高中数学北师大版（2019）必修第一册第四章对数运算与对数函数培优专练2word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第四章对数运算与对数函数培优专练2
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．若直角坐标平面内的两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称．则称点对是函数的一对“友好点对”，(点对与看作同一对“友好点对”)．已知函数 且，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知恒为正数，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．设函数，函数，则方程实数解的个数是（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
7．我们知道，任何一个正实数都可以表示成.定义：如：，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．若，，则
D．当时，
8．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．给出下列四个命题：
①函数，的图象与直线可能有两个不同的交点；
②函数与函数是相等函数；
③对于指数函数与幂函数，总存在，当时，有成立；
④已知是方程的根，是方程的根，则.
其中正确命题的序号是__________．
10．已知函数的值域为，则实数的取值范围是_________
11．如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则下列有关说法中：
①函数是圆O：的一个太极函数；
②函数是圆O：的一个太极函数；
③函数是圆O：的一个太极函数；
④函数是圆O：的一个太极函数．
所有正确的是_________．
12．给出下列四个命题：①函数的图像过定点；②已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解析式为；③函数的图像可由函数图像向右平移一个单位得到；④函数图像上的点到距离的最小值是．其中所有正确命题的序号是_____________．
四、解答题
13．若且．
（1）判断函数的单调性（不必证明）；
（2）当时，若在上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当时，若函数在区间（其中）上的值域为，求实数的取值范围．
14．已知函数f（x），g（x）1．
（1）若f（a）＝2，求实数a的值；
（2）判断f（x）的单调性，并证明；
（3）设函数h（x）＝g（x）（x＞0），若h（2t）+mh（t）+4＞0对任意的正实数t恒成立，求实数m的取值范围．
15．（1）是以为定义域的减函数，且对于任意，恒有，写出一个满足条件的函数的解析式；
（2）是以为定义域的奇函数，且对于任意，恒有，写出一个满足条件的函数的解析式；
（3）都是以为定义域的函数，写出一组满足下列条件的函数的解析式，对于下列三组条件，只需选做一组，满分分别是①，②，③；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分.
①对于任意，恒有；
②对于任意，恒有；
③对于任意，恒有.
16．已知函数在时有最大值为1，最小值为0.
（1）求实数的值；
（2）设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【分析】
由“友好点对”概念知，可结合关于原点对称的图像与的交点情况进一步确定即可
【详解】
由于参数不确定性，可分为和两种情况；
当时，关于原点的对称图像与的图像如图所示：
根据“友好点对”的定义可知，当时，“友好点对”有且仅有一对恒成立；
当时，关于原点的对称图像与的图像如图所示：
要符合“友好点对”有且仅有一对，则需满足，解得，则，
综上所述，
故选C
【点睛】
本题考查函数新定义的理解，函数图像的变换法则与数形结合的思想，属于中档题
2．A
【分析】
根据对数的运算法则及性质比较与的大小，利用作商法比较的大小.
【详解】
由,
因为，故，
所以，
因为，故，
所以
因为，故，
因为，故，
所以，
所以，
故，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：根据对数的运算性质将写成对数，，利用函数的单调性比较真数大小即可，利用作商及放缩的方法可得的大小，属于较难题目.
3．C
【分析】
关于轴对称的函数为：，函数与图像上存在关于轴对称的点，即有解，通过数形结合即可得解.
【详解】
关于轴对称的函数为：，
函数与图像上存在关于轴对称的点，
即有解，即有解，
整理得：，
转化为和的图像存在交点，如图：
临界值在处取到（虚取），此时，
故当时和的图像存在交点，
故选：C.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解
4．A
【分析】
分两种情况分类讨论，根据对数函数的性质即可求解.
【详解】
当时，是减函数，，
则，解得；
当时，是增函数，，
则，解得，又，所以；
综上取值范围是.
故选A
【点睛】
本题主要考查了对数函数的性质、利用单调性解不等式，分类讨论，属于中档题.
5．C
【分析】
由题：均为正数，进行变量分离，便可构造一个单调函数，通过函数单调性比较变量大小.
【详解】
∵，∴
即，令，则
∵在上单调递增，且，∴，∴
故选C．
【点睛】
此题考查指数对数型复合函数单调性的判别，利用单调性比较大小，关键在于构造出所需单调函数，对分析问题能力要求较高.
