第二章 二次函数综合问题“五大题型”专项训练（含解析）

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二次函数综合问题“五大题型”
胡不归问题
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），与y轴交于点C，已知OA＝1，OB＝4OA，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为BC下方抛物线上一动点，连接BP、CP，当S△BCP＝S△BOC时，求点P的坐标；
（3）如图2，点N为线段OC上一点，求AN+CN的最小值．
相似问题
12．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，3），交x轴于另一点B，其顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为x轴上一点，若△CAP与△OCD相似，直接写出点P的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）和点B（﹣1，m），顶点为点D．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求tan∠ABD的值；
（3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．
平行四边形问题
14．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝4，与y轴相交于点B（0，﹣5）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求直线AB的解析式并直接写出线段AB的中点M的坐标；
（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出Q点的坐标．
直角三角形问题
15．如图，直线y＝x+b和抛物线y＝ax2﹣x+2都经过A（0，n）和B（m，4）两点，抛物线y＝ax2﹣x+2与x轴交于C、D两点（点C在点D右侧）．
（1）求直线和抛物线的函数表达式；
（2）求四边形ABCD的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PAB是以AP为直角边的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
等腰三角形问题
16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值．
（3）在二次函数的对称轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，求满足条件的点C的坐标．
练习题（作业）
17．在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD＝2S△APQ时，求点P的坐标．
（3）如图2，点G是线段OC上一个动点，连结DG，求DG+CG的最小值．
参考答案与试题解析
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），与y轴交于点C，已知OA＝1，OB＝4OA，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为BC下方抛物线上一动点，连接BP、CP，当S△BCP＝S△BOC时，求点P的坐标；
（3）如图2，点N为线段OC上一点，求AN+CN的最小值．
【解答】解：（1）∵OA＝1，OB＝4OA，
∴OB＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
将A，B坐标代入抛物线解析式得，，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）过点P作y轴的平行线，交BC于点Q，
设点P的横坐标为t，则P（t，t2﹣3t﹣4），
由（1）知抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4，
令x＝0，则y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，
∴S△BOC＝×4×4＝8．
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
则，解得，
∴直线MN的解析式为y＝x﹣4，
∴Q（t，t﹣4），
∴QP＝t﹣4﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，
∴S△BCP＝S△BCP+S△BCP＝PQ （xB﹣xQ）+PQ （xQ﹣xC）＝PQ （xB﹣xC）＝ （﹣t2+4t）×（4﹣0）＝﹣2t2+8t，
∵S△BCP＝S△BOC，
∴﹣2t2+8t＝8，
解得t＝2；
此时y＝22﹣3×2﹣4＝﹣6，
∴P（2，﹣6）；
（3）如图，过点N作NM⊥BC于点M，
∴∠CMN＝90°，
由（2）知，OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴△CNM是等腰直角三角形，
∴NM＝CN，
∴AN+CN＝AN+NM，
则当A，N，M三点共线时，即AM⊥BC时，取到最小值，如图，过点A作AM′⊥BC于点M′，
则△AM′B是等腰直角三角形，
∴AM′＝AB＝．
∴AN+CN的最小值为：．
12．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，3），交x轴于另一点B，其顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为x轴上一点，若△CAP与△OCD相似，直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入抛物线解析式，，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由（1）知，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴点D（﹣1，4），
如图，过点D作DE⊥y轴于点E，
则DE＝1，OE＝4，
∵OC＝3，
∴CE＝1，
∴DE＝CE，
∴∠DCE＝45°，CD＝，
∴∠OCD＝135°，CD：OC＝：3；
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，AC＝3，
若△CAP与△OCD相似，点P只能在点A的左侧，
此时∠PAC＝135°，且AP：AC＝CD：OC或AP：AC＝OC：CD，
∴AP：3＝：3，或AP：3＝3：，
解得AP＝2或AP＝9，
即P（﹣5，0）或P（﹣12，0）．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）和点B（﹣1，m），顶点为点D．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求tan∠ABD的值；
（3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．
【解答】解：（1）将A（2，0）代入y＝x2+bx，
∴4+2b＝0，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x，
将B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，
∴m＝3，
∴B（﹣1，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+2；
（2）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴D（1，﹣1），
∴AD＝，AB＝2，BC＝3，
∵AB2＝AD2+BC2，
∴△ABD是直角三角形，
∴tan∠ABD＝＝；
