高中数学北师大版（2019）必修第一册综合强化卷1（word版含解析）

高中数学北师大版（2019）必修第一册综合强化卷1
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．若，则（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
2．设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．定义在R上的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数在上至少有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．定义函数，若函数，，且对任意的，都有成立，函数的图象与自左向右有四个交点、、、，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
6．设，，且，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知函数，，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．设函数，集合，则下列命题正确的是（ ）
A．当时，
B．当时
C．若，则k的取值范围为
D．若（其中），则
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知函数 则方程恰好有4个不同的解，则实数的取值范围为_________．
10．已知函数的值域为，则实数的取值范围是_________
11．若不等式的解集中有且仅有两个正整数，则实数的范围是____________
12．，，，，则的取值范围是________
四、解答题
13．双十一期间，商户为揽客拟定商品按y（元/斤）销售，售价随时间变化的关系为，且在上是严格减函数．
（1）姚女士需要在和两个时刻分两批屯商品，两次总共屯5斤.得知了商家的销售方案后，姚女士咨询了两位平台主播，主播小佳表示应该选择每次买相同重量的商品，主播小琦认为还是每次买相同总价的商品，请问到底哪种更划算？说明理由．
（2）商家决定售价按照来销售，而姚女士考虑在x时刻买200元，在时刻购买300元，请问她至多买多少斤？（答案精确到1斤）
14．已知函数．
（1）若是偶函数，求的值；
（2）若方程有两个不等的实数根，，比较与1的大小；
（3）设函数，若，，使得在定义域上单调递增，且值域为，求的取值范围．
15．对于函数，当时，的取值范围是，则称为的“倍跟随区间”，当时，称是函数的“保值区间”.
（1）求证：是函数的一个“保值区间”；
（2）求证：函数不存在“保值区间”；
（3）若函数存在“倍跟随区间”，求的取值范围.
16．（1）定义在R上的奇函数，当时，.另一个函数的定义域为，，值域为，其中，，.在，上，.求，.
（2），，二次函数在上与轴有两个不同的交点，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【分析】
由，构造函数，可得，再结合的单调性和奇偶性即可求解
【详解】
构造函数，
由，
可得，
，且定义域为，
是奇函数，
，
又易得为上的单调递增函数
故选：B
2．C
【分析】
通过是偶函数和是奇函数以及题设条件，可以用赋值法求出时，，根据条件将的值转化为，即可得到答案．
【详解】
因为是偶函数，所以①，
因为是奇函数，所以②．
令，由①得：，
由②得：，
因为，所以，
令，由②得：，
所以当时，，
.
故选：C．
【点睛】
结论点睛：复合函数的奇偶性：
（1）是偶函数，则；
（2）是奇函数，则.
3．B
【分析】
观察可发现为奇函数，所以将变形为，结合函数单调性解不等式即可
【详解】
令，，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得：
故选：B
【点睛】
题目比较灵活，考察单调性和奇偶性结合的问题，对学生要求比较高，不可直接计算，需要熟悉类型的函数为奇函数，且单调递减，根据这两个性质引导学生对已知不等式进行变形，从而解决问题
4．C
【分析】
根据偶函数满足，推知是最小正周期为2的偶函数，由时，，得到其图象，然后将在上至少有三个零点，转化为的图象和的图象至少有3个交点，利用数形结合求解.
【详解】
∵，且是定义域为的偶函数，
令可得，
又，∴，则有，
∴是最小正周期为2的偶函数.
当时，，开口向下，顶点为的抛物线.
∵函数在上至少有三个零点，
令，则的图象和的图象至少有3个交点.
∵，当时，的图象和的图象只有1个交点，故，
要使函数在上至少有三个零点，如图：
则有，可得，
即，∴，又，∴.
故选：C
【点睛】
方法点睛：此题主要考查函数奇偶性、周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值是迅速解题的关键．其二是考查了函数的零点问题和图像的交点问题的转化．
5．A
【分析】
由已知得关于对称，再由关于对称，可得关于对称，且，得，．作出图象，得出，表示，根据函数的性质可求得答案得选项.
