高中数学北师大版（2019）必修第一册第三章指数运算与指数函数培优专练4word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第三章指数运算与指数函数培优专练4
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围是
A．(-∞,0] B．(-∞,] C．[0,＋∞) D．[,＋∞)
5．若命题“存在实数，使得关于的不等式有解”为真命题，则实数的范围是
A． B． C． D．
6．已知函数，若对于任意的、、，以、、为长度的线段都可以围成三角形，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列函数对任意的正数，，满足的有
A． B． C． D．
8．［多选题］若关于的方程（且）有解，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．0
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
9．设常数，则方程的解的个数组成的集合是_______.
10．已知函数，，，其中表示中最大的数，若对恒成立，则实数的取值范围是_______.
11．已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围是__________．
12．函数定义域为，若满足①在内是单调函数；②存在使在上的值域为，那么就称为“域倍函数”，若函数是“域2倍函数”，则的取值范围为________
四、解答题
13．已知函数（其中）,
(1)试判断并证明函数的单调性；
(2)求证：．
14．若函数为R上的奇函数，为R上的偶函数，(且)，.
（1）求，的解析式；
（2）若不等式对任意实数x成立，求实数m的取值范围；
（3）(且)，是否存在实数m使得在上的最大值为0，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由.
15．已知函数（且）是定义在上的奇函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的值域；
（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围.
16．已知函数
（1）解不等式
（2）判断并证明函数在上的单调性
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【分析】
问题转化为函数的值域是值域的子集，分别求出和的值域，得到关于m的不等式组，解出即可.
【详解】
对任意的，存在，使得，
即在上的值域是在上的值域的子集，
，
当时，，
在上单调递增，的值域为，
又在上单调递减，的值域为：，
，
，方程无解
当时，，在上单调递减，的值域为
的值域为：，
，解得
当时，，显然不满足题意.
综上，实数的取值范围为
故选：D.
【点睛】
关键点睛：解决此题的关键是将所求问题转化为函数的值域是值域的子集.
2．C
【分析】
依题意可知函数与函数在区间上同增或者同减，则根据同增或同减分两种情况讨论即可.
【详解】
函数在上单调递减，函数在上单调递增,
若区间为函数的“稳定区间”，
则函数与函数在区间上同增或者同减，
①若两函数在区间上单调递增，
则在区间上恒成立，即，
所以;
②若两函数在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，即，不等式组无解.
综上所述；.
故选；C.
【点睛】
结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立 ；
（2）恒成立 .
3．D
【解析】
试题分析：∵，∴，∴，
∴，而为减函数，∴当时，函数取得最小值，最小值为1，∴.
考点：1.恒成立问题；2.函数的单调性；3.对数式.
4．B
【解析】
由，
得，即
所以，
即对任意的恒成立．
设，，由与都是
上的减函数，则为减函数
故，∴，故选B．
【方法点晴】本题主要考查指数与对数的运算法则以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得 的最大值.
5．D
【分析】
由，将参变分离，转化成求关于的函数的最值，求时的最小值.
【详解】
令 ，则
由整理得
令 且 在单调递增，
所以
要使在有解，则需
故选D.
【点睛】
本题关键(1)在于运用参变分离，将转化成关于的函数，避免了二次函数的讨论;(2)考虑到有解时，是求其函数的最大值还是最小值，要仔细分辨清楚，此题属于难度题。
6．C
【分析】
设，可得，设，由对任意的求得，进而可求得函数在区间的值域，由题意可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
令，，则，
令，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，当时，，则，
，则，，
构造函数，其中，由，可得，
由于函数在区间上单调递减，则，可得.
二次函数的对称轴为直线，
则函数在区间上单调递增，
当时，，即.
由于以、、为长度的线段都可以围成三角形，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了参数取值范围的求解，以及构成三角形的条件和利用函数单调性求函数值域，属于难题.
7．ABD
【分析】
根据四个选项中的函数证明不等式成立或举反例说明不成立(举反例时中让)．
【详解】
A．，
，A正确；
B．，
∴，B正确；
C．时，，C错；
D．，
∴，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查正弦函数、幂函数、指数函数、对数函数的性质，对于函数的性质，正确的需进行证明，错误的可举一反例说明．
8．BC
【分析】
若关于的方程（且）有解，可用换元法，利用分离参数转化方程，配合基本不等式可求出的取值范围，并得到符合范围的选项
【详解】
设，若有解，等价于，即有解，换元整理得方程有解
∵，∴，当且仅当时取等号，
∴所以若要有解，需，
∴即，
∴的取值范围是．
故选：BC
9．
【分析】
根据条件可知即，利用数形结合思想画出与的图象，由交点个数即可求出答案．
【详解】
由题意得：，设，，在直角坐标系中分别画，的图象，如图所示：
所以方程解的个数可能为个或个或个.
故答案为：.
【点睛】
本题运用等价转换，数形结合思想可求出方程解得个数，要求学生掌握指数函数图像和含绝对值的一次函数图像的画法，注意图像的翻折．
10．
【分析】
在同一坐标系中作出和图象，的图象是由和图象中较大部分构成，当时，，而当时，，故只需即可，利用数形结合即可得出结果．
【详解】
当时，，所以由成立；
当时，，所以只要即可，
如图将的图象向左平移1个单位(如图①)，得到函数的图象，此时有，
若图象再向左平移(如图②)则满足，所以．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查利用数形结合处理恒成立问题，属于中档题．
11．
【分析】
根据任意的，总存在使得成立，问题转化为的值域是值域的子集，故只需分别求出两个函数的值域，利用子集关系建立不等式，即可求出a的取值范围.