6．C
【分析】
根据函数在上单调递增和在任意区间，上，函数的值为定值得在任意区间，上，方程至多有一个实数解，再分别对时，时，时，求得的解，再运用数学归纳法证明，，时，恒成立，即无解，从而得选项．
【详解】
由题意知，，，，则时，．
由对数函数性质知函数在上单调递增，
由，，知：在任意区间，上，函数的值为定值．
则在任意区间，上，方程至多有一个实数解．
①当时，，令，解得,
故此时有唯一解；
②当时，，令，解得,
故此时有唯一解；
③当时，，令，解得，
故此时有唯一解；
④当时，，令，解得,
故此时无解，因为，所以恒成立；
⑤设，，时，恒成立，
而，，时，，
则恒成立等同于恒成立，
当，，时，
，
所以当，，时，则有仍然恒成立．
由④知时，即时，恒成立，
则，，时，恒成立，即无解．
综上所述，方程的实数根为，以及，共3个．
故选C．
【点睛】
本题主要考查对数函数和对数方程的解，本题的主要思考要点有两点：一是根据对数函数的单调性和在任意区间，上，函数的值为定值得出，在任意区间，上，方程至多有一个实数解；二是运用数学归纳法证明，，时，恒成立，本题属于难度题.
7．BCD
【分析】
先要通过举例，搞清楚的意义，时，的整数部分的位数为,当的非有效数字中0的个数为.然后通过举例可以否定A；通过一般性论证判定B；借助于对数指数运算，和不等式的性质，判定CD；
【详解】
当时，的整数部分位数为2，当时，的整数位数为3，一般地，时，的整数部分的位数为,
当时，的非有效数字中0的个数为1，当时，比如，0.010101023,其非有效数字中0的个数为2，一般地，当的非有效数字中0的个数为.
取，，则，，，取,故有不正确的时候，故A错误；
当时，,∴，B正确；
因为，则，故C正确；
时，根据定义,由于为正整数，且不可能是10的倍数，∴存在,使得 ，此时
，，故 D正确．
故选：BCD．
【点睛】
结论点睛：本题考查新定义问题，涉及指数与指数幂的运算，对数与对数运算，难度较大．必要的时候通过具体实例理解新定义函数的意义是重要的思维途径.在D的判定中，注意不等式的性质的运用，时，为正整数，且不可能是10的倍数是关键的，由此才能得出，特别是右端不能取等号，否则比如的话，不能得出的结论，其中.注意小数中非有效数字概念，比如0.010101023中10101023是有效数字.
8．ABD
【分析】
根据条件求得表达式，根据对数性质结合放缩法得A正确，根据不等式性质得B正确，通过作差法判断C错，结合指数函数单调性与放缩法可得D正确．
【详解】
解：∵，，
∴，，
因为，
又由，所以，选项A正确；
，，则，，所以，选项B正确；
因为，，则，，此时，
所以，故选项C不正确；
由和知与均递减，
再由，的大小关系知，故选项D正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．
9．③④
【分析】
由函数的定义对①②判断，由指数函数的性质对③判断，利用数形结合思想对④判断．
【详解】
根据函数定义，对定义域内的任意一个值，只有唯一的值与之对应，∴函数，的图象与直线可能有一个或0个交点，因此①错；
中定义域是，函数的定义域是，定义域不相同，不是同一函数，②错；
当时，，因此③正确；
如图，分别是函数、的图象与直线的交点、的横坐标，由于与是互为反函数，它们的图象关于直线对称，而直线与直线垂直，因此两点关于直线对称，直线与直线的交点为，∴．④正确．
故答案为③④．
【点睛】
本题考查函数的概念，考查指数函数与对数函数的图象与性质．掌握函数概念，掌握指数函数与对数函数的性质是解题基础．在解决方程的根与函数零点关系问题时，数形结合思想是重要的方法之一．
10．
【分析】
可由题意，根据对数函数的定义域和单调性确定其范围，要满足值域为，指数函数的值域也就确定了，然后把指数部分的二次三项式重新设函数，通过分类讨论去求解对应的取值范围.
【详解】
函数，所以当时，，
所以时，得取遍所有大于1的数，故其指数得取遍所有大于0的数.
因为，，
当时，不成立；
当时，其开口向下，有最大值，无法去到正无穷，舍去；
当时，其开口向上，对称轴大于0，故需对称轴对应的值小于等于0，故有：且
，综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
二次三项式在进行讨论的时候要首先考虑二次项系数为0的情况，然后根据题意，去讨论开口或者讨论.
11．①②③④
【分析】
建立平面直角坐标系，作出每个函数的图像，探讨每个函数的对称性，进而得到答案.
【详解】
①两曲线的对称中心均为点，且两曲线交于两点，所以能把圆一分为二，如图，
故正确；
②函数关于点对称，经过圆的圆心，且两曲线交于两点，如图：
所以函数是圆的一个太极函数，故正确；
③函数为奇函数，如图：
所以函数是圆的一个太极函数，故正确；
④函数为奇函数，且单调递增，如图，
所以函数是圆的一个太极函数，故正确．
故答案为：①②③④.
