高中数学北师大版（2019）必修第一册综合强化卷3word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册综合强化卷3
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则 的取值范围是
A．（0，+∞） B．（0，1） C．（－∞，0） D．（0，）
2．已知0A． B．
C． D．以上均不正确
3．已知函数f（x）=ax3﹣（3a﹣2）x2﹣8x+12a+7，g（x）=lnx，记h（x）=min{f（x），g（x）}，若h（x）至少有三个零点，则实数a的取值范围是
A．（﹣∞，） B．（，+∞） C．[，） D．[，]
4．定义“正对数”：，现有四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则.
则所有真命题的序号为
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．②③④
5．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为
A．或 B．1或 C．或2 D．或1
6．方程的实根个数为
A．0 B．1 C．2 D．4
二、多选题
7．已知，则关于x的方程的实根个数可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）
A．若为的跟随区间，则
B．函数存在跟随区间
C．若函数存在跟随区间，则
D．二次函数存在“3倍跟随区间”
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知函数，且有且只有1个整数解，则的取值范围为______.
10．已知定义域为的函数既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当时， ，则函数在区间上的零点个数是__________．
11．已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则的最小值为___________．
12．设函数，,若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是________
四、解答题
13．已知函数，，
（1）当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写结果）；
（2）当时，函数在区间上的最大值为，试求实数m的取值范围；
（3）若不等式对任意，恒成立，求实数b的取值范围.
14．已知函数．
(1)当时，比较，，；
(2)当时，恒有成立，求实数a的取值范围．
15．设定义在实数集上的函数,恒不为0,若存在不等于1的正常数,对于任意实数,等式恒成立,则称函数为函数.
（1）若函数为函数,求出的值；
（2）设,其中为自然对数的底数,函数.
①比较与的大小；
②判断函数是否为函数,若是,请证明；若不是,试说明理由.
16．已知集合，对于，，定义A与B的差为；A与B之间的距离为．
（I）若，试写出所有可能的A，B；
（II），证明：
（i）；
（ii）三个数中至少有一个是偶数；
（III）设，中有m（，且为奇数）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为，证明：．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．D
【分析】
由方程的解与函数图象的交点关系得：方程有五个不同的实数根等价于的图象与的图象有5个交点，作图可知，只需与曲线在第一象限有两个交点即可．利用导数求过某点的切线方程得：过原点的直线与相切的直线方程为，即所求的取值范围为，得解．
【详解】
设，则的图象与的图象关于原点对称，
方程有五个不同的实数根等价于函数的图象与的图象有5个交点，由图可知，只需与曲线在第一象限有两个交点即可，
设过原点的直线与切于点，，由，
则过原点的直线与相切，，
又此直线过点，所以，
所以，即（e），
即过原点的直线与相切的直线方程为，
即所求的取值范围为，故选．
【点睛】
本题主要考查了方程的解与函数图象的交点个数问题的关系应用及利用导数求切线方程．
2．A
【分析】
将根式都整理为分数指数幂形式，构建以为指数的幂函数，由其指数大于1单调递增判定，同理判定；对于，对其分数指数幂取对数，再令特值，代值比较大小可得，综上既得答案.
【详解】
有题意知，，0因为幂函数中，在上单调递增，
因为0对于分别取对数得
不妨设，则，
其中，易得，则
综上所述，
故选：A
【点睛】
本题考查不等式的性质，多见于取特殊值判定，属于难题.
3．D
【分析】
根据选项，选择a=0和 a进行判断，分别排除，即可得解.
【详解】
当a=0时，函数f（x）=ax3﹣（3a﹣2）x2﹣8x+12a+7，
化为：f（x）=2x2﹣8x+7，函数的对称轴为x=2，
f（2）=﹣1<0，f（1）=10，结合已知条件可知：h（x）=min{f（x），g（x）}，若h（x）有三个零点，满足题意，排除A、B选项，
当a时，f（x）x3﹣（2）x2﹣8x7，f′（x），
令3x2+26x﹣64=0，解得x=2或x，x∈（﹣∞，），x∈（2，+∞），f′（x）0，函数是增函数，
x∈（，2），f′（x）<0，函数是减函数，
所以x=2时函数取得极小值，f（2）=0，所以函数由3个零点，满足题意，排除C，
故选：D.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，考查了利用导数求函数单调性，考查了分类讨论思想和排除法，要求较高的计算能力，属于难题.
4．D
【分析】
对于①，通过举反例说明错误；对于②，由“正对数”的定义分别对、分，；，两种情况进行推理；对于③④，分别从四种情况，即当，时；当，时；当，时；当，时进行推理．
【详解】
对于①，当，时，满足，，而，
，，命题①错误；
对于②，当，时，有，
从而，，；
当，时，有，从而，，
.
