2021-2022学年北师大新版九年级下册数学第2章 二次函数 单元测试卷（Word版含答案）

2021-2022学年北师大新版九年级下册数学《第2章 二次函数》单元测试卷
一．选择题
1．下列函数中属于二次函数的是（　　）
A．y＝2x﹣1 B．y＝ax2﹣1
C．y＝2（x﹣1）2﹣2x2 D．y＝（x﹣1）（）
2．已知函数：①y＝3x﹣1；②y＝3x2﹣1；③y＝﹣20x2；④y＝x2﹣6x+5，其中是二次函数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax+b的图象是（　　）
A． B．
C． D．
4．抛物线y＝（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
5．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的最小值是（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3
6．下列函数中，一定是二次函数是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（﹣x+1）
C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y＝
7．抛物线y＝﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x+1）2﹣3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣1）2+3
8．将函数y＝kx2与y＝kx+k的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（　　）
A． B．
C． D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c﹣b＞0；③3a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＜0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（2，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
二．填空题
11．若是二次函数，则m＝　 　．
12．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是　 　．
13．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线 　 　．
14．已知是二次函数，则m＝　 　．
15．若y＝（m2+m）是二次函数，则m的值等于　 　．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2＝2．其中正确的有　 　．
17．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为　 　．
18．已知二次函数y＝mx2+（m2﹣3）x+1，当x＝﹣1时，y取得最大值，则m＝　 　．
19．如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝﹣3x2，②y＝﹣，③y＝﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是　 　（填序号）
20．将抛物线y＝﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是　 　．
三．解答题
21．已知函数y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函数．
（1）求m的值；
（2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
22．已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
23．已知函数y＝（m2+m）．
（1）当函数是二次函数时，求m的值；　 　；
（2）当函数是一次函数时，求m的值．　 　．
24．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．
（1）求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象；
（2）根据图象，直接写出：
①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
②当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围．
25．下表给出一个二次函数的一些取值情况：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？
26．已知二次函数y＝﹣x2+x+4．
（1）确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
27．已知抛物线y＝ax2+bx+c，如图所示，直线x＝﹣1是其对称轴，
（1）确定a，b，c，Δ＝b2﹣4ac的符号；
（2）求证：a﹣b+c＞0；
（3）当x取何值时，y＞0，当x取何值时y＜0．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当a＝0时，不是二次函数，故此选项错误；
C、整理后，二次项系数为0，不是二次函数，故此选项错误；
D、符合二次函数定义，故此选项正确，
故选：D．
2．解：①y＝3x﹣1是一次函数；
②y＝3x2﹣1；③y＝﹣20x2；④y＝x2﹣6x+5是二次函数．
故选：C．
3．解：A、对于直线y＝ax+b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，所以A选项错误；
B、由抛物线y＝ax2开口向上得到a＞0，而由直线y＝ax+b经过第二、四象限得到a＜0，所以B选项错误；
C、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，而由直线y＝ax+b经过第一、三象限得到a＞0，所以C选项错误；
D、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，则直线y＝ax+b经过第二、四象限，由于ab＞0，则b＜0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确．
故选：D．
4．解：
∵y＝（x﹣2）2+5，
∴顶点坐标为（2，5），
故选：B．
5．解：∵y＝（x﹣1）2﹣3，
∴当x＝1时，y取得最小值﹣3，
故选：D．
