出直线CP的解析式，将直线CP的解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，解之取其非零值可得出点D的横坐标．依此即可得解．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）代入y＝ax2+bx+c得：，
解得：．
故抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
（2）
法一：如图2，设点M的坐标为（0，m），使得△BCM的面积为3，
3×2÷4＝1.5，
则m＝2+1.5＝，
M（0，）
∵点B（4，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
∴DM的解析式为y＝﹣x+，
联立抛物线解析式，
解得，．
∴点D的坐标为（3，2）或（1，3）．
法二：如下图所示，过D作DG⊥x轴，垂足为G点，与BC交于K点，设D（a，b）（其中a＞0，b＞0），
∴K（a，2﹣），
∴，
∴S△BCD＝S△CDK+S△BDK＝＝2b﹣4+a＝3，
∴2b+a＝7，
∵D在抛物线y＝﹣x2+x+2上，
∴b＝，
∴a2﹣4a+3＝0，
∴（a﹣1）（a﹣3）＝0，
∴a＝1或3，
∵当a＝1时，b＝3，当a＝3时，b＝2，
∴点D的坐标为（3，2）或（1，3）．
（3）分两种情况考虑：
①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，﹣2），连接BF，如图3所示．
∵OC＝OF，OB⊥CF，
∴∠ABC＝∠ABF，
∴∠CBF＝2∠ABC．
∵∠DCB＝2∠ABC，
∴∠DCB＝∠CBF，
∴CD∥BF．
∵点B（4，0），F（0，﹣2），
∴直线BF的解析式为y＝x﹣2，
∴直线CD的解析式为y＝x+2．
联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得：，
解得：（舍去），，
∴点D的坐标为（2，3）；
②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，如图4所示．
∵∠OCH＝90°﹣∠OHC，∠OBF＝90°﹣∠BHN，
∠OHC＝∠BHN，
∴∠OCH＝∠OBF．
在△OCH与△OBF中
，
∴△OCH∽△OBF，
∴＝，即＝，
∴OH＝1，H（1，0）．
设直线CN的解析式为y＝kx+n（k≠0），
∵C（0，2），H（1，0），
∴，解得，
∴直线CN的解析式为y＝﹣2x+2．
联立直线BF及直线CN成方程组得：，
解得：，
∴点N的坐标为（，﹣）．
∵点B（4，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2．
∵NP⊥BC，且点N（，﹣），
∴直线NP的解析式为y＝2x﹣．
联立直线BC及直线NP成方程组得：，
解得：，
∴点Q的坐标为（，）．
∵点N（，﹣），点N，P关于BC对称，
∴点P的坐标为（，）．
∵点C（0，2），P（，），
∴直线CP的解析式为y＝x+2．
将y＝x+2代入y＝﹣x2+x+2整理，得：11x2﹣29x＝0，
解得：x1＝0（舍去），x2＝，
∴点D的横坐标为．
综上所述：存在点D，使得△CDE的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或．
【例9】（2020辽宁营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题；65：数据分析观念．
【分析】（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），即可求解；
（2）①分点P（P′）在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况，分别求解即可；
②证明△AGR≌△RHM（AAS），则点M（m+n，n﹣m﹣3），利用点M在抛物线上和AR＝NR，列出等式即可求解．
【解答】解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；
（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），
由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3；
tan∠BCO＝，则cos∠BCO＝；
①当点P（P′）在点C的右侧时，
∵∠PAB＝∠BCO，
故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；
当点P在点C的左侧时，
设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，
∵∠PAB＝∠BCO，
∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH cos∠BCO＝2×CH×＝，
解得：CH＝，则OH＝3﹣CH＝，故点H（0，﹣），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝x﹣②，
联立①②并解得：，
故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；
②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝，
故设直线AP的表达式为：y＝x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，
故直线AP的表达式为：y＝x+1，
联立①③并解得：，故点N（，）；
设△AMN的外接圆为圆R，
当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），
∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，
∴∠RMH＝∠GAR，
∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，
∴△AGR≌△RHM（AAS），
∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，
∴点M（m+n，n﹣m﹣3），
将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③，
由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m﹣）2+（）2④，
联立③④并解得：，
故点M（﹣，﹣）．
【变式训练】（2020龙江）如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(-1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使∠PAB=∠ABC，若存在请直接写出点P坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）存在，P1（2,3），P2（4，-5）
【解析】
【分析】
（1）把点AB的坐标代入y=-x2+bx+c即可求解；
（2）分点P在x轴下方和下方两种情况讨论，求解即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）存在，理由如下：
当点P在x轴下方时，
如图，设AP与y轴相交于E，
令，则，
∴点C的坐标为(0，3)，
∵A(-1，0)，B(3，0)，
∴OB=OC=3，OA=1，
∴∠ABC=45，
∵∠PAB=∠ABC=45，
∴△OAE是等腰直角三角形，
∴OA=OE=1，
∴点E的坐标为(0，-1)，
设直线AE的解析式为，
把A(-1，0)代入得：，
∴直线AE的解析式为，
解方程组，
得：(舍去)或，
∴点P的坐标为(4，)；
当点P在x轴上方时，
如图，设AP与y轴相交于D，
同理，求得点D的坐标为(0，1)，
同理，求得直线AD的解析式为，
解方程组，
得：(舍去)或，
∴点P的坐标为(2，)；
综上，点P的坐标为(2，)或(4，)
【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，解方程组，分类讨论是解本题的关键．
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二次函数压轴题系列精讲二
1、如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为. 点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.
（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标.
2、平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，3），对称轴直线x=-1交x轴于点E，点D为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一点，且S△PAC=2S△DAC，求点P的坐标；
（3）点M是第一象限内抛物线上一点，且∠MAC=∠ADE，求点M的坐标．
3．（2016郑州二模）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？
4、如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6,0），点C为（0,6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD。
求抛物线的解析式和点D的坐标；
点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
若点M是抛物线上的动点，过点M作MN//x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标。
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（3，0），直线y=-x+3恰好经过B，C两点
（1）写出点C的坐标；
（2）求出抛物线y=x2+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．
6、如图，抛物线y=x +bx+c与x轴交于A（-1，0），与y轴交于C（0，-2），直线y=,与抛物线交于A，B两点.
（1））求抛物线的解析式及点 B的坐标;
（2）如图（1），点M是抛物线上A，B两点间的一点，则点M到直线y=的距离 MN的最大值是多少，并求出 MN最大时点M的坐标;
（3）如图(2)，连接AC，已知点P的坐标为（2，1），点Q为对称轴左侧
的抛物线上的一动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，是否存在这样的点Q，使得∠FQP=∠CA0 若存在，请直接写出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
7、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(﹣2，0)和B(8，0)两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，当点F恰好在抛物线
上时，求线段OD的长；
(3)在(2)的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；
②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
8、如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A(，)和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
9、如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．
11、如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A，B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，
正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，
直接写出对应的点P的坐标．
12.在平面直角坐标系中，抛物线过点，B（2,2），与轴交于点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在抛物线的对称轴上，求的周长的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.