12．②④
【详解】
试题分析：
对于①，当时，，，故①错；对于②，当时，，又因为函数是偶函数，所以，综上有，故②正确；对于③，函数图像向右平移一个单位得到的函数的解析式为，不是，所以③错误；对于④，在坐标系内作出函数的图象（如下图所示），因为函数是偶函数，所以只需考虑的情况即可，由图象可知当时，函数图象上的点到距离的最小值为，当时，因为函数是偶函数，所以只需考虑即可，这时，所以函数图象上的点到的距离，因为
令，则，所以当即时，有最小值，即④正确，故应填②④.
考点：1.对数函数的图象与性质；2.函数的奇偶性；3.函数图象的平移变换；4.基本不等式.
【名师点睛】
本题考查参数函数的图象与性质、函数的奇偶性、图象变换、基本不等式，属难题；解决正确命题的序号问题是较难的题，学生必须对所有命题逐个甄别，才能得出正确结论，而且考查知识面大，用到的数学方法、数学思想较多，是体现学生综合素质的题型.
13．（1）当时，单调递增；当时，单调递减；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据复合函数单调性可分类得到结果；
（2）将问题转化为在上恒成立，通过分析二次函数的图象可知只需即可满足题意，由此构造不等式求得的范围；
（3）将问题转化为在上有两个不等实根，通过分析二次函数的图象得到不等式组，由不等式组可求得的范围.
【详解】
（1）由复合函数单调性的判断可知：
当时，与均单调递增，单调递增；
当时，与均单调递减，单调递减.
（2）当时，由（1）知：单调递减；
，
，即在上恒成立，
令，
则为开口方向向上，对称轴为的二次函数，
若在上恒成立，则只需，解得：（舍）或，
实数的取值范围为.
（3）由（1）知：当时，单调递增，，
即，，
则可将问题转化为在上有两个不等实根；
，解得：，
实数的取值范围为.
【点睛】
思路点睛：本题考查了函数中的恒成立和根据值域求参数范围的问题，解题关键是能够将两个问题都转化为二次函数图象与性质的分析问题，通过分析所需的二次函数图象得到不等关系，进而由不等关系求得参数范围.
14．（1）a＝log23；（2）函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，证明见解析（3）[﹣3，+∞）．
【分析】
（1）根据f（a）＝2，代入解析式求解.
（2）函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，用单调性的定义证明.
（3）化简得到，将0对任意的正实数t恒成立，通过换元，μ∈（2，+∞），转化为μ2+mμ+2＞0对任意μ∈（2，+∞）恒成立，即对任意μ∈（2，+∞）恒成立，再求解最大值即可.
【详解】
（1）∵，
∴2a＝3，
∴a＝log23；
（2）函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，
证明如下：
函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
因为f（-x）
所以f（x）是奇函数
任取且
，
因为
所以
因为
所以
所以
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，
又因为f（x）是奇函数
故函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减；
（3），，
∴0对任意的正实数t恒成立，
令，则μ∈（2，+∞），
∴μ2+mμ+2＞0对任意μ∈（2，+∞）恒成立，
即对任意μ∈（2，+∞）恒成立，
又在（2，+∞）上单调递减，故，
则m≥﹣3，即实数m的取值范围为[﹣3，+∞）．
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性及不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
15．（1）；（2）；（3）答案不唯一，具体见解析.
【分析】
（1）根据题意，结合对数函数的运算性质和单调性，即可得出，，满足条件；
（2）根据题意，结合指数函数的运算性质和奇函数的性质，得出分段函数 满足条件；
（3）根据题目要求，结合复合函数的解析式的运算，即可写出满足条件的函数解析式.
【详解】
解：（1）对于任意，恒有，
可知对数函数符合条件，即，
而是以为定义域的减函数，则，
所以满足条件的一个函数为：，；
（2）对于任意，恒有，
可知指数函数符合条件，即，
而是以为定义域的奇函数，
所以满足条件的一个函数为：；
（3）已知都是以为定义域的函数，
若选①对于任意，恒有，
则满足条件的一组函数的解析式为：
，，，；
若选②对于任意，恒有，
则满足条件的一组函数的解析式为：
，，，；
若选③对于任意，恒有，
则满足条件的一组函数的解析式为：
，，，.
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据要求写出函数解析式，灵活运用对数函数和指数函数的性质是解题关键，属于中档题.
16．（1）；（2）.
【分析】
（1）由题得，解方程组即得解；
（2），在上恒成立，设，则，，再求最大值即得解.
【详解】
（1）函数，∴在区间上是增函数，
故，解得.
（2）由已知可得，则，
所以不等式，转化为，
在上恒成立.
设，则，即，在，上恒成立，
即：，∵，∴，
∴当时，取得最大值，最大值为，则，即，∴的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查二次函数的最值问题，考查对数函数的值域的求法，考查二次不等式的恒成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于较难题.
答案第1页，共2页
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