高中数学北师大版（2019）必修第一册第四章对数运算与对数函数培优专练4word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第四章对数运算与对数函数培优专练4
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．形如(n是非负整数)的数称为费马数，记为数学家费马根据都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那的位数是（ ）
(参考数据: lg2≈0.3010 )
A．9 B．10 C．11 D．12
3．音乐是有不同频率的声音组成的，若音1（do）的频率为f，则简谱中七个音1（do）、2（er）、3（mi）、4（fa）、5（so）、6（la）、7（si）组成的音阶频率分别是f、、、、、、．其中相邻两个音的频率比是一个到另一个音的台阶，上述“七声音阶”只有两个不同的值，记为α、β（α＞β），α称为全阶，β称为半音，则下列关系式成立的是（　　）（参考数据：lg2≈0.3010、lg3≈0.4771）
A．α＝2β B．α＝β2
C．|lgα﹣lgβ|＜0.01 D．|lgα﹣2lgβ|＜0.01
4．方程的解集是
A．{2，8} B． C． D．
5．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若在内恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．关于函数（），下列说法正确的有（ ）
A．，至少有两个零点 B．，只有两个零点
C．，只有一个零点 D．，有三个零点
8．下列函数对任意的正数，，满足的有
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．若x，y，z满足；①；②；③；④．上述关系中可能成立的序号是________（把符合要求的序号都填上）．
10．若函数与函数的零点分别为，，则函数的极大值为__________．
11．如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则下列有关说法中：
①函数是圆O：的一个太极函数；
②函数是圆O：的一个太极函数；
③函数是圆O：的一个太极函数；
④函数是圆O：的一个太极函数．
所有正确的是_________．
12．设函数，，则函数零点的个数有______个.
四、解答题
13．设非空实数集中存在最大元素和最小元素，记.
（1）已知，，且，求实数.
（2）设，，是否存在实数，使得？若存在，求出所有满足条件的实数，若不存在说明理由.
（3）设，函数在区间上值域记为，若对任意，函数都满足，求的取值范围.
14．已知函数是其定义域内的偶函数.
（1）求的值；
（2）若函数，求不等式的解集.
15．（1）当时，解关于x的方程；
（2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围；
（3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围
16．对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数.
（1）设，生成函数为，求函数在区间上的最小值；
（2）设函数，是否能够生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为.若能，求函数的解析式；若不能，说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【分析】
设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.
【详解】
设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
【点晴】
本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
2．B
【分析】
,设,两边取常用对数估算的位数即可.
【详解】
,设，则两边取常用对数得
.
，
故的位数是10，
故选：B．
【点睛】
解决对数运算问题的常用方法：
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的简化计算.
3．D
【分析】
由题意先求出相邻两个音的频率比，然后利用对数的运算性质依次判断四个选即可．
【详解】
由题意可知，相邻两个音的频率比分别为：，，故选项A错误，选项B错误；
由0.0287＞0.01，故选项C错误；
|12lg3﹣19lg2|≈0.0062＜0.01，故选项D正确．
故选：D．
4．B
【分析】
分类讨论绝对值内正负，再解决对数方程．
【详解】
分类讨论：
（1）当，即时，原式得，即-1=0，无解．
（2）当，即时，原式得，即，无解．
（3）当，即时，
原式得，，，
解得
故选B．
【点睛】
绝对值方程的解题方法，主要是分类讨论，绝对值内正负，再求解．
5．C
【分析】
把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.
【详解】
变形为：，即在上恒成立，若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；当时，画出两个函数的图象，
要想满足在上恒成立，只需，即，解得：，综上：实数a的取值范围是.
故选：C
6．D
【分析】
先对不等式变形为，对a进行分类讨论，得到，再画出两函数图象，数形结合求出a的取值范围
【详解】
由在内恒成立，得在内恒成立，因为在上恒成立，当时，在上单调递减，所以，故舍去，所以可知才能满足．令，，作出两个函数的大致图象如图D-6-24所示．令，得，∴，∴，∴要使在内恒成立，则实数a的取值范围是．
故选：D．
7．CD
【分析】
举出特例，当，时，即可得到答案；
【详解】
函数（）有零点有解，
有解，
令，方程有解，
对C，当，即时，与没有交点，
根据绝对值函数的图象可得：方程有1个解，故C正确；
对D， 当，即时，与有两个交点，，
根据绝对值函数的图象可得：方程有3个解，故D正确；
根据简易逻辑知识可知A,B错误；
故选：CD
8．ABD
【分析】
根据四个选项中的函数证明不等式成立或举反例说明不成立(举反例时中让)．
【详解】
A．，
，A正确；
B．，
∴，B正确；
C．时，，C错；
D．，
∴，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查正弦函数、幂函数、指数函数、对数函数的性质，对于函数的性质，正确的需进行证明，错误的可举一反例说明．
9．①②④
【分析】
令，则，，，
从而，，，再分，，三种情况讨论可得；
【详解】
解：因为，令，
则，，，
从而，，
当时，，，故④正确；
由于，，；
，，；
综上可得，
当时，，
，故②正确；
当时，，
，故①正确；
即正确的有①②④；
故答案为：①②④
【点睛】
本题考查指数与对数的互化，对数的运算及对数函数的性质的应用，属于中档题.