13．（2017开封二模）如图，已知抛物线y=a（x+1）（x﹣5）与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C（0，5）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，CD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
14．（2017年四川省内江市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
15．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
16.如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当何值时，的面积最大 并求最大值的立方根；
（3）是否存在点使为直角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
17、（2017郑州一模）如图1，若直线L：y=-2x+4与x轴交于点A，交y轴于点B，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD。过点A，B，D的抛物线h；y=ax2+bx+4,
求：抛物线h的表达式；
若与y轴平行的直线m以1秒钟一个单位长度的速度从y轴向左平移，交线段CD于点M，交抛物线于点N，求线段MN的最大值；
如图2，点E为抛物线h的顶点，点P是抛物线h在第二象限上的一动点（不与点D，B重合），连接PE，以PE为边作图示一侧的正方形PEFG，随着点P的运动，正方形的大小，位置也随之改变。当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标。
18、（2018郑州枫杨外国语摸底）如图所示，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A（-4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C。
求抛物线的解析式；
如图所示，直线AC上方的抛物线上有一点P，过点P作PD垂直AC于点D，作PE平行于x轴交直线AC于点E，求△PED周长的最大值；
已知点F是抛物线的顶点，点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，如点Q是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴左侧，是否存在以F、M、N、Q为顶点且以FQ为边的正方形？若存在，直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由。
19、（-1，0）、B（3，0）两点，直线y=x-2与x轴交于点D，与y轴交于点C.点P是x轴下方的抛物线上一动点，过点P作PF工x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.
求抛物线的解析式;
（2）若PE=3EF，求m的值;
（3）连接 PC，是否存在点P，使△PCE是以 PC为腰的等腰三角形;
若存在，请直接写出 m 的值;若不存在，请说明理由.
20、如图，二次函数y=-+bx+c 的图象经过点A（4，0），B（-4，-4），且与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m.过点P作y轴的平行线，分别交直线 AB及x轴于点H，E.
（1）求此二次函数的解析式;
（2）当点P在线段AB上方的抛物线上运动时，试问∶是否存在这样
的点P，使PH=2PE 若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由;
（3）直线AB与y轴交于点D，当∠BAC=2∠PDH时，请直接写出点
P的坐标.
21.如图;已知直线y=x+3交x轴负半轴于点A，交y轴于点C，抛物线
y=-+bx+c经过点A、C，与x轴的另一交点为B.
（1）求抛物线的解析式;
（2）设抛物线上任一动点P的横坐标为m.
①若点P在第二象限抛物线上运动，过P作PN上x轴于点N，交直线 AC于点
M，当直线 AC 把线段PN分成 2∶3 两部分时，求 m的值;
②连接CP，以点P为直角顶点作等腰直角三角形 CPQ，当点Q落在抛物线的
对称轴上时，请直接写出点P的坐标.
22.如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．(1) 求抛物线的解析式；
(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
(3) 如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，求点N的坐标；
(4)在(2)与(3)的条件下，请直接写出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．
23.（2016河南B卷）抛物线y=ax2+bx+2经过A（-1，0），C（3，0），交y轴于点B。
求抛物线的解析式；
如图（1），点P为直线BC上方抛物线上一个动点，连接PB，PC，设△ABC的面积为S，点P的横坐标为m，试求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
如图（2），连接AB，点M（2，1）为抛物线内一点，在抛物线上是否存在点Q，使直线QM与y轴相交所成的锐角等于∠OAB？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。
24．（2020海南）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．
25.（2020湖南张家界）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2020铁岭）如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
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二次函数压轴题系列精讲二
1、如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为. 点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.
（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标.
【解析】(1)首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
(2)本问采用数形结合的数学思想求解．将直线y=x+2沿y轴向上或向下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．联立解析式解方程组，即可求出m的值；
(3)本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的
时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标．解：(1)在直线解析式y=x+2中，令x=0，得y=2，∴C(0，2)．
∵点C(0，2)、D(3，)在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，解得b=，c=2，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．
(2)∵PF∥OC，且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴PF=OC=2，
∴将直线y=x+2沿y轴向上或向下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．
由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．
将直线y=x+2沿y轴向上或向下平移2个单位，得到直线y=x+4，
联立，
解得x1=1，x2=2，∴m1=1，m2=2；
将直线y=x+2沿y轴向上或向下平移2个单位，得到直线y=x，
联立，
解得x3=，x4=(在y轴左侧，不合题意，舍去)，∴m3=．
∴当m为值为1，2或时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形．
　
(3)设点P的横坐标为m，则P(m，﹣m2+m+2)，F(m， m+2)．
如答图2所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM=m，EM=2，
∴FM=yF﹣EM=m，∴tan∠CFM=2．
在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=m．
过点P作PN⊥CD于点N，则PN=FN tan∠PFN=FN tan∠CFM=2FN．
∵∠PCF=45°，∴PN=CN，
而PN=2FN，∴FN=CF=m，PN=2FN=m，
在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF==m．
∵PF=yP﹣yF=(﹣m2+m+2)﹣(m+2)=﹣m2+3m，
∴﹣m2+3m=m，整理得：m2﹣m=0，
解得m=0(舍去)或m=，
∴P(，)；
同理求得，另一点为P(，)．
∴符合条件的点P的坐标为(，)或(，)．
本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程(方程组)、平行四边形、相似三角形(或三角函数)、勾股定理等重要知识点．第(2)问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解；第(3)问中，符合条件的点P有两个，注意不要漏解．
2、平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，3），对称轴直线x=-1交x轴于点E，点D为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一点，且S△PAC=2S△DAC，求点P的坐标；
（3）点M是第一象限内抛物线上一点，且∠MAC=∠ADE，求点M的坐标．
答案解析
（1）由对称轴x=-1，A（-3，0），可得B点坐标（1，0）设y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得，4=-8a，解得：a=-1，所求解析式为：y=-x2-2x+3；（2）如图：y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，顶点D（-1，4），由A（-3，0）、...