【详解】
由可得关于对称，因为，则关于对称，
所以关于对称，且，得，．则图象如下图所示，
则，，，所以，
令，则，
令，则，
由得；由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以．
故选：A．
【点睛】
关键点睛：本题考查分段函数的图象以及图象的交点，关键在于准确地得出函数的对称轴，作出函数的图象，运用数形结合的思想得以解决.
6．D
【分析】
由条件，且分析出的大小关系，再讨论函数的单调性即可逐一判断作答
【详解】
因，且，则有且，于是得，
函数，则在上递减，在上递增，
当时，有成立，A选项可能成立；
当时，有成立，C选项可能成立；
由知，即取某个数，存在，
使得成立，如图，即B选项可能成立；
对于D，由成立知，必有，由成立知，必有，即出现矛盾，D选项不可能成立，
所以不可能成立的是D.
故选：D
7．AC
【分析】
对选项A、B，利用指数幂的运算性质即可判断选项A正确，选项B错误；
对选项C、利用在R上单调递增即可判断，选项C正确；
对选项D、根据，且，由凹凸性有，又，由凹凸性有即可判断选项D错误；
【详解】
解：对选项A：因为，所以，故选项A正确；
对选项B：因为，所以，故选项B错误；
对选项C：由题意，因为，所以在R上单调递增，
不妨设，则，所以，即，故选项C正确；
对选项D：因为，且，所以由凹凸性有，
又，所以由凹凸性有，
所以有，
即，
即，故选项D错误；
故选：AC.
8．ABD
【分析】
A解一元二次方程直接求解集即可；B由题设易知集合中方程无解即可判断；C、D画出的图象，令根据二次函数的性质及所得的图象判断正误即可.
【详解】
A：时，或，结合解析式：时有或，时有，所以，正确；
B：时，方程无解，则，正确；
由解析式可得其函数图象如下图示：
令，开口向上且对称轴为，
若，则，即，有以下情况：
1、，：
此时，令，则在上有一个零点，
∴，可得，
2、，，由A知：.
综上：，故C错误；
若，由函数的性质及图象知：必有，.
此时，，，
所以，，所以，故D正确.
故选：ABD
【点睛】
关键点点睛：C、D选项中，画出大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合对应的的可能取值，再结合图象判断正误.
9．
【分析】
令，，作出图像，作出图像，通过图象分析解的各种情况．
【详解】
解:令，，
作出图像，作出 图像，
，时，有两根，设为，，则，，
即，此时有2个根，，此时有2个根，
共4个根，满足条件.
，时，，解得或或6，
即，无解，，2解，，2解，
共4个解，满足条件.
，时，，有四个根，设为，，，，
其中，，，，
即，无解，，无解，
，2解，，2解，
共4个解，满足条件.
时，有4个根，0，2，，（），
，1解，，1解，，2解，，2解，
共6解，不满足条件.
时，，有3个根，设为，，，
其中，，，
即有2解，有2解，有2解，
共6解，不满足条件.
时，，有两根和3，
有2个根，有2个根，
共4个根，满足条件，
综上.
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数与方程根的分布问题，解题时可把复杂的方程简单化，如设，方程化为，，这样可作出两个函数和的图象，由图象分析方程根的所有可能情形，从而得出结论．数形结合思想是解这类问题的重要思想方法．
10．
【分析】
可由题意，根据对数函数的定义域和单调性确定其范围，要满足值域为，指数函数的值域也就确定了，然后把指数部分的二次三项式重新设函数，通过分类讨论去求解对应的取值范围.
【详解】
函数，所以当时，，
所以时，得取遍所有大于1的数，故其指数得取遍所有大于0的数.
因为，，
当时，不成立；
当时，其开口向下，有最大值，无法去到正无穷，舍去；
当时，其开口向上，对称轴大于0，故需对称轴对应的值小于等于0，故有：且
，综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
二次三项式在进行讨论的时候要首先考虑二次项系数为0的情况，然后根据题意，去讨论开口或者讨论.
11．
【分析】
设.如图，作出两个函数的大致图象，原问题转化为求解不等式组，解之可得答案.
