高中数学北师大版（2019）必修第一册第四章培优专练1word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第四章培优专练1
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．形如(n是非负整数)的数称为费马数，记为数学家费马根据都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那的位数是（ ）
(参考数据: lg2≈0.3010 )
A．9 B．10 C．11 D．12
2．已知函数的定义域为，，若存在实数，，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数定义在上，当时，，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．设函数若任意给定的，都存在唯一的非零实数满足，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数f(x)＝x2＋ex－ (x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
6．已知函数,若,且,则的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
7．定义“正对数”：，下列命题中正确的有（ ）
A．若，，则；
B．若，，则；
C．若，，则；
D．若，，则.
8．下列函数对任意的正数，，满足的有
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．若实数x，y满足，且，则的最小值为___________.
10．设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“T—单调增函数”．
对于“T—单调增函数”，有以下四个结论：
①“T—单调增函数”一定在D上单调递增；
②“T—单调增函数” 一定是“—单调增函数” （其中，且） ：
③函数是“T—单调增函数”（其中表示不大于x的最大整数）；
④函数不是“T—单调增函数”．
其中，所有正确的结论序号是______．
11．给出下列4个命题，其中正确命题的序号____________.
①；
②函数有个零点；
③函数的图象关于点对称．
④已知，函数的图象过点，则的最小值是.
12．设函数在区间上的最大值为，若，则实数t的最大值为___________.
四、解答题
13．已知常数a∈R+，函数f（x）＝x2﹣ax+1
（1）若a＝3，解方程log3f（x）＝1+log3（x﹣）；
（2）设函数g（x）＝[f（x）]．若g（x）在[0，]上单调递减，求a的取值范围；
（3）设集合A＝{x|f（x）＝x+a﹣3，x≥a﹣1}的元素个数为n，求n关于a的函数n（a）在R+的表达式．
14．已知函数在时有最大值为1，最小值为0.
（1）求实数的值；
（2）设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
15．已知函数.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）设，函数.
（i）若，证明：；
（ii）若，求的最大值.
16．对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数.
（1）设，生成函数为，求函数在区间上的最小值；
（2）设函数，是否能够生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为.若能，求函数的解析式；若不能，说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【分析】
,设,两边取常用对数估算的位数即可.
【详解】
,设，则两边取常用对数得
.
，
故的位数是10，
故选：B．
【点睛】
解决对数运算问题的常用方法：
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的简化计算.
2．D
【分析】
由已知求得函数定义域，得到函数的解析式，然后化简，
得，最后换元后利用配方法求得函数最值求解
【详解】
的定义域为，由，解得，
的定义域为，
，
令，，，则,
当时为增函数 ,，，
存在实数, 使得，
即，解得
故选：D
【点睛】
本题考查不等式的有解问题，化简得①，第一个难点在于通过令，把①换元为
第二个难点在于通过换元把题目的条件转化成式子来进行求解，属于难题
3．B
【分析】
将已知条件变形，可得到新函数的大小关系，从而判断新函数的单调性，将要求的不等式变形为新函数的大小关系，根据单调性即可求解不等式的解集
【详解】
当时，由变形得：，令，则，所以在单调递减，因为，所以，当时，不等式可以变形为：，即，所以，；当时，不等式可以变形为：，即，所以，（舍），综上：
故选：B
【点睛】
题目考察构造新函数，并判断新函数的单调性，难点在于要将所求的不等式变形为新函数的不等式问题，从而可以根据新函数的单调性求解不等式
4．A
【分析】
结合函数的图象及值域分析，当时，存在唯一的非零实数满足，然后利用一元二次不等式的性质即可得结论.
【详解】
解：因为，所以由函数的图象可知其值域为，
又时，值域为；时，值域为，
所以的值域为时有两个解，
令，则，
若存在唯一的非零实数满足，则当时，，与一一对应，
要使也一一对应，则，，任意，即，
因为，
所以不等式等价于，即，
因为，所以，所以，又，
所以正实数的取值范围为.
故选：A.
5．B
【分析】
先求得关于轴对称得到的函数表达式，根据与在上有公共点，由变为两个函数图像在上有交点，来求得的取值范围.
【详解】
关于轴对称得到的函数为，依题意可知与在上有公共点，由得，.
对于函数，在上单调递减，且.