【详解】
因为函数在上单调递减，
所以，即，
所以函数的值域为，
因为对任意的，总存在使得成立，
故的值域是值域的子集，
对，，
当时，，符合题意；
当时，函数在单调递增，所以，
所以解得，又，所以，
综上，实数a的取值范围是．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查等式型双变量存在性和任意性混搭问题，对于形如“任意的，都存在，使得成立”此类问题“等价转化”策略是利用的值域是值域的子集来求解参数的范围．
12．
【分析】
根据“域倍函数”的定义列方程组，转化为方程有两个不同正实根，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
根据复合函数单调性同增异减可知函数为增函数，由“域倍函数”的定义可知，即方程有两个不同的实根，即方程有两个不同的实根.令，则方程有两个不同正实根，所以，解得.
故答案为.
【点睛】
本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查函数的单调性，考查一元二次方程有两个不同正实根的条件，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
13．(1)函数在上单调递增，证明详见解析；(2)见解析.
【分析】
(1)将函数的分子、分母同除以并分离常数可得，即可判断出函数在上单调递增，利用函数的单调性的定义即可证明函数在上单调递增；
(2)对函数赋值，即可得到不等式中相应的式子，然后利用函数的单调性，即可证明出不等式．
【详解】
(1) 函数在上单调递增
证：的定义域为，设且，则
因为，
所以，，，，，
所以，即，
所以函数在上单调递增．
(2)因为，，，，
又因为在上单调递增，即，
所以．
【点睛】
本题主要考查函数单调性的判断方法、函数单调性定义的应用及利用单调性证明不等式，关键是能够将不等式中相应的式子转化为对应的函数值．
14．（1），；（2）；（3）不存在，理由见解析.
【分析】
（1）结合函数奇偶性和已知条件得，再解方程组得解析式；
（2）代入解析式化简后换元，得到，恒成立，采用分离参数法解决恒成立问题；
（3）通过换元，化简函数，再根据复合函数单调性讨论的最大值求解.
【详解】
解：（1）由已知得，结合为R上的奇函数，为R上的偶函数，
所以，解得；.
因为，解得.
故，.
（2）令，则.
故，.
所以对任意实数x成立，即，恒成立.
整理得，①恒成立，因为，当且仅当时取等号.
故时，①式恒成立，
即时，不等式对任意实数x成立.
所以实数m的取值范围为.
（3）令，因为，故，.
所以，
故.
令，则，
当时，为增函数，
所以，，
所以，
因为在上有意义，
所以对任意，都有恒成立，
所以，即，
所以，
所以，
二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
因为，所以，
对称轴始终在区间的左侧，
所以在区间单调递增，
当时，，
当时，，
假设存在满足条件的实数m，则：
若，则为减函数，，即，
所以，舍去；
若，则为增函数，，即，
所以，舍去，
综上所述，不存在满足条件的实数m.
【点晴】
方法点晴：解决恒成立常用方法：
①数形结合法：画图像，对关键点限制条件；②分离参数法：转化成参数与函数最值的关系；③构造函数法：转化成函数最值（含参数）的范围.
15．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）
【分析】
（Ⅰ）是定义在奇函数，故即可求出的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，利用函数性质求出值域．
（Ⅲ）分和两种情况讨论. 当时，恒成立，得出恒成立，只需大于等于的最大值，同理得时实数的取值范围
【详解】
解：（Ⅰ）是定义在奇函数，
即解得．经检验，函数为奇函数
（Ⅱ）
又，
，
函数的值域．
（Ⅲ）时，恒成立，
当时，
即
即在恒成立，
，，
在恒成立，
设，
下证在当时是增函数．
任取，则
当时，是增函数，
实数的取值范围为．
当时，恒成立，
即
即在恒成立，
，，
在恒成立，
设，可知函数在所给区间上单调递减，
实数的取值范围为．
综上可得
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，单调性，不等式恒成立含参数的取值范围．考查转化计算、推理论证，参数分离的方法与能力．
16．（1）；（2）函数在上单调递增，证明见解析；（3）.
【分析】
（1）由题意得，将看做整体，解关于的不等式得到，进而求解指数不等式即可；
（2）在上任取，，令，然后与作差以后因式分解，判断正负，进而根据单调性的定义即可判断；
（3）不等式恒成立转化为恒成立，令令，求出的范围，则转化为，然后参变分离即可求解.
【详解】
解：（1）∵函数
∴，
即，
即
解得，
解得，
故不等式的解集为．
（2）函数在上单调递增．
证明如下：在上任取，，令，
∵，
∴，
∴，
∴函数在上单调递增．
（3）对任意，不等式恒成立，即，
从而有恒成立，
∵，
则等价于恒成立，
令，则，
∵函数的定义域为，
且，∴为偶函数，
由（2）可知在上单调递增，
则函数在上单调递减，
∵，
∴，
∴，
则原不等式等价于， ，
即在上恒成立，
设，则在上为增函数，
∴，
∴
【点睛】
对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；
（2）a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页