（1）由已知中点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，3），对称轴为直线x=-1，得出B点坐标，进而利用交点式求出即可求出抛物线的解析式；
（2）由已知中C点坐标，再假设出P点坐标，可求出直线PC解析式，求出R点坐标，进而根据S△PAC=2S△DAC，可得点P的坐标；
（3）过点C作CH⊥DE交DE于点H，设AC交对称轴于点G，AM交y轴于点N，由∠MAC=∠ADE，可得N点坐标，进而求出CN的方程，联立直线与抛物线方程可得M点坐标．
本题考点：二次函数综合题．
考点点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，是二次函数与解析几何知识的综合应用，难度较大．
（3）由以上可得出∶D(-1,4),C(0,3),E(-1,0), 如备用图∶过点C作CH⊥DE交DE于点H，∴H(-1,3), CH=DH =1,
∠DCH=∠HCA=∠CA0=45°,
CD=√2，AC=3√2，△ACD为直角三角形，且tan∠DAC=
设AC交对称轴于点G，AM交y轴于点N，∠DAC+∠ADE=∠DGC=45°，∠CAM+∠MAO=∠CAO=45°, ∠ADE=∠CAM,∠DAC=∠MAO, :tan∠MAO= ∵A(-3,0), ∴ON=1，即N（0，1），设直线CN解析式为∶y=dx＋h
∴h =1, -3d+h =0,
解得∶h=1，d= 直线CN解析式为y=x+1，
联立方程y=x+1，y=-x -2x+3.得∶x=-3（舍）或x=
∴点M的坐标为（，）
(4-2)×3=3, 设P点（m，-m -2m+3）设PC解析式为∶y=qx+p，
∴P=3，mk+3=-m -2m+3'解得∶k=-m-2，
∴PC解析式为∶y=（-m-2）x+3，设PC与x轴交于点R，
解得∶m1=-4，m2=1
把m1=4，m2=1分别代入y=-x -2x+3中，'.y1=-5,y2=0,
·.P点坐标为（-4，-5）或（1，0）;
3．（2016郑州二模）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将点A、B代入抛物线解析式，求出a、b值即可得到抛物线解析式；
（2）根据已知求出点D的坐标，并且由线段OC、OB相等、CD∥x轴及等腰三角形性质证明△CDB≌△CGB，利用全等三角形性质求出点G的坐标，写出直线BP解析式，联立二次函数解析式，求出点P坐标；
（3）分两种情况，第一种情况重叠部分为四边形，利用大三角形减去两个小三角形求得解析式，第二种情况重叠部分为三角形，可利用三角形面积公式求得．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0），
，
解得：a=﹣1，b=2．
故抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3．
（2）存在
将点D代入抛物线解析式得：m=3，
∴D（2，3），
令x=0，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠CBO=45°，
如下图，设BP交y轴于点G，
∵CD∥x轴，
∴∠DCB=∠BCO=45°，
在△CDB和△CGB中：
∵∠
∴△CDB≌△CGB（ASA），
∴CG=CD=2，
∴OG=1，
∴点G（0，1），
设直线BP：y=kx+1，
代入点B（3，0），
∴k=﹣，
∴直线BP：y=﹣x+1，
联立直线BP和二次函数解析式：
，
解得：或（舍），
∴P（﹣，）．
（3）直线BC：y=﹣x+3，直线BD：y=﹣3x+9，
当0≤t≤2时，如下图：
设直线C′B′：y=﹣（x﹣t）+3
联立直线BD求得F（，），
S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF
=×2×3﹣×t×t﹣×（2﹣t）（3﹣）
整理得：S=﹣t2+3t（0≤t≤2）．
当2＜t≤3时，如下图：
H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3）
S=S△HIB= [（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3﹣t）
整理得：S=t2﹣6t+9（2＜t≤3）
综上所述：S=．
　
4、如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6,0），点C为（0,6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD。
求抛物线的解析式和点D的坐标；
点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
若点M是抛物线上的动点，过点M作MN//x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标。
解∶（I）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得。
-18+6b+c=0，c=6
解得b=2,c=6
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+6,
∵y=-x2+2x+6=-(×-2)2+8, ∴D(2,8);
（Ⅱ）如图1，过F作FG工x轴于点G，，
设F（x，-x2+2x+6），则FG=，
∵∠FBA=∠BDE,∠FGB=∠BED=90°,
∴△FBG∽△BDE,
∵B(6,0), D(2,8),
∴E(2,0), BE=4, DE=8, OB=6,
∴BG=6-x
综上可知F点的坐标为（·1，）或(-3，-)
（Ⅲ）如图2，设对称轴MN、PQ交于点O'，
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，
设Q（2，2n），则M坐标为（2-n，n），
∵点M在抛物线y=-x2+2x+6的图象上，
∴n=-（2-n）2+2（2-n）+6，解得n=-1+√17或n=-1-√17
.满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，-2+2√17）或（2，-2-2√17）
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（3，0），直线y=-x+3恰好经过B，C两点
（1）写出点C的坐标；
（2）求出抛物线y=x2+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．
【答案】（1）C（0，3）；（2）y=x2﹣4x+3=（x-1）（x-3），对称轴为x=2，点A（1，0）；（3）（2，2）或（2，﹣2）
【解析】
试题分析：（1）由直线y=﹣x+3可求出C点坐标；
（2）由B，C两点坐标便可求出抛物线方程，从而求出抛物线的对称轴和A点坐标；
（3）作出辅助线OE，由三角形的两个角相等，证明△AEC∽△AFP，根据两边成比例，便可求出PF的长度，从而求出P点坐标．
解：（1）∵点C在y轴上，
∴当y=0时，-x+3=0，
解得：x=3，
∴点C的坐标为：（0，3）；
（2）∵抛物线y=x2+bx+c过点B，C，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3．
∴对称轴为x=2，
点A（1，0）．
（3）如图2，过A作AH⊥BC于点H，连接PA，设直线x=2交x轴于E点．
∵OB=OC=3，
∴△BOC为等腰直角三角形，∠OBC=45°，BC=3√2，
又AB=2，
∴AH=BH=√2，CH=3√2-√2=2√2，
∴在Rt△AHC中，tan∠ACB=tan∠ACH==，
故tan∠APE=tan∠ACB=
∵tan∠APE==，
∴PE=2．
故坐标为（2，2）或（2，-2），
点评：本题前两问考查了二次函数的基本性质，较为简单．第三问结合二次函数的图象考查了三角形的性质，综合性较强．
6、如图，抛物线y=x +bx+c与x轴交于A（-1，0），与y轴交于C（0，-2），直线y=,与抛物线交于A，B两点.
（1））求抛物线的解析式及点 B的坐标;
（2）如图（1），点M是抛物线上A，B两点间的一点，则点M到直线y=的距离 MN的最大值是多少，并求出 MN最大时点M的坐标;
（3）如图(2)，连接AC，已知点P的坐标为（2，1），点Q为对称轴左侧
的抛物线上的一动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，是否存在这样的点Q，使得∠FQP=∠CA0 若存在，请直接写出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
【解析】（1）抛物线y=x2＋bx+c与y 轴交于点C（0，-2），∴c=-2.
又∵抛物线y=x ＋bx-2与x轴交于点A（-1，0）。∴b=-1
故抛物线的解析式为y=x2-x-2 令x2-x-2=. 解得x1=-1，x2=.
∴B（，）
（2）如图、过点M作ME⊥x轴于点D，交AB于点E.
