高中数学北师大版（2019）必修第一册综合强化卷2word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册综合强化卷2
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知，.设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．三个数，，的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直线分别与函数和的图象交于点、，现给出下述结论：①；②；③；④，则其中正确的结论个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．若，则（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
5．已知函数若关于x的方程有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知下列命题：
①幂函数的单调递增区间是；
②函数与函数是同一个函数；
③若函数，正实数a b满足且，则的取值范围是；
④对于函数，其定义城内任意，都满足
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
7．已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（ ）
A．的图象关于对称
B．
C．在上的最大值是10
D．不等式的解集为
8．函数，以下四个结论正确的是（　　）
A．的值域是
B．对任意，都有
C．若规定，则对任意的
D．对任意的，若函数恒成立，则当时，或
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．则= _____．
10．集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：（1），；；（2）；（3）．计算____________________________________．
11．已知函数的值域为，则实数的取值范围是_________
12．设，函数，若函数恰有个零点，则实数的值为__________.
四、解答题
13．已知定义在R上的奇函数和偶函数满足.
（1）求函数和的解析式；
（2）判断在R上的单调性，并用定义证明；
（3）函数在R上恰有两个零点，求实数k的取值范围.
14．函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有 ，则称函数具有性质.
（1）已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.求证：是偶函数；
（2）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.
15．形如y=ax+（a≠0，b≠0）的函数，我们称之为“海鸥函数”，它具有如下性质：当a>0，b>0时，该函数在[，0）和（0，]上是减函数，在（一∞，）和（，+∞）上是增函数.已知函数=（a>0）.
（1）若为偶函数，求a的值；
（2）若对于任意，，恒成立，求a的取值范围.
16．已知函数满足，其中为常数.
（1）对，证明：；
（2）是否存在实数，使得，且？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【分析】
先根据指对数的互化结合指数函数的单调性可判断的大小，再根据对数的性质和基本不等式可判断的大小关系，从而可得正确的选项.
【详解】
因为，故，所以，故，
同理，所以，故，
而，而，
所以即，所以，所以
故选：B.
2．D
【分析】
结合对数恒等式进行变换，利用对数函数的单调性即可证明，由此得出三者的大小关系.
【详解】
，由于，，所以，所以，即，而，所以，所以，即，所以.
故选：D
3．B
【分析】
根据函数和的图象关于对称，直线与垂直，可得，、，，关于对称，即可判断①；利用基本不等式即可判断②，构造，判断其单调性，即可判断③，由，判断其单调性，即可判断④．
【详解】
由题意直线与垂直，函数和的图象关于对称，
，、，，关于对称，则；①正确；
对于②：由，因为，则；②正确；
对于③：构造函数；则，
当时，可得，函数在单调递增；
当时，可得，函数在单调递减；
，，，③正确；
对于④：，，令函数，则
当时，可得，函数在单调递减；
当时，可得，函数在单调递增；
，不对，即④不对．
故选：B
4．B
【分析】
由，构造函数，可得，再结合的单调性和奇偶性即可求解
【详解】
构造函数，
由，
可得，
，且定义域为，
是奇函数，
，
又易得为上的单调递增函数
故选：B
5．B
【分析】
利用换元法设，则等价为有且只有一个实数根，分 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出的取值范围.
【详解】
令，则方程等价于，
当时，此时当时，，此时函数有无数个零点，不符合题意；
当，则，所以由，得，
则关于x的方程有且只有一个实数根等价于关于x的方程有且只有一个实数根，作出的图象如图：
当时，由图象可知直线与的图象只有一个交点，恒满足条件；
当时，要使直线与的图象只有一个交点，
则只需要当时，直线与的图象没有交点，
因为 时，，此时 最小值为 ，
所以，
综上所述，实数a的取值范围是，
故选：B.
6．B
【分析】
利用幂函数的性质可判断①，由两个函数的定义域可判断②，由条件及对数的运算性质可得，再利用基本不等式可判断③，利用对数的运算法则及基本不等式可判断④，即得答案.
【详解】
①幂函数的单调递增区间是，故正确；
②函数的定义域为，函数的定义域为，所以函数与函数不是同一个函数，故错误；
③由函数，正实数a b满足且，
则，∴即，
∴当且仅当取等号，，
∴的取值范围是，故错误；
④对于函数，其定义城内任意，
，
当且仅当时取等号，∴，故正确.
故选：B.
7．ACD
【分析】
依题意令，求出，再令，即可得到，从而判断A；令得到，再令，，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】
解：因为，则有，令，则，则，令则，即，故的图象关于对称，即A正确；
令，则，
令代x，则，即，即，故B错误；
设且，则，由，令，，则，即，由时，，得，则，所以，所以，即在上单调递减，又，所以，，又，所以，故在上的最大值为，故C正确；
由，即，即，即，又因为，即，所以，即，即，即，解得，即原不等式的解集为，故D正确；
故选：ACD
8．ABC
【分析】
由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.