对于函数，在上单调递增.
当时，的图像向右平移个单位得到，与图像在上必有个交点.
当时，的图像向左平移个单位得到，要使与图像在上有交点，则需当时（也即轴上），的函数值小于的函数值，即，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查函数的图像的对称关系，考查两个函数图像有交点的问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
6．C
【分析】
画出函数图像，根据图像得到，则，根据函数的单调性得到答案.
【详解】
，画出函数图像，如图所示：
，则，故，且，故.
设函数，则函数在上单调递增，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，函数单调性，值域，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
7．BCD
【分析】
对于A，通过举反例说明错误；对于B，由“正对数”的定义分别对、分，；，两种情况进行推理；对于CD，分别从四种情况，即当，时；当，时；当，时；当，时进行推理．
【详解】
对于A，当，时，满足，，而，
，，命题A错误；
对于B，当，时，有，
从而，，；
当，时，有，从而，，
.
当，时，，命题B正确；
对于C，由“正对数”的定义知，且．
当，时，，而，则；
当，时，有，，而，
，则．
当，时，有，，而，则．
当，时，，则．
当，时，，命题C正确；
对于D，由“正对数”的定义知，当时，有.
当，时，有，
从而，，
；
当，时，有，从而，，；
当，时，有，从而，
，；
当，时，，，
，，
从而，命题D正确．
故选：BCD．
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查运算能力和逻辑推理能力，属于难题．
8．ABD
【分析】
根据四个选项中的函数证明不等式成立或举反例说明不成立(举反例时中让)．
【详解】
A．，
，A正确；
B．，
∴，B正确；
C．时，，C错；
D．，
∴，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查正弦函数、幂函数、指数函数、对数函数的性质，对于函数的性质，正确的需进行证明，错误的可举一反例说明．
9．8
【分析】
由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答.
【详解】
由得：，又实数x，y满足，
则，当且仅当，即时取“=”，
由解得：，
所以当时，取最小值8.
故答案为：8
【点睛】
思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.
10．②③④
【分析】
①③④选项可以举出反例；②可以进行证明.
【详解】
①例如，定义域为，存在，对于任意，都有，但在上不单调递增，①错误；
②因为是单调增函数，所以存在，使得对于任意，都有，因为，，所以，故，即存在实数，使得对于任意，都有，故是单调增函数，②正确；
③，定义域为，当时，对任意的，都有，即成立，所以是单调增函数，③正确；
④当时，，若，则，显然不满足，故不是单调增函数，④正确.
故答案为：②③④
11．②③
【分析】
①分别判断三个数的取值范围进行比较；
②利用函数零点与方程的关系转化为两个函数图象交点问题进行判断；
③判断函数的奇偶性，利用图象平移进行判断；
④利用基本不等式的性质进行求解判断.
【详解】
①log0.53＜0，1，0＜（）0.2＜1，
∴log0.53＜（）0.2，故①错误，
②函数f（x）＝log4x﹣2sinx有5个零点；
由f（x）＝log4x﹣2sinx＝0得log4x＝2sinx，
作出函数y＝log4x和y＝2sinx的图象如图：
由图象两个函数有5个交点，即函数f（x）有5个零点，故②正确，
③由0得x（x﹣4）＜0，得0＜x＜4，
则lgx﹣lg（4﹣x），
则f（x+2）＝lg（x+2）﹣lg（4﹣x﹣2）＝lg（x+2）﹣lg（2﹣x），
设g（x）＝lg（x+2）﹣lg（2﹣x），
则g（﹣x）＝lg（2﹣x）﹣lg（2+x）＝﹣（lg（x+2）﹣lg（2﹣x））＝﹣g（x），
即g（x）是奇函数，关于原点对称，则函数的图象关于点（2，0）对称．故③正确，
④已知a＞0，b＞0，函数y＝2aex+b的图象过点（0，1），
则2a+b＝1，
则（）（2a+b）＝2+13+23+2，
当且仅当，即b时取等号，即的最小值是3+2，故④错误，
故正确是②③，
故答案为②③
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，涉及函数零点、指对函数单调性的应用及对数函数对称性的问题，综合性较强，有一定的难度．
12．
【分析】
由题意：在区间，为正数）上的最大值为，转化为，当时，则有：，可得：，或因此只需要，即可得出．
【详解】
解：由题意：在区间，为正数）上的最大值为，转化为，
当时，
则有：
那么：①
当或时，
或
只需要，
即：
得：②
把①式代入②，
得：，
化为：，
，解得．
的最大值为．
故答案为：．
13．（1）{5}；（2）[]；（3）n（a）＝.