设M（m，，m -m-2)（-1≤m≤），则E（m，），
ME= -(m -m-2)=-m2+m+
在△AED与△MEN中，∠AED=∠MEN.∠ADE=∠MNE，∴△AED∽△MEN，
【解法提示】∶由题易知，抛物线的对称轴为直线x=，
过点P作PG⊥y轴于点G，连接 OP，
容易发现0G=0A=1，PG=OC=2，∠PGO=∠COA=90°，∴△PGO≌△COA,
∴∠POG= ∠CAO,
延长P0交抛物线于点Q，过Q1作Q1F1⊥x轴于点F1，
此时∠F1Q1P=∠POG=∠CA0. 易知直线 OP的解析式为y=x
令x2-x-2=x
同理，在y轴上找一点O'，使O'G=OG=1，容易证明△PGO'≌△COA，
∴∠PO'G=∠CA0, 延长 PO'交抛物线于点Q2，
过点Q2作Q2F2⊥x轴于点F2，
此时∠F2Q2P= ∠PO'G=∠CAO.
易知直线O'P的解析式为y=-.
令x2-x-2=-,
7、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(﹣2，0)和B(8，0)两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，当点F恰好在抛物线
上时，求线段OD的长；
(3)在(2)的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；
②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
解;（1）∶抛物线y=ax +bx+3交z轴于A（-1，0）和B（5，0）
两点,∴a-b+3=0, 25a+5b＋3=0,
解得a=-,b=,
∴抛物线解析式为y=-x2+x+3
（2）∵点F恰好在抛物线上，C（0，3），F的纵坐标为3，把y=3
代人y=-x2+x+3得3=-x2+x+3，解得x=0或x=4，∴F（4,3），∴OH=4
∵∠CDE=90°，∴ ∠ODC+∠EDH=90°，∴∠OCD=∠EDH，
在△OCD和△HDE 中，
∠0CD = ∠HDE,∠COD=∠DHE=90°, CD=DE,
∴△OCD≌△HDE(AAS)∴DH=0C=3 ∴0D=4-3=1.
（3）①如图1，连接CE，DF，∴△0CD≌△HDE，HE=OD=1，∵HF=OC=3,.EF=3-1=2,
∵∠CDE=∠CFE=90°∴C、D、E、F四点共圆，∴∠ECF=∠EDF，
在Rt△CEF中，∵CF=OH=4∴tan∠ECF= = =
∴tan∠FDE= .
②点G的坐标为（4，- ）或（4，6），如图2，连接CE ∵CD=DE，∠CDE=90°，∴∠CED=45°，过D点作DG1//CE，交直线l 于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，∵EH=1，0H=4，∴E（4，1），∵C（0，3），∴直线CE的解析式为y=-x＋，设直线 DG1的解析式为y=-x+m，∵ D（1，0）.∴0=--×1+m，解得m=，∴直线DG1的解析式为y=-＋，当x=4时，=--×4+-=- ，∴G1（4，- ）.
设直线DG2的解析式为y=2x+n，∵D（1，0）∴0=2×1+n，解得n=-2.直线DG2的解析式为y=2x-2，当x=4时，y=2×4-2=6，∴G2(4,6);
综上，在直线l上存在点G，使∠EDG=45°，点G的坐标为（4，- ）或（4，6）.
8、如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A(，)和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
考点：　 二次函数综合题．
分析：　 (1)已知B(4，m)在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
(2)要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．
(3)根据直线AB的解析式，可求得直线AC的解析式y=﹣x+b，已知了点A的坐标，即可求得直线AC的解析式，联立抛物线的解析式，可求得C点的坐标；
解答：　 解：(1)∵B(4，m)在直线线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B(4，6)，
∵A(，)、B(4，6)在抛物线y=ax2+bx﹣4上，
∴，
∵c=6，
∴a=2，b=﹣8，
∴y=2x2﹣8x+6．
(2)设动点P的坐标为(n，n+2)，则C点的坐标为(n，2n2﹣8n+6)，
∴PC=(n+2)﹣(2n2﹣8n+6)，
=﹣2n2+9n﹣4，
=﹣2(n﹣)2+，
∵PC＞0，
∴当n=时，线段PC最大且为．
(3)设直线AC的解析式为y=﹣x+b，
把A(，)代入得：=﹣+b，解得：b=3，
∴直线AC解析式：y=﹣x+3，
点C在抛物线上，设C(m，2m2﹣8m+6)，代入y=﹣x+3得：2m2﹣8m+6=﹣m+3，
整理得：2m2﹣7m+3=0，
解得；m=3或m=，
∴P(3，0)或P(，)．
点评：　 此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识；
9、如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），
与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）待定系数法即可得到结论；
（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（-1，-3），设D（0，m），则OD=|m|即可得到结论；
（3）设M（a，a2-2a-3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（-2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．
解答 解：（1）由y=ax2+bx-3得C（0．-3），
∴OC=3，
∵OC=3OB，
∴OB=1，
∴B（-1，0），
把A（2，-3），B（-1，0）代入y=ax2+bx-3
得4a+2b 3= 3 a b 3=0
∴a=1，b= 2，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，
∵A（2，-3），C（0，-3），
∴AF∥x轴，
∴F（-1，-3），
∴BF=3，AF=3，
∴∠BAC=45°，
设D（0，m），则OD=|m|，
∵∠BDO=∠BAC，
∴∠BDO=45°，
∴OD=OB=1，
∴|m|=1，
∴m=±1，
∴D1（0，1），D2（0，-1）；
（3）设M（a，a2-2a-3），N（1，n），
①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，
则△ABF≌△NME，
∴NE=AF=3，ME=BF=3，
∴|a-1|=3，
∴a=4或a=-2，
∴M（4，5）或（-2，5）；
②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，
则N在x轴上，M与C重合，
∴M（0，-3），
综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（-2，5）或（0，-3）．
点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
10、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2+x+4；
（2）线段PQ的最大值为；
（3）符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．
【解析】（1）如图1，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）如图2，运用待定系数法求出直线AB的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题；
（3）由于AB为直角边，分别以∠BAM=90°（如图3）和∠ABM=90°（如图4）进行讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标．
试题解析：（1）如图1，

∵A（﹣3，0），C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∵∠AOC=90°，
∴AC=5．
∵BC∥AO，AB平分∠CAO，
∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．
∴BC=AC．
∴BC=5．
∵BC∥AO，BC=5，OC=4，
∴点B的坐标为（5，4）．
∵A（﹣3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax 2+bx+c上，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+x+4；
（2）如图2，
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直线AB上，
∴
解得：
∴直线AB的解析式为y=x+ ．
设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．
∴yP=t+，yQ=﹣t 2+t+4．
∴PQ=yQ﹣yP=﹣t 2+t+4﹣（t+）
=﹣t 2+t+4﹣t﹣
=﹣t 2++
=﹣（t 2﹣2t﹣15）
=﹣[（t﹣1) 2﹣16]
=﹣（t﹣1）2+ ．
∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，
∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为 ．
∴线段PQ的最大值为 ；
（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．
存在.作抛物线的对称轴 GH，交 x轴于H，交AB于点G，交BC于点D.
∵'抛物线的对称轴为 x=-=,∴xH=xG=xM=,
∴yG=×+=.
∴GH=.
①当∠BAM= 90°时，如图2. ∵∠GHA=∠GAM=90°,∴∠MAH=90°-∠GAH=∠AGM.∵∠AHG=∠MHA=90°,∴∠MAH=∠LAGH,∴△AHG∽△MHA,
∴，解得MH=11.∴点M的坐标为（，-11）.
