冲刺高考（文科数学）2022届高三三角函数的图象与性质课件(共39张PPT)

(共39张PPT)
　冲刺高考
三角函数的图象与性质
考点一　三角函数的定义、诱导公式及基本关系
——牢记“口诀”，勿忘“关系”
1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．同角关系：____________＝1，＝________．
3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
y
x
sin2α＋cos2α
tanα
[例1]　(1)已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则sin ＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：因为角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，所以P，所以根据三角函数的定义，得：cos α＝－. 所以sin ＝cos α＝－.故选D.
答案：D　
(2)已知tan α＝3，则sin ·cos 的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
答案：B
解析： 方法一　依题意，sin ·cos ＝－cos αsin α＝＝＝－，故选B.
方法二　因为tanα＝3，所以sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，而sin·cos ＝－cos αsin α＝－3cos2α＝－.故选B.
应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项
(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．
(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
对点训练
1．已知α是第二象限角，则(　　)
A．cos α>0 B．sin α<0
C．sin 2α<0 D．tan α>0
解析：由α是第二象限角，可得cosα<0，sin α>0，tan α<0，∴sin 2α＝2sin αcos α<0.
答案：C
2．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝(　　)
A． B．
C．0 D．－
答案：A
解析：由已知，得f＝f＋sin
＝f＋sin ＋sin
＝f＋sin ＋sin ＋sin
＝f＋sin ＋sin ＋sin
＝0＋＝.
考点二　三角函数的图象与解析式
——平移看“ω，φ”，伸缩看“A，ω”，由图定式找对应，性质、图象结合牢　　　　　　　　　
函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
1．“五点法”作图
设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．
[例2]　(1)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋θ)(A>0，|θ|<π)的部分图象如图所示，将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的解析式为(　　)
A．g(x)＝2sin 2x
B．g(x)＝2sin
C．g(x)＝2sin
D．g(x)＝2sin
答案：D　
解析：方法一　由图象得A＝2，T＝＝π，所以ω＝＝2.
因为x＝＝时，y＝2，所以2×＋θ＝＋2kπ(k∈Z)，所以θ＝＋2kπ(k∈Z)，
因为|θ|<π，所以θ＝，所以函数f(x)＝2sin .
因为函数g(x)的图象由函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到，
所以g(x)＝f＝2sin ＝2sin .故选D.
方法二　由函数图象可知点在函数f(x)的图象上，因为函数g(x)的图象是由函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到的，所以点在函数g(x)的图象上．
对于选项A，g＝2sin ＝2sin ≠0，故排除A；
对于选项B，g＝2sin ＝2sin ≠0，故排除B；
对于选项C，g＝2sin ＝2sin ≠0，故排除C；
对于选项D，g＝2sin ＝0，满足题意，选D.
(2)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________．
答案：－
解析：方法一(五点作图法)　由题图可知T＝＝(T为f(x)的最小正周期)，即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f(x)＝2cos (2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，即f(x)＝2cos ，
所以f＝2cos ＝－.
方法二(代点法)　由题意知，T＝＝(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2.又点在函数f(x)的图象上，所以2cos ＝0，所以2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，令k＝0，则φ＝－，所以f(x)＝2cos ，所以f＝2cos ＝－2cos ＝－.
方法三(平移法)　由题意知，T＝＝(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2.函数y＝2cos 2x的图象与x轴的一个交点是，对应函数f(x)＝2cos (2x＋φ)的图象与x轴的一个交点是，所以f(x)＝2cos (2x＋φ)的图象是由y＝2cos 2x的图象向右平移＝个单位长度得到的，所以f(x)＝2cos (2x＋φ)＝2cos 2＝2cos ，所以f＝2cos ＝－2cos ＝－.
1. 函数f(x)＝A cos (A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则f(x)＝(　　)
A．cos
B．cos
C．－sin
D．－sin
答案：B
解析：设f(x)的最小正周期为T.由图象可得A＝＝＝，解得T＝1，
所以ω＝2π，所以f(x)＝cos (2πx＋φ)，
又f(x)的图象过点，所以2π×＋φ＝2kπ(k∈Z)，
解得φ＝2kπ－π(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝cos ＝sin ＝－sin (2πx－)．故选B.
2．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，且f(0)＝1，则f的值为(　　)
A．－1　　　 B．－
C．－ D．－
答案：A
解析：根据函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象，
可得＝＝(T为函数f(x)的最小正周期)，
所以＝，解得ω＝3.
由图可得3×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
解得φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，
所以φ＝.故f(x)＝A sin (3x＋)．
由f(0)＝A sin ＝A＝1，解得A＝，所以f(x)＝sin (3x＋)．
则f＝sin ＝－sin ＝－1.故选A.
考点三　三角函数的性质及应用
——类比对应，寻找“源”头，整体代换
1．三角函数的单调区间
y＝sin x的单调递增区间是___________________(k∈Z)，单调递减
区间是_________________ (k∈Z)；
y＝cos x的单调递增区间是______________(k∈Z)，单调递减区间是____________(k∈Z)；
y＝tan x的单调递增区间是______________(k∈Z)．
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
2．三角函数的奇偶性与对称性
(1)y＝A sin (ωx＋φ)，当φ＝________(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝________(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．
(2)y＝A cos (ωx＋φ)，当φ＝________(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝________(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．
y＝A tan (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．
kπ
kπ＋
kπ＋
kπ
角度1 单调性为主
[例3]　下列区间中，函数f(x)＝7sin 的单调递增区间是(　　)
A．　　　B．
C． D．
答案：A
解析：因为函数y＝sin x的单调递增区间为，
对于函数f＝7sin ，由2kπ－解得2kπ－取k＝0，可得函数f的一个单调递增区间为，
则 ，A选项满足条件，B不满足条件；
取k＝1，可得函数f的一个单调递增区间为，
且 ，CD选项均不满足条件．
故选A.