6．解：A、当a＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、y＝x（﹣x+1）＝﹣x2+x，符合二次函数的定义，是二次函数，故本选项符合题意；
C、化简后不含二次项，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．解：抛物线y＝﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2﹣3，
故选：B．
8．解：当k＞0时，
函数y＝kx2的图象是开口向上，顶点在原点的抛物线，y＝kx+k的图象经过第一、二、三象限，是一条直线，故选项A、B均错误，
当k＜0时，
函数y＝kx2的图象是开口向下，顶点在原点的抛物线，y＝kx+k的图象经过第二、三、四象限，是一条直线，故选项C正确，选项D错误，
故选：C．
9．解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴b＜0
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴a+c﹣b＞0，故②正确；
③∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＞0，
∴3a+c＞0，故③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，
∴a+b+c≤am2+mb+c，
即a+b≤m（am+b），所以④正确．
故选：D．
10．解：抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＜0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（2，y3）四点，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝＝﹣1．
∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|2+1|
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
二．填空题
11．解：∵是二次函数，
∴，
解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．解：由图形观察可知，把x轴上边的阴影部分的面积对称到下边就得到一个半圆阴影面积，则阴影部分的面积s＝＝2π．
故答案为：2π．
13．解：∵y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，
∴此函数的对称轴就是直线x＝1．
故答案为：x＝1．
14．解：∵是二次函数，
∴m+2≠0，m2﹣2＝2，
解得：m＝2，
故答案为：2．
15．解：根据二次函数的定义，得：
，
解得：m＝2．
故答案为：2．
16．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以②正确；
∵x＝1时，函数值最大，
∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm（m≠1），所以③正确；
∵抛物线与x轴的交点到对称轴x＝1的距离大于1，
∴抛物线与x轴的一个交点在点（2，0）与（3，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
当ax12+bx1＝ax22+bx2，则ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，
∴x＝x1和x＝x2所对应的函数值相等，
∴x2﹣1＝1﹣x1，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确；
故答案为②③⑤．
17．解：∵A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+1上的三点，
∴y1＝0，y2＝﹣3，y3＝﹣8，
∵0＞﹣3＞﹣8，
∴y1＞y2＞y3．
故答案为：y1＞y2＞y3．
18．解：根据题意知，﹣＝﹣1，且m＜0，
整理该方程可得m2﹣2m﹣3＝0，
解得：m＝﹣1或m＝3（舍），
故答案为：﹣1．
19．解：①y＝﹣3x2，
②y＝﹣x2，
③y＝﹣x2中，二次项系数a分别为﹣3、﹣、﹣1，
∵|﹣3|＞|﹣1|＞|﹣|，
∴抛物线②y＝﹣x2的开口最宽，抛物线①y＝﹣3x2的开口最窄．
故答案为：①③②．
20．解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是y＝﹣（x+2）2，即y＝﹣x2﹣4x﹣4．
故答案为：y＝﹣x2﹣4x﹣4．
三．解答题
21．解：（1）由y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函数，得
m2+1＝2且m﹣1≠0．
解得m＝﹣1；
（2）当m＝﹣1时，二次函数为y＝﹣2x2+4x﹣5，
a＝﹣2，b＝4，c＝﹣5，
对称轴为直线x＝﹣＝1，
顶点坐标为（1，﹣3）．
22．解：（1）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，
∴m2+2m＝0，m≠0，
解得：m＝﹣2；
（2））∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0．
23．解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，
解得m＝2或m＝0；
又因m2+m≠0，
解得m≠0或m≠﹣1；
因此m＝2．
（2）依题意，得m2﹣2m+2＝1
解得m＝1；
又因m2+m≠0，
解得m≠0或m≠﹣1；
因此m＝1．
24．解；（1）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴函数图象的顶点坐标（1，4）；
函数的图象如图：
（2）根据图象可知：
①当﹣1＜x＜3时，函数值y为正数；
②当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围﹣5＜y≤4．
25．解：（1）描点、连线得：
（2）由函数图象可知：当x＜1或x＞3时，y＞0．
26．解：（1）∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴抛物线开口向下，
顶点坐标为（1，），
对称轴为直线x＝1；
（2）当x＜1时，y随x的增大而增大，
当x＞1时，y随x的增大而减小．
27．解：（1）∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0；
（2）证明：∵抛物线的顶点在x轴上方，对称轴为x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0；
（3）根据图象可知，
当﹣3＜x＜1时，y＞0；当x＜﹣3或x＞1时，y＜0．