②当∠ABM=90°时，如图3.∵∠BDG=90°，BD=5-=，DG=4-=，∴BG=
同理可得 AG=.∵ ∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°,∴△AGH∽△MGB,
∴，解得MG=.
∴MH=MG+GH=+=9，∴点M的坐标为（，9）.综上，符合要求得点M得坐标为（，9），（，-11）
11、如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A，B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，
正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，
直接写出对应的点P的坐标．
【解析】
试题分析∶（1）利用待定系数法求出b，c即可;
（2）①根据△AOH∽△PED，得出DE∶PE∶ PD=3∶4∶5，再求出PD=yF-yD求出二函数最值即可;
②当点C落在y轴上时，由△ACP'≌△COA得PC=A0=2，即-x2-x+=2,
解得
所以得出P点坐标，当点F落在y轴上时，
X=-x2-x+, ，可得P点坐标.
试题解析∶（1）对于y=x-，当y=0,x=2.当x=-8，y=-.
∴A点坐标为（2，0），B点坐标为（-8，-)
由抛物线y=-x +bx+c 经过A、B两点，得
0=-1+2b+c ,-16-8b+c =- ,
解得b=-，c=
∴y=-x -x+
①设直线y=x-与y轴交于点M，当x=0时，y=-.∴OM=.
∵点A的坐标为（2，0），.0A=2.
∴AM=.0M:OA: AM=3:4:5.
由题意得，∠PDE=∠0MA，∠A0OH=∠PED=90°，
∴△AOM∽△PED.
∴DE:PE:PD=3:4:5.
∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，
∵PD⊥x轴，∴PD两点横坐标相同，
∴PD=yP-yD=y=-x -x+-(x-)=-x -x+
x=-3时，L最大=15;
②当点G落在y轴上时，如图2，
由△ACP≌△GOA得PC=A0=2，
即-x -x+=2,
∴
如图3，过点P作PN⊥y轴于点N，过点P作PS上x轴于点s，
由△FNF≌△PSA，
PN=PS，可得F点横纵坐标相等，
故得当点P落在y轴上时，x=-x -x+,
12.在平面直角坐标系中，抛物线过点，B（2,2），与轴交于点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在抛物线的对称轴上，求的周长的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）△ACD的周长的最小值是2+2（3）存在，点P的坐标为（1，1）或（1，﹣3）
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线的函数表达式；
（2）由轴对称的最短路径得：因为B与C关于对称轴对称，所以连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，利用勾股定理求其三边相加即可；
（3）存在，当A和C分别为直角顶点时，画出直角三角形，设P（1，y），根据三角形相似列比例式可得P的坐标．
（2）y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+；
∴对称轴是：直线x=1，
如图1，过B作BE⊥x轴于E，
∵C（0，2），B（2，2），对称轴是：x=1，
∴C与B关于x=1对称，
∴CD=BD，
连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，
∵BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2，
∴AB==2，
AC==2，
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2+2；
答：△ACD的周长的最小值是2+2，
（3）存在，
分两种情况：
当∠ACP=90°时，△ACP是直角三角形，如图2，
过P作PD⊥y轴于D，
设P（1，y），
则△CGP∽△AOC，
∴，
∴=，
∴CG=1，
∴OG=2﹣1=1，
∴P（1，1）；
当∠CAP=90°时，△ACP是直角三角形，如图3，
设P（1，y），
则△PEA∽△AOC，
∴ ，
∴，
∴PE=3，
∴P（1，﹣3）；
综上所述，△ACP是直角三角形时，点P的坐标为（1，1）或（1，﹣3）．
考点：二次函数综合题
13．（2017开封二模）如图，已知抛物线y=a（x+1）（x﹣5）与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C（0，5）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，CD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）把C（0，5）代入y＝a（x+1）（x﹣5）得﹣5a＝5，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），即y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
当y＝0时，﹣（x+1）（x﹣5）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把C（0，5），B（5，0）代入得，解得，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，解得x1，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，解得x1，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
综上所述，当点D的坐标为（，）或（，）时，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MM2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
14．（2017年四川省内江市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
【考点】：二次函数综合题．
【分析】（1）把点A、B、C的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b、c的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△MBN与t的函数关系式S△MBN=﹣（t﹣1）2+．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案．
【解答】解：（1）∵点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．
∴A（﹣2，0），
把点A（﹣2，0）、B（4，0）、点C（0，3），分别代入y=ax2+bx+c（a≠0），得
，
解得，
所以该抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+3；
（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t．
∴MB=6﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，3）．
在Rt△BOC中，BC==5．
如图1，过点N作NH⊥AB于点H．
∴NH∥CO，
∴△BHN∽△BOC，
∴，即=，
∴HN=t．
∴S△MBN=MB HN=（6﹣3t） t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+，
当△PBQ存在时，0＜t＜2，
∴当t=1时，
S△PBQ最大=．
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；
（3）如图2，
在Rt△OBC中，cos∠B==．
设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t．
∴MB=6﹣3t．
当∠MNB=90°时，cos∠B==，即=，
化简，得17t=24，解得t=，
当∠BMN=90°时，cos∠B==，
化简，得19t=30，解得t=，
综上所述：t=或t=时，△MBN为直角三角形．
15．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】：二次函数综合题．
【分析】（1）待定系数法即可得到结论；
（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=|m即可得到结论；
（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．
【解答】解：（1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），
∴OC=3，
∵OC=3OB，
∴OB=1，
∴B（﹣1，0），
把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得，
∴，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，
∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），
∴AF∥x轴，
∴F（﹣1，﹣3），
∴BF=3，AF=3，
∴∠BAC=45°，
设D（0，m），则OD=|m|，
∵∠BDO=∠BAC，
∴∠BDO=45°，
∴OD=OB=1，
∴|m|=1，
∴m=±1，
∴D1（0，1），D2（0，﹣1）；
（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），
①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，
则△ABF≌△NME，
∴NE=AF=3，ME=BF=3，
∴|a﹣1|=3，
∴a=3或a=﹣2，
