高中数学北师大版（2019）必修第二册第二章平面向量及其应用综合强化5word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第二册第二章平面向量及其应用综合强化5
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．均为单位向量，且它们的夹角为45°，设，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面向量满足，，且的最小值，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．1或2
3．已知点为圆上动点，为坐标原点，则向量在向量方向上投影的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面向量满足：，，，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
5．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
6．在四边形中，点E为AD的中点，点F为BC的中点，且，若>0，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列命题中正确的是（ ）
A．不存在4个平面向量，两两不共线，其中任意两个向量之和与其余两个向量之和垂直
B．设、…、是单位圆O上的任意n点，则在圆O上至少可以找到一点M，使得
C．任意四边形中，分别为的中点，G为的中点，O为平面内任意一点，则
D．中，点O为外心，H为垂心，则
8．已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，且，则
C．若直线过的中点，则
D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．在中，，，是上的点，平分，若，则的面积为__________.
10．如图，在△ABC中，，，，直线FM交AE于点G，直线MC交AE于点N，若△MNG是边长为1的等边三角形，则___________.
11．如图，已知正方形的边长为，在延长线上，且．动点从点出发沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，则下列命题正确的是____________．（填上所有正确命题的序号）
①；
②当点为中点时，；
③若，则点有且只有一个；
④的最大值为；
⑤的最大值为．
12．已知边长为2的正方形边上有两点P Q，满足，设O是正方形的中心，则的取值范围是___________.
四、解答题
13．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.
在中，角，，的对边分别为，，且______，作，使得四边形满足，， 求的取值范围.
14．如图，数轴的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标(以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标)．
(1)若，为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；
(2)若，点的坐标为，求向量与的夹角．
15．如图，等腰直角三角形地块，，为了美化环境，现对该地块进行改造，计划从的中点引出两条成角的射线，分别交，于点，，将四边形区域改造为人工湖，其余区域为草地，设.
（1）当时，求草地的面积；
（2）求人工湖的面积的取值范围.
16．在平行四边形中，，，．若分别是边上的点．
（1）若分别是边的中点，与交于点，用和表示；
（2）若满足，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【分析】
建立直角坐标系，求得向量，的终点轨迹方程是圆和直线，利用圆心到直线距离减去半径得到最小值得解
【详解】
设，
以的方向为正方向，所在直线为轴，垂直于所在直线为 轴，建立平面直角坐标系
均为单位向量，且它们的夹角为45°，则 ，
，设
满足
，设
,故 ，
则，则 的最小值为圆上的点到直线 距离的最小值
其最小值为
故选:C.
【点睛】
向量模长最值问题转化为点到直线距离是解题关键，属于中档题.
2．D
【分析】
设，，则，由的最小值为，得，且，解得或，然后分2种情况考虑的最小值，即可得到本题答案.
【详解】
设，，
则
因为的最小值，
所以的最小值为，
则，且，
解得或，
当，即时，
，
所以的最小值为2；
当，即时，
，
所以的最小值为1，
综上，的最小值为1或2.
故选：D
【点睛】
本题主要考查向量的模的计算与二次函数值域的综合问题，考查学生的推理分析能力和计算能力.
3．B
【分析】
设向量所在直线为OA（A为向量的终点），当点P位于与直线OA垂直且与圆相切的直线上时，投影取得最值，进而求出最大值.
【详解】
如图所示，向量所在直线为OA（A为向量的终点），则，则设与直线OA垂直且与圆相切的直线为，所以圆心到直线的距离，
根据图形可知，当时投影最大，设此时与直线OA交于B，
易得，直线OA：，联立：，解得：，
所以，则向量在向量方向上投影的最大值为.
故选：B.
4．A
【分析】
由可得，由，，可得，设，则，，从而可求出其最小值
【详解】
解：因为，
所以，
所以，所以，
所以，
因为，，所以，
设，则，
，
当时，（舍去），
当时，，
所以的最小值为，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：此题考查向量数量积的运算律的应用，考查向量的性质的应用，解题的关键是由已知条件得，，令，则，然后化简可求得结果，考查计算能力，属于较难题
5．C
【分析】
作出图形，结合三点共线性质可得，，同时设，联立解出，进而确定关系，同时满足，进而求出关系，即可求解两三角形面积之比.
【详解】
如图，延长交于，则，因为，，三点共线，所以，即，所以，则，故且，又，故，所以，，所以，所以．
故答案为：C
6．A
【分析】
根据向量的加法可得，再由向量的数量积运算得，由可得选项．
【详解】
因为，，
又点E为AD的中点，点F为BC的中点，所以，
又因为，
所以，
且　，
所以，即，
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题考查向量的数量积运算，求线段的长度的范围，关键在于待求向量用已知向量表示，由已知向量的数量积的范围得以解决．
7．BCD
【分析】
对A：设O为正三角形ABC的内心，P为内切圆圆周上一点， ，所以与垂直，所以选项A错误；
对B：取的反向延长线与单位圆的交点为M，则与共线同向时，有，所以选项B正确；
对C：因为，所以选项C正确；
对D：作直径BD，连接AD，可得四边形AHCD为平行四边形，所以，所以选项D正确.
【详解】
解：对A：如图所示，O为正三角形ABC的内心，P为内切圆圆周上一点，满足两两不共线，而
，
所以与垂直，所以选项A错误；
对B：如图，当时，，当与共线同向时，；
当时，，
当与共线同向时，有；
同理，可取的反向延长线与单位圆的交点为M，则与共线同向时，有
，所以选项B正确；
对C：因为
，
所以，所以选项C正确；
对D：如图，作直径BD，连接AD，则ADAB，又因为H为三角形ABC的垂心，
所以CHAB，所以CHAD，同理AHCD，所以四边形AHCD为平行四边形，
所以，所以选项D正确.