当，时，，命题②正确；
对于③，由“正对数”的定义知，且．
当，时，，而，则；
当，时，有，，而，
，则．
当，时，有，，而，则．
当，时，，则．
当，时，，命题③正确；
对于④，由“正对数”的定义知，当时，有.
当，时，有，
从而，，
；
当，时，有，从而，，；
当，时，有，从而，
，；
当，时，，，
，，
从而，命题④正确．
正确的命题是②③④．
故选：D．
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查运算能力和逻辑推理能力，属于难题．
5．A
【分析】
根据题意，利用函数的奇偶性，求出，结合函数的对称性得出和都关于对称，由有唯一零点，可知，即可求.
【详解】
解：已知，①
且，分别是上的偶函数和奇函数，
则，
得：，②
①+②得：，
由于关于对称，
则关于对称，
为偶函数，关于轴对称，
则关于对称，
由于有唯一零点，
则必有，，
即：，
解得：或.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数基本性质的应用，涉及函数的奇偶函数，对称性和零点，考查函数思想和分析能力.
6．B
【分析】
先判断函数的定义域，由 得，再利用指数函数和对数函数互化的性质，通过整式加减，即.令通过判断函数的增减性，借鉴零点存在定理，可判断实数根的区间
【详解】
由，解得，令，所以，两式相加得，又函数单调递增，故，则，即.令，且在上单调递减，又，，所以存在唯一，使得.所以方程只有唯一实数解．
答案选B
【点睛】
本题考察了指数函数和对数函数互化的性质，函数零点存在定理的迁移应用，整个解题过程，函数与方程的转化思想贯穿始终，体现了函数与方程的整体性与统一性
7．ABC
【分析】
画出的图像，由，可分类讨论，，三种情况，令，并画出图像，结合两个函数图像以及，判断出实根个数构成的集合.
【详解】
画出的图像如图所示，令，画出图像如图所示.
由，解得：，由，解得..
由，解得：，由，解得.
（1）当时，，有解，且或或，结合的图像可知，时没有与其对应，或时每个都有个与其对应，故此时有个实数根.
（2）当时，，有解，且或，有一个与其对应，有两个与其对应，故此时有个实数根.
（3）当时，，有解，且，结合的图像可知，每个有两个与其对应，故此时有个实数根.
综上所述，关于的方程的实根个数构成的集合为.
故选：ABC
【点睛】
方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数常用方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
8．ACD
【分析】
根据“倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可.
【详解】
对A, 若为的跟随区间,因为在区间为增函数,故其值域为,根据题意有,解得或,因为故.故A正确；
对B,因为函数在区间与上均为减函数,
故若存在跟随区间，
则有,解得：，不合题意，故不存在,B错误.
对C, 若函数存在跟随区间,因为为减函数,故由跟随区间的定义可知,
即,因为,所以.
易得.
所以,令代入化简可得,同理也满足,即在区间上有两根不相等的实数根.
故,解得,故C正确.
对D,若存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为,值域为.当时,易得在区间上单调递增,此时易得为方程的两根,求解得或.故存在定义域,使得值域为.
故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.
9．
【分析】
先对求导，得到的单调性和零点.通过讨论符号，得到关于的不等式，结合的根的个数和单调区间求出的范围.
【详解】
，易得在，，且，当时，，时，，
若，则不等式即：，有无穷多个整数解，不合题意；
若，则不等式等价于：或，不等式无整根，也有无穷多个整数解，不合题意；
若，则不等式等价于：或，不等式无整数解，由有一个整数解知当时，有一个整数解，∴.
故答案为.
【点睛】
本题考查了函数的整数解问题，利用导数求函数的单调性，考查了学生分类讨论思想，转化思想、是难题．
10．9
【解析】
分析：根据定义域为R和奇函数的定义可得 ，利用周期为3和时， 可画出函数图像，根据图像判定零点个数。
详解：
因为函数定义域为R，周期为3，所以
如图所示，画出函数的函数图像，由图像可知
在 上的零点为
所以共有9个零点
点睛：本题考查了三角函数图像、周期函数、奇函数和零点的综合应用，关键是画出函数图像，利用图像来判定零点个数，属于难题。
11．
【分析】
利用向量的加减法运算，求出，即可得出，运用向量的数量积运算求出，再利用基本不等式求出的最小值，即可得出的最小值.
【详解】
解：由题可知，平行四边形的图象如下：
设，
，
，，
则，
所以，
又，
则有：，解得：，
即，
平行四边形的面积为，
即，
，
，
即：，
，
即：，
，
即，
所以
，
，当且仅当：时，取等号，
的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查平面向量的应用，涉及向量加减法运算、向量的数量积运算和模以及运用基本不等式求最值，考查转化思想和计算能力.
12．
【分析】
分别作出函数与的图像，再观察交点所在区间即可得解.