∴M（4，5）或（﹣2，11）；
②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，
则N在x轴上，M与C重合，
∴M（0，﹣3），
综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．
16.如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当何值时，的面积最大 并求最大值的立方根；
（3）是否存在点使为直角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
最大值的立方根为= ；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或
【解析】
试题解析： （1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴BC=AD=2，
∵B（﹣1，0），
∴C（1，0），
设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣x+，
联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，
∴F（﹣，），
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，
∵P点横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），
∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM FN+PM EH=PM （FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，【来源：21·世纪·教育·网】
∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
∴最大值的立方根为=；
（3）由图可知∠PEA≠90°，
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，
①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，
则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，
∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，
∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，
∴△PKE∽△AQP，
∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），
综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．
考点：二次函数综合题
17、（2017郑州一模）如图1，若直线L：y=-2x+4与x轴交于点A，交y轴于点B，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD。过点A，B，D的抛物线h；y=ax2+bx+4,
求：抛物线h的表达式；
若与y轴平行的直线m以1秒钟一个单位长度的速度从y轴向左平移，交线段CD于点M，交抛物线于点N，求线段MN的最大值；
如图2，点E为抛物线h的顶点，点P是抛物线h在第二象限上的一动点（不与点D，B重合），连接PE，以PE为边作图示一侧的正方形PEFG，随着点P的运动，正方形的大小，位置也随之改变。当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标。
分析 （1）根据直线解析式求得点A、B坐标，继而根据旋转可知点C、D坐标，最后待定系数法求解可得；
（2）先求出CD所在直线解析式，根据题意设点M的坐标为（m，m+2），则点N的坐标为（m，-m2-m+4）从而得出线段MN的长度l可表示为l=-m2-m+4-（m+2），利用二次函数的性质即可得；
（3）求得抛物线的顶点式得出顶点E的坐标，设点P坐标为（x，-x2-x+4），分点F在y轴上和点G在y轴上两种情况，利用正方形的性质构建全等的直角三角形，根据对应边相等得出关于x的方程，解之可得．
解答 解：（1）直线y=-2x+4中，当x=0时，y=4；当y=0时，x=2，
∴点A（2，0）、B（0，4），
由题意知，点C的坐标为（0，2）、点D坐标为（-4，0），
将点A、D坐标分别代入抛物线解析式，得：
4a+2b+4=0
16a 4b+4=0，
解得：a= ，b= 1，
∴抛物线h的表达式为y=-x2-x+4；
（2）设CD所在直线解析式为y=kx+b，
将点C、D坐标代入，得：b=2， 4k+b=0，
解得：k=，b=2，
∴直线CD的解析式为y=x+2，
设点M的坐标为（m，m+2），
则点N的坐标为（m，-m2-m+4），
∴线段MN的长度l可表示为l=-m2-m+4-（m+2），
整理得：l=-m2-m+2，
当m=-时，线段MN的长度最大值为；
（3）∵y=-x2-x+4=-（x+1）2+，
∴抛物线的顶点E的坐标为（-1，），
设点P坐标为（x，-x2-x+4）
①当点F在y轴上时，如图1，过点E作直线MN∥x轴，交y轴于点N，过点P作PM⊥MN，
则∠PME=∠ENB=90°，
∴∠MPE+∠MEP=90°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴∠PEF=90°，PE=EF，
∴∠MEP+∠NEF=90°，
∴∠MPE=∠NEF，
在△PME和△ENB中，
∵∠PME=∠ENB
∠MPE=∠NEF
PE=EF，∴△PME≌△ENB，
∴PM=EN，即 -（-x2-x+4）=1，
解得：x=-1±√2，
当x=-1+√2时，y=，
当x=-1-√2时，y=，
∴点P的坐标为（-1+√2，）或（-1-√2，）（此时点P不在第二象限，舍去）；
②当点G在y轴上时，如图2，过点P作MN∥y轴，过点E作EM⊥MN，作GN⊥MN，
则∠EMP=∠PNG=90°，
∴∠MPE+∠MEP=90°，
∵四边形PEFG是矩形，
∴∠EPG=90°，PE=EG，
∴∠MPE+∠GPN=90°，
∴∠MEP=∠GPN，
在△MPE和△NGP中，
∵∠MEP=∠GPN
∠EMP=∠PNG
PE=GP，∴△MPE≌△NGP，
∴PM=GN，即 -（-x2-x+4）=-x，
解得：x=-2±√3，
当x=-2+√3时，y=+√3，即点P坐标为（-2+√3，+√3）；
当x=-2-√3时，y=+√3，即点P坐标为（-2-√3，+√3）；
综上，点P的坐标为（-1+√2，）、（-2+√3，+√3）、（-2-√3，+√3）．
点评 本题主要考查二次函数的综合运用，根据题意构建全等的直角三角形是解题的关键．
18、（2018郑州枫杨外国语摸底）如图所示，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A（-4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C。
求抛物线的解析式；
如图所示，直线AC上方的抛物线上有一点P，过点P作PD垂直AC于点D，作PE平行于x轴交直线AC于点E，求△PED周长的最大值；
已知点F是抛物线的顶点，点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，如点Q是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴左侧，是否存在以F、M、N、Q为顶点且以FQ为边的正方形？若存在，直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由。
解∶（1）抛物线过A（-4，0）、B（1，0），
∴16a-4b+2=0,a+b+2=0,解得a=-，b=-
∴抛物线的解析式为y=-x2-x+2.
如图1所示,过P作PG//y轴交AC于G由抛物线的解析式可知C（0.2）.
设直线AC 的解析式为y=kx＋b，
把A（-4，0）、C（0，2）分别代入得
-4k+b=0,
b=2;
解得k=，b=2
∴直线AC的解析式为y=x+2.
设点P的坐标为（x，-x2-x+2），则G（x，x+2）
∴PG=-x2-x+2-（x+2）=-x2-x
∵PE//x轴，PD⊥AC，PG//y轴,∴∠PGD=∠ACO=∠DPE，∠PDG=∠LPDE=∠GPE=90°. 在 Rt△A0C中，∠A0C=90°，0C=2，A0=4.
则由勾股定理得AC=2√5
∴sin∠ACO==，tan∠ACO==2
在Rt△PDG中，sin∠PGD=，∴PD=PG×sin∠PGD=PG.
在Rt△GPE中，tan∠DPE=，∴PE=PG×tan∠PGD=PG.
在Rt△PDE 中，sin∠DPE=，∴DE=PE×sin∠DPE=PG.
∴C△PED=PE+PD+DE=2PG+PG
∵PG=-x2-x，当x=-2时，PG有最大值2，所以△PED周长得最大值为
（3）有两种情况：x1=;(如图2所示).x2= -,此时如图3所示.
19、（-1，0）、B（3，0）两点，直线y=x-2与x轴交于点D，与y轴交于点C.点P是x轴下方的抛物线上一动点，过点P作PF工x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.
求抛物线的解析式;
（2）若PE=3EF，求m的值;
（3）连接 PC，是否存在点P，使△PCE是以 PC为腰的等腰三角形;
若存在，请直接写出 m 的值;若不存在，请说明理由.
解：（1）将A（-1，0），B（3，0）两点的坐标分别代入y=ax +bx-3中，
得a-b-3=0, 9a+3b-3=0, 解得:a=1,b= -2,
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
（2）∵点P的横坐标为m，点P在x轴下方，
∴P（m，m -2m-3），E（m，m-2），F（m，0），且-1∴PE=lyE-ypl=I（m-2）-（m -2m-3）l=|-m +3m+1l，
EF=lyp-ygl= 丨0-（m-2）丨=丨-m+2丨. ∴PE=3EF,
∴|-m2+3m+1|=3|-m+2|.
①若-m +3m+1=3（-m+2），整理，得m -6m +5=0，解得m=1或m=5.
