2021-2022学年北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元检测试卷（Word版，附答案）

第二章 二 次 函 数 检测
一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)
1. 下列函数为二次函数的是( )
A. y＝－4x＋5 B. y＝x(2x－3) C. y＝(x＋4)2－x2 D. y＝
2. 将抛物线y＝(x－1)2＋4先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为( )
A. (5,4) B. (1,4) C. (1,1) D. (5,1)
3. 二次函数y＝x2＋2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是( )
A. 3　 B. 5　 C. －3和5　 D. 3和－5
4. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图X2－1所示，并且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2－4ac＜0；②abc＞0；③a－b＋c＜0；④m＞－2.其中正确的有( )
图X2－1
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 已知函数y＝x2－x－4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是( )
A. x＜1 B. x＞1 C. x＞－2 D. －2＜x＜4
6. 已知二次函数y＝3(x－1)2＋k的图象上有A(，y1)，B(2，y2)，C(－，y3)三个点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3 B. y2>y1>y3
C. y3>y1>y2 D. y3>y2>y1
7. 若抛物线y＝x2＋8x－k的顶点在x轴上，则k的值为( )
A. －16 B. 16 C. －8 D. 8
8. 对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1,3)；④x＞1时，y随x的增大而减小. 其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 已知函数y＝ax和y＝a(x＋m)2＋n，且a>0，m<0，n<0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是( )
10. 抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于点A，B(A在左，B在右)，与y轴交于点C，下列结论正确的是( )
A. AB＝3 B. 对称轴为直线x＝2
C. 函数最大值为－4 D. cos∠ABC＝
二、填空题(本大题7小题，每小题4分，共28分)
11. 若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1,10)，则a－b＋c＝　 　.
12. 已知抛物线y＝－x2－2x＋m 的顶点在x轴上方，则　 　.
13. 如图X2－2，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是　 　.
图X2－2
14. 将二次函数y＝(x－2)2＋3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得二次函数的解析式为　 　.
15. 已知关于x的方程x2－4x＋3－a＝0在0＜x＜4范围内有两个根，则a的取值范围是　 　.
16. 当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，则实数m的值是　 　.
17. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是　 　m.
三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)
18. 已知y＝(m2－m)xm2－2m－1＋(m－3)x＋m2是关于x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式.
19. 若二次函数y＝x2＋mx的图象的对称轴是直线x＝3，求关于x的方程x2＋mx＝7的解.
20. 已知抛物线y＝x2＋x－.
(1)用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；
(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，求线段AB的长.
.
四、解答题 (二)(本大题3小题，每小题8分，共24分)
21. 如图X2－3，抛物线y＝x2－bx＋c交x轴于点A(1,0)和点C，交y轴于点B，对称轴是直线x＝2.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
图X2－3
22. 已知：二次函数y＝x2－4x＋3a＋2(a为常数).
(1)请写出该二次函数的三条性质；
(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x－1的图象有两个交点，求a的取值范围.
23. 如图X2－4，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y＝a(x－2)2＋k 经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P.
(1)求a，k的值；
(2)抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标.
图X2－4
五、解答题 (三)(本大题2小题，每小题10分，共20分)
24. 有一块矩形地块ABCD，AB＝20 m，BC＝30 m.为美观，拟种植不同的花卉，如图X2－5，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x m.现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉.甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/cm2,60元/cm2,40元/cm2，设三种花卉的种植总成本为y元.
(1)当x＝5时，求种植总成本y；
(2)求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120 cm2，求三种花卉的最低种植总成本.
图X2－5
25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x－1(a≠0)和直线l：y＝kx＋b，点A(－3，－3)，B(1，－1)均在直线l上.
(1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值.
答案
1. B　2. D　3. D　4. B　5. A　6. D　7. A　8. C　9. B　10. D　11. 10　12. m>－1　13. x＜－1或x＞4
14. y＝(x－4)2＋1　15. －1≤a＜3
16. 2或－　17. 10
18. 解：∵y＝(m2－m)xm2－2m－1＋(m－3)x＋m2是关于x的二次函数，
∴
解得m＝3或m＝－1.
∴此二次函数的解析式为y＝6x2＋9或y＝2x2－4x＋1.
19. 解：∵二次函数y＝x2＋mx的图象的对称轴是直线x＝3，
∴－＝3，解得m＝－6.
