高中数学北师大版（2019）必修第一册第四章对数运算与对数函数培优专练5word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第四章对数运算与对数函数培优专练5
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．4038 B．4039 C．4040 D．4041
2．已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．设函数，的定义域、值域均为R，以下四个命题：①若，都是奇函数，则是偶函数；②若，都是R上递减函数，则是R上递减函数；③若是周期函数，则，都是周期函数；④若存在反函数，则，都存在反函数其中真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知为定义在上的奇函数，且满足，已知时，，若，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
5．定义：表示的解集中整数的个数.若，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，.设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．我们知道，任何一个正实数都可以表示成.定义：如：，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．若，，则
D．当时，
8．定义“正对数”：，下列命题中正确的有（ ）
A．若，，则；
B．若，，则；
C．若，，则；
D．若，，则.
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．如图，已知过原点的直线与函数的图象交于两点，分别过作轴的平行线与函数图象交于两点，若轴，则四边形的面积为_____.
10．已知奇函数满足，且当时，，若，则实数的值为__________．
11．已知，，，且，则的取值范围是_______
12．当0＜x＜时，恒有x2＜logax成立，则a的取值范围为_______．
四、解答题
13．已知函数是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若对于任意x恒成立，求实数b的取值范围．
14．设函数（且），且函数的最小值为1.
（1）求实数a的值；
（2）若函数在上最大值为11，求实数m的值.
15．设函数是定义域为R的奇函数.
（1）求；
（2）若，求使不等式对一切恒成立的实数k的取值范围；
（3）若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在上的最大值为2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
16．已知函数为常数)，是函数图象上的点.
（1）求实数的值；
（2）将的图象向右平移3个单位得到函数的图象，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【分析】
先分析待求式子的特点，根据条件计算，然后分析的取值，由此计算出待求式子的结果.
【详解】
因为，
所以，
又因为，
所以原式
，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于分析待计算的式子，通过分析待求式子可以发现具有一般代表性，从而通过解析式去分析其值的特点并完成问题的求解，本例的实质体现的是函数的对称性.
2．A
【分析】
根据对数的运算法则及性质比较与的大小，利用作商法比较的大小.
【详解】
由,
因为，故，
所以，
因为，故，
所以
因为，故，
因为，故，
所以，
所以，
故，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：根据对数的运算性质将写成对数，，利用函数的单调性比较真数大小即可，利用作商及放缩的方法可得的大小，属于较难题目.
3．B
【分析】
根据奇偶性定义，单调性定义，周期性定义及反函数定义，判断复合函数的奇偶性、单调性、周期性及反函数问题，即可求解.
【详解】
对于①，，都是奇函数，则，，是奇函数，①错
对于②，，都是R上递减函数，若，则和，，故判断单调递增，②错
对于③，若是周期函数，则只需是周期函数即可，③错
对于④，若存在反函数，则是一一对应，且也是一一对应，即和都存在反函数，④正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数奇偶性定义、单调性定义、周期性和反函数，对于函数性质的考查比较全面.
4．D
【分析】
根据函数的奇偶性和单调性，结合函数的周期性进行转化判断即可．
【详解】
为定义在R上的奇函数，且满足，
，
则，
即，则函数的周期是4，
时，，为增函数，则在上为增函数，
，
，
，
，
即，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查函数值的大小比较，结合函数的奇偶性和对称性求出函数的周期是解决本题的关键．有一定的难度．
5．B
【分析】
根据函数图象，结合，则有求解.
【详解】
因为
如图所示：
则有
解得：
故选：B
【点睛】
本题主要考查函数与不等式问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
6．B
【分析】
先根据指对数的互化结合指数函数的单调性可判断的大小，再根据对数的性质和基本不等式可判断的大小关系，从而可得正确的选项.
【详解】
因为，故，所以，故，
同理，所以，故，
而，而，
所以即，所以，所以
故选：B.
7．BCD
【分析】
先要通过举例，搞清楚的意义，时，的整数部分的位数为,当的非有效数字中0的个数为.然后通过举例可以否定A；通过一般性论证判定B；借助于对数指数运算，和不等式的性质，判定CD；
【详解】
当时，的整数部分位数为2，当时，的整数位数为3，一般地，时，的整数部分的位数为,
当时，的非有效数字中0的个数为1，当时，比如，0.010101023,其非有效数字中0的个数为2，一般地，当的非有效数字中0的个数为.
取，，则，，，取,故有不正确的时候，故A错误；
当时，,∴，B正确；
因为，则，故C正确；
时，根据定义,由于为正整数，且不可能是10的倍数，∴存在,使得 ，此时
，，故 D正确．
故选：BCD．
【点睛】
结论点睛：本题考查新定义问题，涉及指数与指数幂的运算，对数与对数运算，难度较大．必要的时候通过具体实例理解新定义函数的意义是重要的思维途径.在D的判定中，注意不等式的性质的运用，时，为正整数，且不可能是10的倍数是关键的，由此才能得出，特别是右端不能取等号，否则比如的话，不能得出的结论，其中.注意小数中非有效数字概念，比如0.010101023中10101023是有效数字.
8．BCD
【分析】
对于A，通过举反例说明错误；对于B，由“正对数”的定义分别对、分，；，两种情况进行推理；对于CD，分别从四种情况，即当，时；当，时；当，时；当，时进行推理．
【详解】
对于A，当，时，满足，，而，
，，命题A错误；
对于B，当，时，有，
从而，，；
当，时，有，从而，，
.