【详解】
解：设.如图，画出两个函数的大致图象，两个函数的图象均过原点，由图知当时不合题意，则，
要使不等式的解集中有且仅有两个正整数，则需，解得 .
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
12．
【分析】
把整理为关于的二次函数，利用二次函数的单调性求解取值范围
【详解】
，，
，
，，，
所以在处取得最大值
对称性可知：.
故答案为：
13．
（1）第二种划算，理由见解析
（2）800
【分析】
（1）根据题意列出两种方案所需要的花费的钱数，做差比较即可；
（2）由题意可得到姚女士购买商品斤数的函数，变形化简后利用对勾函数的单调性求函数的最大值即可.
（1）
设在时价格为a，在时价格为b,
第一种方式需花费，
第二种方式需要花费，
，且，
所以，
即，
所以，
即第二种方案省钱，所以第二种方案划算.
（2）
由题意可知，姚女士可买斤，
，
其中，
在上单调递增，在上递减,
所以的最小值在或时取到，当时，，当时，，
因为，
所以的最小值在时取到，
所以原函数最大值在时取到，经比较最多买800斤，在时取到.
14．
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）根据是偶函数，由，即成立求解；
（2）将方程，转化为，在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解；
（3）令，转化为，，根据在定义域上单调递增，且值域为，得到在上单调递增，且值域为，结合二次函数的单调性，由，且求解.
（1）
解：定义域为，
因为是偶函数，所以，
即，即，
所以恒成立，
所以；
（2）
因为，
所以方程，即，
在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：
因为，由图可知，，
所以，，
所以，
因为，所以，
故，故；
（3）
函数，，
令，则，，
因在定义域上单调递增，且值域为，
所以在上单调递增，且值域为，
因为，所以二次函数的图象开口向上，对称轴为，
所以，在上单调递增，
所以，即，
所以方程在上有两个不相等的实数根，
则有解得；
所以实数的取值范围为．
15．
（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）.
【分析】
（1）利用二次函数的单调性求出函数在区间上的值域，可证得结论成立；
（2）设是已知函数的定义域的子集，可知或，利用函数的单调性可得出关于、的方程组，判断方程组无解可证得结论成立；
（3）利用题中定义可得，变形可得，，通过换元可知函数在区间上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
（1）
解：易知在区间上单调递增，又，，
所以，在区间上的值域为，
所以，区间是的一个“保值区间”.
（2）
解：设是已知函数的定义域的子集.
由，可得或，
因为函数在上单调递减.
若是函数的“保值区间”，
则，所以，，
因为，显然方程组无解，故函数不存在“保值区间”.
（3）
解：若函数存在“倍跟随区间”，
因为为减函数，故由“倍跟随区间”的定义可知，
两式相减得，，即，
，则，所以，
则，
设代入整理得，
同理代入整理得，
即在区间上有两个不等的零点，
故，解得.
【点睛】
方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：
（1）二次项系数的符号；
（2）判别式；
（3）对称轴的位置；
（4）区间端点函数值的符号.
结合图象得出关于参数的不等式组求解.
16．（1）或；（2）.
【分析】
（1）先求出的解析式并作出图象，根据题意得到，进而可知的图象在第一或第三象限内，然后分和两大类分别求出函数的最值，进而解得a,b；
（2）求出并结合根与系数的关系，然后通过基本不等式求得答案.
【详解】
（1）容易求出奇函数的解析式为：函数的定义域为，值域为，其中，这表明，则，也就是说的图象在第一或第三象限内.
根据的图象可知，函数的图象如所示曲线的一部分：
由图中看出，当时，考虑以下三种情况：，,.
如果，,那么.但是时，，
这与的值域的右端点大于1矛盾.若，由图看出是减函数，可见，考虑到的条件，解之得：.
当时，考虑以下三种情况：，,，
若或，则.但是时，，
若，由图可知是减函数，可见，考虑到的条件，
情况下通过值域条件得出.
综上：或.
（2）设二次函数的零点为，且，
则，，
，
而不成立，所以.
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