判断三角函数单调性的方法技巧
(1)代换法：求形如y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，则y＝A sin z(或y＝A cos z)，然后由复合函数的单调性求得．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
(3)导数法：利用导数与单调性之间的关系．
角度2 周期性、奇偶性、对称性为主
[例4]　已知f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且f(x)的图象关于点对称，则下列判断正确的是(　　)
A．函数f(x)在上单调递增
B．函数f(x)的图象关于直线x＝－对称
C．当x∈时，函数f(x)的最小值为－
D．要得到函数f(x)的图象，只需将y＝2cos 4x的图象向右平移个单位长度
答案：D
解析：由f(x)＝A sin (ωx＋φ)的最大值为2，得A＝2.
又其图象相邻两条对称轴间的距离为，所以最小正周期T＝2×＝，所以ω＝4.
由f(x)的图象关于点对称，知f＝0，即2sin ＝0，
因为|φ|<，所以φ＝－，于是f(x)＝2sin .
对于A项，由f(x)单调递增，得－＋2kπ≤4x－＋2kπ(k∈Z)，
所以－≤x≤(k∈Z)，当k＝0时，x∈，故A项错误．
对于B项，易知f(x)在对称轴处取得最值±2，而f＝2sin ＝2sin ＝1，不是最值，故B项错误．
对于C项，若x∈，则4x－∈，则－＝2sin (－)对于D项，将y＝2cos 4x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝2cos 4(x－)＝2cos ＝2sin ＝2sin ＝2sin ＝－2sin (－4x＋)＝2sin ＝f(x)，故D正确．故选D.
归纳总结
1.判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．
2．求三角函数周期的常用结论
(1)y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为；
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
对点训练
1.[已知函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调递增，则ω的取值范围为(　　)
A．(0，2]　　 B．(0，2)
C．(0，3] D．(0，3)
解析：当x∈时，ωx＋∈，
因为函数f(x)＝sin (ω＞0)在上单调递增，
所以，解得0<ω≤2，ω的取值范围为(0，2]，故选A.
答案：A
2．西来宾模拟]已知函数f(x)＝m sin ωx＋2cos ωx(m≠0，ω>0)图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且f(0)＋f＝6，则函数f(x)在下列哪个区间上单调递减？(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：f(x)＝m sin ωx＋2cos ωx＝sin (ωx＋φ)，记函数f(x)的最小正周期为T.
因为函数f(x)图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，所以＝，即T＝，所以ω＝＝3.
由f(0)＋f＝6，得2＋m＋1＝6，解得m＝2，
所以f(x)＝2sin 3x＋2cos 3x＝4sin .
方法一　令＋2kπ<3x＋<＋2kπ，k∈Z，解得所以函数f(x)在上单调递减，故选B.
方法二　当x∈时，<3x＋<，所以f(x)在上不具有单调性，排除A；
当x∈时，<3x＋<，
所以f(x)在上不具有单调性，排除C；
当x∈时，－π<3x＋<－π，所以f(x)在上单调递增，排除D.选B.
3．函数f(x)＝cos x－cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值(　　)
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为
解析：由题意，f(－x)＝cos (－x)－cos (－2x)＝cos x－cos 2x＝f(x)，所以该函数为偶函数，又f(x)＝cos x－cos 2x＝－2cos2x＋cosx＋1＝－2＋，
所以当cos x＝时，f(x)取最大值.故选D.
答案：D
4．将曲线f＝2sin 图象上所有点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到g的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．f的图象关于点对称
B．f的周期为π
C．g的单调递增区间为(k∈Z)
D．g的单调递增区间为(k∈Z)
答案：D
解析：f＝2sin ＝－2sin ≠0，故A错误；由T＝＝＝2π，故B错误；由题意可得g＝2sin ，则2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故g的单调递增区间为(k∈Z)，故C错误、D正确．故选D.
考点四　三角函数与其他知识的交汇问题　
画图象，用性质
三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇．
[例5]　(1)设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝，则M为(　　)
A．(0，1)　　 B．(0，1]
C．[0，1) D．[0，1]
解析：y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x|∈[0，1]，所以M＝[0，1].因为<，所以|x＋i|<，即x2＋1<2.又因为x∈R，所以－1答案：C　
(2)已知函数f(x)＝sin x．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1答案：8
解析：因为f(x)＝sin x，所以|f(xm)－f(xn)|≤f(x)max－f(x)min＝2，因此要使得满足条件|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xm－1)－f(xm)|＝12的m最小，须取x1＝0，x2＝，x3＝，x4＝，x5＝，x6＝，x7＝，x8＝6π，即m＝8.
对点训练
设an＝sin ，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是(　　)
A．25　　 B．50
C．75 D．100
解析：当1≤n≤24时，an>0，当26≤n≤49时，an<0，但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值；当51≤n≤74时，an>0；当76≤n≤99时，an<0，但其绝对值要小于51≤n≤74时相应的值．故当1≤n≤100时，均有Sn>0.
答案：D