【详解】
解：函数的大致图像如图所示，
当时，，无解，，不止一个整数解，不合题意；
当时，如①所示，，不止一个整数解，不合题意；
当时，若直线经过点时，
此时，无整数解，故当时，恰有一个整数解，而此时，无解，符合题意；
若直线经过点时，此时，无整数解，
时，无整数解，
若直线经过点时，此时，无整数解，时，恰有一个整数解，即，
综上，的取值范围是.
【点睛】
本题考查了函数图像的作法及数形结合的数学思想方法，属中档题.
13．（1）增区间为，减区间为；
（2）；
（3）.
【分析】
（1）将题中所给的的值代入解析式，利用对勾函数的性质写出函数的单调增区间和减区间即可；
（2）解不等式即可得结果；
（3）将题中所给的式子进行变形，将问题转化为在上单调递增，结合分段函数的解析式和二次函数图象的对称轴，分类讨论得到结果.
【详解】
（1）当时，，
所以函数的单调增区间为和，
单调减区间为和；
（2）因为，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为在上的最大值为，所以，
即，整理得，
所以，所以，即，
所以的取值范围是；
（3）由对任意恒成立，
即，
令，等价于在上单调递增，
而，
分以下三种情况来讨论：
（i）当时，即时，
结合函数图象可得，解得，矛盾，无解；
（ii）时，即时，
函数图象的走向为减、增、减、增，但是中间增区间的长度不足1，
要想使函数在上单调递增，
只能，解得，矛盾，无解；
（iii），即，
此时，函数在上单调递增，
要想使函数在上单调递增，
所以需要，解得，所以，
综上，满足条件的的取值范围是.
【点睛】
该题考查的是有关函数的综合题，涉及到的知识点有对勾函数的单调区间，根据函数在某个区间上的最值确定参数的取值范围，根据分段函数在某个区间上的单调性确定参数的取值范围，属于难题.
14．(1)；(2).
【分析】
(1)a=2时，分析出f(x)的单调性，再比较，，的大小而得；
(2)化简计算给定不等式的左边，原不等式等价转化为，再分离参数，转化成求函数的最大值得解.
【详解】
(1)a=2时，
而是R上的增函数，是R上的减函数，则f(x) 是R上的增函数，
，，，即，
所以；
(2)
，
，
，，-1在上递减，在[1，4]上递增，
时，，t=4时，，所以t=4时，-1取最大值，
即x=2时，取最大值，
故，实数a的取值范围是.
【点睛】
(1)对勾函数是奇函数，时，f(x)在上是减函数，在上是增函数；
(2)含参的不等式恒成立问题，最先思考的方法是分离参数转化成求函数最值解决.
15．（1）或；（2）①②是函数，证明见解析.
【分析】
（1）根据题意，列出方程，即可求解参数值.
（2）①根据函数单调性定义，比较与的大小关系，进而比较与的大小
②根据题意，列出方程，证明方程有解，令，判断在上存在零点，即可证明是函数.
【详解】
（1）因为函数为函数.
所以对任意实数都成立，即，即，
所以或
（2）①因为，所以，即
又因为在R上为增函数，所以
②若是函数.则存在不等于1的正常数，
使等式对一切实数恒成立，即关于的方程有解，
令，则函数在上的图像是一条不间断的曲线，
据零点存在性定理，可知关于的方程在上有解，
从而是函数.
【点睛】
本题考查：（1）理解与辨析新定义问题.（2）①单调性定义②零点存在性定理.本题属于难题.
16．（I）；；；
（II）（i）见解析（ii）见解析
（III）见解析
【分析】
（I）根据定义，结合即可确定所有可能的A，B；
（II）（i）由，令，讨论和即可代入绝对值式子化简，即可证明；（ii）设，，，，，．记，设t是使成立的i的个数，
结合（i）中的结论可得，由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，得证.
（III）记为P中所有两个元素间距离的总和，设P中所有元素的第i个位置的数字中共有个1，个0，则可得，根据P为奇数可得，因而，即可证明不等式成立.
【详解】
（I）根据定义及，可知有以下四种情况：
；；
；
（Ⅱ）令，
（i）证明：对，
当时，有，
当时，有．
所以
．
（ⅱ）证明：
设，，，
，，．
记，由（I）可知，
，
，
，
所以中1的个数为k，
的1的个数为l．
设t是使成立的i的个数，则．
由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，
即三个数中至少有一个是偶数．
（Ⅲ）记为P中所有两个元素间距离的总和，
设P中所有元素的第i个位置的数字中共有个1，个0，
则．
因为m为奇数，所以,
且或时，取等号．
所以．
所以．
【点睛】
本题考查了集合新定义的综合应用，对分析问题、解决问题的能力要求高，读懂题意并正确分析解决思路是关键，对思维能力要求高，属于难题.
答案第1页，共2页
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