10．
【解析】
分析：利用反函数的性质可得，从而可得，利用导数研究函数的单调性，利用单调性可得结果.
详解：是与交点横坐标，
是与交点横坐标，
与应为反函数，函数关于对称，
又与垂直，
与的中点就是与的交点，
，，
当时，，
在上递减，在上递增，
当时，，
在在上递减，在上递增，
所以函数在处取得极大值，
即函数的极大值为，
故答案为.
点睛：本题主要考查反函数的性质、利用导数判断函数的单调性与极值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.
11．①②③④
【分析】
建立平面直角坐标系，作出每个函数的图像，探讨每个函数的对称性，进而得到答案.
【详解】
①两曲线的对称中心均为点，且两曲线交于两点，所以能把圆一分为二，如图，
故正确；
②函数关于点对称，经过圆的圆心，且两曲线交于两点，如图：
所以函数是圆的一个太极函数，故正确；
③函数为奇函数，如图：
所以函数是圆的一个太极函数，故正确；
④函数为奇函数，且单调递增，如图，
所以函数是圆的一个太极函数，故正确．
故答案为：①②③④.
12．8
【分析】
先根据指数函数的图象和平移规律得到时的图象，再根据时，将时，的图象逐次向右平移1个单位，得到时的图象，在同一坐标系中再做出的图象，注意时的关键点，考察两函数的图象的交点个数，即为函数的零点个数.
【详解】
解：时时的图象是由时的的图象向右平移1个单位得到，
当时，,将其中(0,1]之间的一段向右平移1个单位得到上的图象，
由的的图象逐次向右平移1个单位，得到在时的整个图象如图所示，
注意在时，当时，.
作出图像，由图象可得，共有8个公共点，
即有8个零点.
故答案为：8.
【点睛】
本题考查函数的零点个数问题，转化为两函数的图象的交点个数是解决问题的关键思路，根据函数f(x)解析式和时的意义，利用图象的平移变换得到在时的图象是解决问题的难点.
13．
（1）.
（2）存在，.
（3）.
【分析】
（1）根据题设新定义有，即可求实数.
（2）根据二次函数的性质，讨论、、求的最值，结合定义求满足对应的实数，即可确定存在性.
（3）根据对数复合函数的单调性易知在，上递减，由题设及对数的运算性质将问题转化为在上恒成立，即可求的取值范围.
（1）
由题设有：，可得.
（2）
当时，，，
∴，可得与前提矛盾；
当，即时，，，，
∴，可得与前提矛盾；
当，即时，，
∴要使，则，
若，可得，则，易知，满足条件；
若，可得，同上也满足条件；
综上，存在使.
（3）
令，易知：在，上递减，而递增，
∴在，上递减，
∴，，
要使，即，
∴，整理得，又，，
∴在上恒成立，且开口向上、对称轴，，
∴只需，可得.
【点睛】
关键点点睛：第三问，判断复合函数的单调性并求最值，根据新定义及对数的运算性质将问题转化为一元二次不等式在给定闭区间上恒成立，求参数范围.
14．（1）；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为R；当时，不等式的解集为.
【分析】
（1）由偶函数的性质即可求出；
（2）整理可得不等式可化为，即，讨论的范围即可解出.
【详解】
（1）是偶函数，
，即，
则，可得，
，解得；
（2），
，
两边乘以可得，即，
整理得，
，，
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为恒成立，解得；
当时，不等式化为，此时，则不等式恒成立，解得；
当时，不等式化为恒成立，解得；
当时，不等式化为，解得.
综上：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为R；当时，不等式的解集为.
【点睛】
关键点睛：本题考查指数型不等式的求解，解题的关键是将不等式化简得出，再讨论的取值范围结合指数函数的性质求解.
15．（1）；（2）或；（3）
【分析】
（1）解对数方程，其中；（2）有意义，要求真数大于0；（3）通过化简变为有且仅有一个解，对进行分类讨论，注意变形中的真数要始终成立，所以要检验.
【详解】
（1）∵
∴
∴
（2）对数有意义，则，解得：或，
所以实数x的取值范围为或；
（3）
即
=①
方程两边同乘x得：
即②
当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求
当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求
当且时方程②的解为或，
若是方程①的解，则，即
若是方程①的解，则，即
则要使方程①有且仅有一个解，则
综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是
16．
（1）-1；
（2）能生成，.
【分析】
（1）求出函数和，再换元并结合二次函数性质即可计算得解.
（2）假定能生成一个函数满足条件，由此探求m与n的关系，借助对勾函数单调性求出最小值即可计算作答.
（1）
依题意，，则，
令，，则，于是得，
显然在上单调递减，在上单调递增，因此，当时，，
所以当时，函数在区间上的最小值是-1.
（2）
设，满足题意，
则，
由为偶函数知，
即，
整理得，则，即恒成立，
解得，
则
，
设，令，则在上单调递增，
因此，，当且仅当时取“=”，
则，当且仅当时取“=”，
则，，而在区间上的最小值为，于是得，，
所以函数能够生成一个函数，此时.
【点睛】
知识点睛：理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个关键：
（1）定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；
（2）f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式．
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