∵-1∴m=5不合题意，应舍去，∴m=1.
②若-m +3m+1=-3（-m+2），整理，得m -7=0，解得m=√7或m=-√7.
∵-1∴m=-√7不合题意，应舍去，综上所述，m的值为1或√7.
（3）存在，m的值为1+√2，1-√2，或
20、如图，二次函数y=-+bx+c 的图象经过点A（4，0），B（-4，-4），且与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m.过点P作y轴的平行线，分别交直线 AB及x轴于点H，E.
（1）求此二次函数的解析式;
（2）当点P在线段AB上方的抛物线上运动时，试问∶是否存在这样
的点P，使PH=2PE 若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由;
（3）直线AB与y轴交于点D，当∠BAC=2∠PDH时，请直接写出点
P的坐标.
【解题思路】（1）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将A.B两点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式。
由 PE⊥x轴.可知 P，H两点的横坐标相等，用点P的横坐标表示出 PH，PE的长度，再根据PH=2PE，求得 m 的值，进而可求出点、 P的坐标.
（3）先证出∠CAB=2∠BA0，进而可得∠PDH= ∠BA0，据此分类讨论即可.
【参考答案及评分标准】
（1）∶点A（4，0），B（ -4，-4）在二次函数的图象上，
∴0= -4+46+c, -4= -4-4b+c,
解得b=c=2,
故二次函数的解析式为y=-2+x+2.
（2）存在.
由点A（4，0）与B（（-4，-4），可得直线AB的解析式为y=x-2
设P（m，--2+m+2）（-4∴PH=-2+m+2-（m-2）=-2+4
PE=|-2+m+2|. ∴-2+4=2|--2+m+2|
当- 2+m+2>0时.-2+4=- 2+m+4
解得m1 =0，m2=4（舍去）.
当- 2+m+2<0时，-2+4=2-m-4
解得:m3=-,m4=4（舍去） ∴P（-,--）
综上所述，存在满足条件的点P，其坐标为（0，2）或（-,--）
（3）当∠BAC=2∠PDN时.点P的坐标为（1+√17，-2），（1-√17，-2）
（-6，-10）或（,）
【解法提示】由（1）得 C（0，2）.
则在Rt△AOC中，tan∠CAO==
则在Rt△ADO中，tan∠OAD==
∵tan∠CAO=tan∠BAO,∴∠CAO=∠BAO.
∴∠CAB=2∠BAO，∵∠CAB=2∠PDH ∴∠PDH=∠BAO
①如图（1）∠PDH=∠BAO时，PD//x轴，令-2+m+2=-2
解得m1=1+√17，m2=1-√17
当故点P的坐标为（1+√17，-2）或（1-√17，-2）
②如图（2），当∠PDH=∠BAO时，设PD交x轴于点F，则△ADF是等腰三角形。设OF =a，期 DF=AF=4-a，在R△0DF中，a +22=（4-a）2，解得是a=.
∴直线PD的解析式为y=-2 .
令-2+m+2=-2,解得x1=-6 x2= ，故点P的坐标为（-6.-10））或（,）
综上所述;当∠BAC=2∠PDN时，点P的坐标为（1+√17，-2），（1-√17，-2）
（-6，-10）或（,）
21.如图;已知直线y=x+3交x轴负半轴于点A，交y轴于点C，抛物线
y=-+bx+c经过点A、C，与x轴的另一交点为B.
（1）求抛物线的解析式;
（2）设抛物线上任一动点P的横坐标为m.
①若点P在第二象限抛物线上运动，过P作PN上x轴于点N，交直线 AC于点
M，当直线 AC 把线段PN分成 2∶3 两部分时，求 m的值;
②连接CP，以点P为直角顶点作等腰直角三角形 CPQ，当点Q落在抛物线的
对称轴上时，请直接写出点P的坐标.
解：（1）当x=0时，y=x+3=3,则C（0,3）当y=0时，x+3=0，解得x=-4，则
A（-4,0），把A（-4,0），C（0,3）代入抛物线得，-6a-4b+c=0,c=3,解得b=- c=3.∴抛物线解析式为y=-x2-x+3
①设P（m,-m2-m+3）(-4＜m＜0），则M（m,m+3）,
∴PM=-m2-m+3-（m+3）=-m2-m，MN=m+3
②作PK⊥y轴于G，交抛物线得对称轴于K，如图
∵△CPE为直角三角形，∴PE=PC，∠EPC=90°
∵∠PKE=∠PGC=90°,
∴∠PEG=∠CPG，易得△PEK≌△CPG，∴CG=PK，
设P（x,-x2-x+3）,抛物线的对称轴为直线x=-1，则K（-1，-x2-x+3），
G（0，-x2-x+3），∴PK=,CG==
∴=，由x+1=解得x1=-4,x2=-;
由x+1=，解得x1=2,x2=-
∴P点坐标为（-4,0）或（-，）或（2,0）或（-）
本题属于二次函数综合题，主要考察了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定等知识，熟练运用方程思想和分类讨论思想是解决本题的关键.
22.如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．(1) 求抛物线的解析式；
(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
(3) 如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，求点N的坐标；
(4)在(2)与(3)的条件下，请直接写出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．
解：（1）∵抛物线y=ax 2 +bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）
∴将A与B两点坐标代入得： ，解得： 。
∴抛物线的解析式是y=x 2 ﹣3x。
（2）设直线OB的解析式为y=k 1 x，由点B（4，4），得：4=4k 1 ，解得：k 1 =1。
∴直线OB的解析式为y=x。
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m。
∵点D在抛物线y=x 2 ﹣3x上，∴可设D（x，x 2 ﹣3x）。
又∵点D在直线y=x﹣m上，∴x 2 ﹣3x=x﹣m，即x 2 ﹣4x+m=0。
∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△=16﹣4m=0，解得：m=4。
此时x 1 =x 2 =2，y=x 2 ﹣3x=﹣2。
∴D点的坐标为（2，﹣2）。
（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3）。
根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，
设直线A′B的解析式为y=k 2 x+3，过点（4，4），∴4k 2 +3=4，解得：k 2 = 。
∴直线A′B的解析式是y=。
∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，∴BA′和BN重合，即点N在直线A′B上。
∴设点N（n，），
又∵点N在抛物线y=x2﹣3x上，∴=n2﹣3n，解得：n1=，n2=4（不合题意，舍去）。
∴N点的坐标为（ ）。
如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1 ，
则N1（ ），B1（4，﹣4）。
∴O、D、B1都在直线y=﹣x上。
由勾股定理，得OD=，OB1= ，
∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1 ，
∴△P1OD∽△N1OB1。
∴ 。
∴点P1的坐标为（ ）。将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（ ）。
（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可。
（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标。
（3）综合利用几何变换和相似关系求解：进行翻折变换，将△NOB沿x轴翻折，注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=﹣x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个。还可以进行旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°求解。
23.（2016河南B卷）抛物线y=ax2+bx+2经过A（-1，0），C（3，0），交y轴于点B。
求抛物线的解析式；
如图（1），点P为直线BC上方抛物线上一个动点，连接PB，PC，设△ABC的面积为S，点P的横坐标为m，试求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
如图（2），连接AB，点M（2，1）为抛物线内一点，在抛物线上是否存在点Q，使直线QM与y轴相交所成的锐角等于∠OAB？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。
【解析】
对于（1），将A、B两点坐标代入抛物线解析式解关于a，b的二元一次方程组，求出a和b，即可得出抛物线的解析式;
对于（2），由（1）知B（0，2），得到直线BC 的解析式，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，过点B作BN⊥PD于点N，则可得S=S△BPE+S△PEC;
易得P、E两点的坐标，由此求出PE，则可由三角形的面积公式用m表示出S，再根据二次函数的性质，即可求出S的最大值;
对于（3），过点M作MF⊥y轴于F，作直线M B，MO，易得△BOA≌△MFB≌△MFO，可得∠ MBF=∠MOF=∠BAO，故直线MB和直线MO分别
与抛物线的交点的横坐标即为所求;
接下来求出直线MB、直线MO的解析式，分别将
它们与抛物线解析式联立求解，即可确定点Q的横坐标.