【详解】
由函数解析式可得，有如下函数图象：
∴的值域是，且单调递增即(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB正确；
对于C，有，若，
∴当时，，故有.正确.
对于D，上，若函数恒成立，即有，恒成立，令，即上，
∴时，，有或（舍去）；
时，故恒成立；
时，，有或（舍去）；
综上，有或或；错误.
故选：ABC
【点睛】
方法点睛：
1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.
2、数学归纳法：当结论成立，若时结论也成立，证明时结论成立即可.
3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.
9．-1或5
【分析】
由题意可得，一点有，再由，可得，进而可得结果.
【详解】
设
两边同除，可得，所以
由，一定有，，即
，则 或
代入可得或
所以或5
故答案为：-1或5
【点睛】
关键点点睛：通过两个方程的关系可得，一点有，是解题的关键.本题考查了逻辑推理能力和计算能力，属于中档题.
10．或
【分析】
由题设条件求，，，，，的大小关系，再根据集合运算新定义求即可.
【详解】
，得；，得；
∴，；同理，
∴．由(1)(3)可得．
∴，，．
或．
故答案为：或
11．
【分析】
可由题意，根据对数函数的定义域和单调性确定其范围，要满足值域为，指数函数的值域也就确定了，然后把指数部分的二次三项式重新设函数，通过分类讨论去求解对应的取值范围.
【详解】
函数，所以当时，，
所以时，得取遍所有大于1的数，故其指数得取遍所有大于0的数.
因为，，
当时，不成立；
当时，其开口向下，有最大值，无法去到正无穷，舍去；
当时，其开口向上，对称轴大于0，故需对称轴对应的值小于等于0，故有：且
，综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
二次三项式在进行讨论的时候要首先考虑二次项系数为0的情况，然后根据题意，去讨论开口或者讨论.
12．
【分析】
分和两种情况讨论，由解出的值，然后分、解关于的方程，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.
【详解】
①当时，由，可得，
当时，由，可得或，
当时，.
即当时，函数只有个零点，不合乎题意；
②当时，由，可得或.
当时，由，可得或，方程无解，
当时，由，即，，
解方程可得，
其中合乎题意，舍去，
所以，方程在时有唯一解，
函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，
故，解得.
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
13．
（1），
（2）在R上单调递增，证明见解析
（3）
【分析】
（1）利用奇偶性得到关系式，结合题干中的条件，解出函数和的解析式；（2）利用定义证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论；（3）结合第一问和第二问求解的单调性和奇偶性，得到等量关系，参变分离后结合函数图象及对勾函数进行求解.
（1）
因为是奇函数，是偶函数，所以，，则，①
，②
联立解得：，；
（2）
在R单调递增，理由如下：
，且，
，
∵，∴，，，
∴，∴在R单调递增；
（3）
有两个不同零点等价于方程
在R上有两个不同的根，
∵为奇函数，∴等价于在R上有两个不同的根，
由（2）知在R单调递增，∴在R上有两个不同的根，
显然不满足条件，∴，
结合对勾函数图像及函数图像变换得.
14．
（1）证明见解析；
（2）.
【分析】
（1）设，其中，可得出，分、两种情况讨论，验证是否恒成立，由此可证得结论成立；
（2）根据定义可得出对任意的，，对正实数的取值进行分类讨论，求得的取值范围，可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围.
（1）
证明：设，其中，
则，所以，，
若，则函数的值域为，则不存在正实数，使得恒成立，
若，则，存在正实数，使得恒成立，
所以，，则，故函数为偶函数.
（2）
解：因为，对任意的，，故函数的定义域为，
，
则，
所以，
，
因为函数具有性质，
即存在正实数，使得对任意的，总有，即，
即，即.
当时，可得，对任意的实数恒成立；
当时，则，因为，则，
所以，，则，
因为对任意实数恒成立，则，解得；
当时，则，
因为，则，
所以，，则，
因为对任意实数恒成立，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
15．
（1）；
（2）
【分析】
（1）利用偶函数的定义求出a的值；
（2）换元后得到，先由必要条件，即代入端点值后满足要求，得到，从而确定，结合题干中的说明得到单调性，结合最值得到不等式组，求出的取值范围.
（1）
若为偶函数，则恒成立，
即，整理得，
要想保证对于任意恒成立，故，解得
（2）
因为，所以令，记.
由题意，有，因为.
应满足必要条件，解得，
则.
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以
解得：.
故的取值范围是.
16．
（1）证明见解析;
（2）存在，且.
【分析】
(1)由，求出函数解析式，再代入证明等式左边等于右边即可.
(2)由（1）的结论，以及函数的奇偶性，即可求出.
（1）
解：由，得，所以
，所以
=上式，
命题得证.
（2）
由(1)得：函数的定义域为，
，故函数为奇函数，
，
，
联立以上两式，解得：，
此时，.
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