∴关于x的方程x2＋mx＝7可化为x2－6x－7＝0，
即(x＋1)(x－7)＝0.
解得x1＝－1，x2＝7.
20. 解：(1)∵y＝ x2＋x－＝(x＋1)2－3，
∴抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，对称轴是直线x＝－1.
(2)当y＝0时， x2＋x－＝0，
解得x1＝－1＋，x2＝－1－.
∴AB＝＝2.
21. 解：(1)由题意，得
解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.
(2)∵点A与点C关于直线x＝2对称，
∴连接BC，与直线x＝2交于点P，如答图X2－1，则点P即为所求.
答图X2－1
根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为(3,0)，y＝x2－4x＋3与y轴的交点为B(0，3)，
∴设直线BC的解析式为y＝kx＋b1，则有 解得
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.
则直线BC与直线x＝2的交点坐标为(2,1).
∴点P的坐标为(2,1).
22. 解：(1)∵二次函数y＝x2－4x＋3a＋2＝(x－2)2＋3a－2.
∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2,3a－2).
其性质有：①开口向上；②有最小值3a－2；③对称轴为直线x＝2.
(2)∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x－1的图象有两个交点，
∴x2－4x＋3a＋2＝2x－1.整理，得x2－6x＋3a＋3＝0.
∴Δ＝36－4(3a＋3)＞0.解得a＜2.
把x＝4代入y＝2x－1，解得y＝2×4－1＝7.
把(4,7)代入y＝x2－4x＋3a＋2，得7＝16－16＋3a＋2.解得a＝.
∴若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x－1的图象有两个交点，a的取值范围为≤a＜2.
23. 解：(1)∵直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴A(1,0)，B(0,3).
又∵抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A(1,0)，B(0,3)，
∴解得
∴a，k的值分别为1，－1.
(2)设Q点的坐标为(2，m)，对称轴直线x＝2交x轴于点F，过点B作BE垂直直线x＝2于点E，如答图X2－2.
答图X2－2
在Rt△AQF中，AQ2＝AF2＋QF2＝1＋m2，
在Rt△BQE中，BQ2＝BE2＋EQ2＝4＋(3－m)2.
∵AQ＝BQ，∴1＋m2＝4＋(3－m)2.
∴m＝2.
∴Q点的坐标为(2,2).
24. 解：(1)当x＝5时，EF＝20－2x＝10，EH＝30－2x＝20，
∴y＝2×(EH＋AD)×20x＋2×(GH＋CD)×60x＋EH·EF×40＝(20＋30)×5×20＋(10＋20)×5×60＋20×10×40＝22 000.
(2)由题意，得EF＝20－2x，EH＝30－2x，
y＝2×(30－2x＋30)·x·20＋2×(20－2x＋20)·x·60＋(30－2x)(20－2x)·40＝－400x＋24 000(0＜x＜10).
(3)S甲＝2×(EH＋AD)x＝(30－2x＋30)x＝－2x2＋60x，
同理可得S乙＝－2x2＋40x.
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120 cm2，
∴－2x2＋60x－(－2x2＋40x)≤120.
解得x≤6.
∴0＜x≤6.
∵y＝－400x＋24 000随x的增大而减小，
∴当x＝6时，y取得最小值，
y最小＝－400×6＋24 000＝21 600，
答：三种花卉的最低种植总成本为21 600元.
25. 解：(1)将点A(－3，－3)，B(1，－1)代入y＝kx＋b，得
∴
∴直线l的解析式为y＝x－.
联立y＝ax2＋2x－1与y＝x－，则有2ax2＋3x＋1＝0.
∵抛物线C与直线l有交点，
∴Δ＝9－8a≥0.
∴a≤且a≠0.
(2)根据题意，得y＝－x2＋2x－1.
∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1.
∵m≤x≤m＋2时，y有最大值－4，
∴当y＝－4时，－x2＋2x－1＝－4.
解得x＝－1或x＝3.
①在对称轴直线x＝1的左侧，y随x的增大而增大，
∴x＝m＋2＝－1时，即m＝－3.y有最大值－4.
②在对称轴直线x＝1的右侧，y随x的增大而减小，
∴x＝m＝3时，y有最大值－4.
综上所述，m＝－3或m＝3.