故选：BCD.
8．AB
【分析】
由，，即可判断A；
将两边平方可得的值，再结合即可判断B；
设的中点为，则再结合即可得之间的关系可判断C；取点使得，，，则点为的重心，可得，再利用三角形面积公式即可求，即可求得，即可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：若，，则，因为，
，代入可得即
，所以，可得，
故选项A正确；
对于B：若，，则，所以
所以，即，
所以，可得，
所以
，故选项B正确；
对于C：设的中点为，则
若直线过的中点，则存在实数满足，
即，
所以，所以，，所以不一定，故选项C不正确；
对于D：取点使得，，，则
，所以点为的重心，
因为重心到中点的距离等于中线的，所以重心到的距离等于高线的，可得，同理可得，，
所以，
所以，同理可得：，
，所以，故选项D不正确；
故选：AB.
【点睛】
结论点睛：若点O为所在平面内一点，且，则
.
9．
【分析】
由正弦定理可得、，即有，而，可得，结合余弦定理求，再应用三角形面积公式求的面积即可.
【详解】
∴由正弦定理，，，即，，而，
∴，
∵，即，，
∴，即，
又由余弦定理知：，
∴，即，令，
∴，即（舍去），
∴.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：应用正余弦定理，列方程求，根据三角形面积公式求面积.
10．
【分析】
假设，首先根据向量共线求得，同理得，，最后由于，,从而计算即可.
【详解】
解：设，
而，
所以，
，
因为，所以，
得，
所以.
同理，所以.
，
，
,
所以.
【点睛】
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
11．①②④⑤
【分析】
建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算将有关问题转化为点的坐标的有关问题，即可逐一作出判断.
【详解】
建立如图所示的坐标系，则，，
故，，=.
设点的坐标,则，易得.
①由的运行轨迹可知，所以，故①正确；
②当点为中点时，,,，故②正确；
③由时，直线经过，与线段交于点,
∴使得的点有两个，故③错误；
④，显然当直线平行移动，
经过点时取得最大值3,故④正确.
由于在的方向上的投影在与重合时取得最大值，
此时取得最大值，，故⑤正确．
12．
【分析】
先建立平面直角坐标系，再分类讨论求出各种情况下的的范围即可得到答案.
【详解】
建立如下图所示的平面直角坐标系.
①当两点在正方形的同一边上时（含正方形的顶点）.
根据对称性，不妨设，由于，所以满足，
可得，
所以；
②当两点在正方形的相邻边上时（含正方形的顶点）.
根据对称性，不妨设，
所以，
由于，所以满足，
其表示的平面区域如下图所示：
令，当过时，有最小值，
当与圆相切时，有最大值，
所以这种情况下；
③当两点在正方形的对边上时（含正方形的顶点）.
根据对称性，不妨设，
所以，由图可知，，
所以.
综上可知：.
故答案为：.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键一是要分类讨论，二是在每一种情况下要准确地写出变量的范围并求出每种情况下取值范围.
13．.
【分析】
根据题意，选择①②③求得，设，则，在中，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得可得，结合和三角函数的性质，即可求解.
【详解】
若选①：由，根据正弦定理可得，
即，
即，
可得，因为，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，
可得
，
因为，可得，
当时，即，可得，
当时，即，可得，
所以的取值范围是.
选②：由，根据正弦定理可得，
可得，即，
又由余弦定理，可得，
因为，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，
可得
，
因为，可得，
当时，即，可得，
当时，即，可得，
所以的取值范围是.
若选③：由，可得，
即，可得，
因为，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，
可得
，
因为，可得，
当时，即，可得，
当时，即，可得，
所以的取值范围是.
14．(1)；(2).
【分析】
(1)利用与的数量积及为单位向量列出方程组，求解即得；
(2)类比平面向量的长度及夹角公式，计算向量与的夹角的余弦得解.
【详解】
(1)时，坐标系为平面直角坐标系，
设点P(x,y)，则有，而，，
又，所以，又因，
解得，故点P的坐标是；
(2)依题意夹角为45 ，，，
，
，，
所以＝2，，而，故.
【点睛】
坐标系下新定义的创新试题，类比原有平面向量的模、数量积解决，但不能直接类比原有平面向量的直角坐标方法处理.
15．（1）； （2）
【分析】
（1）先根据正弦定理求出，再根据三角形面积公式即可求解；
（2）利用正弦定理以及三角形面积公式分别求出三角形和三角形的面积，根据 ，求出的表达式，再根据的范围即可求解.
【详解】
解：（1）当时，在中，，
由题意知：，
由正弦定理得：，
；
（2）由题意知：
在中，，
由正弦定理得：，
在中，， ，
由正弦定理得：
，
，
，
，
，
，
，
，
即人工湖面积的取值范围为：.
16．（1）；（2）.
【分析】
（1）过点E作EG//AB，交BF于点G，根据题意得出，通过向量加减法即可得到答案；
（2）设，按照向量加减法表示出，进而得出数量积的范围.
【详解】
（1）如图，
过点E作EG//AB，交BF于点G.
因为E是BC中点，所以，
因为F是CD中点，所以，
因为EG//AB，所以，
所以.
（2）设，，
则，
所以
，
所以的取值范围为.
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