（3）设直线BD的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
∴，
∴y＝﹣2x+1，
令y＝0，则x＝，
∴P（，0），
设C（t，0），
如图1，当∠ABC＝∠APB时，△ABP∽△APC，
∴∠ACB＝∠ABP，
过B点作BQ⊥x轴交于点Q，
∴tan∠BCQ＝＝，
∴CQ＝9，
∴CO＝10，
∴C（﹣10，0）；
如图2，当∠PBC＝∠BAP时，△ABP∽△BCP，
∴∠ABP＝∠BCP，
过B点作BQ⊥x轴交于点Q，
∴tan∠BCP＝＝＝，
∴CG＝9，
∴OC＝8，
∴C（8，0）；
综上所述：C点的坐标为（﹣10，0）或（8，0）．
14．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝4，与y轴相交于点B（0，﹣5）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求直线AB的解析式并直接写出线段AB的中点M的坐标；
（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出Q点的坐标．
【解答】解：（1）根据题意可知，x＝﹣＝4，a＝﹣，解得b＝4；
将点B（0，﹣5）代入抛物线解析式可得c＝﹣5，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣5；
（2）∵y＝﹣x2+4x﹣5＝﹣（x﹣4）2+3，
∴A（4，3），B（0，﹣5），
∴点M（2，﹣1），
设直线AB的表达式为：y＝kx﹣5，
将点A坐标代入上式得：3＝4k﹣5，解得：k＝2，
∴直线AB的表达式为：y＝2x﹣5；
（3）设点Q（4，s）、点P（m，﹣m2+4m﹣5），
①当AM是平行四边形的一条边时，
当点Q在A的下方时，
点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M，
同样点P（m，﹣m2+4m﹣5）向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q（4，s），
即：m﹣2＝4，﹣m2+4m﹣5﹣4＝s，
解得：m＝6，s＝﹣3，
∴点Q的坐标为（4，﹣3），
故当点Q在点A上方时，AQ＝MP＝2，
同理可得点Q的坐标为（4，5），
②当AM是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：4+2＝m+4，3﹣1＝﹣m2+4m﹣5+s，
解得：m＝2，s＝1，
∴Q的坐标分别为（4，1）；
综上，Q的坐标分别为Q（4，﹣3）或（4，1）或（4，5）．
15．如图，直线y＝x+b和抛物线y＝ax2﹣x+2都经过A（0，n）和B（m，4）两点，抛物线y＝ax2﹣x+2与x轴交于C、D两点（点C在点D右侧）．
（1）求直线和抛物线的函数表达式；
（2）求四边形ABCD的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PAB是以AP为直角边的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把（0，n）代入y＝ax2﹣x+2中得，
n＝2，即A（0，2），
把（0，2）代入y＝x+b中得，
b＝2，
∴y＝x+2，
把B（m，4）代入y＝x+2中得，
+2＝4，
∴m＝6，即B（6，4），
把B（6，4）代入y＝ax2﹣x+2中得，36a﹣10+2＝4，
∴a＝，即y＝x2﹣x+2，
∴直线表达式是y＝x+2，
抛物线解析式为：y＝x2﹣x+2；
（2）解方程x2﹣x+2＝0，得
x1＝2，x2＝3，
∵点C在点D右侧，
∴C（3，0），D（2，0），
过B作BE⊥y轴于E，作BF⊥x轴于F，
∴E（6，0），
∵A（0，2），B（6，4），C（3，0），D（2，0），
∴AO＝2，DO＝2，CE＝3，BE＝4，OE＝6，
∴S四边形ABCD＝S梯形ABCD﹣S△AOD﹣S△BCE
＝（AO+BE） OE﹣AO OD﹣BE CE
＝×（2+4）×6﹣×2×2﹣×3×4
＝18﹣2﹣6
＝10，即四边形ABCD的面积为10；
（3）设P（t，0），A（0，2），B（6，4），
∴PA2＝t2+4，BP2＝（t﹣6）2+16，
AB2＝36+4＝40，
①当∠PAB＝90°时，
∴t2+4+40＝（t﹣6）2+16，
∴t＝，即P（，0）；
②当∠APB＝90°时，
∴t2+4+（t﹣6）2+16+40，
∴x＝2或4，
∴P（2，0）或P（4，0），
综上所述△PAB以AP为直角边时，P（，0）或P（2，0）或P（4，0）．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值．
（3）在二次函数的对称轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，求满足条件的点C的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2+4x﹣1；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴y＝x﹣1，
设P（a，a2+4a﹣1），则Q（a，a﹣1），
∴PQ＝﹣a2﹣3a，
∴S△PAB＝×3×（﹣a2﹣3a）＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，△PAB的面积有最大值；
（3）设点C（﹣2，y），
∵A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4），
∴AB2＝32+32＝18，BC2＝22+（y+1）2，AC2＝12+（y+4）2，
①当AB＝BC时，
∴22+（y+1）2＝18，
解得，
∴；
②当AB＝AC时，
∴12+（y+4）2＝18，
解得，
∴；
③当BC＝AC时，
∴22+（y+1）2＝12+（y+4）2，
解得y＝﹣2，
∴C（﹣2，﹣2）；
综上所述：C点坐标为或或（﹣2，﹣2）．
17．在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD＝2S△APQ时，求点P的坐标．
（3）如图2，点G是线段OC上一个动点，连结DG，求DG+CG的最小值．
【解答】解：（1）将点A（3，4），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，
得：，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）如图1，过点P作PE∥x轴，交AB于点E，
∵A（3，4），AD⊥x轴，
∴D（3，0），
∵B（﹣1，0），
∴BD＝3﹣（﹣1）＝4，
∵S△AQD＝2S△APQ，△AQD与△APQ是等高的两个三角形，
∴＝，
∵PE∥x轴，
∴△PQE∽△DQB，
∴＝＝，
∴＝，
∴PE＝2，
∴可求得直线AB的解析式为y＝x+1，
设E（x，x+1），则P（x﹣2，x+1），
将点P坐标代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（x﹣2）2+3（x﹣2）+4＝x+1，
解得x1＝3+，x2＝3﹣，
当x＝3+时，x﹣2＝3+﹣2＝1+，x+1＝3++1＝4+，
∴点P（1+，4+）；
当x＝3﹣时，x﹣2＝3﹣﹣2＝1﹣，x+1＝3﹣+1＝4﹣，
∴P（1﹣，4﹣），
∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，
∴﹣1＜x﹣2＜3，
∴点P的坐标为（1+，4+）或（1﹣，4﹣）；
（3）如图，以点C为顶点在y轴右侧作∠GCH＝30°，过点G作GH⊥CH于点H，
在Rt△CHG中，HG＝CG，
∴DG+CG＝DG+GH，且当点D，G，H三点共线时，即DH⊥CH时，取得最小值DH，如下图，
此时∠DGO＝∠CGH＝60°，
∴∠ODG＝30°，
∴OG＝OD＝，
∴CG＝4﹣，DG＝2OG＝2，
∴HG＝CG＝2﹣，
∴DH＝HG+DG＝2+．
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