当，时，，命题B正确；
对于C，由“正对数”的定义知，且．
当，时，，而，则；
当，时，有，，而，
，则．
当，时，有，，而，则．
当，时，，则．
当，时，，命题C正确；
对于D，由“正对数”的定义知，当时，有.
当，时，有，
从而，，
；
当，时，有，从而，，；
当，时，有，从而，
，；
当，时，，，
，，
从而，命题D正确．
故选：BCD．
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查运算能力和逻辑推理能力，属于难题．
9．
【详解】
分析：设出A、B的坐标，求出OA、OB的斜率相等利用三点共线得出A、B的坐标之间的关系．再根据BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出A、B的坐标之间的关系即可求出A的坐标，从而解出B、C、D的坐标，最后利用梯形的面积公式求解即可．
详解：设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x1＞1，x2＞1．
则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2．
因为A、B在过点O的直线上，所以
点C、D坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）．
由于BC平行于x轴知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2，∴x2=x13．
代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1．
由于x1＞1知log8x1≠0，∴x13=3x1．考虑x1＞1解得x1=．
于是点A的坐标为（，log8）即A（，log23）
∴B（3，log23），C（，log23），D（3，log23）．
∴梯形ABCD的面积为S=（AC+BD）×BC=（ log23+log23）×2=log23．
故答案为log23
点睛：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力．
10．-1
【分析】
取得到，，代入化简得到
，得到答案.
【详解】
，取得到，
，故.
，即.
即，，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了根据函数关系求参数值，意在考查学生的计算能力，取值是解题的关键.
11．
【分析】
首先利用对数运算对已知条件进行化简，换元后转化为直线与圆的位置关系，来求得的取值范围.
【详解】
依题意，化简得，令，则有，以及.
因为，，，所以，则由得，表示以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分（包括与轴正半轴的交点）.令，则.画出图像如下图所示.当直线过两点时，取得最小值，当直线与圆相切时，取得最大值.令代入，解得，所以.当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，解得，所以.所以的取值范围，也即的取值范围为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查对数运算，考查直线和圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
12．
【解析】
【分析】
因为0＜x＜，所以当时，，显然x2＜logax不成立，当 时，在上是增函数，要使x2＜logax恒成立，只需即可，解此不等式即可得出的取值范围.
【详解】
当时，因为，，所以x2＜logax不成立，故不合题意，当 时，令，易知在上是增函数，原不等式恒成立，只需即可，由 可得，所以，综上填.
【点睛】
本题主要考查了函数的增减性，不等式恒成立问题及分类讨论的数学思想，属于中档题.
13．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用偶函数的特点，得到关于的方程，解出;
（2）对于任意x恒成立，即对于任意x恒成立，令，只需求出令的最小值即可，
，利用基本不等式及对数函数单调性来求最小值，从而得出 的范围.
【详解】
（1）因为函数是偶函数，
所以 ，即 ，
，
解得 .
（2）对于任意x恒成立，即，
亦即对于任意x恒成立，
令，
则有
，
因为 ，，所以，
即 ，故 .
【点睛】
结合偶函数的特点来求解，可以利用特殊值；第二问中分离参数是解决恒成立问题的常用办法，特别注意式子的化简，利用基本不等式以及对数函数单调性求最小值.
14．（1）；（2）或
【分析】
（1）写出解析式，根据最小值求解参数的值；
（2）利用换元法，，将原问题转化为的最大值为11，求参数的取值.
【详解】
（1），的最小值为1，
如果，函数没有最小值，
，解得.
（2）由（1），令，则
于是得的最大值为11.
考虑到的最大值在端点处取得，则①
或②
由①得，由②得，故m的值为或.
【点睛】
此题考查根据函数的最值求参数的取值，关键在于准确分析函数的单调性，涉及复合函数问题，常用换元法转化处理.
15．
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）根据是定义域为R的奇函数，由求解；
（2），得到b的范围，从而得到函数的单调性，将对一切恒成立，转化为对一切恒成立求解；
（3）根据函数的图象过点，求得b，得到，令，利用复合函数求最值的方法求解.
（1）
解：函数是定义域为R的奇函数，
所以，解得，
此时，满足；
（2）
因为，
所以，解得，
所以在R上是减函数，
等价于，
所以，即，
又因为不等式对一切恒成立，
所以对一切恒成立，
所以，解得，
所以实数k的取值范围是；
（3）
因为函数的图象过点，
所以，解得，
则，
令，
则，
当时, 是减函数，，
因为函数在上的最大值为2，
所以，即，
解得，不成立；
当时，是增函数，，
因为函数在上的最大值为2，
所以，即，
解得或（舍去），
所以存在正数，使函数在上的最大值为2.
16．（1）； （2）.
【分析】
（1）将点的坐标代入函数的解析式，建立方程求得的值，即可求解；
（2）求出得图象，结合不等式恒成立，利用参数分离法转化为一元二次函数进行求解，即可求解.
【详解】
（1）由是函数图象上的点，则，
可得，得.
（2）由函数，
将函数的图象向右平移3个单位得到函数的图象，
即，
若关于的不等式在区间上恒成立，
即，即，
即在区间上恒成立，
即，得，
设，则，即，
则，
因为，所以当时，函数求得最大值，即，所以，
即实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了对数函数的图象和性质，以及恒成立问题的求解，其中解答中利用分离参数转化为一元二次函数，结合一元二次函数的最值进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
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