题目解析
解∶（1）∵'抛物线y=ax +bx+2经过点A（-1，0），C (3,0),
a-b＋2=0 ，9a+3b＋2=0'
解得a=-, b=
∴抛物线的解析式为y=x2+x+2
（2）由（1）知，B（0，2）.
设直线BC的解析式为y=kx+b'（k=0），
3k+b'=0 b'=2
k=-, b'=2
∴直线BC的解析式为y=-x+2.
如图，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，过点B作BN⊥PD于点N.
∵点P的横坐标为m，
P（m，-m2+2）（m，-m+2）
∵点P在直线BC上方，
PE=-m2+2-(-m+2）=-m2+2m
S=S△BPE+S△PEC
=PE×BN+PE×DC
=×（-m +2m）×3 =-m2+3m
∵a=-1，∴当m=时，S有最大值，其最大值为,
（3）如图，过点M作MF⊥y轴于F，作直线MB，M 0.
∴△BOA≌△MFB≌△MFO，
∴∠MBF=∠MOF=∠BAO,
∴直线MB和直线MO分别与抛物线的交点的横坐标即为所求.
由题意可知直线MB：y=--x+2，直线MO：y=x
联立直线MO和抛物线解析式，消去y化简得4x2-5x-12=0
联立直线MB和抛物线解析式，消去y化简得4x2-11x=0
使直线QM与y轴相交所成的锐角等于∠OAB
24．（2020海南）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A，点C坐标代入解析式，可求b，c的值，即可求解；
（2）设点P（a，a2+a﹣6），由PD＝2PE，可得|a2+a﹣6|＝﹣2a，可求a的值；
（3）由勾股定理可求AC，BC的长，通过证明△ACH∽△BCO，可得，可求AH，HC的长，由两点距离公式可求点H坐标，再求出直线HC的解析式，即可求点P坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣6；
（2）①设点P（a，a2+a﹣6），
∵点P位于y轴的左侧，
∴a＜0，PE＝﹣a，
∵PD＝2PE，
∴|a2+a﹣6|＝﹣2a，
∴a2+a﹣6＝﹣2a或a2+a﹣6＝2a，
解得：a1＝，a2＝（舍去）或a3＝﹣2，a4＝3（舍去）
∴PE＝2或；
②存在点P，使得∠ACP＝∠OCB，
理由如下，
∵抛物线y＝x2+x﹣6与x轴交于点C，
∴点C（0，﹣6），
∴OC＝6，
∵点B（2，0），点A（﹣3，0），
∴OB＝2，OA＝3，
∴BC＝＝＝2，
AC＝＝＝3，
如图，过点A作AH⊥CP于H，
∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠ACP＝∠BCO，
∴△ACH∽△BCO，
∴，
∴＝，
∴AH＝，HC＝，
设点H（m，n），
∴（）2＝（m+3）2+n2，（）2＝m2+（n+6）2，
∴或，
∴点H（﹣，﹣）或（﹣，），
当H（﹣，﹣）时，
∵点C（0，﹣6），
∴直线HC的解析式为：y＝﹣x﹣6，
∴x2+x﹣6＝﹣x﹣6，
解得：x1＝﹣2，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标（﹣2，﹣4）；
当H（﹣，）时，
∵点C（0，﹣6），
∴直线HC的解析式为：y＝﹣7x﹣6，
∴x2+x﹣6＝﹣7x﹣6，
解得：x1＝﹣8，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标（﹣8，50）；
综上所述：点P坐标为（﹣2，﹣4）或（﹣8，50）．
25.（2020湖南张家界）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【解析】
【分析】
（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；
（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标
【详解】解：（1）∵直线经过点
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5）
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0）
∴解得
∴该抛物线的解析式为
（2）的为直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，则x1=1，x2=5
∴A（1,0），B（5,0）
∵抛物线的对称轴l为x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0）
∴OB=CO=5,即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N（3，2）
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5),A(1，0)
∴ 解得b=5，k=-5
∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为（）
∴=× +n，解得：n=
∴EM1的函数解析式为y=x+
∵ 解得
∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
设M2（a，-a+5）
则有：3=，解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
26．（2020铁岭）如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
【分析】（1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入抛物线的解析式中，列方程组解出即可；
（2）如图1，作辅助线，构建相似三角形，证明△DCH∽△CBO，则，设点D的横坐标为t，则，列关于t的方程解出可得结论；
（3）利用待定系数法求直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，设N（m，﹣m+3），当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，存在两种情况：如图2和图3，分别画图，根据平移的性质可表示M的坐标，代入抛物线的解析式列方程可解答．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，3），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如图1，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，则∠ECB＝∠ABC，
过点D作DH⊥CE于点H，则∠DHC＝90°，
∵∠DCB＝∠DCH+∠ECB＝2∠ABC，
∴∠DCH＝∠ABC，
∵∠DHC＝∠COB＝90°，
∴△DCH∽△CBO，
∴，
设点D的横坐标为t，则，
∵C（0，3），
∴，
∵点B是与x轴的交点，
∴，
解得x1＝4，x2＝﹣1，
∴B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∴，
解得t1＝0（舍去），t2＝2，
∴点D的纵坐标为：，
则点D坐标为；
（3）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
设N（m，﹣m+3），
分两种情况：
①如图2，以DF为边，N在x轴的上方时，四边形DFNM是平行四边形，
∵D（2，），F（0，），
∴M（m+2，﹣m+4），
代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+4，
解得：m＝，
∴N（，3﹣）或（﹣，3+）；
②如图3，以DF为边，N在x轴的下方时，四边形DFMN是平行四边形，
同理得：M（m﹣2，﹣m+2），
代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+2，
解得：m＝4，
∴N（4+，﹣）或（4﹣，）；
综上，点N的坐标分别为：（，3﹣）或（﹣，3+）或（4+，﹣）或（4﹣，）．
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