【分析】
（1）由a＝3，将方程转化为：log3（x2﹣3x+1）＝log3（3x﹣4）求解.
（2）根据函数g（x）＝[f（x）]，且g（x）在[0，]上单调递减，转化为f（x）0，且f（x）在x∈[0，]单调递减求解.
（3）因为x＝﹣1不是方程x2﹣ax+1＝x+a﹣3的解,将方程变形为a+3＝x+1+，令t＝x+1∈[a，+∞），则a+3＝t+，再利用对勾函数的性质求解.
【详解】
（1）a＝3时，f（x）＝x2﹣3x+1，
所以方程为：log3（x2﹣3x+1）＝log3[3（x﹣）]＝log3（3x﹣4），
所以，
解得：x＝5或x＝1（舍），
所以方程的解集为{5}．
（2）因为函数g（x）＝[f（x）]．若g（x）在[0，]上单调递减，
所以f（x）0，且f（x）在x∈[0，]单调递减，
所以，解得，即
所以a的取值范围为：[]；
（3）x＝﹣1显然不是方程x2﹣ax+1＝x+a﹣3的解．
当x≠﹣1时，原方程可变为a+3＝x+1+，
令t＝x+1∈[a，+∞），则a+3＝t+，
所以当0＜a＜2﹣3时，方程无解；
当a＝时，方程只有一解；
当＜a＜时，方程有两解；
当a时，方程只有一解．
故n（a）＝．
【点睛】
方法点睛：复合函数的单调性
对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．
14．（1）；（2）.
【分析】
（1）由题得，解方程组即得解；
（2），在上恒成立，设，则，，再求最大值即得解.
【详解】
（1）函数，∴在区间上是增函数，
故，解得.
（2）由已知可得，则，
所以不等式，转化为，
在上恒成立.
设，则，即，在，上恒成立，
即：，∵，∴，
∴当时，取得最大值，最大值为，则，即，∴的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查二次函数的最值问题，考查对数函数的值域的求法，考查二次不等式的恒成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于较难题.
15．（1）或（2）（i）证明见解析（ii）
【分析】
（1）对底数分类讨论，根据对数函数的单调性可解得结果；
（2）（i）若，则，令，则，所以，，根据对称轴与区间的中点值之间的关系求出最大值，对最大值配方可证不等式成立；
（ii）若，则，令，则，所以，，分类讨论对称轴可得的最值,比较最值的绝对值与端点值的绝对值的大小可得结果.
【详解】
（1）当时，为递减函数，等价于，解得，
当时，为递增函数，等价于，解得，
综上所述：或.
（2）因为，所以为增函数，
（i）若，则，令，则，
所以，，
当，即时，，
当，即时，当时，，
所以.
（ii）若，则，令，则，
所以，，
因为，所以，
当，即时，，，，，此时的最大值为，
当，即时，在上单调递增，，，，
所以此时的最大值为，
综上所述：.
【点睛】
本题考查了利用对数函数的单调性解不等式，考查了分类讨论求二次函数在闭区间上的最值，考查了换元法，正确分类并利用二次函数的图象是解题关键，属于难题.
16．
（1）-1；
（2）能生成，.
【分析】
（1）求出函数和，再换元并结合二次函数性质即可计算得解.
（2）假定能生成一个函数满足条件，由此探求m与n的关系，借助对勾函数单调性求出最小值即可计算作答.
（1）
依题意，，则，
令，，则，于是得，
显然在上单调递减，在上单调递增，因此，当时，，
所以当时，函数在区间上的最小值是-1.
（2）
设，满足题意，
则，
由为偶函数知，
即，
整理得，则，即恒成立，
解得，
则
，
设，令，则在上单调递增，
因此，，当且仅当时取“=”，
则，当且仅当时取“=”，
则，，而在区间上的最小值为，于是得，，
所以函数能够生成一个函数，此时.
【点睛】
知识点睛：理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个关键：
（1）定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；
（2）f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式．
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